अनुक्रम आणि संख्यांचे नमुने
वर्गाचे हजेरी क्रमांक, मार्गावरचे थांबे, आठवड्याचे वार हे सर्व ठराविक क्रमातील याद्या. अनेक याद्या नमुन्याने चालतात.
अनुक्रम म्हणजे ठराविक क्रमातील संख्यांची यादी. प्रत्येक संख्या एक पद : a₁ पहिले, a₂ दुसरे, aₙ n-वे. अनुक्रम संपणारा (सांत) किंवा सतत चालणारा (अनंत) असू शकतो.
सूत्र : a₁, a₂, a₃, …, aₙ, …
आकृतीत : ३, ६, ९, १२, १५, … प्रत्येक वेळी ३ ची भर; पुढचे पद १८.
नियम 1 : नमुना ओळखा — शेजारच्या पदांचा फरक किंवा गुणोत्तर पाहा.
- सोपे : २, ४, ६, ८, … : पुढचे १०.
- मध्यम : १, ४, ९, १६, … : वर्ग, पुढचे २५.
- परीक्षेसाठी : १, १, २, ३, ५, ८, … : आधीची दोन मिळवा; पुढचे १३.
नियम 2 : पदे आणि स्थान — स्थान १ पासून मोजतात. n व्या स्थानावरील पद aₙ.
- सोपे : ५, १०, १५, २० मध्ये a₃ = १५.
- मध्यम : ४, ८, १२, … मध्ये ४० कितव्या स्थानी? १० व्या.
- परीक्षेसाठी : २० पर्यंतच्या सम संख्यांचा अनुक्रम १० पदांचा.
क्रम महत्त्वाचा : १, २, ३ आणि ३, २, १ हे वेगळे अनुक्रम.
स्थानांची मोजणी ० पासून सुरू करणे.
"नियम असलेली यादी : अनुक्रम."
सरावासाठी प्रश्न
- 15, 8, 11, 14, 17, 20, … या क्रमात 14 हे कितवे पद आहे?
- 26, 10, 14, 18, 22, 26, … या क्रमात 26 हे कितवे पद आहे?
- 34, 7, 10, 13, □, 19 या क्रमातील हरवलेले पद शोधा.
- 416, 24, 32, □, 48, 56 या क्रमातील हरवलेले पद शोधा.
- 5त्रिकोणी संख्या 1, 3, 6, 10, 15, … आहेत. 9 वी त्रिकोणी संख्या कोणती?
- 6त्रिकोणी संख्या 1, 3, 6, 10, 15, … आहेत. 7 वी त्रिकोणी संख्या कोणती?
- 7वर्ग संख्यांच्या 1, 4, 9, 16, … या क्रमात 144 हे कितवे पद आहे?
- 8वर्ग संख्यांच्या 1, 4, 9, 16, … या क्रमात 169 हे कितवे पद आहे?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 14
- 26
- 316
- 440
- 545
- 628
- 712
- 813
अनुक्रमाचा स्पष्ट नियम
टॅक्सी भाड्याच्या तक्त्यात सूत्राने कोणत्याही अंतराचे भाडे थेट मिळते, आधीची भाडी न काढता.
स्पष्ट नियम aₙ थेट n च्या रूपात देतो. n = १, २, ३, … ठेवून पदे मिळतात, किंवा एकच पद थेट.
सूत्र : aₙ = n मधील नियम, उदा. aₙ = ३n + १
आकृतीत : aₙ = ३n + १ : n = १ ला ४, n = २ ला ७, n = ३ ला १०.
नियम 1 : पदे काढा — स्थान n नियमात ठेवा.
- सोपे : aₙ = २n − १ : a₅ = ९.
- मध्यम : aₙ = n² : a₆ = ३६.
- परीक्षेसाठी : aₙ = n(n + १) : a₄ = २०.
नियम 2 : स्थान शोधा — नियम पदाच्या बरोबर मांडा आणि n काढा.
- सोपे : aₙ = ३n + १ = ३१ ⇒ n = १०.
- मध्यम : aₙ = n² = ४९ ⇒ n = ७.
- परीक्षेसाठी : ५० हे २n + १ चे पद आहे का? २n = ४९, पूर्ण n नाही, म्हणून नाही.
n धन पूर्ण संख्या हवी; n अपूर्णांक आला तर ती संख्या अनुक्रमात नाही.
n (स्थान) आणि aₙ (पद) यांची गल्लत.
"n द्या, पद घ्या."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एका क्रमाचा नियम a(n) = 8n + 7 आहे. a(13) शोधा.
- 2एका क्रमाचा नियम a(n) = 5n + 5 आहे. a(11) शोधा.
- 3एका क्रमाचा नियम a(n) = n² + 4 आहे. a(7) शोधा.
- 4a(n) = 7n या नियमासाठी 77 बरोबर असणारे पद कितवे आहे?
- 5a(n) = 8n या नियमासाठी 168 बरोबर असणारे पद कितवे आहे?
- 6एका क्रमाचा नियम a(n) = 2ⁿ − 1 आहे. a(3) शोधा.
- 7एका क्रमाचा नियम a(n) = 2ⁿ − 3 आहे. a(6) शोधा.
- 8एका क्रमाचा नियम a(n) = (−1)ⁿ × n आहे. a(10) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1111
- 260
- 353
- 411
- 521
- 67
- 761
- 810
अनुक्रमाचा पुनरावर्ती नियम
बँक मागील वर्षाच्या शिलकीवर व्याज देते. प्रत्येक वर्षाची रक्कम आधीच्या वर्षावरून येते; ५ व्या वर्षासाठी ४ थे हवे.
पुनरावर्ती नियम पहिले पद देतो आणि प्रत्येक पद आधीच्या पदावरून कसे येते ते सांगतो, उदा. aₙ = aₙ₋₁ + ३.
सूत्र : a₁ दिलेले; aₙ = f(aₙ₋₁)
आकृतीत : a₁ = २ आणि aₙ = aₙ₋₁ + ३ वरून २, ५, ८, ११, १४, …
नियम 1 : पदे तयार करा — a₁ पासून सुरू करा आणि नियम पुन्हा पुन्हा लावा.
- सोपे : a₁ = ५, aₙ = aₙ₋₁ + २ : ५, ७, ९, ११.
- मध्यम : a₁ = ३, aₙ = २aₙ₋₁ : ३, ६, १२, २४.
- परीक्षेसाठी : a₁ = १, a₂ = १, aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂ : १, १, २, ३, ५.
नियम 2 : नियम लिहा — प्रत्येक वेळी काय मिळवले किंवा गुणले ते शोधा.
- सोपे : १०, ७, ४, १ : a₁ = १०, aₙ = aₙ₋₁ − ३.
- मध्यम : २, ६, १८, ५४ : a₁ = २, aₙ = ३aₙ₋₁.
- परीक्षेसाठी : a₁ शिवाय नियमाने अनेक वेगळे अनुक्रम मिळतात.
पुनरावर्ती नियमाने २० वे पद काढायला आधीची सर्व पदे काढावी लागतात, स्पष्ट नियमासारखे नाही.
पहिले पद सांगणे विसरणे.
"आधी पहिले पद, मग पाऊल पाऊल."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एका क्रमात a(1) = 15 आणि a(n+1) = a(n) + (−4) आहे. a(5) शोधा.
- 2एका क्रमात a(1) = 2 आणि a(n+1) = a(n) + (−2) आहे. a(4) शोधा.
- 3एका क्रमात a(1) = 3 आणि a(n+1) = 2 × a(n) आहे. a(5) शोधा.
- 4एका क्रमात a(1) = 1, a(2) = 3 आणि a(n+2) = a(n+1) + a(n) आहे. a(6) शोधा.
- 5एक क्रम a(1) = 8 आणि a(n+1) = a(n) + 4 असा दिला आहे. सर्व पदे न लिहिता a(20) शोधा.
- 6एक क्रम a(1) = 4 आणि a(n+1) = a(n) + 4 असा दिला आहे. सर्व पदे न लिहिता a(19) शोधा.
- 7एका क्रमात a(1) = 3 आणि a(n+1) = 2·a(n) − 1 आहे. a(5) शोधा.
- 8एका क्रमात a(1) = 5 आणि a(n+1) = a(n) + n आहे. a(7) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1−1
- 2−4
- 348
- 418
- 584
- 676
- 733
- 826
समांतर श्रेढी
स्टेडियममध्ये प्रत्येक रांगेत आसने सारख्याच संख्येने वाढतात; आवर्ती ठेव दरमहा सारखीच वाढते.
समांतर श्रेढी (AP) मध्ये सामाईक फरक d = aₙ₊₁ − aₙ स्थिर असतो. पहिले पद a असेल तर aₙ = a + (n − १)d.
सूत्र : aₙ = a + (n − १)d
आकृतीत : ५, ९, १३, १७, २१ मध्ये प्रत्येक पाऊल d = ४. १० वे पद ५ + ९ × ४ = ४१.
नियम 1 : AP आहे का? — सर्व फरक सारखे आहेत का ते तपासा.
- सोपे : ३, ७, ११, १५ : d = ४, होय.
- मध्यम : १, २, ४, ८ : फरक १, २, ४, नाही.
- परीक्षेसाठी : १०, ६, २, −२ : d = −४, होय (उतरती).
नियम 2 : पद शोधा — aₙ = a + (n − १)d वापरा.
- सोपे : a = २, d = ५ : a₁₀ = ४७.
- मध्यम : a = ५०, d = −३ : a₈ = २९.
- परीक्षेसाठी : ४, ९, १४, … मध्ये ९४ कितवे पद? ४ + (n − १)५ = ९४, n = १९.
AP मध्ये प्रत्येक पद शेजारच्या दोन पदांची सरासरी असते.
सूत्रात (n − १) ऐवजी n वापरणे.
"पहिले पद अधिक (n वजा १) पावले."
सरावासाठी प्रश्न
- 1पहिले पद 1 आणि सामाईक फरक 7 असलेल्या AP चे 18 वे पद शोधा.
- 2AP चे पहिले पद 25 आणि सामाईक फरक 5 आहे. त्याचे 28 वे पद शोधा.
- 311, 17, 23, …, 107 या AP मध्ये किती पदे आहेत?
- 47, 13, 19, …, 103 या AP मध्ये किती पदे आहेत?
- 5एका AP मध्ये 3 वे पद 11 आणि 7 वे पद 23 आहे. 11 वे पद शोधा.
- 6AP चे 5 वे पद 26 आणि सामाईक फरक 4 आहे. पहिले पद शोधा.
- 7तीन संख्या AP मध्ये आहेत आणि त्यांची बेरीज 36 आहे. मधली संख्या कोणती?
- 8x ची कोणती किंमत घेतल्यास x, 2x + 2 आणि 4x − 2 या संख्या AP मध्ये येतात?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1120
- 2160
- 317
- 417
- 535
- 610
- 712
- 86
समांतर श्रेढी
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानैसर्गिक संख्यांची आणि श्रेढीची बेरीज
एक मुलगा १ + २ + … + १०० जोड्या लावून झटपट मिळवतो : १ व १००, २ व ९९ …; १०१ च्या ५० जोड्या.
पहिल्या n नैसर्गिक संख्यांची बेरीज : n(n + १)/२. AP च्या पहिल्या n पदांची बेरीज : Sₙ = n/२ × [२a + (n − १)d] किंवा n/२ × (पहिले + शेवटचे).
सूत्र : Sₙ = n/२ [२a + (n − १)d] = n/२ (a + l)
आकृतीत : सारखी बेरीज ७ च्या जोड्या : १ + २ + … + ६ = ३ × ७ = २१.
नियम 1 : नैसर्गिक संख्या — n(n + १)/२ वापरा, किंवा मर्यादेसाठी दोन बेरजा वजा करा.
- सोपे : १ + २ + … + १०० = ५०५०.
- मध्यम : १ + २ + … + २० = २१०.
- परीक्षेसाठी : पहिल्या १० विषम संख्यांची बेरीज = १०² = १००.
नियम 2 : AP ची बेरीज — शेवटचे पद माहित असल्यास पहिले + शेवटचे रूप वापरा.
- सोपे : AP २, ५, ८, … १० पदे : S = ५ × [४ + २७] = १५५.
- मध्यम : ३ + ७ + … + ३९ (१० पदे) : ५ × ४२ = २१०.
- परीक्षेसाठी : a = १, d = १, n = ५० : १२७५.
तपासणी : S₁ = a आणि Sₙ − Sₙ₋₁ = aₙ.
सूत्रातील ½ विसरणे.
"पहिले आणि शेवटचे यांची सरासरी, गुणिले पदसंख्या."
सरावासाठी प्रश्न
- 11 + 2 + 3 + … + 80 ही बेरीज शोधा.
- 21 + 2 + 3 + … + 30 ही बेरीज शोधा.
- 3पहिल्या 25 विषम नैसर्गिक संख्यांची (1 + 3 + 5 + …) बेरीज शोधा.
- 4120 किंवा त्याहून लहान असलेल्या 2 च्या सर्व पटींची बेरीज शोधा.
- 550 किंवा त्याहून लहान असलेल्या 7 च्या सर्व पटींची बेरीज शोधा.
- 6351 बेरीज मिळवण्यासाठी 1 पासून सुरू होणाऱ्या किती नैसर्गिक संख्या मिळवाव्या लागतील?
- 745 बेरीज मिळवण्यासाठी 1 पासून सुरू होणाऱ्या किती नैसर्गिक संख्या मिळवाव्या लागतील?
- 8AP च्या पहिल्या 14 पदांची बेरीज 329 आणि पहिले पद 4 आहे. सामाईक फरक शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 13240
- 2465
- 3625
- 43660
- 5196
- 626
- 79
- 83
गुणोत्तर श्रेढी
अफवा २ जणांना सांगितली, प्रत्येकाने आणखी २ जणांना : १, २, ४, ८, १६, … प्रत्येक पायरी सारख्याच संख्येने गुणली जाते.
गुणोत्तर श्रेढी (GP) मध्ये सामाईक गुणोत्तर r = aₙ₊₁ ÷ aₙ स्थिर असते. n-वे पद aₙ = a · rⁿ⁻¹. अशा वाढीला घातांकी वाढ म्हणतात.
सूत्र : aₙ = a · rⁿ⁻¹
आकृतीत : २, ४, ८, १६, ३२ मध्ये प्रत्येक पायरी r = २ ने गुणली. ६ वे पद २ × २⁵ = ६४.
नियम 1 : r आणि पदे काढा — पद आधीच्या पदाने भागा.
- सोपे : ३, ६, १२, २४ : r = २, पुढचे ४८.
- मध्यम : ८१, २७, ९, ३ : r = १/३, पुढचे १.
- परीक्षेसाठी : a = ५, r = २ : a₄ = ५ × ८ = ४०.
नियम 2 : AP की GP? — समान फरक : AP. समान गुणोत्तर : GP.
- सोपे : ४, ७, १०, १३ : AP (d = ३).
- मध्यम : ४, १२, ३६, १०८ : GP (r = ३).
- परीक्षेसाठी : २, ४, ७, ११ : दोन्ही नाही.
GP AP पेक्षा खूप वेगाने वाढते (किंवा घटते).
a · rⁿ⁻¹ ऐवजी a · r · n किंवा a · rⁿ वापरणे.
"AP मिळवते, GP गुणते."
सरावासाठी प्रश्न
- 1GP चे पहिले पद 5 आणि सामाईक गुणोत्तर 3 आहे. त्याचे 5 वे पद शोधा.
- 23, 6, 12, 24, 48 ही यादी गुणोत्तर श्रेढी आहे का?
- 3GP चे पहिले पद 2 आणि सामाईक गुणोत्तर 3 आहे. 8 वे पद शोधा.
- 4एका GP मध्ये 2 वे पद 6 आणि 4 वे पद 54 आहे. सामाईक गुणोत्तर (धन) शोधा.
- 5एका जंतुसंवर्धनात दुपारी 6 जिवाणू आहेत आणि दर तासाला त्यांची संख्या दुप्पट होते. 7 तासांनंतर किती जिवाणू असतील?
- 6एका जंतुसंवर्धनात दुपारी 2 जिवाणू आहेत आणि दर तासाला त्यांची संख्या दुप्पट होते. 3 तासांनंतर किती जिवाणू असतील?
- 7पहिले पद 2 आणि सामाईक गुणोत्तर 2 असलेल्या GP च्या पहिल्या 5 पदांची बेरीज शोधा.
- 8GP चे पहिले पद 3 आणि सामाईक गुणोत्तर 2 आहे. ज्याची किंमत 200 पेक्षा जास्त होते असे पहिले पद कितवे आहे?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1405
- 2होय, ही GP आहे
- 34374
- 43
- 5768
- 616
- 762
- 88