अनुक्रम और संख्या पैटर्न
कक्षा के रोल नंबर, मार्ग के स्टॉप, सप्ताह के दिन सब निश्चित क्रम की सूचियाँ। कई सूचियाँ पैटर्न पर चलती हैं।
अनुक्रम निश्चित क्रम में संख्याओं की सूची है। हर संख्या एक पद : a₁ पहला, a₂ दूसरा, aₙ n-वाँ। अनुक्रम समाप्त (सांत) या अनंत हो सकता है।
सूत्र : a₁, a₂, a₃, …, aₙ, …
आकृति में : 3, 6, 9, 12, 15, … हर बार 3 जुड़ता है; अगला पद 18।
नियम 1 : पैटर्न पहचानें — पड़ोसी पदों का अंतर या अनुपात देखें।
- आसान : 2, 4, 6, 8, … : अगला 10।
- मध्यम : 1, 4, 9, 16, … : वर्ग, अगला 25।
- परीक्षा-प्रकार : 1, 1, 2, 3, 5, 8, … : पिछले दो जोड़ें; अगला 13।
नियम 2 : पद और स्थान — स्थान 1 से गिनते हैं। n-वें स्थान का पद aₙ।
- आसान : 5, 10, 15, 20 में a₃ = 15।
- मध्यम : 4, 8, 12, … में 40 किस स्थान पर? 10वें।
- परीक्षा-प्रकार : 20 तक की सम संख्याओं का अनुक्रम 10 पदों का।
क्रम महत्त्वपूर्ण : 1, 2, 3 और 3, 2, 1 अलग अनुक्रम।
स्थानों की गिनती 0 से शुरू करना।
"नियम वाली सूची : अनुक्रम।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1अनुक्रम 5, 8, 11, 14, 17, 20, … में 14 कौन-सा पद है?
- 2अनुक्रम 6, 10, 14, 18, 22, 26, … में 26 कौन-सा पद है?
- 3अनुक्रम 4, 7, 10, 13, □, 19 का लुप्त पद ज्ञात कीजिए।
- 4अनुक्रम 16, 24, 32, □, 48, 56 का लुप्त पद ज्ञात कीजिए।
- 5त्रिभुजीय संख्याएँ 1, 3, 6, 10, 15, … हैं। 9वीं त्रिभुजीय संख्या क्या है?
- 6त्रिभुजीय संख्याएँ 1, 3, 6, 10, 15, … हैं। 7वीं त्रिभुजीय संख्या क्या है?
- 7वर्गों के अनुक्रम 1, 4, 9, 16, … में 144 कौन-सा पद है?
- 8वर्गों के अनुक्रम 1, 4, 9, 16, … में 169 कौन-सा पद है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 14
- 26
- 316
- 440
- 545
- 628
- 712
- 813
अनुक्रम का स्पष्ट नियम
टैक्सी किराया तालिका सूत्र से किसी भी दूरी का किराया सीधे देती है, पिछले किराए निकाले बिना।
स्पष्ट नियम aₙ को सीधे n के रूप में देता है। n = 1, 2, 3, … रखकर पद मिलते हैं, या कोई एक पद सीधे।
सूत्र : aₙ = n में नियम, जैसे aₙ = 3n + 1
आकृति में : aₙ = 3n + 1 : n = 1 पर 4, n = 2 पर 7, n = 3 पर 10।
नियम 1 : पद ज्ञात करें — स्थान n को नियम में रखें।
- आसान : aₙ = 2n − 1 : a₅ = 9।
- मध्यम : aₙ = n² : a₆ = 36।
- परीक्षा-प्रकार : aₙ = n(n + 1) : a₄ = 20।
नियम 2 : स्थान खोजें — नियम को पद के बराबर रखकर n निकालें।
- आसान : aₙ = 3n + 1 = 31 ⇒ n = 10।
- मध्यम : aₙ = n² = 49 ⇒ n = 7।
- परीक्षा-प्रकार : क्या 50, 2n + 1 का पद है? 2n = 49, पूर्ण n नहीं, इसलिए नहीं।
n धन पूर्ण संख्या हो; n भिन्न आए तो वह संख्या अनुक्रम में नहीं।
n (स्थान) और aₙ (पद) में गड़बड़ी।
"n दो, पद लो।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक अनुक्रम का नियम a(n) = 8n + 7 है। a(13) ज्ञात कीजिए।
- 2एक अनुक्रम का नियम a(n) = 5n + 5 है। a(11) ज्ञात कीजिए।
- 3एक अनुक्रम का नियम a(n) = n² + 4 है। a(7) ज्ञात कीजिए।
- 4नियम a(n) = 7n के लिए कौन-सा पद 77 के बराबर है?
- 5नियम a(n) = 8n के लिए कौन-सा पद 168 के बराबर है?
- 6एक अनुक्रम का नियम a(n) = 2ⁿ − 1 है। a(3) ज्ञात कीजिए।
- 7एक अनुक्रम का नियम a(n) = 2ⁿ − 3 है। a(6) ज्ञात कीजिए।
- 8एक अनुक्रम का नियम a(n) = (−1)ⁿ × n है। a(10) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1111
- 260
- 353
- 411
- 521
- 67
- 761
- 810
अनुक्रम का पुनरावर्ती नियम
बैंक पिछले वर्ष की शेष राशि पर ब्याज देता है। हर वर्ष की राशि पिछले वर्ष से आती है; 5वें के लिए 4था चाहिए।
पुनरावर्ती नियम पहला पद देता है और बताता है कि हर पद पिछले पद से कैसे बनता है, जैसे aₙ = aₙ₋₁ + 3।
सूत्र : a₁ दिया हो; aₙ = f(aₙ₋₁)
आकृति में : a₁ = 2 और aₙ = aₙ₋₁ + 3 से 2, 5, 8, 11, 14, …
नियम 1 : पद बनाएँ — a₁ से शुरू कर नियम बार-बार लगाएँ।
- आसान : a₁ = 5, aₙ = aₙ₋₁ + 2 : 5, 7, 9, 11।
- मध्यम : a₁ = 3, aₙ = 2aₙ₋₁ : 3, 6, 12, 24।
- परीक्षा-प्रकार : a₁ = 1, a₂ = 1, aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂ : 1, 1, 2, 3, 5।
नियम 2 : नियम लिखें — हर बार क्या जोड़ा या गुणा गया यह खोजें।
- आसान : 10, 7, 4, 1 : a₁ = 10, aₙ = aₙ₋₁ − 3।
- मध्यम : 2, 6, 18, 54 : a₁ = 2, aₙ = 3aₙ₋₁।
- परीक्षा-प्रकार : a₁ के बिना नियम से कई अलग अनुक्रम बनते हैं।
पुनरावर्ती नियम से 20वाँ पद पाने को सभी पिछले पद निकालने पड़ते हैं, स्पष्ट नियम की तरह नहीं।
पहला पद बताना भूल जाना।
"पहले पहला पद, फिर कदम-कदम।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक अनुक्रम में a(1) = 15 और a(n+1) = a(n) + (−4) है। a(5) ज्ञात कीजिए।
- 2एक अनुक्रम में a(1) = 2 और a(n+1) = a(n) + (−2) है। a(4) ज्ञात कीजिए।
- 3एक अनुक्रम में a(1) = 3 और a(n+1) = 2 × a(n) है। a(5) ज्ञात कीजिए।
- 4एक अनुक्रम में a(1) = 1, a(2) = 3 और a(n+2) = a(n+1) + a(n) है। a(6) ज्ञात कीजिए।
- 5एक अनुक्रम a(1) = 8 और a(n+1) = a(n) + 4 से परिभाषित है। सभी पद लिखे बिना a(20) ज्ञात कीजिए।
- 6एक अनुक्रम a(1) = 4 और a(n+1) = a(n) + 4 से परिभाषित है। सभी पद लिखे बिना a(19) ज्ञात कीजिए।
- 7एक अनुक्रम में a(1) = 3 और a(n+1) = 2·a(n) − 1 है। a(5) ज्ञात कीजिए।
- 8एक अनुक्रम में a(1) = 5 और a(n+1) = a(n) + n है। a(7) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1−1
- 2−4
- 348
- 418
- 584
- 676
- 733
- 826
समांतर श्रेणी
स्टेडियम में हर पंक्ति में सीटें समान संख्या से बढ़ती हैं; आवर्ती जमा हर माह समान राशि से बढ़ती है।
समांतर श्रेणी (AP) में सार्व अंतर d = aₙ₊₁ − aₙ अचर रहता है। पहला पद a हो तो aₙ = a + (n − 1)d।
सूत्र : aₙ = a + (n − 1)d
आकृति में : 5, 9, 13, 17, 21 में हर कदम d = 4। 10वाँ पद 5 + 9 × 4 = 41।
नियम 1 : क्या AP है? — जाँचें कि सभी अंतर समान हैं।
- आसान : 3, 7, 11, 15 : d = 4, हाँ।
- मध्यम : 1, 2, 4, 8 : अंतर 1, 2, 4, नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : 10, 6, 2, −2 : d = −4, हाँ (घटती)।
नियम 2 : पद खोजें — aₙ = a + (n − 1)d लगाएँ।
- आसान : a = 2, d = 5 : a₁₀ = 47।
- मध्यम : a = 50, d = −3 : a₈ = 29।
- परीक्षा-प्रकार : 4, 9, 14, … में 94 कौन-सा पद? 4 + (n − 1)5 = 94 से n = 19।
AP में हर पद अपने दो पड़ोसी पदों का औसत होता है।
सूत्र में (n − 1) की जगह n लेना।
"पहला पद जमा (n घटा 1) कदम।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1प्रथम पद 1 और सार्व अंतर 7 वाली AP का 18वाँ पद ज्ञात कीजिए।
- 2एक AP का प्रथम पद 25 और सार्व अंतर 5 है। उसका 28वाँ पद ज्ञात कीजिए।
- 3AP 11, 17, 23, …, 107 में कितने पद हैं?
- 4AP 7, 13, 19, …, 103 में कितने पद हैं?
- 5एक AP का 3रा पद 11 और 7वाँ पद 23 है। उसका 11वाँ पद ज्ञात कीजिए।
- 6एक AP का 5वाँ पद 26 और सार्व अंतर 4 है। उसका प्रथम पद ज्ञात कीजिए।
- 7तीन संख्याएँ AP में हैं और उनका योग 36 है। बीच वाली संख्या क्या है?
- 8x के किस मान के लिए संख्याएँ x, 2x + 2 और 4x − 2 AP में हैं?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1120
- 2160
- 317
- 417
- 535
- 610
- 712
- 86
समांतर श्रेणी
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंप्राकृत संख्याओं और श्रेणी का योग
एक बच्चा 1 + 2 + … + 100 जोड़ियाँ बनाकर जल्दी जोड़ता है : 1 और 100, 2 और 99 …; 101 की 50 जोड़ियाँ।
पहली n प्राकृत संख्याओं का योग : n(n + 1)/2। AP के पहले n पदों का योग : Sₙ = n/2 × [2a + (n − 1)d] या n/2 × (पहला + अंतिम)।
सूत्र : Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] = n/2 (a + l)
आकृति में : समान योग 7 की जोड़ियाँ : 1 + 2 + … + 6 = 3 × 7 = 21।
नियम 1 : प्राकृत संख्याएँ — n(n + 1)/2 लगाएँ, या सीमा के लिए दो योग घटाएँ।
- आसान : 1 + 2 + … + 100 = 5050।
- मध्यम : 1 + 2 + … + 20 = 210।
- परीक्षा-प्रकार : पहली 10 विषम संख्याओं का योग = 10² = 100।
नियम 2 : AP का योग — अंतिम पद ज्ञात हो तो पहला + अंतिम रूप लगाएँ।
- आसान : AP 2, 5, 8, … 10 पद : S = 5 × [4 + 27] = 155।
- मध्यम : 3 + 7 + … + 39 (10 पद) : 5 × 42 = 210।
- परीक्षा-प्रकार : a = 1, d = 1, n = 50 : 1275।
जाँच : S₁ = a और Sₙ − Sₙ₋₁ = aₙ।
सूत्र में ½ भूल जाना।
"पहले और अंतिम का औसत, गुणा पदों की संख्या।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1योग 1 + 2 + 3 + … + 80 ज्ञात कीजिए।
- 2योग 1 + 2 + 3 + … + 30 ज्ञात कीजिए।
- 3पहली 25 विषम प्राकृत संख्याओं (1 + 3 + 5 + …) का योग ज्ञात कीजिए।
- 4120 से कम या उसके बराबर 2 के सभी गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।
- 550 से कम या उसके बराबर 7 के सभी गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।
- 61 से शुरू होने वाली कितनी प्राकृत संख्याएँ जोड़ने पर योग 351 प्राप्त होगा?
- 71 से शुरू होने वाली कितनी प्राकृत संख्याएँ जोड़ने पर योग 45 प्राप्त होगा?
- 8एक AP के पहले 14 पदों का योग 329 है और उसका प्रथम पद 4 है। सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 13240
- 2465
- 3625
- 43660
- 5196
- 626
- 79
- 83
गुणोत्तर श्रेणी
अफ़वाह 2 लोगों को बताई, हर किसी ने 2 और को : 1, 2, 4, 8, 16, … हर कदम समान संख्या से गुणा होता है।
गुणोत्तर श्रेणी (GP) में सार्व अनुपात r = aₙ₊₁ ÷ aₙ अचर होता है। n-वाँ पद aₙ = a · rⁿ⁻¹। ऐसी वृद्धि घातांकी कहलाती है।
सूत्र : aₙ = a · rⁿ⁻¹
आकृति में : 2, 4, 8, 16, 32 में हर कदम r = 2 से गुणा। 6ठा पद 2 × 2⁵ = 64।
नियम 1 : r और पद ज्ञात करें — पद को उससे पिछले पद से भाग दें।
- आसान : 3, 6, 12, 24 : r = 2, अगला 48।
- मध्यम : 81, 27, 9, 3 : r = 1/3, अगला 1।
- परीक्षा-प्रकार : a = 5, r = 2 : a₄ = 5 × 8 = 40।
नियम 2 : AP या GP? — समान अंतर : AP। समान अनुपात : GP।
- आसान : 4, 7, 10, 13 : AP (d = 3)।
- मध्यम : 4, 12, 36, 108 : GP (r = 3)।
- परीक्षा-प्रकार : 2, 4, 7, 11 : दोनों नहीं।
GP, AP से बहुत तेज़ बढ़ती (या घटती) है।
a · rⁿ⁻¹ की जगह a · r · n या a · rⁿ लेना।
"AP जोड़ती, GP गुणा करती।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक GP का प्रथम पद 5 और सार्व अनुपात 3 है। उसका 5वाँ पद ज्ञात कीजिए।
- 2क्या सूची 3, 6, 12, 24, 48 एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है?
- 3एक GP का प्रथम पद 2 और सार्व अनुपात 3 है। उसका 8वाँ पद ज्ञात कीजिए।
- 4एक GP का 2रा पद 6 और 4वाँ पद 54 है। सार्व अनुपात (धनात्मक) ज्ञात कीजिए।
- 5एक संवर्ध में दोपहर को 6 जीवाणु हैं और उनकी संख्या हर घंटे दुगुनी हो जाती है। 7 घंटे बाद कितने जीवाणु होंगे?
- 6एक संवर्ध में दोपहर को 2 जीवाणु हैं और उनकी संख्या हर घंटे दुगुनी हो जाती है। 3 घंटे बाद कितने जीवाणु होंगे?
- 7प्रथम पद 2 और सार्व अनुपात 2 वाली GP के पहले 5 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
- 8एक GP का प्रथम पद 3 और सार्व अनुपात 2 है। वह पहला पद कौन-सा है जिसका मान 200 से अधिक है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1405
- 2हाँ, यह GP है
- 34374
- 43
- 5768
- 616
- 762
- 88