प्रायिकता का पैमाना
"ज़रूर बारिश होगी" या "मुंबई में बर्फ़बारी" बताते हैं कि घटना कितनी संभव है। 0 से 1 की संख्या इसे अधिक सटीक बताती है।
घटना की प्रायिकता 0 से 1 के बीच की संख्या है। 0 यानी असंभव, 1 यानी निश्चित, ½ यानी होना-न होना बराबर। 1 के पास यानी अधिक संभावना।
सूत्र : 0 ≤ P(E) ≤ 1
आकृति में : असंभव घटना 0 पर, निश्चित 1 पर, बराबर संभावना 1/2 पर।
नियम 1 : पैमाने पर रखें — असंभव, कम संभव, बराबर, अधिक संभव या निश्चित तय करें, फिर संख्या दें।
- आसान : कल सूर्य उगेगा : लगभग 1।
- मध्यम : निष्पक्ष सिक्के पर चित आना : 1/2।
- परीक्षा-प्रकार : पासे पर 7 आना : 0।
नियम 2 : घटनाओं की तुलना — बड़ी प्रायिकता वाली घटना अधिक संभव।
- आसान : P = 0.8, P = 0.3 से अधिक संभव है।
- मध्यम : P = 1/4, P = 1/2 से कम संभव है।
- परीक्षा-प्रकार : 1.2 या −0.3 प्रायिकता नहीं हो सकती।
प्रायिकता कभी ऋण नहीं और 1 से अधिक नहीं।
किसी घटना की प्रायिकता 2 या 150% बताना।
"शून्य कभी नहीं, एक पक्का, आधा पचास-पचास।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1आज जन्मा कोई व्यक्ति 500 वर्ष जीता है। क्या यह घटना निश्चित है, असंभव है या इनमें से कोई नहीं?
- 2सूर्य कल पूर्व में उगेगा। क्या यह घटना निश्चित है, असंभव है या इनमें से कोई नहीं?
- 3चार घटनाओं की प्रायिकताएँ 1/10, 1/3, 1/5, 1/4 हैं। कौन-सी घटना सबसे अधिक संभावित है?
- 4चार घटनाओं की प्रायिकताएँ 1/10, 9/10, 1/3, 4/5 हैं। कौन-सी घटना सबसे अधिक संभावित है?
- 5एक घटना की प्रायिकता 0 है। कौन-सा वर्णन इस पर सबसे अच्छा बैठता है?
- 6थैले A में 7 गेंदों में से 5 लाल हैं। थैले B में 12 गेंदों में से 5 लाल हैं। किस थैले से यादृच्छिक रूप से लाल गेंद निकलने की संभावना अधिक है?
- 7थैले A में 9 गेंदों में से 4 लाल हैं। थैले B में 8 गेंदों में से 2 लाल हैं। किस थैले से यादृच्छिक रूप से लाल गेंद निकलने की संभावना अधिक है?
- 8किसी घटना की प्रायिकता 1/5 है। यदि प्रयोग 100 बार दोहराया जाए, तो हम घटना के लगभग कितनी बार घटने की अपेक्षा करते हैं?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1असंभव
- 2निश्चित
- 31/3
- 49/10
- 5असंभव
- 6थैला A
- 7थैला A
- 820
प्रायोगिक प्रायिकता
पिन कितनी बार नुकीली ऊपर गिरती है यह जानने को कई बार गिराकर गिनना पड़ता है। कोई सूत्र नहीं बताता।
प्रायोगिक प्रायिकता = (घटना घटने की बार) ÷ (कुल प्रयोग)। जितने अधिक प्रयोग, उतना भरोसेमंद मान।
सूत्र : P(E) = E के घटने की बार ÷ कुल प्रयोग
आकृति में : 50 उछालों में 27 चित : प्रायोगिक P(चित) = 27/50 = 0.54।
नियम 1 : निकालें — घटना की गिनती को कुल प्रयोगों से भाग दें।
- आसान : 30 में से 12 दिन बारिश : 12/30 = 2/5।
- मध्यम : 20 में से 8 बार निशाना : 0.4।
- परीक्षा-प्रकार : 200 में से 5 बल्ब खराब : 1/40।
नियम 2 : पूर्वानुमान करें — प्रायोगिक प्रायिकता को बड़ी संख्या से गुणा करें।
- आसान : P = 0.05 खराब, 1000 वस्तुएँ : लगभग 50।
- मध्यम : 60 फेंक में P(छह) = 1/6 : लगभग 10 बार छह।
- परीक्षा-प्रकार : एक प्रयोग के सभी परिणामों की प्रायिकताओं का योग 1।
प्रयोगों के हर समूह में परिणाम थोड़े बदलते हैं, पर बहुत प्रयोगों पर एक मान के पास टिकते हैं।
कुल प्रयोगों की जगह अनुकूल परिणामों से भाग देना।
"सफलता गिनें, प्रयासों से भाग दें।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक सिक्का 20 बार उछाला गया और 19 बार चित आया। चित की प्रायोगिक प्रायिकता क्या है?
- 2एक थैले को हिलाकर एक मनका निकाला गया और वापस रख दिया गया, ऐसा 33 बार किया गया। परिणाम : लाल 5, नीला 10, हरा 5, पीला 13। लाल निकलने की प्रायोगिक प्रायिकता क्या है?
- 3एक थैले को हिलाकर एक मनका निकाला गया और वापस रख दिया गया, ऐसा 40 बार किया गया। परिणाम : लाल 4, नीला 15, हरा 6, पीला 15। नीला निकलने की प्रायोगिक प्रायिकता क्या है?
- 4एक पासा 101 बार फेंका गया। परिणाम 1 से 6 क्रमशः 19, 11, 14, 18, 17, 22 बार आए। विषम संख्या आने की प्रायोगिक प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 550 बल्बों के एक नमूने में 6 दोषपूर्ण पाए गए। इसके आधार पर, 500 बल्बों के एक ढेर में लगभग कितने दोषपूर्ण बल्बों की अपेक्षा करेंगे?
- 6पासे को 25 बार फेंकने पर संख्या 6, 5 बार आई। 6 आने की प्रायोगिक प्रायिकता क्या है?
- 7सिक्के को 20 बार उछालने पर 8 बार चित आया। फिर सिक्के को 10 बार और उछाला गया और हर बार चित आया। अब चित की प्रायोगिक प्रायिकता क्या है?
- 843 विद्यार्थियों के अंक इस प्रकार वर्गीकृत किए गए : 0–20: 5, 20–40: 9, 40–60: 8, 60–80: 11, 80–100: 10 विद्यार्थी। यदि यादृच्छिक रूप से एक विद्यार्थी चुना जाए, तो उसके 60 या अधिक अंक पाने की प्रायोगिक प्रायिकता क्या है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 119/20
- 25/33
- 33/8
- 450/101
- 560
- 61/5
- 73/5
- 821/43
प्रायोगिक प्रायिकता
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंसैद्धांतिक प्रायिकता और प्रतिदर्श समष्टि
निष्पक्ष पासे के छह फलक, सभी समान संभव। बिना फेंके सम संख्या की संभावना बता सकते हैं।
सभी परिणाम समान संभव हों तो P(E) = अनुकूल परिणाम ÷ कुल परिणाम। सभी परिणामों की सूची प्रतिदर्श समष्टि है।
सूत्र : P(E) = n(E) ÷ n(S)
आकृति में : प्रतिदर्श समष्टि {1, 2, 3, 4, 5, 6}; सम संख्याएँ 2, 4, 6 यानी 6 में से 3।
नियम 1 : पासे और सिक्के — प्रतिदर्श समष्टि लिखें, अनुकूल परिणाम गिनें।
- आसान : P(पासे पर 5) = 1/6।
- मध्यम : P(संख्या > 4) = 2/6 = 1/3।
- परीक्षा-प्रकार : P(पासे पर अभाज्य) = 3/6 = 1/2।
नियम 2 : ताश और थैले — कुल परिणाम यानी थैले या गड्डी में कुल वस्तुएँ।
- आसान : थैला : 3 लाल, 5 नीली। P(लाल) = 3/8।
- मध्यम : 52 पत्ते : P(बादशाह) = 4/52 = 1/13।
- परीक्षा-प्रकार : MATHS के अक्षर : P(स्वर) = 1/5।
सूत्र तभी लगता है जब परिणाम समान संभव हों।
समान संभव न होने वाले परिणाम गिनना, जैसे "बारिश या नहीं = 1/2"।
"चाहे हुए बटा सारे।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक निष्पक्ष पासा एक बार फेंका जाता है। 4 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 2एक थैले में 5 हरे मनके और 3 पीले मनके हैं। यादृच्छिक रूप से एक मनका निकाला जाता है। उसके हरे होने की प्रायिकता क्या है?
- 3जब एक सिक्का तीन बार उछाला जाए, तो प्रतिदर्श समष्टि में कितने परिणाम होते हैं?
- 4एक थैले में 4 लाल, 6 नीली और 4 हरी गेंदें हैं। यादृच्छिक रूप से एक गेंद निकाली जाती है। उसके लाल या हरी होने की प्रायिकता क्या है?
- 5एक चक्र में 15 बराबर त्रिज्यखंड हैं जिन पर 1 से 15 तक संख्याएँ लिखी हैं। उसके 2 के गुणज पर रुकने की प्रायिकता क्या है?
- 6कार्डों पर 1 से 30 तक संख्याएँ लिखी हैं, उन्हें अच्छी तरह फेंटकर एक कार्ड निकाला जाता है। संख्या के अभाज्य होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 7दो निष्पक्ष पासे एक साथ फेंके जाते हैं। संख्याओं का योग 6 होने की प्रायिकता क्या है?
- 8एक थैले में 12 गेंदों में से 5 लाल हैं। यदि 4 और लाल गेंदें डाल दी जाएँ, तो लाल गेंद निकलने की नई प्रायिकता क्या है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11/3
- 25/8
- 38
- 44/7
- 57/15
- 61/3
- 75/36
- 89/16
सैद्धांतिक प्रायिकता और प्रतिदर्श समष्टि
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंपूरक और परस्पर अपवर्जी घटनाएँ
मैच जीतने की संभावना 0.7 तो न जीतने की 0.3, क्योंकि जीतना या न जीतना सब कुछ समेटता है।
E का पूरक (E नहीं) : P(E नहीं) = 1 − P(E)। जो घटनाएँ साथ नहीं घट सकतीं वे परस्पर अपवर्जी; तब P(A या B) = P(A) + P(B)।
सूत्र : P(E नहीं) = 1 − P(E); P(A या B) = P(A) + P(B)
आकृति में : दोनों स्तंभ मिलकर 1 : 0.7 + 0.3।
नियम 1 : पूरक का उपयोग — "कम से कम एक" या "नहीं" 1 घटा विपरीत से आसान।
- आसान : P(जीत) = 0.65 ⇒ P(हार/बराबरी) = 0.35।
- मध्यम : P(पासे पर छह नहीं) = 1 − 1/6 = 5/6।
- परीक्षा-प्रकार : P(बादशाह नहीं) = 1 − 1/13 = 12/13।
नियम 2 : "या" के लिए जोड़ — घटनाएँ साथ न घट सकें तभी जोड़ें।
- आसान : पासा : P(1 या 2) = 1/6 + 1/6 = 1/3।
- मध्यम : थैला R 0.2, B 0.5 : P(R या B) = 0.7।
- परीक्षा-प्रकार : पासे पर सम और विषम परस्पर अपवर्जी : 1/2 + 1/2 = 1।
पूरक घटनाएँ सदा परस्पर अपवर्जी; पर परस्पर अपवर्जी घटनाएँ पूरक हों जरूरी नहीं।
साथ घट सकने वाली घटनाओं की प्रायिकताएँ जोड़ना, जैसे "सम" और "3 से बड़ी"।
"नहीं = एक घटा।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1A और B परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं जिनमें P(A) = 3/10 और P(B) = 1/10 है। P(A या B) ज्ञात कीजिए।
- 2एक थैले में 4 लाल, 7 नीली और 6 हरी गेंदें हैं। यादृच्छिक रूप से एक गेंद निकाली जाती है। उसके लाल या नीली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 3एक थैले में 3 लाल, 6 नीली और 6 हरी गेंदें हैं। यादृच्छिक रूप से एक गेंद निकाली जाती है। उसके लाल या नीली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 4A और B परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं जिनमें P(A) = 3/10 और P(B) = 2/5 है। न A और न B घटने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 5A और B परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं जिनमें P(A) = 1/6 और P(B) = 1/3 है। न A और न B घटने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 6दो पासे फेंके जाते हैं। योग 5 से कम होने की प्रायिकता क्या है?
- 7दो पासे फेंके जाते हैं। योग 4 से कम होने की प्रायिकता क्या है?
- 8A, B और C किसी प्रयोग के केवल संभावित परिणाम हैं और कोई दो एक साथ नहीं घट सकते। यदि P(A) = 3/10 और P(B) = 9/20 है, तो P(C) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 12/5
- 211/17
- 33/5
- 43/10
- 51/2
- 61/6
- 71/12
- 81/4
वृक्ष आरेख और संयुक्त प्रयोग
दो सिक्के एक के बाद एक उछालने पर हर उछाल H या T में बँटता है। शाखाएँ बनाने से कोई परिणाम नहीं छूटता।
वृक्ष आरेख बहु-चरण प्रयोग के सभी परिणाम दिखाता है। परिणामों की संख्या = हर चरण के विकल्पों का गुणनफल (2 × 2 = 4)। एक पथ की प्रायिकता = शाखाओं पर प्रायिकताओं का गुणनफल।
सूत्र : परिणाम = n₁ × n₂; P(पथ) = शाखाओं का गुणनफल
आकृति में : दो सिक्के : HH, HT, TH, TT, चार समान संभव परिणाम।
नियम 1 : सूची और गिनती — चरण-दर-चरण शाखाएँ बनाएँ, फिर अनुकूल पथ गिनें।
- आसान : दो सिक्के : P(ठीक एक चित) = 2/4 = 1/2।
- मध्यम : तीन सिक्के : 8 परिणाम; P(HHH) = 1/8।
- परीक्षा-प्रकार : पासा और सिक्का : 6 × 2 = 12 परिणाम।
नियम 2 : शाखाओं पर गुणा — स्वतंत्र चरणों के लिए हर चरण की प्रायिकता गुणा करें।
- आसान : P(H फिर H) = 1/2 × 1/2 = 1/4।
- मध्यम : दो फेंक में P(6 फिर 6) = 1/36।
- परीक्षा-प्रकार : 2 उछालों में कम से कम एक चित : 1 − 1/4 = 3/4।
इच्छित परिणाम देने वाले अलग पथों की प्रायिकताएँ जोड़ें।
HT और TH को एक ही परिणाम मानना।
"शाखा पर गुणा, पथों में जोड़।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक सिक्का 3 बार उछाला जाता है। कितने भिन्न परिणाम (वृक्ष आरेख में पथ) हैं?
- 24 बराबर भागों वाला एक चक्र और एक सिक्का साथ-साथ उपयोग किए जाते हैं। वृक्ष आरेख में कितने परिणाम हैं?
- 3एक निष्पक्ष सिक्का 4 बार उछाला जाता है। ठीक 1 चित आने की प्रायिकता क्या है?
- 4एक थैले में 4 लाल और 5 नीली गेंदें हैं। एक गेंद निकालकर नोट की जाती है और वापस रख दी जाती है; फिर दूसरी गेंद निकाली जाती है। दोनों के लाल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 5एक निष्पक्ष सिक्का 5 बार उछाला जाता है। कम से कम एक चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 6एक सिक्का उछाला जाता है और एक पासा फेंका जाता है। चित और पासे पर विषम संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 7एक थैले में 3 लाल और 3 नीली गेंदें हैं। बिना प्रतिस्थापन के एक के बाद एक दो गेंदें निकाली जाती हैं। दोनों के लाल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- 8एक थैले में 3 लाल और 2 नीली गेंदें हैं। बिना प्रतिस्थापन के एक के बाद एक दो गेंदें निकाली जाती हैं। ठीक एक के लाल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 18
- 28
- 31/4
- 416/81
- 531/32
- 61/4
- 71/5
- 83/5