समतल आकृतियों का परिमाप
किसान को खेत के चारों ओर एक चक्कर तार चाहिए। तार की लंबाई परिमाप है, सीमा के चारों ओर की दूरी।
परिमाप सीमा की कुल लंबाई है। आयत : 2(l + b)। वर्ग : 4a। त्रिभुज : तीनों भुजाओं का योग। सम बहुभुज : n × भुजा।
सूत्र : आयत 2(l + b); वर्ग 4a; इकाई : cm, मी
आकृति में : 8 गुणा 5 आयत का परिमाप 2(8 + 5) = 26 इकाई।
नियम 1 : परिमाप ज्ञात करें — सभी बाहरी भुजाएँ जोड़ें; आयत-वर्ग के लिए सूत्र लगाएँ।
- आसान : वर्ग भुजा 9 cm : 36 cm।
- मध्यम : त्रिभुज 5, 12, 13 : 30।
- परीक्षा-प्रकार : सम षट्भुज, भुजा 4 : 24।
नियम 2 : उल्टा हिसाब — परिमाप को समान भुजाओं की संख्या से भाग दें, या P = 2(l + b) से भुजा निकालें।
- आसान : वर्ग का परिमाप 48 : भुजा 12।
- मध्यम : आयत P = 30, l = 9 : b = 6।
- परीक्षा-प्रकार : वर्गाकार खेत के चारों ओर 100 m बाड़ : भुजा 25 मी।
परिमाप लंबाई है (cm, मी), क्षेत्रफल नहीं।
आयत के लिए केवल l + b लेकर दुगुना करना भूलना।
"पूरा चक्कर चलो।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक आयत 28 cm लंबा और 14 cm चौड़ा है। उसकी परिमिति ज्ञात कीजिए।
- 2एक आयत 20 cm लंबा और 18 cm चौड़ा है। उसकी परिमिति ज्ञात कीजिए।
- 3एक वर्ग की परिमिति 40 cm है। उसकी भुजा की लंबाई क्या है?
- 4एक आयत की परिमिति 60 cm और लंबाई 15 cm है। उसकी चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
- 5एक आयत की परिमिति 84 cm और लंबाई 21 cm है। उसकी चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
- 6एक सम पंचभुज की प्रत्येक भुजा 12 cm है। उसकी परिमिति ज्ञात कीजिए।
- 7एक सम अष्टभुज की प्रत्येक भुजा 10 cm है। उसकी परिमिति ज्ञात कीजिए।
- 8एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई के दुगुने से 8 cm अधिक है और उसकी परिमिति 124 cm है। उसकी चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 184 cm
- 276 cm
- 310 cm
- 415 cm
- 521 cm
- 660 cm
- 780 cm
- 818 cm
वृत्त की परिधि और π
सिक्के को पैमाने पर एक बार लुढ़काएँ : वह अपनी चौड़ाई का लगभग 3.14 गुना दूरी तय करता है। यह अनुपात हर वृत्त के लिए समान।
वृत्त के चारों ओर की दूरी परिधि C है। अनुपात C/d सभी वृत्तों के लिए समान है और π (≈ 22/7 या 3.14) कहलाता है। इसलिए C = πd = 2πr।
सूत्र : C = 2πr = πd; π ≈ 22/7 ≈ 3.14
आकृति में : व्यास d वाले वृत्त की परिधि πd, यानी 3 व्यासों से थोड़ी अधिक।
नियम 1 : C ज्ञात करें — त्रिज्या 7 का गुणज हो तो 22/7; नहीं तो 3.14।
- आसान : r = 7 : C = 2 × 22/7 × 7 = 44।
- मध्यम : d = 10 : C = 31.4 (π = 3.14)।
- परीक्षा-प्रकार : r = 3.5 : C = 22।
नियम 2 : C से r, पहिये के चक्कर — r = C/(2π)। दूरी = चक्कर × परिधि।
- आसान : C = 88 : r = 14।
- मध्यम : पहिये की परिधि 2 m, 50 चक्कर : 100 मी।
- परीक्षा-प्रकार : 44 cm तार को वृत्त में मोड़ा : r = 7 cm।
π अपरिमेय : 22/7 और 3.14 केवल सन्निकट।
C = πd में त्रिज्या को दुगुना किए बिना लेना।
"वृत्त का किनारा = π गुणा व्यास।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1प्रत्येक वृत्त के लिए परिधि और व्यास का अनुपात एक ही संख्या होती है, जिसे कहते हैं
- 2r त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि होती है
- 3π है
- 456 cm त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए।)
- 528 cm त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए।)
- 649 cm त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए।)
- 714 cm त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए।)
- 821 cm व्यास वाले वृत्त की परिधि ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए।)
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1π
- 22πr
- 3एक अपरिमेय संख्या, लगभग 3.14159
- 4352 cm
- 5176 cm
- 6308 cm
- 788 cm
- 866 cm
चाप की लंबाई
पिज़्ज़ा के टुकड़े की घुमावदार किनारी पूरे वृत्त के किनारे का वही अंश है जो नोक का कोण 360° का होता है।
केंद्र पर कोण θ बनाने वाले चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr। त्रिज्यखंड का परिमाप = चाप + 2r।
सूत्र : l = (θ/360) × 2πr
आकृति में : θ = 60° यानी पूरे वृत्त का छठा भाग, इसलिए चाप परिधि का 1/6।
नियम 1 : चाप की लंबाई — पूरी परिधि का θ/360 अंश लें।
- आसान : r = 7, θ = 90° : (1/4) × 44 = 11।
- मध्यम : r = 21, θ = 60° : (1/6) × 132 = 22।
- परीक्षा-प्रकार : अर्धवृत्त r = 14 : 44।
नियम 2 : कोण या त्रिज्या ज्ञात करें — पुनर्व्यवस्था : θ = l × 360 / (2πr)।
- आसान : चाप 11, r = 7 : θ = 90°।
- मध्यम : त्रिज्यखंड परिमाप : 11 + 2 × 7 = 25।
- परीक्षा-प्रकार : चाप 22, θ = 180° : r = 7।
समान त्रिज्या के लिए केंद्र पर बड़ा कोण यानी लंबा चाप।
त्रिज्यखंड का परिमाप पूछने पर दो त्रिज्याएँ जोड़ना भूलना।
"टुकड़े का अंश गुणा पूरा किनारा।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1अर्धवृत्ताकार चाप पूरी परिधि का कितना भाग होता है?
- 2केंद्र पर 72° का कोण बनाने वाला चाप पूरी परिधि का कितना भाग होता है?
- 3केंद्र पर 45° का कोण बनाने वाला चाप पूरी परिधि का कितना भाग होता है?
- 4केंद्र पर 90° का कोण बनाने वाला चाप पूरी परिधि का कितना भाग होता है?
- 5केंद्र पर 270° का कोण बनाने वाला चाप पूरी परिधि का कितना भाग होता है?
- 6r त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र पर θ° का कोण बनाने वाले चाप की लंबाई होती है
- 7एक चतुर्थांश चाप की त्रिज्या 7 cm है। उसकी लंबाई ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए।)
- 8एक चतुर्थांश चाप की त्रिज्या 14 cm है। उसकी लंबाई ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए।)
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1आधा
- 20.2
- 30.125
- 40.25
- 50.75
- 6(θ/360) × 2πr
- 711 cm
- 822 cm
आयत और समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
फर्श ढकने को टाइलें क्षेत्रफल पर निर्भर, अंदर कितने इकाई वर्ग समाते हैं।
क्षेत्रफल आकृति के अंदर की सतह वर्ग इकाइयों में है। आयत l × b; वर्ग a²; समांतर चतुर्भुज आधार × ऊँचाई (ऊँचाई लंब दूरी है, तिरछी भुजा नहीं)।
सूत्र : आयत l × b; वर्ग a²; समांतर चतुर्भुज b × h
आकृति में : तिरछी भुजा ऊँचाई नहीं; बिंदुकित लंब h ही ऊँचाई है।
नियम 1 : क्षेत्रफल ज्ञात करें — दो लंब मापों का गुणा करें।
- आसान : आयत 12 × 5 = 60 वर्ग इकाई।
- मध्यम : समांतर चतुर्भुज b = 10, h = 6 : 60।
- परीक्षा-प्रकार : वर्ग भुजा 7 : 49।
नियम 2 : तुलना और रूपांतरण — समान आधार व समान ऊँचाई पर क्षेत्रफल समान। 1 m² = 10 000 cm²।
- आसान : आधार 8, ऊँचाई 5 वाले आयत और समांतर चतुर्भुज : दोनों 40।
- मध्यम : 4 m × 5 m फर्श, 50 cm टाइलें : 20 ÷ 0.25 = 80 टाइलें।
- परीक्षा-प्रकार : क्षेत्रफल 72, b = 9 : h = 8।
क्षेत्रफल वर्ग इकाई (cm², m²) में; परिमाप सामान्य लंबाई इकाई में।
लंब ऊँचाई की जगह तिरछी भुजा लेना।
"आधार गुणा सीधी ऊँचाई।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक आयत 35 m × 21 m का है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 2एक समांतर चतुर्भुज का आधार 7 cm और ऊँचाई 11 cm है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 3एक आयत का क्षेत्रफल 342 cm² और लंबाई 19 cm है। उसकी चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
- 4एक आयताकार लॉन 29 m × 11 m का है। लॉन के बाहर चारों ओर 3 m चौड़ा रास्ता है। रास्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 5एक समांतर चतुर्भुज की एक भुजा 14 cm की संगत ऊँचाई 6 cm है। संलग्न भुजा 12 cm है। उस भुजा की संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
- 6एक समांतर चतुर्भुज की एक भुजा 9 cm की संगत ऊँचाई 8 cm है। संलग्न भुजा 12 cm है। उस भुजा की संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
- 7एक आयत का विकर्ण 25 cm और एक भुजा 7 cm है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 8एक आयत की लंबाई 10% बढ़ाई जाती है और चौड़ाई 20% घटाई जाती है। क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन क्या है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1735 m²
- 277 cm²
- 318 cm
- 4276 m²
- 57 cm
- 66 cm
- 7168 cm²
- 812% की कमी
त्रिभुज का क्षेत्रफल और हेरॉन का सूत्र
दो प्रतियाँ जोड़ने से समांतर चतुर्भुज बनता है; त्रिभुज उसका आधा। ऊँचाई मापना कठिन हो तो तीन भुजाएँ काफ़ी।
क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई। भुजाएँ a, b, c और अर्ध-परिमाप s = (a + b + c)/2 हो तो हेरॉन सूत्र : क्षेत्रफल = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]। समबाहु त्रिभुज : (√3/4)a²।
सूत्र : A = ½bh; A = √[s(s−a)(s−b)(s−c)]
आकृति में : a, b, c ज्ञात हों पर ऊँचाई नहीं, तो हेरॉन लगाएँ।
नियम 1 : आधार और ऊँचाई — आधार का आधा गुणा लंब ऊँचाई।
- आसान : b = 10, h = 6 : 30।
- मध्यम : समकोण त्रिभुज, भुजाएँ 6 और 8 : 24।
- परीक्षा-प्रकार : क्षेत्रफल 40, b = 10 : h = 8।
नियम 2 : हेरॉन सूत्र — पहले s, फिर तीन अंतर।
- आसान : 3, 4, 5 : s = 6, क्षेत्रफल √(6·3·2·1) = 6।
- मध्यम : 13, 14, 15 : s = 21, क्षेत्रफल 84।
- परीक्षा-प्रकार : समबाहु भुजा 4 : (√3/4)·16 = 4√3।
भुजाएँ त्रिभुज असमिका मानें : दो छोटी भुजाओं का योग सबसे बड़ी से अधिक।
s = (a + b + c)/2 की जगह a + b + c लेना।
"पहले आधा परिमाप, फिर अंतर गुणा।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक त्रिभुज का आधार 6 cm और ऊँचाई 25 cm है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 2एक समकोण त्रिभुज की लंबवत् भुजाएँ 7 cm और 11 cm हैं। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 317 cm, 17 cm और 16 cm भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल हीरोन के सूत्र से ज्ञात कीजिए।
- 4एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 142.5 cm² और आधार 15 cm है। संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
- 514 cm भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 6110 cm² क्षेत्रफल वाले त्रिभुज की एक माध्यिका उसे दो त्रिभुजों में बाँटती है। प्रत्येक का क्षेत्रफल क्या है?
- 7एक त्रिभुज की भुजाएँ 5 cm, 5 cm और 6 cm हैं (उसका क्षेत्रफल 12 cm² है)। 5 cm लंबाई वाली भुजा पर डाला गया शीर्षलंब ज्ञात कीजिए।
- 8चतुर्भुज ABCD में विकर्ण AC = 25 cm है। B और D से AC पर डाले गए लंब 6 cm और 8 cm हैं। ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 175 cm²
- 238.5 cm²
- 3120 cm²
- 419 cm
- 549√3 cm²
- 655 cm²
- 74.8 cm
- 8175 cm²
वृत्त और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
15 cm त्रिज्या का गोल पिज़्ज़ा 15 cm भुजा के वर्ग से अधिक जगह घेता है। एक टुकड़ा उसका एक अंश।
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²। कोण θ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (θ/360) × πr²। त्रिज्या R व r के बीच के छल्ले का क्षेत्रफल π(R² − r²)।
सूत्र : A = πr²; त्रिज्यखंड = (θ/360)πr²; छल्ला = π(R² − r²)
आकृति में : लाल टुकड़ा पूरे वृत्त के क्षेत्रफल का θ/360 अंश।
नियम 1 : वृत्त का क्षेत्रफल — पहले त्रिज्या का वर्ग, फिर π से गुणा।
- आसान : r = 7 : 154।
- मध्यम : d = 20 : r = 10, क्षेत्रफल 314 (π = 3.14)।
- परीक्षा-प्रकार : क्षेत्रफल 616 : r² = 196, r = 14।
नियम 2 : त्रिज्यखंड और छल्ला — त्रिज्यखंड के लिए अंश लें; छल्ले के लिए बाहरी में से भीतरी घटाएँ।
- आसान : r = 14, θ = 90° : (1/4) × 616 = 154।
- मध्यम : अर्धवृत्त r = 7 : 77।
- परीक्षा-प्रकार : छल्ला R = 10, r = 7 : π × 51 ≈ 160.1।
त्रिज्या दुगुनी करने पर क्षेत्रफल चौगुना।
क्षेत्रफल के लिए परिधि का सूत्र लेना या r का वर्ग भूलना।
"क्षेत्रफल में वर्ग : r का वर्ग।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक त्रिज्यखंड की त्रिज्या 28 cm और चाप की लंबाई 84 cm है। A = ½ × चाप की लंबाई × त्रिज्या से उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 2एक त्रिज्यखंड की त्रिज्या 7 cm और चाप की लंबाई 14 cm है। A = ½ × चाप की लंबाई × त्रिज्या से उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 3एक त्रिज्यखंड की त्रिज्या 14 cm और चाप की लंबाई 56 cm है। A = ½ × चाप की लंबाई × त्रिज्या से उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 4एक त्रिज्यखंड की त्रिज्या 21 cm और चाप की लंबाई 105 cm है। A = ½ × चाप की लंबाई × त्रिज्या से उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 5एक त्रिज्यखंड की त्रिज्या 7 cm और चाप की लंबाई 35 cm है। A = ½ × चाप की लंबाई × त्रिज्या से उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 6r त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल होता है
- 7r त्रिज्या वाले वृत्त में कोण θ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल होता है
- 821 cm त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए।)
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11176 cm²
- 249 cm²
- 3392 cm²
- 41102.5 cm²
- 5122.5 cm²
- 6πr²
- 7(θ/360) × πr²
- 81386 cm²
वृत्त और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
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