सपाट आकारांची परिमिती
शेताभोवती एक फेरी तार लावायची आहे. तारेची लांबी म्हणजे परिमिती, सीमेभोवतीचे अंतर.
परिमिती म्हणजे सीमेची एकूण लांबी. आयत : २(l + b). चौरस : ४a. त्रिकोण : तिन्ही बाजूंची बेरीज. नियमित बहुभुज : n × बाजू.
सूत्र : आयत २(l + b); चौरस ४a; एकक : cm, मी
आकृतीत : ८ बाय ५ आयताची परिमिती २(८ + ५) = २६ एकके.
नियम 1 : परिमिती काढा — सर्व बाह्य बाजू मिळवा; आयत-चौरसासाठी सूत्र वापरा.
- सोपे : चौरस बाजू ९ cm : ३६ cm.
- मध्यम : त्रिकोण ५, १२, १३ : ३०.
- परीक्षेसाठी : नियमित षट्कोन, बाजू ४ : २४.
नियम 2 : उलट हिशोब — परिमिती समान बाजूंच्या संख्येने भागा, किंवा P = २(l + b) वरून बाजू काढा.
- सोपे : चौरसाची परिमिती ४८ : बाजू १२.
- मध्यम : आयत P = ३०, l = ९ : b = ६.
- परीक्षेसाठी : चौरस शेताभोवती १०० मी कुंपण : बाजू २५ मी.
परिमिती ही लांबी (cm, मी), क्षेत्रफळ नाही.
आयतासाठी फक्त l + b घेऊन दुप्पट करणे विसरणे.
"चालत पूर्ण फेरी."
सरावासाठी प्रश्न
- 1आयताची लांबी 28 cm आणि रुंदी 14 cm आहे. त्याची परिमिती शोधा.
- 2आयताची लांबी 20 cm आणि रुंदी 18 cm आहे. त्याची परिमिती शोधा.
- 3चौरसाची परिमिती 40 cm आहे. त्याच्या बाजूची लांबी किती?
- 4आयताची परिमिती 60 cm आणि लांबी 15 cm आहे. त्याची रुंदी शोधा.
- 5आयताची परिमिती 84 cm आणि लांबी 21 cm आहे. त्याची रुंदी शोधा.
- 6नियमित पंचकोनाची प्रत्येक बाजू 12 cm आहे. त्याची परिमिती शोधा.
- 7नियमित अष्टकोनाची प्रत्येक बाजू 10 cm आहे. त्याची परिमिती शोधा.
- 8आयताची लांबी त्याच्या रुंदीच्या दुप्पटीपेक्षा 8 cm जास्त आहे आणि परिमिती 124 cm आहे. त्याची रुंदी शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 184 cm
- 276 cm
- 310 cm
- 415 cm
- 521 cm
- 660 cm
- 780 cm
- 818 cm
वर्तुळाचा परिघ आणि π
नाणे मोजपट्टीवर एकदा फिरवा : ते आपल्या रुंदीच्या सुमारे ३.१४ पट अंतर कापते. हे गुणोत्तर प्रत्येक वर्तुळासाठी सारखेच.
वर्तुळाभोवतीचे अंतर म्हणजे परिघ C. C/d हे गुणोत्तर सर्व वर्तुळांसाठी सारखे आणि त्याला π (≈ २२/७ किंवा ३.१४) म्हणतात. म्हणून C = πd = २πr.
सूत्र : C = २πr = πd; π ≈ २२/७ ≈ ३.१४
आकृतीत : व्यास d असलेल्या वर्तुळाचा परिघ πd, म्हणजे ३ व्यासांपेक्षा थोडा जास्त.
नियम 1 : C काढा — त्रिज्या ७ चा पट असेल तर २२/७; नाहीतर ३.१४.
- सोपे : r = ७ : C = २ × २२/७ × ७ = ४४.
- मध्यम : d = १० : C = ३१.४ (π = ३.१४).
- परीक्षेसाठी : r = ३.५ : C = २२.
नियम 2 : C वरून r, चाकाचे फेरे — r = C/(२π). अंतर = फेरे × परिघ.
- सोपे : C = ८८ : r = १४.
- मध्यम : चाकाचा परिघ २ मी, ५० फेरे : १०० मी.
- परीक्षेसाठी : ४४ cm तार वर्तुळ करून वाकवली : r = ७ cm.
π अपरिमेय : २२/७ आणि ३.१४ फक्त अंदाजे.
C = πd मध्ये त्रिज्या दुप्पट न करता वापरणे.
"वर्तुळाची कड = π गुणिले व्यास."
सरावासाठी प्रश्न
- 1प्रत्येक वर्तुळासाठी परिघ आणि व्यास यांचे गुणोत्तर हीच संख्या असते, तिला ... म्हणतात.
- 2r त्रिज्येच्या वर्तुळाचा परिघ किती?
- 3π हा
- 456 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाचा परिघ शोधा. (π = 22/7 घ्या.)
- 528 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाचा परिघ शोधा. (π = 22/7 घ्या.)
- 649 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाचा परिघ शोधा. (π = 22/7 घ्या.)
- 714 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाचा परिघ शोधा. (π = 22/7 घ्या.)
- 821 cm व्यासाच्या वर्तुळाचा परिघ शोधा. (π = 22/7 घ्या.)
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1π
- 22πr
- 3अपरिमेय संख्या, सुमारे 3.14159
- 4352 cm
- 5176 cm
- 6308 cm
- 788 cm
- 866 cm
कंसाची लांबी
पिझ्झाच्या तुकड्याला वाकडी कड असते. ती कड पूर्ण वर्तुळाच्या कडेचा तोच अंश, जो टोकावरील कोन ३६०° चा असतो.
केंद्रावर कोन θ करणाऱ्या कंसाची लांबी (θ/३६०) × २πr. त्रिज्याखंडाची परिमिती = कंस + २r.
सूत्र : l = (θ/३६०) × २πr
आकृतीत : θ = ६०° म्हणजे पूर्ण वर्तुळाचा सहावा भाग, म्हणून कंस परिघाचा १/६.
नियम 1 : कंसाची लांबी — पूर्ण परिघाचा θ/३६० अंश घ्या.
- सोपे : r = ७, θ = ९०° : (१/४) × ४४ = ११.
- मध्यम : r = २१, θ = ६०° : (१/६) × १३२ = २२.
- परीक्षेसाठी : अर्धवर्तुळ r = १४ : ४४.
नियम 2 : कोन किंवा त्रिज्या काढा — पुनर्मांडणी : θ = l × ३६० / (२πr).
- सोपे : कंस ११, r = ७ : θ = ९०°.
- मध्यम : त्रिज्याखंड परिमिती : ११ + २ × ७ = २५.
- परीक्षेसाठी : कंस २२, θ = १८०° : r = ७.
त्याच त्रिज्येसाठी केंद्रावरील मोठा कोन म्हणजे लांब कंस.
त्रिज्याखंडाची परिमिती विचारल्यावर दोन त्रिज्या मिळवणे विसरणे.
"तुकड्याचा अंश गुणिले पूर्ण कड."
सरावासाठी प्रश्न
- 1अर्धवर्तुळाकार कंस हा पूर्ण परिघाचा किती भाग असतो?
- 2केंद्रावर 72° कोन करणारा कंस हा पूर्ण परिघाचा किती भाग असतो?
- 3केंद्रावर 45° कोन करणारा कंस हा पूर्ण परिघाचा किती भाग असतो?
- 4केंद्रावर 90° कोन करणारा कंस हा पूर्ण परिघाचा किती भाग असतो?
- 5केंद्रावर 270° कोन करणारा कंस हा पूर्ण परिघाचा किती भाग असतो?
- 6r त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या केंद्रावर θ° कोन करणाऱ्या कंसाची लांबी किती?
- 7चतुर्थांश वर्तुळाकार कंसाची त्रिज्या 7 cm आहे. त्याची लांबी शोधा. (π = 22/7 घ्या.)
- 8चतुर्थांश वर्तुळाकार कंसाची त्रिज्या 14 cm आहे. त्याची लांबी शोधा. (π = 22/7 घ्या.)
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1निम्मा
- 20.2
- 30.125
- 40.25
- 50.75
- 6(θ/360) × 2πr
- 711 cm
- 822 cm
आयत आणि समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ
फरशी झाकण्यासाठी लागणाऱ्या टाइल्स क्षेत्रफळावर अवलंबून, आत किती एकक चौरस बसतात.
क्षेत्रफळ म्हणजे आकाराच्या आतील पृष्ठभाग, चौरस एककांत. आयत l × b; चौरस a²; समांतरभुज चौकोन पाया × उंची (उंची म्हणजे लंब अंतर, तिरकी बाजू नव्हे).
सूत्र : आयत l × b; चौरस a²; समांतरभुज b × h
आकृतीत : तिरकी बाजू उंची नव्हे; ठिपक्यांची लंब रेषा h हीच उंची.
नियम 1 : क्षेत्रफळ काढा — दोन लंब मापे गुणा.
- सोपे : आयत १२ × ५ = ६० चौ. एकके.
- मध्यम : समांतरभुज b = १०, h = ६ : ६०.
- परीक्षेसाठी : चौरस बाजू ७ : ४९.
नियम 2 : तुलना आणि रूपांतर — समान पाया व समान उंची असल्यास क्षेत्रफळ समान. १ मी² = १० ००० cm².
- सोपे : पाया ८, उंची ५ चे आयत आणि समांतरभुज : दोन्ही ४०.
- मध्यम : ४ मी × ५ मी फरशी, ५० cm टाइल्स : २० ÷ ०.२५ = ८० टाइल्स.
- परीक्षेसाठी : क्षेत्रफळ ७२, b = ९ : h = ८.
क्षेत्रफळ चौरस एककांत (cm², मी²); परिमिती साध्या लांबीच्या एककात.
लंब उंचीऐवजी तिरकी बाजू वापरणे.
"पाया गुणिले सरळ वर उंची."
सरावासाठी प्रश्न
- 1आयताची लांबी 35 मी आणि रुंदी 21 मी आहे. त्याचे क्षेत्रफळ शोधा.
- 2समांतरभुज चौकोनाचा पाया 7 cm आणि उंची 11 cm आहे. त्याचे क्षेत्रफळ शोधा.
- 3आयताचे क्षेत्रफळ 342 cm² आणि लांबी 19 cm आहे. त्याची रुंदी शोधा.
- 4आयताकृती हिरवळ 29 मी × 11 मी आहे. तिच्याभोवती बाहेरून 3 मी रुंदीचा रस्ता आहे. रस्त्याचे क्षेत्रफळ शोधा.
- 5समांतरभुज चौकोनाच्या 14 cm बाजूला संगत उंची 6 cm आहे. लगतची बाजू 12 cm आहे. त्या बाजूला संगत उंची शोधा.
- 6समांतरभुज चौकोनाच्या 9 cm बाजूला संगत उंची 8 cm आहे. लगतची बाजू 12 cm आहे. त्या बाजूला संगत उंची शोधा.
- 7आयताचा कर्ण 25 cm आणि एक बाजू 7 cm आहे. त्याचे क्षेत्रफळ शोधा.
- 8आयताची लांबी 10% ने वाढवली आणि रुंदी 20% ने कमी केली. क्षेत्रफळात किती टक्के बदल होतो?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1735 m²
- 277 cm²
- 318 cm
- 4276 m²
- 57 cm
- 66 cm
- 7168 cm²
- 812% घट
त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आणि हेरॉनचे सूत्र
दोन प्रती जोडून समांतरभुज चौकोन बनतो; त्रिकोण त्याचा निम्मा. उंची मोजणे कठीण असेल तर तीन बाजू पुरेशा.
क्षेत्रफळ = ½ × पाया × उंची. बाजू a, b, c आणि अर्धपरिमिती s = (a + b + c)/२ असेल तर हेरॉनचे सूत्र : क्षेत्रफळ = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]. समभुज त्रिकोण : (√३/४)a².
सूत्र : A = ½bh; A = √[s(s−a)(s−b)(s−c)]
आकृतीत : a, b, c माहित असून उंची माहित नसेल तर हेरॉन वापरा.
नियम 1 : पाया आणि उंची — पायाचा निम्मा गुणिले लंब उंची.
- सोपे : b = १०, h = ६ : ३०.
- मध्यम : काटकोन त्रिकोण, बाजू ६ व ८ : २४.
- परीक्षेसाठी : क्षेत्रफळ ४०, b = १० : h = ८.
नियम 2 : हेरॉनचे सूत्र — आधी s, मग तीन वजाबाक्या.
- सोपे : ३, ४, ५ : s = ६, क्षेत्रफळ √(६·३·२·१) = ६.
- मध्यम : १३, १४, १५ : s = २१, क्षेत्रफळ ८४.
- परीक्षेसाठी : समभुज बाजू ४ : (√३/४)·१६ = ४√३.
बाजूंना त्रिकोण असमानता लागू : दोन लहान बाजूंची बेरीज मोठ्या बाजूपेक्षा जास्त.
s = (a + b + c)/२ ऐवजी a + b + c घेणे.
"आधी परिमिती आधी, मग फरक गुणा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1त्रिकोणाचा पाया 6 cm आणि उंची 25 cm आहे. त्याचे क्षेत्रफळ शोधा.
- 2काटकोन त्रिकोणाच्या लंब बाजू 7 cm आणि 11 cm आहेत. त्याचे क्षेत्रफळ शोधा.
- 3हेरॉनचे सूत्र वापरून 17 cm, 17 cm आणि 16 cm बाजू असलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधा.
- 4त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ 142.5 cm² आणि पाया 15 cm आहे. संगत उंची शोधा.
- 514 cm बाजू असलेल्या समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधा.
- 6110 cm² क्षेत्रफळाच्या त्रिकोणाची मध्यगा त्याचे दोन त्रिकोण करते. प्रत्येकाचे क्षेत्रफळ किती?
- 7त्रिकोणाच्या बाजू 5 cm, 5 cm आणि 6 cm आहेत (क्षेत्रफळ 12 cm²). 5 cm लांबीच्या बाजूवर काढलेला शिरोलंब शोधा.
- 8चौकोन ABCD मध्ये कर्ण AC = 25 cm आहे. B आणि D पासून AC वर काढलेले लंब 6 cm आणि 8 cm आहेत. ABCD चे क्षेत्रफळ शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 175 cm²
- 238.5 cm²
- 3120 cm²
- 419 cm
- 549√3 cm²
- 655 cm²
- 74.8 cm
- 8175 cm²
वर्तुळ आणि त्रिज्याखंडाचे क्षेत्रफळ
१५ cm त्रिज्येचा गोल पिझ्झा १५ cm बाजूच्या चौरसापेक्षा जास्त जागा व्यापतो. एक तुकडा त्याचा एक अंश.
वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = πr². θ कोनाच्या त्रिज्याखंडाचे क्षेत्रफळ (θ/३६०) × πr². R व r त्रिज्यांमधील कड्याचे क्षेत्रफळ π(R² − r²).
सूत्र : A = πr²; त्रिज्याखंड = (θ/३६०)πr²; कडे = π(R² − r²)
आकृतीत : लाल तुकडा पूर्ण वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाचा θ/३६० अंश.
नियम 1 : वर्तुळाचे क्षेत्रफळ — आधी त्रिज्येचा वर्ग, मग π ने गुणा.
- सोपे : r = ७ : १५४.
- मध्यम : d = २० : r = १०, क्षेत्रफळ ३१४ (π = ३.१४).
- परीक्षेसाठी : क्षेत्रफळ ६१६ : r² = १९६, r = १४.
नियम 2 : त्रिज्याखंड आणि कडे — त्रिज्याखंडासाठी अंश घ्या; कड्यासाठी बाहेरच्यातून आतले वजा करा.
- सोपे : r = १४, θ = ९०° : (१/४) × ६१६ = १५४.
- मध्यम : अर्धवर्तुळ r = ७ : ७७.
- परीक्षेसाठी : कडे R = १०, r = ७ : π × ५१ ≈ १६०.१.
त्रिज्या दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट.
क्षेत्रफळासाठी परिघाचे सूत्र वापरणे किंवा r चा वर्ग विसरणे.
"क्षेत्रफळात वर्ग असतो : r चा वर्ग."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एका त्रिज्याखंडाची त्रिज्या 28 cm आणि कंसाची लांबी 84 cm आहे. A = ½ × कंसाची लांबी × त्रिज्या वापरून त्याचे क्षेत्रफळ शोधा.
- 2एका त्रिज्याखंडाची त्रिज्या 7 cm आणि कंसाची लांबी 14 cm आहे. A = ½ × कंसाची लांबी × त्रिज्या वापरून त्याचे क्षेत्रफळ शोधा.
- 3एका त्रिज्याखंडाची त्रिज्या 14 cm आणि कंसाची लांबी 56 cm आहे. A = ½ × कंसाची लांबी × त्रिज्या वापरून त्याचे क्षेत्रफळ शोधा.
- 4एका त्रिज्याखंडाची त्रिज्या 21 cm आणि कंसाची लांबी 105 cm आहे. A = ½ × कंसाची लांबी × त्रिज्या वापरून त्याचे क्षेत्रफळ शोधा.
- 5एका त्रिज्याखंडाची त्रिज्या 7 cm आणि कंसाची लांबी 35 cm आहे. A = ½ × कंसाची लांबी × त्रिज्या वापरून त्याचे क्षेत्रफळ शोधा.
- 6r त्रिज्येच्या वर्तुळाचे क्षेत्रफळ किती?
- 7r त्रिज्येच्या वर्तुळातील θ कोनाच्या त्रिज्याखंडाचे क्षेत्रफळ किती?
- 821 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाचे क्षेत्रफळ शोधा. (π = 22/7 घ्या.)
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11176 cm²
- 249 cm²
- 3392 cm²
- 41102.5 cm²
- 5122.5 cm²
- 6πr²
- 7(θ/360) × πr²
- 81386 cm²
वर्तुळ आणि त्रिज्याखंडाचे क्षेत्रफळ
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा