वर्तुळाचे भाग आणि बिंदूंमधून जाणारी वर्तुळे
चाकाला केंद्र, आरे (त्रिज्या) आणि कडा असते. बांगडी म्हणजे केंद्रापासून सारख्या अंतरावरील अनेक बिंदूंतून जाणारे वर्तुळ.
वर्तुळ म्हणजे स्थिर बिंदू (केंद्र) पासून ठराविक अंतरावरील (त्रिज्या) सर्व बिंदू. दोन बिंदू जोडणारी रेषा जीवा; सर्वात मोठी जीवा व्यास = २ × त्रिज्या. वर्तुळाचा तुकडा कंस. एकरेषीय नसलेल्या ३ बिंदूंतून नेमके एक वर्तुळ जाते.
सूत्र : व्यास = २r; ३ एकरेषीय नसलेल्या बिंदूंतून १ वर्तुळ
आकृतीत : O केंद्र, r त्रिज्या, O मधून जाणारी सर्वात मोठी जीवा व्यास.
नियम 1 : वर्तुळे मोजा — एका बिंदूतून : अनंत. दोन बिंदूंतून : अनंत. तीन एकरेषीय नसलेल्या बिंदूंतून : एक. तीन एकरेषीय बिंदूंतून : एकही नाही.
- सोपे : A, B, C एका रेषेत नाहीत : एक वर्तुळ.
- मध्यम : P, Q, R एका रेषेत : वर्तुळ नाही.
- परीक्षेसाठी : दोन बिंदू : केंद्र रेषाखंडाच्या लंबदुभाजकावर असते.
नियम 2 : त्रिज्या आणि व्यास — एका वर्तुळाच्या सर्व त्रिज्या समान; व्यास त्रिज्येच्या दुप्पट.
- सोपे : त्रिज्या ७ cm : व्यास १४ cm.
- मध्यम : व्यास १८ cm : त्रिज्या ९ cm.
- परीक्षेसाठी : त्रिज्या ५ cm असलेल्या वर्तुळाची सर्वात मोठी जीवा १० cm.
वर्तुळाला एकच केंद्र आणि अनंत व्यास असतात.
व्यास आणि त्रिज्या समान मानणे, किंवा जीवा केंद्रातून जाऊ शकत नाही असे समजणे.
"व्यास म्हणजे दुप्पट-त्रिज्येची जीवा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1वर्तुळाची त्रिज्या 19 cm आहे. त्याचा व्यास किती?
- 2वर्तुळाची सर्वांत लांब जीवा 28 cm आहे. वर्तुळाची त्रिज्या किती?
- 3तीन एकरेषीय बिंदूंमधून, इतर कोणतीही अट नसताना, किती वर्तुळे जाऊ शकतात?
- 4दोन दिलेल्या वेगळ्या बिंदूंमधून किती वर्तुळे जाऊ शकतात?
- 5एका वर्तुळाचे केंद्र O आणि त्रिज्या 9 cm आहे. बिंदू P हा O पासून 13 cm दूर आहे. P कुठे आहे?
- 6वर्तुळाच्या जीवा AB आणि BC चे लंबदुभाजक O मध्ये भेटतात आणि OA = 12 cm आहे. OC ची लांबी किती?
- 7वर्तुळाच्या जीवा AB आणि BC चे लंबदुभाजक O मध्ये भेटतात आणि OA = 13 cm आहे. OC ची लांबी किती?
- 8दोन वर्तुळांचे केंद्र एकच आहे. त्रिज्या 11 cm आणि 9 cm आहेत. त्यांच्यामधील कड्याची रुंदी किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 138 cm
- 214 cm
- 3एकही नाही
- 4अनंत
- 5वर्तुळाच्या बाहेर
- 612 cm
- 713 cm
- 82 cm
जीवा आणि केंद्रावरील कोन
घड्याळाच्या काट्यांची टोके दूर असली की केंद्रावरील कोन मोठा. मोठी जीवा केंद्रावर मोठा कोन करते.
एका वर्तुळात (किंवा एकरूप वर्तुळांत) समान जीवा केंद्रावर समान कोन करतात. उलट, केंद्रावर समान कोन करणाऱ्या जीवा समान असतात.
सूत्र : AB = CD ⇔ ∠AOB = ∠COD
आकृतीत : जीवा AB व CD समान, म्हणून त्रिकोण AOB व COD एकरूप आणि ∠AOB = ∠COD.
नियम 1 : समान जीवा, समान कोन — SSS वापरा : दोन त्रिज्या आणि जीवा यांचे त्रिकोण एकरूप.
- सोपे : AB = CD, ∠AOB = ७०° ⇒ ∠COD = ७०°.
- मध्यम : ∠POQ = ∠ROS ⇒ PQ = RS.
- परीक्षेसाठी : दोन समान जीवा समान कोन देतात; मोठी जीवा मोठा कोन.
नियम 2 : अज्ञात कोन काढा — समद्विभुज AOB मध्ये पायाचे कोन समान आणि तिन्ही कोनांची बेरीज १८०°.
- सोपे : ∠AOB = ८०° ⇒ ∠OAB = (१८०° − ८०°)/२ = ५०°.
- मध्यम : ∠OAB = ३५° ⇒ ∠AOB = ११०°.
- परीक्षेसाठी : AB = r असेल तर ∠AOB = ६०°.
जीवेची लांबी आणि केंद्रावरील कोन एकत्र वाढतात.
वेगळ्या त्रिज्येच्या दोन वर्तुळांसाठी हा निकाल वापरणे.
"समान दोर, समान उघडणे."
सरावासाठी प्रश्न
- 1केंद्र O असलेल्या वर्तुळात जीवा AB आणि CD समान आहेत आणि ∠AOB = 140° आहे. ∠COD किती?
- 2केंद्र O असलेल्या वर्तुळात जीवा AB आणि CD समान आहेत आणि ∠AOB = 34° आहे. ∠COD किती?
- 3केंद्र O असलेल्या वर्तुळात जीवा AB केंद्रावर ∠AOB = 30° करते. ∠OAB शोधा.
- 4वर्तुळाची एक जीवा केंद्रावर 120° चा कोन करते. अशा याच लांबीच्या किती जीवा वर्तुळाभोवती टोकाला टोक जुळवून बसतात?
- 5वर्तुळाची एक जीवा केंद्रावर 60° चा कोन करते. अशा याच लांबीच्या किती जीवा वर्तुळाभोवती टोकाला टोक जुळवून बसतात?
- 6जीवा AB, BC आणि CD समान आहेत आणि प्रत्येक केंद्र O वर 25° चा कोन करते. ∠AOD शोधा.
- 7जीवा AB, BC आणि CD समान आहेत आणि प्रत्येक केंद्र O वर 20° चा कोन करते. ∠AOD शोधा.
- 8त्रिकोण OAB मध्ये O हे वर्तुळाचे केंद्र आहे आणि A, B वर्तुळावर आहेत. ∠OAB = 35° असेल तर ∠AOB शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1140°
- 234°
- 375°
- 43
- 56
- 675°
- 760°
- 8110°
केंद्रापासून जीवेवर लंब
गोल कागद जीवेवर घडी घातला तर केंद्रापासूनची घडी जीवेला मध्यावर काटकोनात भेटते.
केंद्रापासून जीवेवर टाकलेला लंब जीवेला दुभागतो. उलट, केंद्रापासून जीवेच्या मध्यबिंदूकडे जाणारी रेषा जीवेला लंब असते. पायथागोरस : r² = d² + (c/२)².
सूत्र : r² = d² + (c/२)²
आकृतीत : OM ⟂ AB म्हणून AM = MB. त्रिकोण OMA काटकोन, कर्ण OA = r.
नियम 1 : जीवा काढा — अर्धी जीवा = √(r² − d²); पूर्ण जीवा त्याच्या दुप्पट.
- सोपे : r = ५, d = ३ : अर्धी जीवा ४, जीवा ८.
- मध्यम : r = १३, d = ५ : जीवा २४.
- परीक्षेसाठी : r = १०, d = ६ : जीवा १६.
नियम 2 : अंतर किंवा त्रिज्या काढा — OM काढा आणि काटकोन त्रिकोण वापरा.
- सोपे : जीवा १६, r = १० : d = √(१०० − ६४) = ६.
- मध्यम : जीवा २४, d = ५ : r = √(१४४ + २५) = १३.
- परीक्षेसाठी : जीवा ६, d = ४ : r = ५.
केंद्रातून जाणाऱ्या जीवेसाठी d = ० आणि लांबी २r.
पायथागोरसमध्ये अर्ध्या जीवेऐवजी पूर्ण जीवा वापरणे.
"अर्धी जीवा, मग पायथागोरस."
सरावासाठी प्रश्न
- 1केंद्र O असलेल्या वर्तुळात OM हा जीवा AB ला लंब आहे आणि AB = 14 cm आहे. AM शोधा.
- 2केंद्र O असलेल्या वर्तुळात OM हा जीवा AB ला लंब आहे आणि AB = 20 cm आहे. AM शोधा.
- 3वर्तुळाच्या केंद्र O पासून जीवा AB वर काढलेला लंब AB ला M मध्ये भेटतो आणि AM = 7 cm आहे. AB शोधा.
- 4वर्तुळाची त्रिज्या 20 cm आहे. एक जीवा केंद्रापासून 12 cm अंतरावर आहे. जीवेची लांबी शोधा.
- 517 cm त्रिज्येच्या वर्तुळात 30 cm लांबीची जीवा काढली आहे. जीवा केंद्रापासून किती दूर आहे?
- 625 cm त्रिज्येच्या वर्तुळात 40 cm लांबीची जीवा काढली आहे. जीवा केंद्रापासून किती दूर आहे?
- 716 cm लांबीची जीवा वर्तुळाच्या केंद्रापासून 15 cm अंतरावर आहे. त्रिज्या शोधा.
- 8दोन वर्तुळांचे केंद्र एकच आहे आणि त्रिज्या 17 cm व 15 cm आहेत. मोठ्या वर्तुळाची एक जीवा लहान वर्तुळाला स्पर्श करते. जीवेची लांबी शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 17 cm
- 210 cm
- 314 cm
- 432 cm
- 58 cm
- 615 cm
- 717 cm
- 816 cm
जीवांचे केंद्रापासूनचे अंतर
गोल केकमध्ये मधल्या जवळचा काप लांब, कडेजवळचा लहान. समान काप मध्यापासून सारख्या अंतरावर.
समान जीवा केंद्रापासून समान अंतरावर असतात आणि केंद्रापासून समान अंतरावरील जीवा समान असतात. जीवा जितकी मोठी तितकी केंद्राच्या जवळ.
सूत्र : c₁ = c₂ ⇔ d₁ = d₂; मोठी c ⇒ लहान d
आकृतीत : दोन्ही लाल जीवा समान, म्हणून O पासूनची दोन्ही हिरवी अंतरे समान.
नियम 1 : जीवांची तुलना — अंतरांची तुलना : लहान अंतर म्हणजे मोठी जीवा.
- सोपे : d₁ = ३, d₂ = ५ (एकच वर्तुळ) : जीवा १ मोठी.
- मध्यम : समान जीवा : दोन्ही केंद्रापासून ४ cm.
- परीक्षेसाठी : व्यास केंद्राच्या सर्वात जवळ (d = ०) आणि सर्वात मोठा.
नियम 2 : सूत्र वापरा — त्रिज्या समान म्हणून r² सारखा : c₁²/४ + d₁² = c₂²/४ + d₂².
- सोपे : जीवा ८, d = ३ : r = ५. d = ४ वरील जीवा ६.
- मध्यम : r = १३ मध्ये १० cmच्या दोन समान जीवा प्रत्येकी केंद्रापासून १२ cm.
- परीक्षेसाठी : जीवा १४, r = २५ : d = २४.
अंतर म्हणजे केंद्रापासून लंब लांबी.
मोठी जीवा केंद्रापासून दूर असते असे म्हणणे.
"मोठी जीवा केंद्राला मिठी मारते."
सरावासाठी प्रश्न
- 1वर्तुळाच्या जीवा AB आणि CD समान आहेत. AB चे केंद्रापासूनचे अंतर 6 cm असेल तर CD चे केंद्रापासूनचे अंतर किती?
- 2वर्तुळाच्या जीवा AB आणि CD समान आहेत. AB चे केंद्रापासूनचे अंतर 11 cm असेल तर CD चे केंद्रापासूनचे अंतर किती?
- 3वर्तुळाच्या दोन जीवांची लांबी 37 cm आणि 23 cm आहे. कोणती जीवा केंद्राच्या जवळ आहे?
- 426 cm त्रिज्येच्या वर्तुळात प्रत्येकी 48 cm लांबीच्या दोन समान जीवा काढल्या आहेत. प्रत्येक जीवेचे केंद्रापासूनचे अंतर शोधा.
- 5वर्तुळाच्या दोन जीवा प्रत्येकी केंद्रापासून 4 cm अंतरावर आहेत. त्यांपैकी एक 20 cm लांब आहे. दुसरीची लांबी किती?
- 6वर्तुळाच्या दोन जीवा प्रत्येकी केंद्रापासून 4 cm अंतरावर आहेत. त्यांपैकी एक 11 cm लांब आहे. दुसरीची लांबी किती?
- 725 cm त्रिज्येच्या वर्तुळात 48 cm आणि 14 cm लांबीच्या दोन समांतर जीवा केंद्राच्या विरुद्ध बाजूंना आहेत. त्यांच्यामधील अंतर किती?
- 817 cm त्रिज्येच्या वर्तुळात 16 cm आणि 30 cm लांबीच्या दोन समांतर जीवा केंद्राच्या एकाच बाजूला आहेत. त्यांच्यामधील अंतर किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 16 cm
- 211 cm
- 337 cm लांबीची जीवा
- 410 cm
- 520 cm
- 611 cm
- 731 cm
- 87 cm
जीवांचे केंद्रापासूनचे अंतर
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडाकंसाने केलेले कोन
वक्र मंचाच्या कडेवर कुठेही उभ्या फोटोग्राफरला दोन दिवे सारख्या कोनात दिसतात. केंद्रावरील कॅमेऱ्याला ते दुप्पट रुंद दिसतात.
कंस केंद्रावर करतो तो कोन उरलेल्या वर्तुळावरील कोणत्याही बिंदूवरील कोनाच्या दुप्पट असतो. एकाच खंडातील कोन समान आणि अर्धवर्तुळातील कोन ९०°.
सूत्र : ∠AOB = २∠ACB; अर्धवर्तुळातील कोन = ९०°
आकृतीत : ∠AOB = २x केंद्रावर आणि ∠ACB = x परिघावर, दोन्ही कंस AB वर.
नियम 1 : केंद्र आणि परिघ — त्याच कंसावर परिघावरील कोन = केंद्रावरील कोनाचा निम्मा.
- सोपे : केंद्रावरील कोन १००° ⇒ ACB = ५०°.
- मध्यम : ∠ACB = ३५° ⇒ ∠AOB = ७०°.
- परीक्षेसाठी : अर्धवर्तुळातील कोन : ९०°.
नियम 2 : एकच खंड — जीवेच्या एकाच बाजूचे बिंदू तिला समान कोनात पाहतात.
- सोपे : ∠ACB = ४०° ⇒ C, D एकाच बाजूला असतील तर ∠ADB = ४०°.
- मध्यम : AB व्यास असेल तर ∠ACB = ९०°.
- परीक्षेसाठी : जीवा PQ परिघावर ६०° करते : केंद्रावर १२०°.
प्रमेयात वर्तुळावरील बिंदू नसलेला कंस घेतात.
दुप्पट करायचे ठिकाणी निम्मे करणे; केंद्रीय कोन परिघ कोनाचा निम्मा मानणे.
"केंद्र मालक : दुप्पट."
सरावासाठी प्रश्न
- 1वर्तुळाचा एक कंस केंद्रावर 50° चा कोन करतो. वर्तुळाच्या उरलेल्या भागावरील एका बिंदूवर तो किती कोन करतो?
- 2वर्तुळाचा एक कंस वर्तुळावरील एका बिंदूवर (विशालकंसावर) 67° चा कोन करतो. केंद्रावर तो किती कोन करतो?
- 3AB हा वर्तुळाचा व्यास आहे आणि C हा वर्तुळावरील बिंदू आहे. ∠CAB = 27° असेल तर ∠CBA शोधा.
- 4A, B, C आणि D एका वर्तुळावर आहेत आणि C व D हे जीवा AB च्या एकाच बाजूला आहेत. ∠ACB = 27° असेल तर ∠ADB शोधा.
- 5जीवा AB केंद्र O वर ∠AOB = 130° करते. बिंदू Q हा लघुकंस AB वर आहे. ∠AQB शोधा.
- 6वर्तुळावरील बिंदू P वरून जीवा AB 69° च्या कोनात दिसते. केंद्र O वर (लघुकंसाच्या बाजूला) प्रतिवर्ती कोन AOB किती?
- 7केंद्र O असलेल्या वर्तुळात A, B वर्तुळावर असून ∠OAB = 60° आहे. बिंदू P हा विशालकंस AB वर आहे. ∠APB शोधा.
- 8त्रिकोण ABC वर्तुळात AB या व्यासासह अंतर्लिखित आहे आणि ∠CAB = 64° आहे. ∠CBA शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 125°
- 2134°
- 363°
- 427°
- 5115°
- 6222°
- 730°
- 826°
कंसाने केलेले कोन
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडाचक्रीय चौकोन
ज्या चौकोनाची चारही टोके गोल बांगडीवर आहेत तो "चक्रीय". अशा चौकोनात समोरच्या कोनांची बेरीज नेहमी १८०°.
चक्रीय चौकोन म्हणजे चारही शिरोबिंदू वर्तुळावर असलेला. समोरचे कोन पूरक (बेरीज १८०°) आणि बहिष्कोन = आतील समोरचा कोन. उलट, समोरच्या कोनांची बेरीज १८०° असेल तर तो चक्रीय.
सूत्र : ∠A + ∠C = १८०°, ∠B + ∠D = १८०°
आकृतीत : समोरचे A व C मिळून १८०°, तसेच B व D.
नियम 1 : कोन काढा — समोरचा कोन = १८०° वजा दिलेला.
- सोपे : ∠A = ८५° ⇒ ∠C = ९५°.
- मध्यम : ∠B = ११०° ⇒ ∠D = ७०°.
- परीक्षेसाठी : D येथील बहिष्कोन ७५° ⇒ ∠B = ७५°.
नियम 2 : चक्रीय आहे का? — समोरच्या कोनांची जोडी १८०° होते का ते तपासा.
- सोपे : क्रमाने ८०°, १००°, १००°, ८०° : समोरचे ८०+१००, होय.
- मध्यम : आयत : समोरचे ९०° + ९०° = १८०°, नेहमी चक्रीय.
- परीक्षेसाठी : आयत नसलेला समांतरभुज चौकोन चक्रीय नाही.
प्रत्येक आयत आणि चौरस चक्रीय. प्रत्येक चक्रीय समांतरभुज चौकोन आयत असतो.
समोरच्या कोनांऐवजी लगतचे कोन मिळवणे.
"समोरच्या जोड्यांचा सरळ कोन : १८०°."
सरावासाठी प्रश्न
- 1ABCD हा चक्रीय चौकोन आहे आणि ∠A = 97° आहे. ∠C शोधा.
- 2ABCD हा चक्रीय चौकोन आहे. बाजू AB ला E पर्यंत वाढवली आहे आणि ∠CBE = 115° आहे. ∠ADC शोधा.
- 3ABCD हा AB ∥ DC असलेला समद्विभुज समलंब चौकोन आहे, म्हणून तो चक्रीय आहे. ∠A = 62° असेल तर ∠C शोधा.
- 4चौकोन ABCD मध्ये ∠A = 74° आणि ∠C = 106° आहे. हा कोनांची जोडी पाहता चक्रीय चौकोन आहे का?
- 5चक्रीय चौकोन ABCD मध्ये ∠A = (2x + 10)° आणि ∠C = (2x + 70)° आहे. x शोधा.
- 6चक्रीय चौकोन ABCD चे कोन A, B, C हे 3 : 4 : 6 गुणोत्तरात आहेत. ∠D शोधा.
- 7समद्विभुज समलंब चौकोन वर्तुळात अंतर्लिखित (चक्रीय) असू शकतो का?
- 8ABCD हा चक्रीय चौकोन आहे. कर्ण BD मुळे ∠ADB = 54° आणि ∠BDC = 25° आहेत. ∠ABC शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 183°
- 2115°
- 3118°
- 4होय, तो चक्रीय आहे
- 525
- 6100°
- 7होय
- 8101°