बेरीज-वजाबाकीचे वर्ग
(a + b) मीटर बाजूच्या चौरस बागेचे चार भाग करा : a बाजूचा चौरस, b बाजूचा चौरस आणि a × b च्या दोन पायवाटा. चारही क्षेत्रफळे मिळवून एकूण क्षेत्रफळ मिळते.
सर्वसमिका म्हणजे अक्षरांच्या प्रत्येक किमतीसाठी खरे असलेले समीकरण. दोन मूलभूत सर्वसमिका द्विपदीचा वर्ग लांब गुणाकाराशिवाय विस्तारतात.
सूत्र : (a + b)² = a² + 2ab + b² (a − b)² = a² − 2ab + b²
आकृतीत : मोठ्या चौरसाचे क्षेत्रफळ (a + b)², तसेच a² + ab + ab + b².
नियम 1 : बेरजेचा वर्ग विस्तारा — पहिल्याचा वर्ग, गुणाकाराची दुप्पट, दुसऱ्याचा वर्ग.
- सोपे : (x + 5)² = x² + 10x + 25.
- मध्यम : (2m + 3)² = 4m² + 12m + 9.
- परीक्षेसाठी : तोंडी : 103² = (100 + 3)² = 10000 + 600 + 9 = 10609.
नियम 2 : वजाबाकीचा वर्ग विस्तारा — तीच पद्धत, फक्त मधले पद ऋण.
- सोपे : (y − 4)² = y² − 8y + 16.
- मध्यम : (3p − 2q)² = 9p² − 12pq + 4q².
- परीक्षेसाठी : तोंडी : 98² = (100 − 2)² = 10000 − 400 + 4 = 9604.
दोन्ही वर्गांत पहिले आणि शेवटचे पद सारखेच; फक्त 2ab चे चिन्ह बदलते. (a + b)² आणि (−a − b)² समान.
(a + b)² = a² + b² लिहिणे; यात 2ab राहून जाते.
"पहिला वर्ग, मधले दुप्पट, शेवटचा वर्ग."
झटपट तक्ता
| सर्वसमिका | मधले पद |
|---|---|
| (a + b)² | + 2ab |
| (a − b)² | − 2ab |
सरावासाठी प्रश्न
- 1(z + 2)² चा विस्तार करा.
- 2(z − 4)² चा विस्तार करा.
- 3सूत्र वापरून 99² शोधा.
- 4(2x + 3)² चा विस्तार करा.
- 5x + y = 6 आणि xy = 7 असेल तर x² + y² शोधा.
- 6x² + 18x चा पूर्ण वर्ग होण्यासाठी त्यात कोणती संख्या मिळवावी लागेल?
- 7x + 1/x = 4 असेल तर x² + 1/x² शोधा.
- 8x − y = 2 आणि x² + y² = 100 असेल तर xy शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1z² + 4z + 4
- 2z² − 8z + 16
- 39801
- 44x² + 12x + 9
- 522
- 681
- 714
- 848
बेरीज-वजाबाकीचे वर्ग
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडावर्गांतर आणि (a + b + c)²
a × a च्या मोठ्या कागदातून b × b चा छोटा चौरस कापा आणि उरलेल्याचा आयत करा : त्याच्या बाजू (a + b) आणि (a − b).
दोन वर्गांचा फरक = बेरीज × वजाबाकी. तीन पदांच्या वर्गात तीन वर्ग आणि तीन दुप्पट गुणाकार येतात.
सूत्र : a² − b² = (a + b)(a − b) (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
आकृतीत : लाल b² काढा : उरलेले (a − b)² + 2b(a − b) हे (a − b)(a + b) इतके असते.
नियम 1 : वर्गांतर — प्रत्येक पद वर्गरूपात लिहा, मग बेरीज × वजाबाकी.
- सोपे : 49 − x² = (7 + x)(7 − x).
- मध्यम : तोंडी : 101 × 99 = 100² − 1² = 9999.
- परीक्षेसाठी : 25a² − 16b² = (5a + 4b)(5a − 4b).
नियम 2 : तीन पदांचा वर्ग — प्रत्येक पदाचा वर्ग करा, मग प्रत्येक जोडीच्या गुणाकाराची दुप्पट जोडा.
- सोपे : (x + y + 1)² = x² + y² + 1 + 2xy + 2y + 2x.
- मध्यम : (a − b + c)² = a² + b² + c² − 2ab − 2bc + 2ca; प्रत्येक जोडीचे चिन्ह तपासा.
- परीक्षेसाठी : a + b + c = 0 तर a² + b² + c² = −2(ab + bc + ca).
फक्त दोन पूर्ण वर्गांचा फरक (वजा चिन्ह) असा अवयवांत मोडतो. वर्गांची बेरीज a² + b² वास्तव संख्यांत मोडत नाही.
a² − b² = (a − b)² लिहिणे.
"वर्ग वजा वर्ग = बेरीज गुणिले वजाबाकी."
झटपट तक्ता
| रूप | अवयव |
|---|---|
| x² − 9 | (x + 3)(x − 3) |
| 4y² − 1 | (2y + 1)(2y − 1) |
| a² − 25b² | (a + 5b)(a − 5b) |
सरावासाठी प्रश्न
- 1(x + 8)(x − 8) चा विस्तार करा.
- 2सूत्र वापरून 52² − 44² ची किंमत काढा.
- 3सूत्र वापरून 29 × 31 शोधा.
- 4सूत्र वापरून 94 × 106 शोधा.
- 5(x + 3y + 2z)² च्या विस्तारात yz चा सहगुणक कोणता?
- 6a + b + c = 9 आणि ab + bc + ca = 3 असेल तर a² + b² + c² शोधा.
- 7x + y = 3 आणि x − y = 6 असेल तर x² − y² शोधा.
- 8(x + 1y + 4)² चा विस्तार करा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1x² − 64
- 2768
- 3899
- 49964
- 512
- 675
- 718
- 8x² + y² + 16 + 2xy + 8y + 8x
वर्गांतर आणि (a + b + c)²
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा(x + a)(x + b) ही सर्वसमिका
एका खोलीचे माप (x + 2) मी × (x + 3) मी आहे. तिचे क्षेत्रफळ x² चौरस, दोन पट्ट्या आणि २ × ३ चा छोटा कोपरा यांची बेरीज.
दोन द्विपदींचे पहिले पद x सारखे असेल तर गुणाकारात x², मग संख्यांच्या बेरजेचा x, मग संख्यांचा गुणाकार येतो.
सूत्र : (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
आकृतीत : चार भाग x², 3x, 2x आणि 6 मिळून x² + 5x + 6.
नियम 1 : दोन द्विपदी गुणा — मधल्या सहगुणकासाठी संख्या मिळवा, शेवटच्या पदासाठी गुणा. चिन्हे सांभाळा.
- सोपे : (x + 4)(x + 7) = x² + 11x + 28.
- मध्यम : (y − 3)(y + 5) = y² + 2y − 15.
- परीक्षेसाठी : तोंडी : 102 × 105 = (100 + 2)(100 + 5) = 10000 + 700 + 10 = 10710.
नियम 2 : विशेष प्रसंग — a = b तर वर्ग; a = −b तर वर्गांतर.
- सोपे : (x + 3)(x + 3) = x² + 6x + 9.
- मध्यम : (x + 6)(x − 6) = x² − 36.
- परीक्षेसाठी : x² + 9x + 20 = (x + a)(x + b) तर a + b = 9 आणि ab = 20, म्हणून a, b = 4, 5.
मधला सहगुणक म्हणजे संख्यांची बेरीज; स्थिर पद म्हणजे गुणाकार; दोन्ही चिन्हांसह.
मधले पद a + b ऐवजी ab असे लिहिणे.
"मध्यावर बेरीज, शेवटी गुणाकार."
झटपट तक्ता
| (x + a)(x + b) | मध्य / शेवट |
|---|---|
| (x + 2)(x + 3) | 5x / 6 |
| (x − 1)(x + 4) | 3x / −4 |
| (x − 2)(x − 5) | −7x / 10 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1(x + 4)(x + 3) चा विस्तार करा.
- 2(x + 7)(x + 8) च्या विस्तारात x चा सहगुणक कोणता?
- 3(x − 2)(x − 3) चा विस्तार करा.
- 4x = 30 घेऊन 33 × 36 हे (x + a)(x + b) असे लिहून शोधा.
- 5(x + 8)(x − 5) चा विस्तार करा.
- 6x² + 11x + 24 = (x + p)(x + q) आहे. p + q किती?
- 7k च्या कोणत्या किमतीसाठी (x + 2)(x + k) = x² + 9x + 14 होते?
- 8(x + 6)(x + 6) − (x + 5)(x + 4) सोपे करा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1x² + 7x + 12
- 215
- 3x² − 5x + 6
- 41188
- 5x² + 3x − 40
- 611
- 77
- 83x + 16
सर्वसमिकांनी अवयव पाडणे
फक्त क्षेत्रफळ माहीत असताना आयताची मापे शोधणे म्हणजे अवयव पाडणे. सर्वसमिका कोणती मापे तपासायची ते सांगतात.
अवयव पाडणे म्हणजे राशी गुणाकाराच्या रूपात लिहिणे. आधी सामाईक अवयव काढा, मग सर्वसमिका शोधा : पूर्ण वर्ग, वर्गांतर किंवा x² + (a + b)x + ab.
सूत्र : a² + 2ab + b² = (a + b)² a² − 2ab + b² = (a − b)² a² − b² = (a + b)(a − b)
आकृतीत : आधी सामाईक अवयव काढा, मग कोणती सर्वसमिका बसते ते ठरवा, शेवटी गुणून तपासा.
नियम 1 : पूर्ण वर्ग — पहिले आणि शेवटचे पद वर्ग असून मधले त्यांच्या गुणाकाराच्या दुप्पट असेल तर पूर्ण वर्ग.
- सोपे : x² + 12x + 36 = (x + 6)².
- मध्यम : 9a² − 12a + 4 = (3a − 2)².
- परीक्षेसाठी : आधी सामाईक अवयव : 2x² + 16x + 32 = 2(x + 4)².
नियम 2 : त्रिपदी x² + px + q — बेरीज p आणि गुणाकार q असणाऱ्या दोन संख्या शोधा.
- सोपे : x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
- मध्यम : x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
- परीक्षेसाठी : x² + x − 12 = (x + 4)(x − 3).
अवयव परत गुणा; मूळ राशीच मिळायला हवी.
मध्येच थांबणे : 3x² − 12 = 3(x² − 4) अपूर्ण; पूर्ण उत्तर 3(x + 2)(x − 2).
"सामाईक, सर्वसमिका, तपासणी."
झटपट तक्ता
| राशी | अवयव |
|---|---|
| x² + 10x + 25 | (x + 5)² |
| x² − 49 | (x + 7)(x − 7) |
| x² + 8x + 15 | (x + 3)(x + 5) |
सरावासाठी प्रश्न
- 135x + 7 चे अवयव पाडा.
- 2y² − 144 चे अवयव पाडा.
- 3x² − 11x + 18 चे अवयव पाडा.
- 44x² − 36 चे अवयव पाडा.
- 59x² + 12x + 4 चे अवयव पाडा.
- 6पूर्णपणे अवयव पाडा : 2x² + 8x + 6.
- 7x² + px + 36 चे अवयव (x + 6) आणि (x + 6) असतील तर p शोधा.
- 8x⁴ − 1 चे अवयव पाडा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 17(5x + 1)
- 2(y + 12)(y − 12)
- 3(x − 2)(x − 9)
- 4(2x + 6)(2x − 6)
- 5(3x + 2)²
- 62(x + 3)(x + 1)
- 712
- 8(x² + 1)(x + 1)(x − 1)
परिमेय राशी सोप्या करणे
12/18 हा अपूर्णांक सामाईक अवयव ६ ने कमी करून 2/3 होतो. बीजगणितीय अपूर्णांकही असेच सोपे होतात, पण फक्त सामाईक अवयव कमी करता येतात.
दोन बहुपदींचा अपूर्णांक म्हणजे परिमेय राशी. सोपे करण्यासाठी अंश आणि छेद यांचे अवयव पाडा, मग सामाईक अवयव कमी करा. छेद कधीही शून्य नसतो.
सूत्र : (x² − a²)/(x − a) = x + a जेथे x ≠ a
आकृतीत : अंशाचे अवयव पाडा, (x + 2) कमी करा, उरते x − 2.
नियम 1 : अवयव कमी करा, पदे नाही — पूर्ण अंश आणि पूर्ण छेद यांना गुणणारा अवयवच कमी करता येतो.
- सोपे : (5x + 10)/5 = (5(x + 2))/5 = x + 2.
- मध्यम : (x² − 9)/(x + 3) = x − 3, x ≠ −3 साठी.
- परीक्षेसाठी : (x + 3)/3 चे x + 1 होत नाही; ३ हा x + 3 चा अवयव नाही.
नियम 2 : अपूर्णांक गुणा आणि भागा — आधी सर्वांचे अवयव पाडा, मग अपूर्णांकांच्या आरपार कमी करा.
- सोपे : (x²/(x − 1)) × ((x − 1)/x) = x.
- मध्यम : अपूर्णांकाने भागणे म्हणजे त्याच्या व्यस्ताने गुणणे.
- परीक्षेसाठी : x ची किंमत, उदा. x = 3, घालून उत्तर तपासा.
कोणत्या x च्या किमती चालत नाहीत ते सांगा : ज्या किमती छेद शून्य करतात.
पद कमी करणे : (x + 4)/4 ≠ x + 1.
"आधी अवयव, मग कमी."
झटपट तक्ता
| आधी | नंतर |
|---|---|
| (x² − 1)/(x − 1) | x + 1 |
| (2x + 6)/2 | x + 3 |
| (x² + 5x + 6)/(x + 2) | x + 3 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1(3x + 5)/(x + 1) ची किंमत x = 3 साठी शोधा.
- 220x/4x सोपे करा (x ≠ 0).
- 3(x + 3)(x + 7)/(x + 3) सोपे करा, जिथे x + 3 ≠ 0.
- 4(x² − 4)/(x + 2) सोपे करा, जिथे x ≠ −2.
- 5(x² − 25)/(x + 5) सोपे करा, जिथे x ≠ −5.
- 6(4x + 20)/(16x + 80) सोपे करा.
- 7(3x + 9)/(9x + 27) सोपे करा.
- 8[(x² − 16)/(x + 7)] × [(x + 7)/(x − 4)] सोपे करा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 17/2
- 25
- 3x + 7
- 4x − 2
- 5x − 5
- 61/4
- 71/3
- 8x + 4