पूर्णांक आणि त्यांचे गणित
शून्याखाली ५ °C तापमान म्हणजे −५; −२ मजल्यावरून ३ मजले वर गेल्यास १. नफा-तोटा, जमिनीवर-खाली मजले यात पूर्णांक वापरतात.
पूर्णांक म्हणजे …, −३, −२, −१, ०, १, २, ३, …. ऋण संख्या मिळवणे म्हणजे वजा करणे; ऋण संख्या वजा करणे म्हणजे मिळवणे. समान चिन्हांचा गुणाकार/भागाकार धन, भिन्न चिन्हांचा ऋण.
सूत्र : (+)(+) = +, (−)(−) = +, (+)(−) = −, a − (−b) = a + b
आकृतीत : −२ पासून ३ पावले उजवीकडे गेल्यास १ : −२ + ३ = १.
नियम 1 : बेरीज-वजाबाकी — संख्यारेषेवरील हालचाल समजा; ऋण वजा करणे म्हणजे उजवीकडे.
- सोपे : ५ + (−८) = −३.
- मध्यम : −४ − (−९) = −४ + ९ = ५.
- परीक्षेसाठी : −७ − ६ = −१३.
नियम 2 : गुणाकार-भागाकार — समान चिन्हे धन, भिन्न चिन्हे ऋण.
- सोपे : (−६) × (−३) = १८.
- मध्यम : (−२०) ÷ ४ = −५.
- परीक्षेसाठी : (−२) × (−३) × (−४) = −२४.
ऋण अवयवांची संख्या सम असेल तर गुणाकार धन, विषम असेल तर ऋण.
−४ − (−९) चे उत्तर ५ ऐवजी −१३ लिहिणे.
"दोन वजा मिळून बेरीज."
सरावासाठी प्रश्न
- 1कोणत्या संग्रहात फक्त मोजण्याच्या संख्या 1, 2, 3, … आहेत?
- 2(−9) × (−6) ची किंमत काढा.
- 3−3 − (−4) ची किंमत काढा.
- 4(−20) ÷ 5 ची किंमत काढा.
- 5रात्री एका थंड हवेच्या ठिकाणचे तापमान −8 °C आहे. दुपारपर्यंत ते 16 °C ने वाढते. दुपारचे तापमान किती?
- 6−8 < x < 5 असे किती पूर्णांक x आहेत?
- 7(2 − 13) × (−4) + 8 ची किंमत काढा.
- 86x + 9 < 28 साठी x चा सर्वांत मोठा पूर्णांक कोणता?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1नैसर्गिक संख्या
- 254
- 31
- 4−4
- 58
- 612
- 752
- 83
पूर्णांक आणि त्यांचे गणित
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडापरिमेय संख्या
३ चपात्या ४ मुलांत वाटल्यास प्रत्येकी ३/४. अशी वाटणी म्हणजे पूर्ण संख्यांचे गुणोत्तर.
परिमेय संख्या म्हणजे p/q रूपातील संख्या; p, q पूर्णांक आणि q ≠ ०. प्रत्येक पूर्णांक परिमेय (५ = ५/१). कोणत्याही दोन परिमेय संख्यांमध्ये अनंत परिमेय संख्या असतात.
सूत्र : p/q, q ≠ ०; a/b + c/d = (ad + bc)/bd
आकृतीत : १/२, ३/४, −३/२ अशा संख्या दाखवलेल्या पूर्णांकांच्या मध्ये असतात.
नियम 1 : तुलना आणि बेरीज — बेरीज/तुलना करण्यापूर्वी छेद सारखे करा.
- सोपे : १/२ + १/३ = ५/६.
- मध्यम : ३/४ > २/३ कारण ९/१२ > ८/१२.
- परीक्षेसाठी : −२/५ + ३/१० = −१/१०.
नियम 2 : दोन संख्यांमधील संख्या — दोन्हींची सरासरी घ्या; हवे तितके मिळवण्यासाठी पुन्हा करा.
- सोपे : १/४ आणि १/२ मध्ये : ३/८.
- मध्यम : ० आणि १ मध्ये : १/२, १/४, १/८, … संपत नाही.
- परीक्षेसाठी : २ आणि ३ मध्ये : ५/२.
प्रत्येक अंत पावणारा किंवा आवर्ती दशांश परिमेय असतो.
अपूर्णांक (a + c)/(b + d) असे मिळवणे, उदा. १/२ + १/३ = २/५.
"आधी छेद सारखे."
सरावासाठी प्रश्न
- 10 ही परिमेय संख्या आहे का?
- 2रिकामी जागा भरा : 3/5 = □/20.
- 3कोणती संख्या मोठी : 3/9 की 5/7?
- 41/7 आणि 3/7 यांच्या अगदी मध्ये कोणती परिमेय संख्या आहे?
- 5कोणती संख्या मोठी : −1/4 की −1/6?
- 64/7 + 1/5 शोधा.
- 7−6/10 चा बेरजेचा व्यस्त कोणता?
- 83/3 + x = 1/5 असा परिमेय संख्या x शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1होय, कारण 0 = 0/1
- 212
- 35/7
- 42/7
- 5−1/6
- 627/35
- 76/10
- 8−4/5
अपरिमेय संख्या
१ मीटर बाजूच्या चौरस फरशीचा कर्ण √२ मीटर. कोणताही अपूर्णांक तो अचूक मोजत नाही, तरी ती खरी लांबी आहे.
अपरिमेय संख्या p/q रूपात लिहिता येत नाही. तिचा दशांश संपत नाही आणि आवर्तीही नसतो. उदा. √२, √३, √५, π.
सूत्र : n पूर्ण वर्ग नसेल तर √n अपरिमेय
आकृतीत : एकक चौरसाचा कर्ण √२ = १.४१४२१…; दशांश संपत नाही व आवर्तीही नाही.
नियम 1 : अपरिमेय ओळखा — पूर्ण वर्गांची मुळे परिमेय; इतर वर्गमुळे अपरिमेय.
- सोपे : √९ = ३ परिमेय.
- मध्यम : √७ अपरिमेय.
- परीक्षेसाठी : ०.१०१००१०००… (नमुना आवर्ती नाही) अपरिमेय.
नियम 2 : क्रिया — परिमेय + अपरिमेय = अपरिमेय. दोन अपरिमेयांचे उत्तर परिमेय असू शकते.
- सोपे : २ + √३ अपरिमेय.
- मध्यम : √२ × √२ = २ परिमेय.
- परीक्षेसाठी : (३ + √५) + (३ − √५) = ६ परिमेय.
कोणत्याही दोन संख्यांमध्ये परिमेय आणि अपरिमेय दोन्ही असतात.
२२/७ किंवा ३.१४ ला π चे अचूक मूल्य मानणे; ते फक्त अंदाजे.
"संपत नाही, पुनरावृत्ती नाही : अपरिमेय."
सरावासाठी प्रश्न
- 1यांपैकी अपरिमेय संख्या ओळखा.
- 2√9 परिमेय आहे की अपरिमेय?
- 3√4 × √64 सोपे करा.
- 4√6 × √96 सोपे करा.
- 5कोणत्या राशीची किंमत अपरिमेय संख्या येते?
- 6√55 कोणत्या दोन लागोपाठच्या पूर्णांकांच्या मध्ये आहे?
- 7√44 कोणत्या दोन लागोपाठच्या पूर्णांकांच्या मध्ये आहे?
- 8(8 + √7)(8 − √7) ची किंमत काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1√2
- 2परिमेय, कारण √9 = 3
- 316
- 424
- 54 + √12
- 67 आणि 8
- 76 आणि 7
- 857
अपरिमेय संख्या
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडादशांश रूप आणि आवर्ती दशांश
१/४ = ०.२५ थांबते, पण १/३ = ०.३३३… चालूच राहते. कॅल्क्युलेटर काही ३ दाखवतो.
परिमेय संख्येचा दशांश अंत पावणारा (छेदाचे अवयव फक्त २ व ५) किंवा आवर्ती. ०.३३३३… मध्ये अंकांचा गट सतत पुन्हा येतो. प्रत्येक आवर्ती दशांश p/q मध्ये बदलता येतो.
सूत्र : x = ०.ddd… ⇒ १०x − x = d ⇒ x = d/९
आकृतीत : १०x मधून x वजा करून आवर्त काढून टाका : ९x = ३, म्हणून x = १/३.
नियम 1 : अपूर्णांक → दशांश — अंशाला छेदाने भागा; बाकी ० झाली किंवा अंक पुन्हा आले की थांबा.
- सोपे : ३/८ = ०.३७५ (अंत पावणारा).
- मध्यम : १/६ = ०.१६६६… (६ आवर्ती).
- परीक्षेसाठी : १/७ = ०.१४२८५७ आवर्ती.
नियम 2 : दशांश → अपूर्णांक — एका आवर्त अंकासाठी १०, दोनसाठी १०० ने गुणा आणि वजा करा.
- सोपे : ०.६६६… = ६/९ = २/३.
- मध्यम : ०.४५४५… (४५ आवर्ती) = ४५/९९ = ५/११.
- परीक्षेसाठी : ०.९९९… = ९/९ = १.
अंत पावणारा किंवा आवर्ती म्हणजे परिमेय; न संपणारा, आवर्ती नसणारा म्हणजे अपरिमेय.
०.१२१२१२… सतत चालते म्हणून अपरिमेय म्हणणे.
"पुनरावृत्ती : परिमेय. अनियमित : अपरिमेय."
सरावासाठी प्रश्न
- 111/25 दशांश रूपात लिहा.
- 2भागाकार न करता सांगा की 5/11 चे दशांश रूप संपणारे आहे का.
- 3आवर्ती दशांश 0.222… (म्हणजे 0.2 ज्यात अंक पुन्हा पुन्हा येतो) अपूर्णांक म्हणून लिहा.
- 4आवर्ती दशांश 0.888… (म्हणजे 0.8 ज्यात अंक पुन्हा पुन्हा येतो) अपूर्णांक म्हणून लिहा.
- 51/9 च्या दशांश रूपातील आवर्ती गटात किती अंक आहेत?
- 60.696969… (गट 69 पुन्हा पुन्हा येतो) हा अपूर्णांक लहान रूपात लिहा.
- 70.4888… (अंक 8 हा अंक 4 नंतर कायम पुन्हा येतो) हा अपूर्णांक लहान रूपात लिहा.
- 80.333… + 0.222… अपूर्णांकाच्या रूपात लहान रूपात शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 10.44
- 2नाही
- 32/9
- 48/9
- 51
- 623/33
- 722/45
- 85/9
वास्तव संख्या आणि करणी
तुम्ही मोजू शकता अशी प्रत्येक लांबी, जसे २, ३/४ किंवा √५ cm, मोजपट्टीवरील एक बिंदू आहे. परिमेय आणि अपरिमेय मिळून पूर्ण मोजपट्टी भरतात.
परिमेय आणि अपरिमेय मिळून वास्तव संख्या. करणी म्हणजे √३ किंवा ∛५ सारखे अपरिमेय मूळ. नियम : √a × √b = √(ab), √a ÷ √b = √(a/b). 1/√a परिमेय करण्यासाठी अंश-छेदाला √a ने गुणा.
सूत्र : १/√a = √a/a; (a + √b)(a − √b) = a² − b
आकृतीत : प्रत्येक संच पुढच्या संचात बसतो. अपरिमेय संख्या वास्तव रेषेतील रिकाम्या जागा भरतात.
नियम 1 : करणी सोपी करा — मुळाखालील पूर्ण वर्ग अवयव बाहेर काढा.
- सोपे : √५० = √(२५ × २) = ५√२.
- मध्यम : √१२ × √३ = √३६ = ६.
- परीक्षेसाठी : √१८ + √८ = ३√२ + २√२ = ५√२.
नियम 2 : छेद परिमेय करा — छेदात दोन पदे असतील तर संयुग्माने गुणा.
- सोपे : १/√३ = √३/३.
- मध्यम : २/√५ = २√५/५.
- परीक्षेसाठी : १/(२ + √३) = २ − √३.
प्रत्येक वास्तव संख्या संख्यारेषेवरील बिंदू आणि प्रत्येक बिंदू वास्तव संख्या.
√a + √b = √(a + b) असे लिहिणे; असा नियम नाही.
"वर्ग अवयव बाहेर उडी मारतात; मुळे एका छताखाली गुणली जातात."
सरावासाठी प्रश्न
- 1√72 सोपे करा.
- 2कोणती संख्या मोठी : √10 की 4?
- 33√2 + 6√2 सोपे करा.
- 4√180 − √80 सोपे करा.
- 51/√12 चा छेद करणीमुक्त करा.
- 6(4√3) × (4√3) सोपे करा.
- 7(√7 + 3)² चा विस्तार करा.
- 81/(√6 − √5) चा छेद करणीमुक्त करा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 16√2
- 24
- 39√2
- 42√5
- 5√12/12
- 648
- 716 + 6√7
- 8√6 + √5