रेषीय बहुपदी : पदे आणि किंमत
टॅक्सी सुरुवातीला ₹२० आणि प्रति km ₹१२ घेते. x kmचे बिल १२x + २०. x च्या जागी संख्या ठेवली की बिल मिळते.
x मधील रेषीय बहुपदी म्हणजे ax + b (a ≠ 0). x हे चल, a हा सहगुणक आणि b हे स्थिर पद. x = k वरील किंमत ak + b.
सूत्र : p(x) = ax + b, p(k) = ak + b
आकृतीत : p(x) = 3x + 2 : सहगुणक ३, स्थिर पद २ आणि p(4) = ३ × ४ + २ = १४.
नियम 1 : किंमत काढा — x च्या जागी संख्या ठेवा आणि चिन्हे सांभाळून हिशोब करा.
- सोपे : p(x) = 2x + 5 : p(3) = ११.
- मध्यम : p(x) = 4x − 7 : p(−2) = −८ − ७ = −१५.
- परीक्षेसाठी : p(x) = 5 − 3x : p(2) = ५ − ६ = −१.
नियम 2 : रोजच्या जीवनातील नियम — न बदलणारा भाग स्थिर पद; x बरोबर बदलणारा भाग सहगुणकासह.
- सोपे : ₹२० + प्रति km ₹१२ : p(x) = १२x + २०; ५ kmला ₹८०.
- मध्यम : पेन्सिल प्रत्येकी ₹५ : किंमत = ५x.
- परीक्षेसाठी : १० चॉकलेटचा पुडा आणि आणखी x : एकूण = x + १०.
रेषीय बहुपदीत x फक्त घात १ मध्ये असतो. x² किंवा 1/x असेल तर ती रेषीय नाही.
4x − 7 साठी p(−2) हे ४ × २ − ७ असे लिहून वजा चिन्ह विसरणे.
"आधी कोष्ठक" : गुणाकारापूर्वी संख्या कोष्ठकात ठेवा.
सरावासाठी प्रश्न
- 1y मधील घात 1 असलेली बहुपदी निवडा.
- 2बहुपदी −8t − 6 चे स्थिर पद कोणते?
- 3p(x) = −7x − 3 ची किंमत x = −3 साठी काढा.
- 4बहुपदी p(x) = 4x + b साठी p(3) = 9 आहे. b शोधा.
- 5p(x) ही रेषीय बहुपदी असून p(1) = −1 आणि p(6) = −21 आहे. p(8) शोधा.
- 6p(x) = −6x + 4 आणि q(x) = −6x + 4 असेल तर p(x) + q(x) शोधा.
- 7रेषीय बहुपदी p(x) साठी p(1) = −4 आणि p(−1) = −10 आहे. p(0) शोधा.
- 8p(x) = 4x − 3 असू द्या. p(p(2)) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 13y + 5
- 2−6
- 318
- 4−3
- 5−29
- 6−12x + 8
- 7−7
- 817
रेषीय नमुने आणि n-वे पद
काड्यांच्या रांगेत चौरस : १ चौरसाला ४, २ ला ७, ३ ला १०. प्रत्येक नवीन चौरसाला ३ काड्या जास्त. नियमाने कितीही चौरसांसाठी काड्या मिळतात.
नमुना प्रत्येक वेळी सारख्याच d ने वाढत असेल तर n-वे पद = dn + (पहिले पद − d); हे n मधील रेषीय बहुपदी आहे. d हा n चा सहगुणक.
सूत्र : n-वे पद = dn + (a − d), जेथे a = पहिले पद
आकृतीत : ५, ८, ११, १४ मध्ये प्रत्येक वेळी ३ ची भर; म्हणून n-वे पद ३n + २ (n = १ ला ५).
नियम 1 : नियम शोधा — सलग पदांची वजाबाकी करून d काढा, मग dn + (a − d) वापरा.
- सोपे : २, ५, ८, … : d = ३, नियम ३n − १.
- मध्यम : १०, २०, ३०, … : नियम १०n.
- परीक्षेसाठी : ७, ५, ३, … : d = −२, नियम −२n + ९.
नियम 2 : नियम वापरा — n ची किंमत नियमात ठेवा; पद दिले असल्यास n साठी सोडवा.
- सोपे : नियम ३n + २ : १० वे पद = ३२.
- मध्यम : नियम ४n − १ = ३९ वरून n = १०.
- परीक्षेसाठी : ६ चौरसांसाठी काड्या : ३ × ६ + १ = १९.
नियम वापरण्यापूर्वी पहिल्या दोन पदांवर तपासा.
नियम फक्त dn लिहिणे आणि (a − d) भाग विसरणे.
"पाऊल गुणिले n, मग सुरुवात जुळवा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1आकृतिबंध 7, 1, −5, −11, … मध्ये लागोपाठच्या पदांमधील स्थिर फरक किती?
- 2एका आकृतिबंधाचे n वे पद T(n) = 5n + 6 आहे. T(13) शोधा.
- 3एका आकृतिबंधाचे पहिले पद 12 आहे आणि प्रत्येक पुढचे पद मागच्यापेक्षा 5 ने जास्त आहे. n वे पद देणारा नियम कोणता?
- 4n च्या कोणत्या किमतीसाठी नियम 3n + 8 ची किंमत 56 येते?
- 5आकृत्यांच्या एका आकृतिबंधात पहिल्या आकृतीसाठी 6 काड्या लागतात आणि प्रत्येक पुढच्या आकृतीला मागच्यापेक्षा 3 काड्या जास्त लागतात. आकृती क्रमांक 11 साठी किती काड्या लागतील?
- 6आकृत्यांच्या एका आकृतिबंधात पहिल्या आकृतीसाठी 3 काड्या लागतात आणि प्रत्येक पुढच्या आकृतीला मागच्यापेक्षा 2 काड्या जास्त लागतात. आकृती क्रमांक 10 साठी किती काड्या लागतील?
- 7रेषीय आकृतिबंधात T(2) = 12 आणि T(6) = 36 आहे. T(12) शोधा.
- 8एका आकृतिबंधाचे n वे पद 7n − 4 आहे. 14 वे पद 6 व्या पदापेक्षा किती जास्त आहे?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1−6
- 271
- 35n + 7
- 416
- 536
- 621
- 772
- 856
रेषीय वाढ आणि घट
१० cm उंचीचे रोप दर आठवड्याला २ cm वाढते. १०० लिटरची टाकी दर मिनिटाला ५ लिटर रिकामी होते. एक सतत वाढते, दुसरी सतत घटते.
राशी b पासून सुरू होऊन प्रत्येक एककाला सारख्याच दराने a बदलत असेल तर किंमत a·t + b. a धन म्हणजे वाढ, a ऋण म्हणजे घट.
सूत्र : किंमत = (दर) × वेळ + (सुरुवात)
आकृतीत : हिरवी रेषा : १० + २w दर आठवड्याला २ ने वाढते. लाल रेषा : १०० − ५t दर मिनिटाला ५ ने घटते.
नियम 1 : नियम तयार करा — सुरुवातीची किंमत म्हणजे स्थिर पद; प्रत्येक एककाचा दर म्हणजे सहगुणक (घटीसाठी ऋण).
- सोपे : ₹५०० बचत, दरमहा +₹५० : ५०m + ५००.
- मध्यम : ३० cmची मेणबत्ती, दर तासाला २ cm जळते : ३० − २h.
- परीक्षेसाठी : फोन ८०%, दर तासाला ४% घटतो : ८० − ४h.
नियम 2 : प्रश्न सोडवा — वेळ ठेवून किंमत काढा, किंवा किंमत ठेवून वेळ काढा.
- सोपे : १० + २w, ६ आठवड्यांनी : २२ cm.
- मध्यम : १०० − ५t = ० वरून t = २० मिनिटे.
- परीक्षेसाठी : ३० − २h = १० केव्हा? h = १० तास.
प्रत्येक एककाला सारखा बदल म्हणजे रेषीय. बदलच बदलत असेल तर रेषीय नाही.
दर हा सुरुवातीची किंमत मानणे, उदा. २w + १० ऐवजी १०w + २.
"सुरुवात थांबते, दर चलासोबत चालतो."
सरावासाठी प्रश्न
- 1भावनाचे रोप आज 9 cm उंच आहे आणि दर आठवड्याला 3 cm वाढते. 3 आठवड्यांनंतर ते किती उंच असेल?
- 2एक मेणबत्ती 36 cm लांब आहे. ती दर तासाला 4 cm जळते. 2 तासांनंतर तिची लांबी किती?
- 3एक कॅब ठराविक ₹27 आणि वर प्रत्येक किलोमीटरला ₹17 आकारते. 9 kmचे भाडे किती?
- 4एका टाकीत 476 लिटर पाणी आहे आणि दर तासाला 17 लिटर गळते. किती तासांनंतर नेमके 306 लिटर शिल्लक राहील?
- 5एक रोप 19 cm उंच आहे आणि दर आठवड्याला 3 cm वाढते. किती आठवड्यांत ते 43 cm उंच होईल?
- 6एका बाईकची किंमत आज ₹76 हजार आहे आणि तिचे पुनर्विक्री मूल्य दरवर्षी ₹7 हजारांनी कमी होते. t वर्षांनंतरचे मूल्य V (₹ हजारांत) देणारे सूत्र कोणते?
- 7अनिलचे रोप 18 cm उंच आहे आणि दर आठवड्याला 3 cm वाढते. फिरोजचे रोप 26 cm उंच आहे आणि दर आठवड्याला 2 cm वाढते. किती आठवड्यांनंतर दोन्ही सारखी उंच होतील?
- 8प्लॅन A चा खर्च दरमहा ₹187 आणि वर प्रत्येक GB ला ₹13 आहे. प्लॅन B चा खर्च दरमहा ₹43 आणि वर प्रत्येक GB ला ₹25 आहे. किती GB साठी दोन्ही प्लॅनचा खर्च सारखा येतो?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 118
- 228
- 3180
- 410
- 58
- 6V = 76 − 7t
- 78
- 812
रेषीय बहुपदीचा शून्यांक
दुकानदार विचारतो : २x − ६ हे बिल किती वस्तूंना ₹० होईल? उत्तर म्हणजे जी संख्या अभिव्यक्ती शून्य करते.
p(x) चा शून्यांक म्हणजे अशी संख्या k की p(k) = 0. रेषीय बहुपदी ax + b ला नेमका एक शून्यांक, x = −b/a.
सूत्र : ax + b = 0 ⇒ x = −b/a
आकृतीत : २x − ६ साठी a = २, b = −६; शून्यांक −(−६)/२ = ३ आणि २(३) − ६ = ०.
नियम 1 : शून्यांक काढा — बहुपदी ० च्या बरोबर मांडा आणि x साठी सोडवा.
- सोपे : ३x + ९ : शून्यांक −३.
- मध्यम : ५x − २ : शून्यांक २/५.
- परीक्षेसाठी : ७ − x : शून्यांक ७.
नियम 2 : शून्यांक तपासा — संख्या ठेवा; किंमत ० आली तर तो शून्यांक.
- सोपे : ४ हा २x − ८ चा शून्यांक आहे का? २(४) − ८ = ०, होय.
- मध्यम : १ हा ३x + १ चा शून्यांक आहे का? किंमत ४, नाही.
- परीक्षेसाठी : k = २ शून्यांक आणि b = −१० तर a = ५.
शून्यांक म्हणजे रेषा x-अक्षाला जिथे छेदते तो बिंदू. रेषीय बहुपदीला दोन शून्यांक कधीच नसतात.
शून्यांक b/a असे देऊन वजा चिन्ह विसरणे.
"स्थिर पद हलवा, मग सहगुणकाने भागा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1रेषीय बहुपदी ax + b (a ≠ 0) ला किती शून्ये असतात?
- 25x − 35 चे शून्य शोधा.
- 3बहुपदी 2x + 6 चे शून्य शोधा.
- 4x = 4 हे बहुपदी 7x + b चे शून्य असेल तर b शोधा.
- 56x + 9 = 2x − 8 हे x साठी सोडवा.
- 625 °C तापमानाचा बर्फाचा गोळा असा थंड केला जातो की दर मिनिटाला त्याचे तापमान 5 °C ने घटते. किती मिनिटांनंतर तापमान 0 °C होईल?
- 7p(x) = 4x + 3 आणि q(x) = 4x + 1. p(x) + q(x) चे शून्य शोधा.
- 8रेषीय बहुपदी p(x) चे शून्य x = 3 आहे आणि p(0) = −12 आहे. p(5) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1नेमके एक
- 27
- 3−3
- 4−28
- 5−17/4
- 65
- 7−1/2
- 88
रेषीय संबंधांचे आलेख
अंतराच्या तुलनेत टॅक्सी बिलाचा आलेख सरळ रेषा येते. ती ₹२० पासून सुरू होऊन सतत वाढते.
y = ax + b चा आलेख सरळ रेषा. b ही y-अक्षाला छेदण्याची जागा (अंतःखंड); a ने कल ठरतो : a > ० तर चढती, a < ० तर उतरती. शून्यांक म्हणजे x-अक्षाला छेद.
सूत्र : y = ax + b : y-अंतःखंड b, शून्यांक −b/a
आकृतीत : y = २x + १ ही रेषा y-अक्षाला १ वर छेदते आणि (१, ३) मधून जाते. शून्यांक −१/२.
नियम 1 : दोन बिंदू मांडा — कोणतेही दोन बिंदू पुरेसे; जोडा आणि रेषा वाढवा.
- सोपे : y = x + २ : (०, २) आणि (१, ३).
- मध्यम : y = २x : (०, ०) आणि (२, ४).
- परीक्षेसाठी : y = ३ − x : (०, ३) आणि (३, ०).
नियम 2 : आलेख वाचा — x = ० वर b मिळतो, y = ० वर शून्यांक.
- सोपे : (०, ४) आणि (२, ०) मधून जाणारी रेषा : y = ४ − २x.
- मध्यम : उतरती रेषा : a ऋण.
- परीक्षेसाठी : आडवी रेषा y = ३ मध्ये a = ० (x मधील रेषीय बहुपदी नाही).
दोन बिंदू सरळ रेषा ठरवतात. तिसऱ्या बिंदूने तपासा.
बिंदू वक्र किंवा तुटक रेषेने जोडणे.
"b म्हणजे y-अक्षावर सुरुवात, a म्हणजे चढ."
सरावासाठी प्रश्न
- 1y = 2x + 2 चा आलेख y-अक्षाला कोणत्या बिंदूत छेदतो?
- 2रेषा y = x + 7 वरील एका बिंदूचा x-निर्देशक −3 आहे. त्याचा y-निर्देशक किती?
- 3y = 5x + 5 ही रेषा x-अक्षाला ज्या बिंदूत भेटते त्याचा x-निर्देशक शोधा.
- 4एक सरळ रेषा (3, 2) आणि (7, 10) मधून जाते. x मध्ये 1 ची वाढ झाली तर y मध्ये किती बदल होतो?
- 5एक सरळ रेषा (3, 2) आणि (5, 6) मधून जाते. x मध्ये 1 ची वाढ झाली तर y मध्ये किती बदल होतो?
- 6एक रेषा (3, 2) आणि (5, 4) मधून जाते. तिचे समीकरण कोणते?
- 7रेषा y = 2x + 1 आणि y = 5x − 5 एका बिंदूत भेटतात. त्याचा x-निर्देशक किती?
- 8रेषा y = x − 3 आणि दोन्ही निर्देशक-अक्ष मिळून एक त्रिकोण तयार होतो. त्याचे क्षेत्रफळ (चौरस एककांत) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1(0, 2)
- 24
- 3−1
- 42
- 52
- 6y = x − 1
- 72
- 89/2