K2KARAKORAM
मराठीEnglishहिंदी
ॲप उघडा

CBSE · इयत्ता 9 · गणित

प्रकरण 1: निर्देशक (स्थान ओळखणे)

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English · हिंदी

क्रमित जोडी आणि बिंदू शोधणे

रोजच्या जीवनातून

चित्रपटगृहातील आसन "रांग ४, आसन ७" अशा दोन क्रमांकांनी सापडते. योग्य क्रमातील दोन संख्या एक जागा नक्की करतात. नकाशातील जाळीही असेच काम करते.

सोपी व्याख्या

दोन संख्यारेषा मूलबिंदू O (0, 0) येथे काटकोनात छेदतात : आडवा x-अक्ष आणि उभा y-अक्ष. बिंदू क्रमित जोडी (x, y) अशी लिहितात. पहिली संख्या x-निर्देशक (उजवीकडे/डावीकडे किती), दुसरी y-निर्देशक (वर/खाली किती).

सूत्र : बिंदू P(x, y) : आधी x-अक्षावर x पावले, मग y-अक्षाला समांतर y पावले.

xy−4−3−2−11234−11234P(3,2)Q(-2,3)O

आकृतीत : P उजवीकडे ३ आणि वर २, म्हणून P(3, 2). Q डावीकडे २ आणि वर ३, म्हणून Q(−2, 3).

नियम 1 : क्रम महत्त्वाचा — x = y असल्याशिवाय (x, y) आणि (y, x) हे वेगळे बिंदू असतात. x-निर्देशक नेहमी आधी लिहा.

  • सोपे : (2, 5) म्हणजे उजवीकडे २, वर ५; (5, 2) म्हणजे उजवीकडे ५, वर २.
  • मध्यम : (4, 4) उलट केले तरी तेच.
  • परीक्षेसाठी : मूलबिंदू : (0, 0). x-अक्षावर : (a, 0). y-अक्षावर : (0, b).

नियम 2 : आलेखावरून बिंदू वाचणे — x साठी x-अक्षावर आणि y साठी y-अक्षावर लंब टाका.

  • सोपे : y-अक्षाच्या डावीकडे ३ आणि x-अक्षाच्या वर १ असलेला बिंदू (−3, 1).
  • मध्यम : y-अक्षावर x-अक्षाच्या खाली ४ असलेला बिंदू (0, −4).
  • परीक्षेसाठी : शाळा मूलबिंदू; दुकान पूर्वेला ६ आणि दक्षिणेला २ : (6, −2).
लक्षात ठेवा

आधी x (आडवे), मग y (वर/खाली). डावीकडे आणि खाली ऋण.

सामान्य चूक

(3, 2) हा बिंदू वर ३ आणि उजवीकडे २ असा काढणे.

आठवणीची युक्ती

"आधी धाव, मग उडी" : आधी x, मग y.

झटपट तक्ता

बिंदूकुठे
(3, 0)x-अक्षावर
(0, −2)y-अक्षावर
(0, 0)मूलबिंदू

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1मूलबिंदूचे निर्देशक कोणते?
  2. 2बिंदू (4, 5) चा y-निर्देशक (कोटी) किती?
  3. 3एक मधमाशी बिंदू (−4, 2) वर आहे. ती 5 एकक डावीकडे आणि 4 एकक वर उडते. तिचे नवे स्थान कोणते?
मध्यम
  1. 4एक मधमाशी बिंदू (1, −6) वर आहे. ती 3 एकक डावीकडे आणि 4 एकक वर उडते. तिचे नवे स्थान कोणते?
  2. 5पहिल्या चरणातील एक बिंदू y-अक्षापासून 2 एकक आणि x-अक्षापासून 7 एकक दूर आहे. त्याचे निर्देशक कोणते?
  3. 6ग्रिड नकाशावर आशाचे घर (6, 5) वर आहे. लताचे घर तिच्या घराच्या 4 एकक उजवीकडे आणि 1 एकक खाली आहे. लताच्या घराचे निर्देशक कोणते?
आव्हानात्मक
  1. 7अक्षांना समांतर बाजू असलेल्या आयताची तीन शिरोबिंदू (0, 0), (6, 0) आणि (6, 9) आहेत. चौथा शिरोबिंदू शोधा.
  2. 8क्रमित जोड्या (x + 1, 5) आणि (4, y + 2) एकच बिंदू दर्शवतात. x + y शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1(0, 0)
  2. 25
  3. 3(−9, 6)
  4. 4(−2, −2)
  5. 5(2, 7)
  6. 6(10, 4)
  7. 7(0, 9)
  8. 86
Live आकृती

क्रमित जोडी आणि बिंदू शोधणे

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

चरण आणि निर्देशकांची चिन्हे

रोजच्या जीवनातून

होकायंत्र शहराच्या नकाशाचे चार भाग करते : ईशान्य, वायव्य, नैर्ऋत्य, आग्नेय. अक्ष आलेखाचे असेच चार भाग करतात.

सोपी व्याख्या

दोन अक्ष प्रतलाचे चार चरण करतात; वर उजवीकडून घड्याळाच्या उलट दिशेने I, II, III, IV. अक्षावरचे बिंदू कोणत्याही चरणात नसतात.

सूत्र : I : (+, +) II : (−, +) III : (−, −) IV : (+, −)

xy−4−3−2−11234−4−3−2−11234IIIIIIIV(+, +)(−, +)(−, −)(+, −)

आकृतीत : चरण I वर उजवीकडे; क्रमांक घड्याळाच्या उलट दिशेने IV खाली उजवीकडे.

नियम 1 : चिन्हावरून चरण — आधी x चे चिन्ह, मग y चे पाहा.

  • सोपे : (5, 3) : दोन्ही धन, म्हणून चरण I.
  • मध्यम : (−2, 7) : x ऋण, y धन, म्हणून चरण II.
  • परीक्षेसाठी : (−1, −8) III मध्ये आणि (4, −6) IV मध्ये.

नियम 2 : अक्षांवरील बिंदू — x = 0 किंवा y = 0 असेल तर बिंदू अक्षावर, चरणात नाही.

  • सोपे : (0, 5) y-अक्षावर आहे.
  • मध्यम : (−3, 0) x-अक्षावर आहे.
  • परीक्षेसाठी : xy > 0 तर I किंवा III; xy < 0 तर II किंवा IV.
लक्षात ठेवा

चरण घड्याळाच्या उलट दिशेने. xy गुणाकार I व III मध्ये धन, II व IV मध्ये ऋण.

सामान्य चूक

(0, 4) हा चरण I मध्ये आहे असे म्हणणे.

आठवणीची युक्ती

घड्याळाच्या उलट दिशेने : (+,+), (−,+), (−,−), (+,−).

झटपट तक्ता

चरणxy
I++
II−+
III−−
IV+−

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1दोन्ही अक्ष प्रतलाचे किती भाग (चरण) करतात?
  2. 2बिंदू (−3, 1) कोणत्या चरणात आहे?
  3. 3पहिल्या चरणातील बिंदू ओळखा.
मध्यम
  1. 4बिंदू (−4.5, 4.5) कोणत्या चरणात आहे?
  2. 5बिंदू (2, 4), (−7, 8), (4, 8), (8, 2) पैकी किती बिंदू पहिल्या चरणात आहेत?
  3. 6बिंदू (0, 8) कोणत्या अक्षावर आहे?
आव्हानात्मक
  1. 7बिंदू (p, q) चौथ्या चरणात आहे. बिंदू (q, −p) कोणत्या चरणात असेल?
  2. 8बिंदू (x, y) साठी x·y > 0 आणि x + y < 0 आहे. तो कोणत्या चरणात आहे?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 14
  2. 2दुसरा चरण
  3. 3(2, 8)
  4. 4दुसरा चरण
  5. 53
  6. 6y-अक्ष
  7. 7तिसरा चरण
  8. 8तिसरा चरण
Live आकृती

चरण आणि निर्देशकांची चिन्हे

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

अक्ष, प्रतिबिंब आणि अक्षांपासूनचे अंतर

रोजच्या जीवनातून

आरशात तुमचा चेहरा आरशाच्या पुढे जितक्या अंतरावर तितक्याच अंतरावर मागे दिसतो. अक्षातील प्रतिबिंबही असेच असते.

सोपी व्याख्या

P(x, y) चे y-अक्षापासूनचे अंतर |x| आणि x-अक्षापासूनचे अंतर |y|. x-अक्षातील प्रतिबिंबात y चे चिन्ह बदलते; y-अक्षातील प्रतिबिंबात x चे.

सूत्र : x-अक्षात : (x, y) → (x, −y). y-अक्षात : (x, y) → (−x, y). मूलबिंदूत : (x, y) → (−x, −y).

xy−4−3−2−11234−3−2−1123P(3,2)P'(3,-2)P''(-3,2)

आकृतीत : P′ हे P चे x-अक्षातील प्रतिबिंब; P″ हे y-अक्षातील प्रतिबिंब.

नियम 1 : अक्षापासूनचे अंतर — अंतर कधी ऋण नसते, म्हणून दुसऱ्या निर्देशकाचे निरपेक्ष मूल्य घ्या.

  • सोपे : (−5, 3) y-अक्षापासून ५ आणि x-अक्षापासून ३.
  • मध्यम : चरण III मधील x-अक्षापासून ४ अंतरावरील बिंदूचा y = −४.
  • परीक्षेसाठी : x-अक्षावरील बिंदूचा y = 0, म्हणून x-अक्षापासून अंतर 0.

नियम 2 : प्रतिबिंबे — आरशाच्या रेषेवरील निर्देशक तसाच ठेवा; दुसऱ्याचे चिन्ह बदला.

  • सोपे : (4, −1) चे x-अक्षातील प्रतिबिंब → (4, 1).
  • मध्यम : (−2, 6) चे y-अक्षातील प्रतिबिंब → (2, 6).
  • परीक्षेसाठी : बिंदू आणि त्याचे x-अक्षातील प्रतिबिंब यांतील अंतर 2|y|.
लक्षात ठेवा

x-अक्षापासून |y|; y-अक्षापासून |x|. दोन्ही अक्षांत प्रतिबिंब घेतले तर मूलबिंदूतील प्रतिबिंब मिळते.

सामान्य चूक

अक्ष गोंधळणे : x-अक्षापासूनचे अंतर y वरून, x वरून नव्हे.

आठवणीची युक्ती

"x-अक्षात y उलटतो; y-अक्षात x उलटतो."

झटपट तक्ता

आरसा(3, 2) →
x-अक्ष(3, −2)
y-अक्ष(−3, 2)
मूलबिंदू(−3, −2)

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1बिंदू (6, 7) चे x-अक्षापासूनचे अंतर किती?
  2. 2बिंदू (−5, −3) चे y-अक्षापासूनचे अंतर किती?
  3. 3बिंदू (−1, 3) चे x-अक्षातील प्रतिबिंब (आरशातील प्रतिमा) कोणते?
मध्यम
  1. 4बिंदू (1, 7) चे y-अक्षातील प्रतिबिंब (आरशातील प्रतिमा) कोणते?
  2. 5बिंदू (−3, −7) चे मूलबिंदूभोवती अर्धवळण घेऊन प्रतिबिंब (O भोवती अर्धा फेरा) केले. तो कुठे येतो?
  3. 6x-अक्षावर मूलबिंदूपासून उजवीकडे 7 एकक अंतरावरील बिंदूचे निर्देशक लिहा.
आव्हानात्मक
  1. 7बिंदू (−9, −6) चे आधी x-अक्षात प्रतिबिंब घेतले आणि त्या प्रतिमेचे नंतर y-अक्षात प्रतिबिंब घेतले. अंतिम स्थान कोणते?
  2. 8उभी रेषा x = 6 आरशासारखी आहे. या रेषेतील बिंदू (3, 0) चे प्रतिबिंब कोणते?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 17
  2. 25
  3. 3(−1, −3)
  4. 4(−1, 7)
  5. 5(3, 7)
  6. 6(7, 0)
  7. 7(9, 6)
  8. 8(9, 0)
Live आकृती

अक्ष, प्रतिबिंब आणि अक्षांपासूनचे अंतर

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

दोन बिंदूंतील अंतर

रोजच्या जीवनातून

पतंग तुमच्यापासून पूर्वेला ३ मी आणि उत्तरेला ४ मी आहे. त्याचा दोरा म्हणजे सर्वांत लहान सरळ रेषा : ५ मी. ड्रोनही अशाच प्रकारे सरळ अंतर काढतो.

सोपी व्याख्या

दोन बिंदू जोडा आणि आडवी-उभी बाजू असलेला काटकोन त्रिकोण काढा. अंतर म्हणजे कर्ण, जो पायथागोरस सिद्धांताने काढतात.

सूत्र : d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]. y सारखा : d = |x₂ − x₁|. x सारखा : d = |y₂ − y₁|. मूलबिंदूपासून : d = √(x² + y²).

xy−1123456−112345A(1,1)B(5,4)C435

आकृतीत : बाजू ४ आणि ३ वरून कर्ण ५, म्हणून AB = ५.

नियम 1 : आडवी आणि उभी रेषा — बिंदूंचा एक निर्देशक सारखा असेल तर दुसरा वजा करा.

  • सोपे : (2, 3) आणि (9, 3) : d = |9 − 2| = 7.
  • मध्यम : (−4, 1) आणि (−4, −5) : d = |1 − (−5)| = 6.
  • परीक्षेसाठी : x किंवा y सारखा हवा; नाहीतर सूत्र वापरा.

नियम 2 : तिरकस रेषा — आडवे आणि उभे अंतर काढा, दोन्हींचे वर्ग करा, बेरीज करा, वर्गमूळ घ्या.

  • सोपे : (1, 2) ते (4, 6) : √(3² + 4²) = 5.
  • मध्यम : (−2, −1) ते (4, 7) : √(36 + 64) = 10.
  • परीक्षेसाठी : मूलबिंदू ते (5, 12) : √(25 + 144) = 13.
लक्षात ठेवा

वर्ग कधी ऋण नसतात, म्हणून बिंदूंचा क्रम महत्त्वाचा नाही. (३,४,५), (५,१२,१३), (८,१५,१७) या जोड्या वेळ वाचवतात.

सामान्य चूक

वर्गमूळ विसरणे, किंवा (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² हेच अंतर मानणे.

आठवणीची युक्ती

"आडवे अंतर, उभे अंतर, वर्ग, बेरीज, मूळ."

झटपट तक्ता

बिंदूअंतर
(0, 0), (6, 8)10
(1, 1), (1, 9)8
(2, 3), (5, 7)5

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1(x₁, y₁) आणि (x₂, y₂) मधील अंतर कोणत्या राशीने मिळते?
  2. 2बिंदू (−3, −2) आणि (−3, 1) मधील अंतर किती?
  3. 3A(−5, 3) आणि B(2, 27) मधील अंतर शोधा.
मध्यम
  1. 4बिंदू (−5, 6) चे मूलबिंदूपासूनचे अंतर किती?
  2. 5P(4, 4) आणि Q(2, −2) मधील अंतर शोधा.
  3. 6(k, −3) आणि (−2, −3) मधील अंतर 9 आहे. k च्या कोणत्या किमती असू शकतात?
आव्हानात्मक
  1. 7A हा बिंदू (3, −1) आहे आणि B हा बिंदू (11, k) आहे; B हा A च्या वर आहे. AB = 17 असेल तर k शोधा.
  2. 8गौरी शाळेच्या फाटकापासून 5 km पूर्वेकडे आणि नंतर 12 km उत्तरेकडे चालते. आता ती फाटकापासून सरळ रेषेत किती km दूर आहे?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1√[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
  2. 23
  3. 325
  4. 4√61
  5. 5√40
  6. 6−11 किंवा 7
  7. 714
  8. 813

अंतर सूत्राचा वापर

रोजच्या जीवनातून

तीन खांब एका सरळ रेषेत आहेत का, हे सर्वेक्षक त्यांच्यातील अंतरे मोजून पाहतो. दोन अंतरांची बेरीज तिसऱ्या इतकी असेल तर होय.

सोपी व्याख्या

अंतर सूत्राने एकरेषीय बिंदू तपासता येतात, बाजूंच्या लांबीवरून त्रिकोण किंवा चौकोन कोणता ते ओळखता येते, आणि दोन दिलेल्या बिंदूंपासून समान अंतरावरील बिंदू सापडतो.

सूत्र : एकरेषीय : AB + BC = AC. B वर काटकोन : AB² + BC² = AC². A व B पासून समान अंतर : PA = PB.

xy−4−3−2−1123−2−1123A(-3,-1)B(1,-1)C(1,2)

आकृतीत : AB = ४, BC = ३, AC = ५ आणि ४² + ३² = ५² : B वर काटकोन.

नियम 1 : एकरेषीय बिंदू — तिन्ही अंतरे काढा. दोन लहान अंतरांची बेरीज सर्वांत मोठ्या इतकी असेल तर बिंदू एका रेषेत.

  • सोपे : (0,0), (3,4), (6,8) : ५ + ५ = १०, म्हणून एकरेषीय.
  • मध्यम : (0,0), (1,1), (2,3) : √2 + √5 ≠ √13, एकरेषीय नाही.
  • परीक्षेसाठी : वर्गमूळे अंदाजाने मिळवू नका; वर्ग करून काळजीपूर्वक तपासा.

नियम 2 : त्रिकोणाचा प्रकार — दोन बाजू समान : समद्विभुज/समभुज. पायथागोरस जुळला : काटकोन.

  • सोपे : A(1,1), B(5,1), C(3,4) : AC = BC = √13, समद्विभुज.
  • मध्यम : A(0,0), B(4,0), C(4,3) : १६ + ९ = २५, B वर काटकोन.
  • परीक्षेसाठी : चौरस : चार समान बाजू आणि समान कर्ण.

नियम 3 : समान अंतरावरील बिंदू — PA² = PB² मांडा; वर्ग पदे जातात आणि सोपे समीकरण उरते.

  • सोपे : (2,3) आणि (6,5) पासून समान अंतरावरील (x, 0) शोधण्यासाठी (x−2)²+9 = (x−6)²+25 मांडा.
  • मध्यम : विस्तार : −4x + 13 = −12x + 61, म्हणून 8x = 48 आणि x = 6.
  • परीक्षेसाठी : (6, 0) हा बिंदू त्या दोन बिंदूंच्या लंबदुभाजकावर आहे.
लक्षात ठेवा

आधी वर्गांची तुलना करा; मूळ शेवटी घ्या. दोन बाजू समान असलेला त्रिकोण समद्विभुज.

सामान्य चूक

वर्गांची बेरीज अचूक जुळते का न पाहता काटकोन म्हणणे.

आठवणीची युक्ती

"लहान + लहान = मोठा : बिंदू एका रेषेत."

झटपट तक्ता

तपासणीअट
एकरेषीयAB + BC = AC
काटकोनAB² + BC² = AC²
समान अंतरPA = PB

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1शिरोबिंदू (0, 0), (6, 0) आणि (0, 8) असलेल्या त्रिकोणाची परिमिती शोधा.
  2. 2शिरोबिंदू (0, 0), (10, 0) आणि (10, 3) असलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ (चौरस एककांत) शोधा.
  3. 3एका आयताचे शिरोबिंदू (0, 0), (3, 0), (3, 4) आणि (0, 4) आहेत. त्याच्या कर्णाची लांबी शोधा.
मध्यम
  1. 4शिरोबिंदू A(−1, −1), B(3, −1) आणि C(−1, 3) असलेला त्रिकोण कोणत्या प्रकारचा आहे?
  2. 5शिरोबिंदू (4, −1), (7, −1) आणि (7, 3) असलेल्या त्रिकोणाची परिमिती शोधा.
  3. 6A(0, −4) आणि B(6, 2) पासून समान अंतरावर असलेला x-अक्षावरील बिंदू शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7A(−2, −4) आणि B(4, 2) पासून समान अंतरावर असलेला x-अक्षावरील बिंदू शोधा.
  2. 8बिंदू (0, y) हा (−5, 0) पासून 13 एकक दूर आहे. y ची धन किंमत शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 124
  2. 215
  3. 35
  4. 4काटकोन आणि समद्विभुज
  5. 512
  6. 6(2, 0)
  7. 7(0, 0)
  8. 812