क्रमित युग्म और बिंदु खोजना
सिनेमाघर की सीट "पंक्ति 4, सीट 7" जैसे दो क्रमांकों से मिलती है। सही क्रम में दो संख्याएँ एक स्थान तय करती हैं। नक्शे की ग्रिड भी ऐसे ही काम करती है।
दो संख्या-रेखाएँ मूलबिंदु O (0, 0) पर समकोण पर कटती हैं : क्षैतिज x-अक्ष और ऊर्ध्वाधर y-अक्ष। बिंदु को क्रमित युग्म (x, y) के रूप में लिखते हैं। पहली संख्या x-निर्देशांक (दाएँ/बाएँ कितना), दूसरी y-निर्देशांक (ऊपर/नीचे कितना)।
सूत्र : बिंदु P(x, y) : पहले x-अक्ष पर x चलें, फिर y-अक्ष के समांतर y चलें।
आकृति में : P दाएँ 3 और ऊपर 2, इसलिए P(3, 2)। Q बाएँ 2 और ऊपर 3, इसलिए Q(−2, 3)।
नियम 1 : क्रम महत्त्वपूर्ण — x = y न हो तो (x, y) और (y, x) अलग बिंदु होते हैं। x-निर्देशांक हमेशा पहले लिखें।
- आसान : (2, 5) यानी दाएँ 2, ऊपर 5; (5, 2) यानी दाएँ 5, ऊपर 2।
- मध्यम : (4, 4) उलटने पर भी वही।
- परीक्षा-प्रकार : मूलबिंदु : (0, 0)। x-अक्ष पर : (a, 0)। y-अक्ष पर : (0, b)।
नियम 2 : आलेख से बिंदु पढ़ना — x के लिए x-अक्ष पर और y के लिए y-अक्ष पर लंब डालें।
- आसान : y-अक्ष से 3 बाएँ और x-अक्ष से 1 ऊपर वाला बिंदु (−3, 1)।
- मध्यम : y-अक्ष पर x-अक्ष से 4 नीचे वाला बिंदु (0, −4)।
- परीक्षा-प्रकार : स्कूल मूलबिंदु; दुकान पूर्व में 6 और दक्षिण में 2 : (6, −2)।
पहले x (आड़ा), फिर y (ऊपर/नीचे)। बाएँ और नीचे ऋण।
(3, 2) को ऊपर 3 और दाएँ 2 पर रखना।
"पहले दौड़ो, फिर कूदो" : पहले x, फिर y।
झटपट तालिका
| बिंदु | कहाँ |
|---|---|
| (3, 0) | x-अक्ष पर |
| (0, −2) | y-अक्ष पर |
| (0, 0) | मूलबिंदु |
अभ्यास के प्रश्न
- 1मूलबिंदु के निर्देशांक क्या हैं?
- 2बिंदु (4, 5) का y-निर्देशांक (कोटि) क्या है?
- 3एक मधुमक्खी बिंदु (−4, 2) पर है। वह 5 इकाई बाईं ओर और 4 इकाई ऊपर उड़ती है। उसकी नई स्थिति क्या है?
- 4एक मधुमक्खी बिंदु (1, −6) पर है। वह 3 इकाई बाईं ओर और 4 इकाई ऊपर उड़ती है। उसकी नई स्थिति क्या है?
- 5प्रथम चतुर्थांश का एक बिंदु y-अक्ष से 2 इकाई और x-अक्ष से 7 इकाई दूर है। उसके निर्देशांक क्या हैं?
- 6एक ग्रिड मानचित्र पर आशा का घर (6, 5) पर है। लता का घर उससे 4 इकाई दाईं ओर और 1 इकाई नीचे है। लता के घर के निर्देशांक क्या हैं?
- 7अक्षों के समांतर भुजाओं वाले एक आयत के तीन शीर्ष (0, 0), (6, 0) और (6, 9) हैं। चौथा शीर्ष ज्ञात कीजिए।
- 8क्रमित युग्म (x + 1, 5) और (4, y + 2) एक ही बिंदु को दर्शाते हैं। x + y ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1(0, 0)
- 25
- 3(−9, 6)
- 4(−2, −2)
- 5(2, 7)
- 6(10, 4)
- 7(0, 9)
- 86
क्रमित युग्म और बिंदु खोजना
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंचतुर्थांश और निर्देशांकों के चिह्न
कम्पास शहर के नक्शे को चार भागों में बाँटता है : उत्तर-पूर्व, उत्तर-पश्चिम, दक्षिण-पश्चिम, दक्षिण-पूर्व। अक्ष आलेख को ऐसे ही चार भागों में बाँटते हैं।
दो अक्ष तल को चार चतुर्थांशों में बाँटते हैं; ऊपर दाएँ से घड़ी की उलटी दिशा में I, II, III, IV। अक्ष पर स्थित बिंदु किसी चतुर्थांश में नहीं होते।
सूत्र : I : (+, +) II : (−, +) III : (−, −) IV : (+, −)
आकृति में : चतुर्थांश I ऊपर दाएँ; क्रम घड़ी की उलटी दिशा में IV नीचे दाएँ।
नियम 1 : चिह्न से चतुर्थांश — पहले x का चिह्न, फिर y का देखें।
- आसान : (5, 3) : दोनों धन, इसलिए चतुर्थांश I।
- मध्यम : (−2, 7) : x ऋण, y धन, इसलिए चतुर्थांश II।
- परीक्षा-प्रकार : (−1, −8) III में और (4, −6) IV में।
नियम 2 : अक्षों पर बिंदु — x = 0 या y = 0 हो तो बिंदु अक्ष पर है, चतुर्थांश में नहीं।
- आसान : (0, 5) y-अक्ष पर है।
- मध्यम : (−3, 0) x-अक्ष पर है।
- परीक्षा-प्रकार : xy > 0 तो I या III; xy < 0 तो II या IV।
चतुर्थांश घड़ी की उलटी दिशा में। गुणनफल xy, I और III में धन, II और IV में ऋण।
(0, 4) को चतुर्थांश I में बताना।
घड़ी की उलटी दिशा में : (+,+), (−,+), (−,−), (+,−)।
झटपट तालिका
| चतुर्थांश | x | y |
|---|---|---|
| I | + | + |
| II | − | + |
| III | − | − |
| IV | + | − |
अभ्यास के प्रश्न
- 1दोनों अक्ष तल को कितने क्षेत्रों (चतुर्थांशों) में बाँटते हैं?
- 2बिंदु (−3, 1) किस चतुर्थांश में स्थित है?
- 3वह बिंदु पहचानिए जो प्रथम चतुर्थांश में है।
- 4बिंदु (−4.5, 4.5) किस चतुर्थांश में स्थित है?
- 5बिंदुओं (2, 4), (−7, 8), (4, 8), (8, 2) में से कितने प्रथम चतुर्थांश में स्थित हैं?
- 6बिंदु (0, 8) किस अक्ष पर स्थित है?
- 7बिंदु (p, q) चतुर्थ चतुर्थांश में है। बिंदु (q, −p) किस चतुर्थांश में है?
- 8एक बिंदु (x, y) के लिए x·y > 0 और x + y < 0 है। वह किस चतुर्थांश में है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 14
- 2द्वितीय चतुर्थांश
- 3(2, 8)
- 4द्वितीय चतुर्थांश
- 53
- 6y-अक्ष
- 7तृतीय चतुर्थांश
- 8तृतीय चतुर्थांश
चतुर्थांश और निर्देशांकों के चिह्न
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंअक्ष, प्रतिबिंब और अक्षों से दूरी
आईने में आपका चेहरा काँच के आगे जितनी दूरी पर है उतनी ही दूरी पीछे दिखता है। अक्ष में प्रतिबिंब भी ऐसा ही होता है।
P(x, y) की y-अक्ष से दूरी |x| और x-अक्ष से दूरी |y|। x-अक्ष में प्रतिबिंब से y का चिह्न बदलता है; y-अक्ष में x का।
सूत्र : x-अक्ष में : (x, y) → (x, −y)। y-अक्ष में : (x, y) → (−x, y)। मूलबिंदु में : (x, y) → (−x, −y)।
आकृति में : P′, P का x-अक्ष में प्रतिबिंब है; P″ y-अक्ष में प्रतिबिंब।
नियम 1 : अक्ष से दूरी — दूरी कभी ऋण नहीं होती, इसलिए दूसरे निर्देशांक का निरपेक्ष मान लें।
- आसान : (−5, 3), y-अक्ष से 5 और x-अक्ष से 3।
- मध्यम : चतुर्थांश III में x-अक्ष से 4 दूर बिंदु का y = −4।
- परीक्षा-प्रकार : x-अक्ष पर बिंदु का y = 0, इसलिए x-अक्ष से दूरी 0।
नियम 2 : प्रतिबिंब — दर्पण-रेखा वाला निर्देशांक वही रखें; दूसरे का चिह्न बदलें।
- आसान : (4, −1) का x-अक्ष में प्रतिबिंब → (4, 1)।
- मध्यम : (−2, 6) का y-अक्ष में प्रतिबिंब → (2, 6)।
- परीक्षा-प्रकार : बिंदु और x-अक्ष में उसके प्रतिबिंब के बीच दूरी 2|y|।
x-अक्ष से |y|; y-अक्ष से |x|। दोनों अक्षों में प्रतिबिंब लेने पर मूलबिंदु में प्रतिबिंब मिलता है।
अक्ष गड़बड़ाना : x-अक्ष से दूरी y से मिलती है, x से नहीं।
"x-अक्ष में y पलटता है; y-अक्ष में x पलटता है।"
झटपट तालिका
| दर्पण | (3, 2) → |
|---|---|
| x-अक्ष | (3, −2) |
| y-अक्ष | (−3, 2) |
| मूलबिंदु | (−3, −2) |
अभ्यास के प्रश्न
- 1बिंदु (6, 7) की x-अक्ष से दूरी क्या है?
- 2बिंदु (−5, −3) की y-अक्ष से दूरी क्या है?
- 3बिंदु (−1, 3) का x-अक्ष में दर्पण-प्रतिबिंब (परावर्तन) क्या है?
- 4बिंदु (1, 7) का y-अक्ष में दर्पण-प्रतिबिंब (परावर्तन) क्या है?
- 5बिंदु (−3, −7) का मूलबिंदु के सापेक्ष परावर्तन किया जाता है (O के परितः आधा चक्कर)। वह कहाँ पहुँचता है?
- 6x-अक्ष पर मूलबिंदु से 7 इकाई दाईं ओर स्थित बिंदु के निर्देशांक लिखिए।
- 7बिंदु (−9, −6) का पहले x-अक्ष में परावर्तन किया जाता है और फिर प्रतिबिंब का y-अक्ष में परावर्तन किया जाता है। अंतिम स्थिति क्या है?
- 8ऊर्ध्वाधर रेखा x = 6 दर्पण का काम करती है। इस रेखा में बिंदु (3, 0) का दर्पण-प्रतिबिंब क्या है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 17
- 25
- 3(−1, −3)
- 4(−1, 7)
- 5(3, 7)
- 6(7, 0)
- 7(9, 6)
- 8(9, 0)
अक्ष, प्रतिबिंब और अक्षों से दूरी
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंदो बिंदुओं के बीच की दूरी
पतंग आपसे पूर्व में 3 m और उत्तर में 4 m है। उसकी डोर सबसे छोटी सीधी रेखा है : 5 मी। ड्रोन भी इसी तरह सीधी दूरी निकालता है।
दो बिंदुओं को जोड़ें और क्षैतिज-ऊर्ध्वाधर भुजाओं वाला समकोण त्रिभुज बनाएँ। दूरी कर्ण है, जो पाइथागोरस प्रमेय से निकलती है।
सूत्र : d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]। y समान : d = |x₂ − x₁|। x समान : d = |y₂ − y₁|। मूलबिंदु से : d = √(x² + y²)।
आकृति में : भुजाएँ 4 और 3 से कर्ण 5, इसलिए AB = 5।
नियम 1 : क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखा — बिंदुओं का एक निर्देशांक समान हो तो दूसरा घटाएँ।
- आसान : (2, 3) और (9, 3) : d = |9 − 2| = 7।
- मध्यम : (−4, 1) और (−4, −5) : d = |1 − (−5)| = 6।
- परीक्षा-प्रकार : x या y समान होना चाहिए; नहीं तो सूत्र लगाएँ।
नियम 2 : तिरछी रेखा — क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अंतर निकालें, दोनों के वर्ग लें, जोड़ें, वर्गमूल लें।
- आसान : (1, 2) से (4, 6) : √(3² + 4²) = 5।
- मध्यम : (−2, −1) से (4, 7) : √(36 + 64) = 10।
- परीक्षा-प्रकार : मूलबिंदु से (5, 12) : √(25 + 144) = 13।
वर्ग कभी ऋण नहीं होते, इसलिए बिंदुओं का क्रम मायने नहीं रखता। (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17) समय बचाते हैं।
वर्गमूल भूल जाना, या (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² को ही दूरी मान लेना।
"आड़ी दूरी, खड़ी दूरी, वर्ग, जोड़, मूल।"
झटपट तालिका
| बिंदु | दूरी |
|---|---|
| (0, 0), (6, 8) | 10 |
| (1, 1), (1, 9) | 8 |
| (2, 3), (5, 7) | 5 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1कौन-सा व्यंजक (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी देता है?
- 2बिंदुओं (−3, −2) और (−3, 1) के बीच की दूरी क्या है?
- 3A(−5, 3) और B(2, 27) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
- 4बिंदु (−5, 6) की मूलबिंदु से दूरी क्या है?
- 5P(4, 4) और Q(2, −2) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
- 6(k, −3) और (−2, −3) के बीच की दूरी 9 है। k कौन-से मान ले सकता है?
- 7A बिंदु (3, −1) है और B बिंदु (11, k) है, जहाँ B, A के ऊपर है। यदि AB = 17 है, तो k ज्ञात कीजिए।
- 8गौरी स्कूल के फाटक से 5 km पूर्व और फिर 12 km उत्तर चलती है। अब गौरी फाटक से सीधी रेखा में कितनी दूर है (km में)?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1√[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
- 23
- 325
- 4√61
- 5√40
- 6−11 या 7
- 714
- 813
दूरी सूत्र का उपयोग
तीन खंभे एक सीधी रेखा में हैं या नहीं, यह सर्वेक्षक उनके बीच की दूरियाँ नापकर देखता है। दो दूरियों का योग तीसरी के बराबर हो तो हाँ।
दूरी सूत्र से संरेख बिंदु जाँचे जाते हैं, भुजाओं की लंबाई से त्रिभुज या चतुर्भुज का प्रकार पहचाना जाता है, और दो दिए बिंदुओं से समदूरस्थ बिंदु मिलता है।
सूत्र : संरेख : AB + BC = AC। B पर समकोण : AB² + BC² = AC²। A और B से समदूर : PA = PB।
आकृति में : AB = 4, BC = 3, AC = 5 और 4² + 3² = 5² : B पर समकोण।
नियम 1 : संरेख बिंदु — तीनों दूरियाँ निकालें। दो छोटी का योग सबसे बड़ी के बराबर हो तो बिंदु एक रेखा में।
- आसान : (0,0), (3,4), (6,8) : 5 + 5 = 10, इसलिए संरेख।
- मध्यम : (0,0), (1,1), (2,3) : √2 + √5 ≠ √13, संरेख नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : वर्गमूल अंदाज से न जोड़ें; वर्ग करके ध्यान से जाँचें।
नियम 2 : त्रिभुज का प्रकार — दो भुजाएँ समान : समद्विबाहु/समबाहु। पाइथागोरस मिले : समकोण।
- आसान : A(1,1), B(5,1), C(3,4) : AC = BC = √13, समद्विबाहु।
- मध्यम : A(0,0), B(4,0), C(4,3) : 16 + 9 = 25, B पर समकोण।
- परीक्षा-प्रकार : वर्ग : चार समान भुजाएँ और समान विकर्ण।
नियम 3 : समदूरस्थ बिंदु — PA² = PB² रखें; वर्ग पद कट जाते हैं और सरल समीकरण बचता है।
- आसान : (2,3) और (6,5) से समदूर (x, 0) खोजने के लिए (x−2)²+9 = (x−6)²+25 रखें।
- मध्यम : विस्तार : −4x + 13 = −12x + 61, इसलिए 8x = 48 और x = 6।
- परीक्षा-प्रकार : (6, 0) उन दो बिंदुओं के लंब समद्विभाजक पर है।
पहले वर्गों की तुलना करें; मूल अंत में लें। दो भुजाएँ समान हों तो त्रिभुज समद्विबाहु।
वर्गों का योग ठीक मिलता है या नहीं, देखे बिना समकोण कह देना।
"छोटी + छोटी = बड़ी : बिंदु एक रेखा में।"
झटपट तालिका
| जाँच | शर्त |
|---|---|
| संरेख | AB + BC = AC |
| समकोण | AB² + BC² = AC² |
| समदूर | PA = PB |
अभ्यास के प्रश्न
- 1शीर्षों (0, 0), (6, 0) और (0, 8) वाले त्रिभुज की परिमिति ज्ञात कीजिए।
- 2शीर्षों (0, 0), (10, 0) और (10, 3) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए।
- 3एक आयत के शीर्ष (0, 0), (3, 0), (3, 4) और (0, 4) हैं। उसके विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।
- 4शीर्षों A(−1, −1), B(3, −1) और C(−1, 3) वाला त्रिभुज किस प्रकार का है?
- 5शीर्षों (4, −1), (7, −1) और (7, 3) वाले त्रिभुज की परिमिति ज्ञात कीजिए।
- 6x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो A(0, −4) और B(6, 2) से समदूरस्थ हो।
- 7x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो A(−2, −4) और B(4, 2) से समदूरस्थ हो।
- 8बिंदु (0, y), (−5, 0) से 13 इकाई दूर है। y का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 124
- 215
- 35
- 4समकोण और समद्विबाहु
- 512
- 6(2, 0)
- 7(0, 0)
- 812