रैखिक बहुपद : पद और मान
टैक्सी शुरू में ₹20 और प्रति km ₹12 लेती है। x km का बिल 12x + 20। x की जगह संख्या रखें तो बिल मिलता है।
x में रैखिक बहुपद का रूप ax + b (a ≠ 0) है। x चर, a गुणांक और b अचर पद है। x = k पर इसका मान ak + b।
सूत्र : p(x) = ax + b, p(k) = ak + b
आकृति में : p(x) = 3x + 2 : गुणांक 3, अचर पद 2 और p(4) = 3 × 4 + 2 = 14।
नियम 1 : मान ज्ञात करें — x की जगह संख्या रखें और चिह्नों का ध्यान रखें।
- आसान : p(x) = 2x + 5 : p(3) = 11।
- मध्यम : p(x) = 4x − 7 : p(−2) = −8 − 7 = −15।
- परीक्षा-प्रकार : p(x) = 5 − 3x : p(2) = 5 − 6 = −1।
नियम 2 : दैनिक जीवन का नियम — न बदलने वाला भाग अचर पद; x के साथ बदलने वाला भाग गुणांक के साथ।
- आसान : ₹20 + ₹12 प्रति km : p(x) = 12x + 20; 5 km का ₹80।
- मध्यम : पेंसिल ₹5 प्रत्येक : लागत = 5x।
- परीक्षा-प्रकार : 10 टॉफी का पैकेट और x और : कुल = x + 10।
रैखिक बहुपद में x की घात केवल 1 होती है। x² या 1/x हो तो वह रैखिक नहीं।
4x − 7 के लिए p(−2) को 4 × 2 − 7 लिखकर ऋण चिह्न भूलना।
"पहले कोष्ठक" : गुणा से पहले संख्या कोष्ठक में रखें।
अभ्यास के प्रश्न
- 1वह व्यंजक चुनिए जो y में घात 1 का बहुपद है।
- 2बहुपद −8t − 6 का अचर पद क्या है?
- 3p(x) = −7x − 3 का x = −3 पर मान ज्ञात कीजिए।
- 4बहुपद p(x) = 4x + b के लिए ज्ञात है कि p(3) = 9। b ज्ञात कीजिए।
- 5यदि p(x) एक रैखिक बहुपद है जिसमें p(1) = −1 और p(6) = −21 है, तो p(8) ज्ञात कीजिए।
- 6यदि p(x) = −6x + 4 और q(x) = −6x + 4 है, तो p(x) + q(x) ज्ञात कीजिए।
- 7एक रैखिक बहुपद p(x) में p(1) = −4 और p(−1) = −10 है। p(0) ज्ञात कीजिए।
- 8मान लीजिए p(x) = 4x − 3। p(p(2)) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 13y + 5
- 2−6
- 318
- 4−3
- 5−29
- 6−12x + 8
- 7−7
- 817
रैखिक पैटर्न और n-वाँ पद
तीलियों से कतार में वर्ग : 1 वर्ग को 4, 2 को 7, 3 को 10। हर नए वर्ग पर 3 तीलियाँ बढ़ती हैं। नियम से किसी भी संख्या के वर्गों की तीलियाँ मिलती हैं।
पैटर्न हर बार समान d से बढ़े तो n-वाँ पद = dn + (पहला पद − d); यह n में रैखिक बहुपद है। d, n का गुणांक है।
सूत्र : n-वाँ पद = dn + (a − d), जहाँ a = पहला पद
आकृति में : 5, 8, 11, 14 में हर बार 3 जुड़ता है; इसलिए n-वाँ पद 3n + 2 (n = 1 पर 5)।
नियम 1 : नियम खोजें — क्रमागत पदों का अंतर लेकर d निकालें, फिर dn + (a − d) लगाएँ।
- आसान : 2, 5, 8, … : d = 3, नियम 3n − 1।
- मध्यम : 10, 20, 30, … : नियम 10n।
- परीक्षा-प्रकार : 7, 5, 3, … : d = −2, नियम −2n + 9।
नियम 2 : नियम का उपयोग — n का मान नियम में रखें; पद दिया हो तो n के लिए हल करें।
- आसान : नियम 3n + 2 : 10वाँ पद = 32।
- मध्यम : नियम 4n − 1 = 39 से n = 10।
- परीक्षा-प्रकार : 6 वर्गों के लिए तीलियाँ : 3 × 6 + 1 = 19।
नियम लगाने से पहले पहले दो पदों पर जाँचें।
नियम केवल dn लिखना और (a − d) भाग भूल जाना।
"कदम गुणा n, फिर शुरुआत मिलाएँ।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1प्रतिरूप 7, 1, −5, −11, … में क्रमागत पदों के बीच अचर अंतर क्या है?
- 2एक प्रतिरूप का n-वाँ पद T(n) = 5n + 6 है। T(13) ज्ञात कीजिए।
- 3एक प्रतिरूप का प्रथम पद 12 है और प्रत्येक अगला पद पिछले से 5 अधिक है। कौन-सा नियम n-वाँ पद देता है?
- 4n के किस मान के लिए नियम 3n + 8 का मान 56 होता है?
- 5आकृतियों के एक प्रतिरूप में पहली आकृति के लिए 6 तीलियाँ लगती हैं, और प्रत्येक अगली आकृति को पिछली से 3 तीलियाँ अधिक चाहिए। आकृति संख्या 11 के लिए कितनी तीलियाँ चाहिए?
- 6आकृतियों के एक प्रतिरूप में पहली आकृति के लिए 3 तीलियाँ लगती हैं, और प्रत्येक अगली आकृति को पिछली से 2 तीलियाँ अधिक चाहिए। आकृति संख्या 10 के लिए कितनी तीलियाँ चाहिए?
- 7एक रैखिक प्रतिरूप में T(2) = 12 और T(6) = 36 है। T(12) ज्ञात कीजिए।
- 8एक प्रतिरूप का n-वाँ पद 7n − 4 है। 14वाँ पद 6वें पद से कितना अधिक है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1−6
- 271
- 35n + 7
- 416
- 536
- 621
- 772
- 856
रैखिक वृद्धि और ह्रास
10 cm का पौधा हर सप्ताह 2 cm बढ़ता है। 100 L की टंकी हर मिनट 5 L खाली होती है। एक लगातार बढ़ता है, दूसरी लगातार घटती है।
राशि b से शुरू होकर हर इकाई समय में समान दर a से बदले तो मान a·t + b। a धन हो तो वृद्धि, ऋण हो तो ह्रास।
सूत्र : मान = (दर) × समय + (शुरुआत)
आकृति में : हरी रेखा : 10 + 2w हर सप्ताह 2 बढ़ती है। लाल रेखा : 100 − 5t हर मिनट 5 घटती है।
नियम 1 : नियम बनाएँ — शुरुआती मान अचर पद; प्रति इकाई दर गुणांक (हानि के लिए ऋण)।
- आसान : ₹500 बचत, हर माह +₹50 : 50m + 500।
- मध्यम : 30 cm मोमबत्ती, हर घंटे 2 cm जलती है : 30 − 2h।
- परीक्षा-प्रकार : फोन 80%, हर घंटे 4% घटता है : 80 − 4h।
नियम 2 : प्रश्न हल करें — समय रखकर मान निकालें, या मान रखकर समय।
- आसान : 10 + 2w, 6 सप्ताह बाद : 22 cm।
- मध्यम : 100 − 5t = 0 से t = 20 मिनट।
- परीक्षा-प्रकार : 30 − 2h = 10 कब? h = 10 घंटे।
प्रति इकाई समान परिवर्तन यानी रैखिक। परिवर्तन ही बदलता रहे तो रैखिक नहीं।
दर को शुरुआती मान समझना, जैसे 2w + 10 की जगह 10w + 2।
"शुरुआत ठहरती है, दर चर के साथ चलता है।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1भावना का पौधा आज 9 cm ऊँचा है और हर सप्ताह 3 cm बढ़ता है। 3 सप्ताह बाद वह कितना ऊँचा होगा?
- 2एक मोमबत्ती 36 cm लंबी है। वह हर घंटे 4 cm जलती है। 2 घंटे बाद उसकी लंबाई क्या होगी?
- 3एक कैब ₹27 निश्चित और प्रति km ₹17 लेती है। 9 km का किराया क्या होगा?
- 4एक टंकी में 476 L पानी है और वह हर घंटे 17 L रिसती है। कितने घंटों बाद ठीक 306 L बचेगा?
- 5एक पौधा 19 cm ऊँचा है और हर सप्ताह 3 cm बढ़ता है। कितने सप्ताह में वह 43 cm ऊँचा होगा?
- 6एक बाइक आज ₹76 हज़ार की है और उसका पुनर्विक्रय मूल्य हर वर्ष ₹7 हज़ार घटता है। कौन-सा सूत्र t वर्ष बाद मूल्य V (₹ हज़ार में) देता है?
- 7अनिल का पौधा 18 cm ऊँचा है और हर सप्ताह 3 cm बढ़ता है। फ़िरोज़ का पौधा 26 cm ऊँचा है और हर सप्ताह 2 cm बढ़ता है। कितने सप्ताह बाद दोनों बराबर ऊँचे होंगे?
- 8योजना A में प्रति माह ₹187 और प्रति GB ₹13 लगता है। योजना B में प्रति माह ₹43 और प्रति GB ₹25 लगता है। कितने GB पर दोनों योजनाओं का खर्च बराबर होगा?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 118
- 228
- 3180
- 410
- 58
- 6V = 76 − 7t
- 78
- 812
रैखिक बहुपद का शून्यक
दुकानदार पूछता है : 2x − 6 वाला बिल कितनी वस्तुओं पर ₹0 होगा? उत्तर वह संख्या है जो व्यंजक को शून्य करती है।
p(x) का शून्यक वह संख्या k है जिसके लिए p(k) = 0। रैखिक बहुपद ax + b का ठीक एक शून्यक होता है, x = −b/a।
सूत्र : ax + b = 0 ⇒ x = −b/a
आकृति में : 2x − 6 के लिए a = 2, b = −6; शून्यक −(−6)/2 = 3 और 2(3) − 6 = 0।
नियम 1 : शून्यक खोजें — बहुपद को 0 के बराबर रखकर x हल करें।
- आसान : 3x + 9 : शून्यक −3।
- मध्यम : 5x − 2 : शून्यक 2/5।
- परीक्षा-प्रकार : 7 − x : शून्यक 7।
नियम 2 : शून्यक जाँचें — संख्या रखें; मान 0 आए तो वह शून्यक है।
- आसान : क्या 4, 2x − 8 का शून्यक है? 2(4) − 8 = 0, हाँ।
- मध्यम : क्या 1, 3x + 1 का शून्यक है? मान 4, नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : k = 2 शून्यक और b = −10 हो तो a = 5।
शून्यक वह बिंदु है जहाँ रेखा x-अक्ष को काटती है। रैखिक बहुपद के दो शून्यक कभी नहीं होते।
शून्यक b/a लिखकर ऋण चिह्न छोड़ना।
"अचर पद हटाएँ, फिर गुणांक से भाग दें।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1रैखिक बहुपद ax + b (a ≠ 0) के कितने शून्यक होते हैं?
- 25x − 35 का शून्यक ज्ञात कीजिए।
- 3बहुपद 2x + 6 का शून्यक ज्ञात कीजिए।
- 4यदि x = 4 बहुपद 7x + b का शून्यक है, तो b ज्ञात कीजिए।
- 56x + 9 = 2x − 8 को x के लिए हल कीजिए।
- 625 °C तापमान की एक बर्फ़ की सिल्ली को इस प्रकार ठंडा किया जाता है कि उसका तापमान हर मिनट 5 °C गिरता है। कितने मिनट बाद तापमान 0 °C पहुँचेगा?
- 7p(x) = 4x + 3 और q(x) = 4x + 1 हैं। p(x) + q(x) का शून्यक ज्ञात कीजिए।
- 8एक रैखिक बहुपद p(x) का शून्यक x = 3 है और p(0) = −12 है। p(5) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1ठीक एक
- 27
- 3−3
- 4−28
- 5−17/4
- 65
- 7−1/2
- 88
रैखिक संबंधों के आलेख
दूरी के सापेक्ष टैक्सी बिल का आलेख सीधी रेखा बनता है। वह ₹20 से शुरू होकर लगातार बढ़ती है।
y = ax + b का आलेख सीधी रेखा है। b वह स्थान जहाँ वह y-अक्ष को काटती है (अंतःखंड); a झुकाव तय करता है : a > 0 तो चढ़ती, a < 0 तो उतरती। शून्यक वह जहाँ x-अक्ष को मिलती है।
सूत्र : y = ax + b : y-अंतःखंड b, शून्यक −b/a
आकृति में : रेखा y = 2x + 1, y-अक्ष को 1 पर काटती है और (1, 3) से गुज़रती है। शून्यक −1/2।
नियम 1 : दो बिंदु अंकित करें — कोई भी दो बिंदु काफ़ी हैं; जोड़ें और रेखा बढ़ाएँ।
- आसान : y = x + 2 : (0, 2) और (1, 3)।
- मध्यम : y = 2x : (0, 0) और (2, 4)।
- परीक्षा-प्रकार : y = 3 − x : (0, 3) और (3, 0)।
नियम 2 : आलेख पढ़ें — x = 0 पर b, y = 0 पर शून्यक मिलता है।
- आसान : (0, 4) और (2, 0) से गुज़रती रेखा : y = 4 − 2x।
- मध्यम : उतरती रेखा : a ऋण।
- परीक्षा-प्रकार : क्षैतिज रेखा y = 3 में a = 0 (x में रैखिक बहुपद नहीं)।
दो बिंदु सीधी रेखा तय करते हैं। तीसरे बिंदु से जाँचें।
बिंदुओं को वक्र या टूटी रेखा से जोड़ना।
"b y-अक्ष पर शुरुआत, a ढलान।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1y = 2x + 2 का ग्राफ़ y-अक्ष को किस बिंदु पर काटता है?
- 2रेखा y = x + 7 के एक बिंदु का x-निर्देशांक −3 है। उसका y-निर्देशांक क्या है?
- 3वह बिंदु जहाँ y = 5x + 5, x-अक्ष से मिलती है, उसका x-निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
- 4एक सरल रेखा (3, 2) और (7, 10) से होकर जाती है। जब x में 1 की वृद्धि होती है तो y कितना बदलता है?
- 5एक सरल रेखा (3, 2) और (5, 6) से होकर जाती है। जब x में 1 की वृद्धि होती है तो y कितना बदलता है?
- 6एक रेखा (3, 2) और (5, 4) से होकर जाती है। उसका समीकरण कौन-सा है?
- 7रेखाएँ y = 2x + 1 और y = 5x − 5 एक बिंदु पर मिलती हैं। उसका x-निर्देशांक क्या है?
- 8रेखा y = x − 3 दोनों निर्देशांक अक्षों के साथ मिलकर एक त्रिभुज घेरती है। उसका क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1(0, 2)
- 24
- 3−1
- 42
- 52
- 6y = x − 1
- 72
- 89/2