पूर्णांक और उनका अंकगणित
शून्य से 5 °C नीचे तापमान −5; −2 मंज़िल से 3 मंज़िल ऊपर जाने पर 1। लाभ-हानि, ज़मीन के ऊपर-नीचे की मंज़िलें, सब में पूर्णांक।
पूर्णांक हैं …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …। ऋण जोड़ना यानी घटाना; ऋण घटाना यानी जोड़ना। समान चिह्न का गुणनफल/भागफल धन, भिन्न चिह्न का ऋण।
सूत्र : (+)(+) = +, (−)(−) = +, (+)(−) = −, a − (−b) = a + b
आकृति में : −2 से 3 कदम दाएँ चलने पर 1 : −2 + 3 = 1।
नियम 1 : जोड़-घटाव — संख्या रेखा पर चलना सोचें; ऋण घटाना यानी दाएँ।
- आसान : 5 + (−8) = −3।
- मध्यम : −4 − (−9) = −4 + 9 = 5।
- परीक्षा-प्रकार : −7 − 6 = −13।
नियम 2 : गुणा-भाग — समान चिह्न धन, भिन्न चिह्न ऋण।
- आसान : (−6) × (−3) = 18।
- मध्यम : (−20) ÷ 4 = −5।
- परीक्षा-प्रकार : (−2) × (−3) × (−4) = −24।
ऋण गुणनखंडों की संख्या सम हो तो गुणनफल धन, विषम हो तो ऋण।
−4 − (−9) का उत्तर 5 की जगह −13 लिखना।
"दो ऋण मिलकर धन।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1किस संग्रह में केवल गिनती की संख्याएँ 1, 2, 3, … हैं?
- 2(−9) × (−6) का मान ज्ञात कीजिए।
- 3−3 − (−4) का मान ज्ञात कीजिए।
- 4(−20) ÷ 5 का मान ज्ञात कीजिए।
- 5रात में एक पहाड़ी स्थान का तापमान −8 °C है। दोपहर तक वह 16 °C बढ़ जाता है। दोपहर में तापमान क्या है?
- 6कितने पूर्णांक x के लिए −8 < x < 5 है?
- 7(2 − 13) × (−4) + 8 का मान ज्ञात कीजिए।
- 8वह सबसे बड़ा पूर्णांक x क्या है जिसके लिए 6x + 9 < 28 है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1प्राकृत संख्याएँ
- 254
- 31
- 4−4
- 58
- 612
- 752
- 83
पूर्णांक और उनका अंकगणित
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंपरिमेय संख्याएँ
3 रोटियाँ 4 बच्चों में बाँटने पर प्रत्येक को 3/4। ऐसा बँटवारा पूर्ण संख्याओं का अनुपात है।
परिमेय संख्या वह है जो p/q रूप में लिखी जा सके; p, q पूर्णांक और q ≠ 0। हर पूर्णांक परिमेय है (5 = 5/1)। किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय होती हैं।
सूत्र : p/q, q ≠ 0; a/b + c/d = (ad + bc)/bd
आकृति में : 1/2, 3/4, −3/2 जैसी संख्याएँ दिखाए पूर्णांकों के बीच होती हैं।
नियम 1 : तुलना और जोड़ — जोड़ने/तुलना से पहले हर बराबर करें।
- आसान : 1/2 + 1/3 = 5/6।
- मध्यम : 3/4 > 2/3 क्योंकि 9/12 > 8/12।
- परीक्षा-प्रकार : −2/5 + 3/10 = −1/10।
नियम 2 : दो संख्याओं के बीच संख्या — दोनों का औसत लें; जितनी चाहिए उतनी पाने के लिए दोहराएँ।
- आसान : 1/4 और 1/2 के बीच : 3/8।
- मध्यम : 0 और 1 के बीच : 1/2, 1/4, 1/8, … कभी खत्म नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : 2 और 3 के बीच : 5/2।
हर सांत या आवर्ती दशमलव परिमेय होता है।
भिन्न (a + c)/(b + d) जोड़ना, जैसे 1/2 + 1/3 = 2/5।
"पहले हर समान।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1क्या 0 एक परिमेय संख्या है?
- 2रिक्त स्थान भरिए : 3/5 = □/20।
- 3कौन-सी संख्या बड़ी है : 3/9 या 5/7?
- 4कौन-सी परिमेय संख्या 1/7 और 3/7 के ठीक बीच में है?
- 5कौन-सी संख्या बड़ी है : −1/4 या −1/6?
- 64/7 + 1/5 ज्ञात कीजिए।
- 7−6/10 का योज्य प्रतिलोम क्या है?
- 8वह परिमेय संख्या x ज्ञात कीजिए जिसके लिए 3/3 + x = 1/5 हो।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1हाँ, क्योंकि 0 = 0/1
- 212
- 35/7
- 42/7
- 5−1/6
- 627/35
- 76/10
- 8−4/5
अपरिमेय संख्याएँ
1 m भुजा की वर्गाकार टाइल का विकर्ण √2 मीटर। कोई भिन्न उसे ठीक-ठीक नहीं मापती, फिर भी वह वास्तविक लंबाई है।
अपरिमेय संख्या को p/q रूप में नहीं लिख सकते। उसका दशमलव न समाप्त होता है, न दोहराता है। जैसे √2, √3, √5, π।
सूत्र : n पूर्ण वर्ग न हो तो √n अपरिमेय
आकृति में : इकाई वर्ग का विकर्ण √2 = 1.41421…; दशमलव न समाप्त होता है, न दोहराता है।
नियम 1 : अपरिमेय पहचानें — पूर्ण वर्गों के मूल परिमेय; अन्य वर्गमूल अपरिमेय।
- आसान : √9 = 3 परिमेय।
- मध्यम : √7 अपरिमेय।
- परीक्षा-प्रकार : 0.101001000… (पैटर्न दोहराता नहीं) अपरिमेय।
नियम 2 : संक्रियाएँ — परिमेय + अपरिमेय = अपरिमेय। दो अपरिमेयों का परिणाम परिमेय हो सकता है।
- आसान : 2 + √3 अपरिमेय।
- मध्यम : √2 × √2 = 2 परिमेय।
- परीक्षा-प्रकार : (3 + √5) + (3 − √5) = 6 परिमेय।
किन्हीं दो संख्याओं के बीच परिमेय और अपरिमेय दोनों होती हैं।
22/7 या 3.14 को π का ठीक मान मानना; ये केवल सन्निकट मान हैं।
"न खत्म, न दोहराव : अपरिमेय।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1इनमें से अपरिमेय संख्या पहचानिए।
- 2√9 परिमेय है या अपरिमेय?
- 3√4 × √64 को सरल कीजिए।
- 4√6 × √96 को सरल कीजिए।
- 5कौन-सा व्यंजक अपरिमेय संख्या देता है?
- 6√55 किन दो क्रमागत पूर्णांकों के बीच स्थित है?
- 7√44 किन दो क्रमागत पूर्णांकों के बीच स्थित है?
- 8(8 + √7)(8 − √7) का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1√2
- 2परिमेय, क्योंकि √9 = 3
- 316
- 424
- 54 + √12
- 67 और 8
- 76 और 7
- 857
अपरिमेय संख्याएँ
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंदशमलव प्रसार और आवर्ती दशमलव
1/4 = 0.25 रुकता है, पर 1/3 = 0.333… चलता रहता है। कैलकुलेटर कुछ ही 3 दिखाता है।
परिमेय संख्या का दशमलव सांत (हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5) या आवर्ती होता है। 0.3333… में अंकों का एक समूह बार-बार आता है। हर आवर्ती दशमलव को p/q में बदल सकते हैं।
सूत्र : x = 0.ddd… ⇒ 10x − x = d ⇒ x = d/9
आकृति में : 10x में से x घटाकर आवर्त हटाएँ : 9x = 3, इसलिए x = 1/3।
नियम 1 : भिन्न → दशमलव — अंश को हर से भाग दें; शेष 0 होने या अंक दोहराने पर रुकें।
- आसान : 3/8 = 0.375 (सांत)।
- मध्यम : 1/6 = 0.1666… (6 आवर्ती)।
- परीक्षा-प्रकार : 1/7 = 0.142857 आवर्ती।
नियम 2 : दशमलव → भिन्न — एक आवर्त अंक के लिए 10, दो के लिए 100 से गुणा कर घटाएँ।
- आसान : 0.666… = 6/9 = 2/3।
- मध्यम : 0.4545… (45 आवर्ती) = 45/99 = 5/11।
- परीक्षा-प्रकार : 0.999… = 9/9 = 1।
सांत या आवर्ती यानी परिमेय; असांत अनावर्ती यानी अपरिमेय।
0.121212… को अनंत होने से अपरिमेय कहना।
"दोहराव : परिमेय। बेतरतीब : अपरिमेय।"
अभ्यास के प्रश्न
- 111/25 को दशमलव में व्यक्त कीजिए।
- 2भाग दिए बिना बताइए कि क्या 5/11 सांत दशमलव देती है।
- 3आवर्ती दशमलव 0.222… (अर्थात् 0.2, जिसमें अंक दोहराया जाता है) को भिन्न के रूप में व्यक्त कीजिए।
- 4आवर्ती दशमलव 0.888… (अर्थात् 0.8, जिसमें अंक दोहराया जाता है) को भिन्न के रूप में व्यक्त कीजिए।
- 51/9 के दशमलव प्रसार के आवर्ती खंड में कितने अंक हैं?
- 60.696969… (खंड 69 दोहराया जाता है) को सरलतम रूप की भिन्न में व्यक्त कीजिए।
- 70.4888… (अंक 4 के बाद अंक 8 सदा दोहराया जाता है) को सरलतम रूप की भिन्न में लिखिए।
- 80.333… + 0.222… को सरलतम रूप की भिन्न में ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 10.44
- 2नहीं
- 32/9
- 48/9
- 51
- 623/33
- 722/45
- 85/9
वास्तविक संख्याएँ और करणी
आप जो भी लंबाई माप सकते हैं, जैसे 2, 3/4 या √5 cm, पैमाने पर एक बिंदु है। परिमेय और अपरिमेय मिलकर पूरा पैमाना भरते हैं।
परिमेय और अपरिमेय मिलकर वास्तविक संख्याएँ हैं। करणी वह अपरिमेय मूल है जैसे √3 या ∛5। नियम : √a × √b = √(ab), √a ÷ √b = √(a/b)। 1/√a का परिमेयीकरण अंश-हर को √a से गुणा कर करते हैं।
सूत्र : 1/√a = √a/a; (a + √b)(a − √b) = a² − b
आकृति में : हर समुच्चय अगले में समाया है। अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक रेखा की खाली जगह भरती हैं।
नियम 1 : करणी सरल करें — मूल के नीचे से पूर्ण वर्ग गुणनखंड बाहर निकालें।
- आसान : √50 = √(25 × 2) = 5√2।
- मध्यम : √12 × √3 = √36 = 6।
- परीक्षा-प्रकार : √18 + √8 = 3√2 + 2√2 = 5√2।
नियम 2 : हर का परिमेयीकरण — हर में दो पद हों तो संयुग्मी से गुणा करें।
- आसान : 1/√3 = √3/3।
- मध्यम : 2/√5 = 2√5/5।
- परीक्षा-प्रकार : 1/(2 + √3) = 2 − √3।
हर वास्तविक संख्या संख्या रेखा पर बिंदु है और हर बिंदु वास्तविक संख्या।
√a + √b = √(a + b) लिखना; ऐसा कोई नियम नहीं।
"वर्ग गुणनखंड बाहर कूदते हैं; मूल एक छत के नीचे गुणा होते हैं।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1√72 को सरल कीजिए।
- 2कौन-सी संख्या बड़ी है : √10 या 4?
- 33√2 + 6√2 को सरल कीजिए।
- 4√180 − √80 को सरल कीजिए।
- 51/√12 के हर का परिमेयीकरण कीजिए।
- 6(4√3) × (4√3) को सरल कीजिए।
- 7(√7 + 3)² को विस्तारित कीजिए।
- 81/(√6 − √5) के हर का परिमेयीकरण कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 16√2
- 24
- 39√2
- 42√5
- 5√12/12
- 648
- 716 + 6√7
- 8√6 + √5