योग और अंतर के वर्ग
(a + b) मीटर भुजा वाले वर्गाकार बगीचे को चार भागों में बाँटें : भुजा a का वर्ग, भुजा b का वर्ग और a × b के दो रास्ते। चारों क्षेत्रफल जोड़ने पर कुल क्षेत्रफल मिलता है।
सर्वसमिका वह समीकरण है जो अक्षरों के हर मान के लिए सत्य हो। दो मूल सर्वसमिकाएँ द्विपद के वर्ग को लंबे गुणन के बिना विस्तारित करती हैं।
सूत्र : (a + b)² = a² + 2ab + b² (a − b)² = a² − 2ab + b²
आकृति में : बड़े वर्ग का क्षेत्रफल (a + b)², और a² + ab + ab + b² भी।
नियम 1 : योग का वर्ग विस्तारित करें — पहले का वर्ग, गुणनफल का दुगुना, दूसरे का वर्ग।
- आसान : (x + 5)² = x² + 10x + 25।
- मध्यम : (2m + 3)² = 4m² + 12m + 9।
- परीक्षा-प्रकार : मन में : 103² = (100 + 3)² = 10000 + 600 + 9 = 10609।
नियम 2 : अंतर का वर्ग विस्तारित करें — वही तरीका, पर बीच का पद ऋण।
- आसान : (y − 4)² = y² − 8y + 16।
- मध्यम : (3p − 2q)² = 9p² − 12pq + 4q²।
- परीक्षा-प्रकार : मन में : 98² = (100 − 2)² = 10000 − 400 + 4 = 9604।
दोनों वर्गों में पहला और अंतिम पद समान; केवल 2ab का चिह्न बदलता है। (a + b)² और (−a − b)² बराबर हैं।
(a + b)² = a² + b² लिखना; इसमें 2ab छूट जाता है।
"पहले का वर्ग, बीच का दुगुना, अंतिम का वर्ग।"
झटपट तालिका
| सर्वसमिका | बीच का पद |
|---|---|
| (a + b)² | + 2ab |
| (a − b)² | − 2ab |
अभ्यास के प्रश्न
- 1(z + 2)² को विस्तारित कीजिए।
- 2(z − 4)² को विस्तारित कीजिए।
- 3सर्वसमिका की सहायता से 99² ज्ञात कीजिए।
- 4(2x + 3)² को विस्तारित कीजिए।
- 5यदि x + y = 6 और xy = 7 हो, तो x² + y² ज्ञात कीजिए।
- 6x² + 18x में कौन-सी संख्या जोड़ने पर वह पूर्ण वर्ग बन जाएगा?
- 7यदि x + 1/x = 4 हो, तो x² + 1/x² ज्ञात कीजिए।
- 8यदि x − y = 2 और x² + y² = 100 हो, तो xy ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1z² + 4z + 4
- 2z² − 8z + 16
- 39801
- 44x² + 12x + 9
- 522
- 681
- 714
- 848
योग और अंतर के वर्ग
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंवर्गों का अंतर और (a + b + c)²
a × a के बड़े कागज़ से b × b का छोटा वर्ग काटें और बाकी को आयत में बदलें : उसकी भुजाएँ (a + b) और (a − b) हैं।
दो वर्गों का अंतर = योग × अंतर। तीन पदों के वर्ग में तीन वर्ग और तीन दुगुने गुणनफल आते हैं।
सूत्र : a² − b² = (a + b)(a − b) (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
आकृति में : लाल b² हटाएँ : बचा हुआ (a − b)² + 2b(a − b), (a − b)(a + b) के बराबर है।
नियम 1 : वर्गों का अंतर — हर पद को वर्ग के रूप में लिखें, फिर योग × अंतर।
- आसान : 49 − x² = (7 + x)(7 − x)।
- मध्यम : मन में : 101 × 99 = 100² − 1² = 9999।
- परीक्षा-प्रकार : 25a² − 16b² = (5a + 4b)(5a − 4b)।
नियम 2 : तीन पदों का वर्ग — हर पद का वर्ग लें, फिर हर जोड़ी के गुणनफल का दुगुना जोड़ें।
- आसान : (x + y + 1)² = x² + y² + 1 + 2xy + 2y + 2x।
- मध्यम : (a − b + c)² = a² + b² + c² − 2ab − 2bc + 2ca; हर जोड़ी का चिह्न जाँचें।
- परीक्षा-प्रकार : a + b + c = 0 हो तो a² + b² + c² = −2(ab + bc + ca)।
केवल दो पूर्ण वर्गों का अंतर (ऋण चिह्न) इस प्रकार गुणनखंडित होता है। वर्गों का योग a² + b² वास्तविक संख्याओं में गुणनखंडित नहीं होता।
a² − b² = (a − b)² लिखना।
"वर्ग घटा वर्ग = योग गुणा अंतर।"
झटपट तालिका
| रूप | गुणनखंड |
|---|---|
| x² − 9 | (x + 3)(x − 3) |
| 4y² − 1 | (2y + 1)(2y − 1) |
| a² − 25b² | (a + 5b)(a − 5b) |
अभ्यास के प्रश्न
- 1(x + 8)(x − 8) को विस्तारित कीजिए।
- 2सर्वसमिका की सहायता से 52² − 44² का मान ज्ञात कीजिए।
- 3सर्वसमिका की सहायता से 29 × 31 ज्ञात कीजिए।
- 4सर्वसमिका की सहायता से 94 × 106 ज्ञात कीजिए।
- 5(x + 3y + 2z)² के विस्तार में yz का गुणांक क्या है?
- 6यदि a + b + c = 9 और ab + bc + ca = 3 हो, तो a² + b² + c² ज्ञात कीजिए।
- 7यदि x + y = 3 और x − y = 6 हो, तो x² − y² ज्ञात कीजिए।
- 8(x + 1y + 4)² को विस्तारित कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1x² − 64
- 2768
- 3899
- 49964
- 512
- 675
- 718
- 8x² + y² + 16 + 2xy + 8y + 8x
वर्गों का अंतर और (a + b + c)²
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंसर्वसमिका (x + a)(x + b)
एक कमरा (x + 2) m × (x + 3) m है। उसका क्षेत्रफल x² वर्ग, दो पट्टियाँ और 6 का छोटा कोना जोड़कर मिलता है।
दो द्विपदों का पहला पद x समान हो तो गुणनफल में x², फिर संख्याओं के योग का x, फिर संख्याओं का गुणनफल आता है।
सूत्र : (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
आकृति में : चार भाग x², 3x, 2x और 6 मिलकर x² + 5x + 6।
नियम 1 : दो द्विपदों का गुणा — बीच के गुणांक के लिए संख्याएँ जोड़ें, अंतिम पद के लिए गुणा करें। चिह्न संभालें।
- आसान : (x + 4)(x + 7) = x² + 11x + 28।
- मध्यम : (y − 3)(y + 5) = y² + 2y − 15।
- परीक्षा-प्रकार : मन में : 102 × 105 = (100 + 2)(100 + 5) = 10000 + 700 + 10 = 10710।
नियम 2 : विशेष स्थितियाँ — a = b हो तो वर्ग; a = −b हो तो वर्गों का अंतर।
- आसान : (x + 3)(x + 3) = x² + 6x + 9।
- मध्यम : (x + 6)(x − 6) = x² − 36।
- परीक्षा-प्रकार : x² + 9x + 20 = (x + a)(x + b) हो तो a + b = 9 और ab = 20, इसलिए a, b = 4, 5।
बीच का गुणांक संख्याओं का योग है; अचर पद उनका गुणनफल; दोनों चिह्नों सहित।
बीच का पद a + b के बजाय ab लिखना।
"बीच में योग, अंत में गुणनफल।"
झटपट तालिका
| (x + a)(x + b) | मध्य / अंत |
|---|---|
| (x + 2)(x + 3) | 5x / 6 |
| (x − 1)(x + 4) | 3x / −4 |
| (x − 2)(x − 5) | −7x / 10 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1(x + 4)(x + 3) को विस्तारित कीजिए।
- 2(x + 7)(x + 8) के विस्तार में x का गुणांक क्या है?
- 3(x − 2)(x − 3) को विस्तारित कीजिए।
- 433 × 36 को (x + a)(x + b) के रूप में लिखकर, जहाँ x = 30, ज्ञात कीजिए।
- 5(x + 8)(x − 5) को विस्तारित कीजिए।
- 6x² + 11x + 24 = (x + p)(x + q) है। p + q क्या है?
- 7k के किस मान के लिए (x + 2)(x + k) = x² + 9x + 14 होगा?
- 8(x + 6)(x + 6) − (x + 5)(x + 4) को सरल कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1x² + 7x + 12
- 215
- 3x² − 5x + 6
- 41188
- 5x² + 3x − 40
- 611
- 77
- 83x + 16
सर्वसमिकाओं से गुणनखंडन
केवल क्षेत्रफल पता हो तो आयत की माप खोजना गुणनखंडन जैसा है। सर्वसमिकाएँ बताती हैं कि कौन-सी माप आज़मानी है।
गुणनखंडन यानी व्यंजक को गुणनफल के रूप में लिखना। पहले उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालें, फिर सर्वसमिका खोजें : पूर्ण वर्ग, वर्गों का अंतर या x² + (a + b)x + ab।
सूत्र : a² + 2ab + b² = (a + b)² a² − 2ab + b² = (a − b)² a² − b² = (a + b)(a − b)
आकृति में : पहले उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालें, फिर देखें कौन-सी सर्वसमिका बैठती है, अंत में गुणा करके जाँचें।
नियम 1 : पूर्ण वर्ग — पहला और अंतिम पद वर्ग हों और बीच का उनके गुणनफल का दुगुना हो तो पूर्ण वर्ग।
- आसान : x² + 12x + 36 = (x + 6)²।
- मध्यम : 9a² − 12a + 4 = (3a − 2)²।
- परीक्षा-प्रकार : पहले उभयनिष्ठ गुणनखंड : 2x² + 16x + 32 = 2(x + 4)²।
नियम 2 : त्रिपद x² + px + q — योग p और गुणनफल q वाली दो संख्याएँ खोजें।
- आसान : x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)।
- मध्यम : x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)।
- परीक्षा-प्रकार : x² + x − 12 = (x + 4)(x − 3)।
गुणनखंडों को वापस गुणा करें; मूल व्यंजक ही मिलना चाहिए।
बीच में रुकना : 3x² − 12 = 3(x² − 4) अधूरा है; पूरा उत्तर 3(x + 2)(x − 2)।
"उभयनिष्ठ, सर्वसमिका, जाँच।"
झटपट तालिका
| व्यंजक | गुणनखंड |
|---|---|
| x² + 10x + 25 | (x + 5)² |
| x² − 49 | (x + 7)(x − 7) |
| x² + 8x + 15 | (x + 3)(x + 5) |
अभ्यास के प्रश्न
- 135x + 7 के गुणनखंड कीजिए।
- 2y² − 144 के गुणनखंड कीजिए।
- 3x² − 11x + 18 के गुणनखंड कीजिए।
- 44x² − 36 के गुणनखंड कीजिए।
- 59x² + 12x + 4 के गुणनखंड कीजिए।
- 62x² + 8x + 6 के पूर्ण गुणनखंड कीजिए।
- 7यदि x² + px + 36 के गुणनखंड (x + 6) और (x + 6) हैं, तो p ज्ञात कीजिए।
- 8x⁴ − 1 के गुणनखंड कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 17(5x + 1)
- 2(y + 12)(y − 12)
- 3(x − 2)(x − 9)
- 4(2x + 6)(2x − 6)
- 5(3x + 2)²
- 62(x + 3)(x + 1)
- 712
- 8(x² + 1)(x + 1)(x − 1)
परिमेय व्यंजकों का सरलीकरण
12/18 उभयनिष्ठ गुणनखंड 6 से काटकर 2/3 बनता है। बीजीय भिन्न भी ऐसे ही सरल होते हैं, पर केवल उभयनिष्ठ गुणनखंड ही कटते हैं।
दो बहुपदों की भिन्न परिमेय व्यंजक है। सरल करने के लिए अंश और हर के गुणनखंड करें, फिर उभयनिष्ठ गुणनखंड काटें। हर कभी शून्य नहीं हो सकता।
सूत्र : (x² − a²)/(x − a) = x + a जहाँ x ≠ a
आकृति में : अंश के गुणनखंड करें, (x + 2) काटें, बचता है x − 2।
नियम 1 : गुणनखंड काटें, पद नहीं — पूरे अंश और पूरे हर को गुणा करने वाला गुणनखंड ही कट सकता है।
- आसान : (5x + 10)/5 = (5(x + 2))/5 = x + 2।
- मध्यम : (x² − 9)/(x + 3) = x − 3, x ≠ −3 के लिए।
- परीक्षा-प्रकार : (x + 3)/3 का x + 1 नहीं होता; 3, x + 3 का गुणनखंड नहीं है।
नियम 2 : भिन्नों का गुणा और भाग — पहले सबके गुणनखंड करें, फिर भिन्नों के आर-पार काटें।
- आसान : (x²/(x − 1)) × ((x − 1)/x) = x।
- मध्यम : भिन्न से भाग देना यानी उसके व्युत्क्रम से गुणा करना।
- परीक्षा-प्रकार : x का मान, जैसे x = 3, रखकर उत्तर जाँचें।
बताएँ कि x के कौन-से मान नहीं चलते : जो हर को शून्य करें।
पद काटना : (x + 4)/4 ≠ x + 1।
"पहले गुणनखंड, फिर काटना।"
झटपट तालिका
| पहले | बाद |
|---|---|
| (x² − 1)/(x − 1) | x + 1 |
| (2x + 6)/2 | x + 3 |
| (x² + 5x + 6)/(x + 2) | x + 3 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1x = 3 पर (3x + 5)/(x + 1) का मान ज्ञात कीजिए।
- 220x/4x को सरल कीजिए (x ≠ 0)।
- 3(x + 3)(x + 7)/(x + 3) को सरल कीजिए, जहाँ x + 3 ≠ 0 है।
- 4(x² − 4)/(x + 2) को सरल कीजिए, जहाँ x ≠ −2 है।
- 5(x² − 25)/(x + 5) को सरल कीजिए, जहाँ x ≠ −5 है।
- 6(4x + 20)/(16x + 80) को सरल कीजिए।
- 7(3x + 9)/(9x + 27) को सरल कीजिए।
- 8[(x² − 16)/(x + 7)] × [(x + 7)/(x − 4)] को सरल कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 17/2
- 25
- 3x + 7
- 4x − 2
- 5x − 5
- 61/4
- 71/3
- 8x + 4