वृत्त के भाग और बिंदुओं से गुज़रने वाले वृत्त
पहिये में केंद्र, तीलियाँ (त्रिज्याएँ) और घेरा होता है। चूड़ी केंद्र से समान दूरी के अनेक बिंदुओं से गुज़रने वाला वृत्त है।
वृत्त एक स्थिर बिंदु (केंद्र) से निश्चित दूरी (त्रिज्या) पर सभी बिंदु हैं। दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा जीवा; सबसे बड़ी जीवा व्यास = 2 × त्रिज्या। वृत्त का टुकड़ा चाप। असंरेख 3 बिंदुओं से ठीक एक वृत्त जाता है।
सूत्र : व्यास = 2r; 3 असंरेख बिंदुओं से 1 वृत्त
आकृति में : O केंद्र, r त्रिज्या, O से जाने वाली सबसे बड़ी जीवा व्यास।
नियम 1 : वृत्त गिनें — एक बिंदु से : अनंत। दो बिंदुओं से : अनंत। तीन असंरेख बिंदुओं से : एक। तीन संरेख बिंदुओं से : कोई नहीं।
- आसान : A, B, C एक रेखा में नहीं : एक वृत्त।
- मध्यम : P, Q, R एक रेखा में : कोई वृत्त नहीं।
- परीक्षा-प्रकार : दो बिंदु : केंद्र रेखाखंड के लंब-समद्विभाजक पर होता है।
नियम 2 : त्रिज्या और व्यास — एक वृत्त की सभी त्रिज्याएँ समान; व्यास त्रिज्या का दुगुना।
- आसान : त्रिज्या 7 cm : व्यास 14 cm।
- मध्यम : व्यास 18 cm : त्रिज्या 9 cm।
- परीक्षा-प्रकार : त्रिज्या 5 cm वाले वृत्त की सबसे बड़ी जीवा 10 cm।
वृत्त का केवल एक केंद्र और अनंत व्यास होते हैं।
व्यास और त्रिज्या को बराबर मानना, या जीवा केंद्र से नहीं जा सकती ऐसा समझना।
"व्यास यानी दुगुनी त्रिज्या वाली जीवा।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक वृत्त की त्रिज्या 19 cm है। उसका व्यास क्या है?
- 2एक वृत्त की सबसे लंबी जीवा 28 cm है। वृत्त की त्रिज्या क्या है?
- 3तीन संरेख बिंदुओं से, किसी और शर्त के बिना, कितने वृत्त गुज़र सकते हैं?
- 4दो दिए गए भिन्न बिंदुओं से कितने वृत्त गुज़र सकते हैं?
- 5एक वृत्त का केंद्र O और त्रिज्या 9 cm है। बिंदु P, O से 13 cm दूर है। P कहाँ है?
- 6एक वृत्त की जीवाओं AB और BC के लंब समद्विभाजक O पर मिलते हैं, और OA = 12 cm है। OC की लंबाई क्या है?
- 7एक वृत्त की जीवाओं AB और BC के लंब समद्विभाजक O पर मिलते हैं, और OA = 13 cm है। OC की लंबाई क्या है?
- 8दो वृत्तों का केंद्र एक ही है। उनकी त्रिज्याएँ 11 cm और 9 cm हैं। उनके बीच के वलय की चौड़ाई क्या है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 138 cm
- 214 cm
- 3कोई नहीं
- 4अपरिमित रूप से अनेक
- 5वृत्त के बाहर
- 612 cm
- 713 cm
- 82 cm
जीवाएँ और केंद्र पर बने कोण
घड़ी की सुइयों के सिरे दूर हों तो केंद्र पर कोण बड़ा। बड़ी जीवा केंद्र पर बड़ा कोण बनाती है।
एक वृत्त (या सर्वांगसम वृत्तों) में समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण बनाती हैं। विलोमतः केंद्र पर समान कोण बनाने वाली जीवाएँ समान होती हैं।
सूत्र : AB = CD ⇔ ∠AOB = ∠COD
आकृति में : जीवाएँ AB और CD समान, इसलिए त्रिभुज AOB और COD सर्वांगसम और ∠AOB = ∠COD।
नियम 1 : समान जीवा, समान कोण — SSS लगाएँ : दो त्रिज्याएँ और जीवा से सर्वांगसम त्रिभुज।
- आसान : AB = CD, ∠AOB = 70° ⇒ ∠COD = 70°।
- मध्यम : ∠POQ = ∠ROS ⇒ PQ = RS।
- परीक्षा-प्रकार : दो समान जीवाएँ समान कोण देती हैं; बड़ी जीवा बड़ा कोण।
नियम 2 : अज्ञात कोण ज्ञात करें — समद्विबाहु AOB में आधार कोण समान और तीनों कोणों का योग 180°।
- आसान : ∠AOB = 80° ⇒ ∠OAB = (180° − 80°)/2 = 50°।
- मध्यम : ∠OAB = 35° ⇒ ∠AOB = 110°।
- परीक्षा-प्रकार : AB = r हो तो ∠AOB = 60°।
जीवा की लंबाई और केंद्र पर कोण साथ-साथ बढ़ते हैं।
भिन्न त्रिज्या के दो वृत्तों के लिए यह परिणाम लगाना।
"समान रस्सी, समान खुलाव।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1केंद्र O वाले वृत्त में जीवाएँ AB और CD बराबर हैं और ∠AOB = 140° है। ∠COD क्या है?
- 2केंद्र O वाले वृत्त में जीवाएँ AB और CD बराबर हैं और ∠AOB = 34° है। ∠COD क्या है?
- 3केंद्र O वाले वृत्त में जीवा AB केंद्र पर ∠AOB = 30° बनाती है। ∠OAB ज्ञात कीजिए।
- 4एक वृत्त की जीवा केंद्र पर 120° का कोण बनाती है। इसी लंबाई की कितनी जीवाएँ पूरे वृत्त के चारों ओर सिरे से सिरा मिलाकर रखी जा सकती हैं?
- 5एक वृत्त की जीवा केंद्र पर 60° का कोण बनाती है। इसी लंबाई की कितनी जीवाएँ पूरे वृत्त के चारों ओर सिरे से सिरा मिलाकर रखी जा सकती हैं?
- 6जीवाएँ AB, BC और CD बराबर हैं और प्रत्येक केंद्र O पर 25° का कोण बनाती है। ∠AOD ज्ञात कीजिए।
- 7जीवाएँ AB, BC और CD बराबर हैं और प्रत्येक केंद्र O पर 20° का कोण बनाती है। ∠AOD ज्ञात कीजिए।
- 8त्रिभुज OAB में O वृत्त का केंद्र है और A, B उस पर स्थित हैं। यदि ∠OAB = 35° है, तो ∠AOB ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1140°
- 234°
- 375°
- 43
- 56
- 675°
- 760°
- 8110°
केंद्र से जीवा पर लंब
गोल कागज़ को जीवा पर मोड़ें तो केंद्र से मोड़ जीवा के मध्य पर समकोण पर मिलता है।
केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। विलोमतः केंद्र से जीवा के मध्य-बिंदु तक की रेखा जीवा पर लंब होती है। पाइथागोरस : r² = d² + (c/2)²।
सूत्र : r² = d² + (c/2)²
आकृति में : OM ⟂ AB, इसलिए AM = MB। त्रिभुज OMA समकोण, कर्ण OA = r।
नियम 1 : जीवा ज्ञात करें — आधी जीवा = √(r² − d²); पूरी जीवा उसकी दुगुनी।
- आसान : r = 5, d = 3 : आधी जीवा 4, जीवा 8।
- मध्यम : r = 13, d = 5 : जीवा 24।
- परीक्षा-प्रकार : r = 10, d = 6 : जीवा 16।
नियम 2 : दूरी या त्रिज्या ज्ञात करें — OM खींचें और समकोण त्रिभुज लगाएँ।
- आसान : जीवा 16, r = 10 : d = √(100 − 64) = 6।
- मध्यम : जीवा 24, d = 5 : r = √(144 + 25) = 13।
- परीक्षा-प्रकार : जीवा 6, d = 4 : r = 5।
केंद्र से जाने वाली जीवा के लिए d = 0 और लंबाई 2r।
पाइथागोरस में आधी जीवा की जगह पूरी जीवा लेना।
"आधी जीवा, फिर पाइथागोरस।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1केंद्र O वाले वृत्त में OM जीवा AB पर लंब है और AB = 14 cm है। AM ज्ञात कीजिए।
- 2केंद्र O वाले वृत्त में OM जीवा AB पर लंब है और AB = 20 cm है। AM ज्ञात कीजिए।
- 3वृत्त के केंद्र O से जीवा AB पर डाला गया लंब उसे M पर मिलता है और AM = 7 cm है। AB ज्ञात कीजिए।
- 4एक वृत्त की त्रिज्या 20 cm है। एक जीवा केंद्र से 12 cm दूर है। जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
- 517 cm त्रिज्या वाले वृत्त में 30 cm लंबी जीवा खींची गई है। जीवा केंद्र से कितनी दूर है?
- 625 cm त्रिज्या वाले वृत्त में 40 cm लंबी जीवा खींची गई है। जीवा केंद्र से कितनी दूर है?
- 716 cm लंबी एक जीवा वृत्त के केंद्र से 15 cm दूर है। त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
- 8दो वृत्तों का केंद्र एक ही है और त्रिज्याएँ 17 cm और 15 cm हैं। बड़े वृत्त की एक जीवा छोटे वृत्त को स्पर्श करती है। जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 17 cm
- 210 cm
- 314 cm
- 432 cm
- 58 cm
- 615 cm
- 717 cm
- 816 cm
जीवाओं की केंद्र से दूरी
गोल केक में बीच के पास का कट लंबा, किनारे के पास का छोटा। समान कट बीच से समान दूरी पर।
समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं और केंद्र से समान दूरी वाली जीवाएँ समान होती हैं। जीवा जितनी बड़ी, केंद्र के उतनी पास।
सूत्र : c₁ = c₂ ⇔ d₁ = d₂; बड़ी c ⇒ छोटी d
आकृति में : दोनों लाल जीवाएँ समान, इसलिए O से दोनों हरी दूरियाँ समान।
नियम 1 : जीवाओं की तुलना — दूरियों की तुलना : कम दूरी यानी बड़ी जीवा।
- आसान : d₁ = 3, d₂ = 5 (एक वृत्त) : जीवा 1 बड़ी।
- मध्यम : समान जीवाएँ : दोनों केंद्र से 4 cm।
- परीक्षा-प्रकार : व्यास केंद्र के सबसे पास (d = 0) और सबसे बड़ा।
नियम 2 : सूत्र लगाएँ — त्रिज्या समान तो r² उभयनिष्ठ : c₁²/4 + d₁² = c₂²/4 + d₂²।
- आसान : जीवा 8, d = 3 : r = 5। d = 4 वाली जीवा 6।
- मध्यम : r = 13 में 10 cm की दो समान जीवाएँ प्रत्येक केंद्र से 12 cm।
- परीक्षा-प्रकार : जीवा 14, r = 25 : d = 24।
दूरी यानी केंद्र से लंब की लंबाई।
बड़ी जीवा केंद्र से दूर होती है कहना।
"बड़ी जीवा केंद्र से चिपकती है।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1वृत्त की जीवाएँ AB और CD बराबर हैं। यदि AB की केंद्र से दूरी 6 cm है, तो CD की केंद्र से दूरी क्या है?
- 2वृत्त की जीवाएँ AB और CD बराबर हैं। यदि AB की केंद्र से दूरी 11 cm है, तो CD की केंद्र से दूरी क्या है?
- 3एक वृत्त की दो जीवाओं की लंबाई 37 cm और 23 cm है। कौन-सी जीवा केंद्र के निकट है?
- 426 cm त्रिज्या वाले वृत्त में प्रत्येक 48 cm लंबाई की दो बराबर जीवाएँ खींची गई हैं। प्रत्येक जीवा की केंद्र से दूरी ज्ञात कीजिए।
- 5एक वृत्त की दो जीवाओं में से प्रत्येक केंद्र से 4 cm दूर है। उनमें से एक 20 cm लंबी है। दूसरी की लंबाई क्या है?
- 6एक वृत्त की दो जीवाओं में से प्रत्येक केंद्र से 4 cm दूर है। उनमें से एक 11 cm लंबी है। दूसरी की लंबाई क्या है?
- 725 cm त्रिज्या वाले वृत्त में 48 cm और 14 cm लंबाई की दो समांतर जीवाएँ केंद्र के विपरीत ओर हैं। उनके बीच की दूरी क्या है?
- 817 cm त्रिज्या वाले वृत्त में 16 cm और 30 cm लंबाई की दो समांतर जीवाएँ केंद्र की एक ही ओर हैं। उनके बीच की दूरी क्या है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 16 cm
- 211 cm
- 337 cm लंबाई वाली जीवा
- 410 cm
- 520 cm
- 611 cm
- 731 cm
- 87 cm
जीवाओं की केंद्र से दूरी
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंचाप द्वारा बनाए गए कोण
घुमावदार मंच के किनारे पर कहीं भी खड़े फ़ोटोग्राफ़र को दो बत्तियाँ समान कोण पर दिखती हैं। केंद्र पर कैमरे को वे दुगुनी चौड़ी दिखती हैं।
चाप केंद्र पर जो कोण बनाता है वह शेष वृत्त के किसी बिंदु पर बने कोण का दुगुना होता है। एक ही खंड के कोण बराबर और अर्धवृत्त में कोण 90°।
सूत्र : ∠AOB = 2∠ACB; अर्धवृत्त में कोण = 90°
आकृति में : ∠AOB = 2x केंद्र पर और ∠ACB = x परिधि पर, दोनों चाप AB पर।
नियम 1 : केंद्र और परिधि — उसी चाप पर परिधि का कोण = केंद्र के कोण का आधा।
- आसान : केंद्र का कोण 100° ⇒ ACB = 50°।
- मध्यम : ∠ACB = 35° ⇒ ∠AOB = 70°।
- परीक्षा-प्रकार : अर्धवृत्त में कोण : 90°।
नियम 2 : एक ही खंड — जीवा की एक ही ओर के बिंदु उसे समान कोण पर देखते हैं।
- आसान : ∠ACB = 40° ⇒ C, D एक ओर हों तो ∠ADB = 40°।
- मध्यम : AB व्यास हो तो ∠ACB = 90°।
- परीक्षा-प्रकार : जीवा PQ परिधि पर 60° बनाए : केंद्र पर 120°।
प्रमेय में वह चाप लेते हैं जिसमें परिधि का बिंदु न हो।
दुगुना करने की जगह आधा करना; केंद्रीय कोण को परिधि कोण का आधा मानना।
"केंद्र मालिक : दुगुना।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1वृत्त का एक चाप केंद्र पर 50° का कोण बनाता है। वृत्त के शेष भाग के किसी बिंदु पर वह कितना कोण बनाता है?
- 2वृत्त का एक चाप वृत्त के एक बिंदु पर (दीर्घ चाप पर) 67° का कोण बनाता है। वह केंद्र पर कितना कोण बनाता है?
- 3AB वृत्त का व्यास है और C वृत्त पर एक बिंदु है। यदि ∠CAB = 27° है, तो ∠CBA ज्ञात कीजिए।
- 4A, B, C और D एक वृत्त पर स्थित हैं और C तथा D जीवा AB की एक ही ओर हैं। यदि ∠ACB = 27° है, तो ∠ADB ज्ञात कीजिए।
- 5जीवा AB केंद्र O पर ∠AOB = 130° बनाती है। लघु चाप AB पर एक बिंदु Q है। ∠AQB ज्ञात कीजिए।
- 6वृत्त के एक बिंदु P से जीवा AB 69° के कोण पर दिखाई देती है। केंद्र O पर (लघु चाप की ओर) प्रतिवर्ती कोण AOB क्या है?
- 7केंद्र O वाले वृत्त में ∠OAB = 60° है, जहाँ A, B वृत्त पर हैं। दीर्घ चाप AB पर एक बिंदु P है। ∠APB ज्ञात कीजिए।
- 8त्रिभुज ABC एक वृत्त में अंतर्लिखित है, AB व्यास है और ∠CAB = 64° है। ∠CBA ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 125°
- 2134°
- 363°
- 427°
- 5115°
- 6222°
- 730°
- 826°
चाप द्वारा बनाए गए कोण
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंचक्रीय चतुर्भुज
जिस चतुर्भुज के चारों शीर्ष गोल चूड़ी पर हों वह "चक्रीय"। उसके सम्मुख कोणों का योग सदा 180°।
चक्रीय चतुर्भुज के चारों शीर्ष वृत्त पर होते हैं। सम्मुख कोण संपूरक (योग 180°) और बहिष्कोण = अंतः सम्मुख कोण। विलोमतः सम्मुख कोणों का योग 180° हो तो वह चक्रीय है।
सूत्र : ∠A + ∠C = 180°, ∠B + ∠D = 180°
आकृति में : सम्मुख A और C का योग 180°, वैसे ही B और D।
नियम 1 : कोण ज्ञात करें — सम्मुख कोण = 180° घटा दिया गया।
- आसान : ∠A = 85° ⇒ ∠C = 95°।
- मध्यम : ∠B = 110° ⇒ ∠D = 70°।
- परीक्षा-प्रकार : D पर बहिष्कोण 75° ⇒ ∠B = 75°।
नियम 2 : क्या चक्रीय है? — देखें कि सम्मुख कोणों का योग 180° है या नहीं।
- आसान : क्रम से 80°, 100°, 100°, 80° : सम्मुख 80+100, हाँ।
- मध्यम : आयत : सम्मुख 90° + 90° = 180°, सदा चक्रीय।
- परीक्षा-प्रकार : आयत न होने वाला समांतर चतुर्भुज चक्रीय नहीं।
हर आयत और वर्ग चक्रीय होता है। हर चक्रीय समांतर चतुर्भुज आयत होता है।
सम्मुख की जगह आसन्न कोण जोड़ना।
"सम्मुख जोड़ी से सरल कोण : 180°।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है और ∠A = 97° है। ∠C ज्ञात कीजिए।
- 2ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। भुजा AB को E तक बढ़ाया गया है और ∠CBE = 115° है। ∠ADC ज्ञात कीजिए।
- 3ABCD समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज है जिसमें AB ∥ DC है, इसलिए वह चक्रीय है। यदि ∠A = 62° है, तो ∠C ज्ञात कीजिए।
- 4चतुर्भुज ABCD में ∠A = 74° और ∠C = 106° है। क्या यह (कोणों की इसी जोड़ी के आधार पर) चक्रीय चतुर्भुज है?
- 5चक्रीय चतुर्भुज ABCD में ∠A = (2x + 10)° और ∠C = (2x + 70)° है। x ज्ञात कीजिए।
- 6चक्रीय चतुर्भुज ABCD के कोण A, B, C 3 : 4 : 6 के अनुपात में हैं। ∠D ज्ञात कीजिए।
- 7क्या समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज को वृत्त में अंतर्लिखित किया जा सकता है (क्या वह चक्रीय हो सकता है)?
- 8ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। विकर्ण BD से ∠ADB = 54° और ∠BDC = 25° बनता है। ∠ABC ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 183°
- 2115°
- 3118°
- 4हाँ, यह चक्रीय है
- 525
- 6100°
- 7हाँ
- 8101°