संभाव्यतेची मापनपट्टी
"नक्की पाऊस पडेल" किंवा "मुंबईत बर्फवृष्टी" हे घटना किती शक्य ते सांगते. ० ते १ मधील संख्या ते अधिक अचूक सांगते.
घटनेची संभाव्यता ही ० ते १ मधील संख्या. ० म्हणजे अशक्य, १ म्हणजे निश्चित, ½ म्हणजे होणे-न होणे सारखेच. १ च्या जवळ तितकी शक्यता जास्त.
सूत्र : ० ≤ P(E) ≤ १
आकृतीत : अशक्य घटना ० वर, निश्चित १ वर, सारखी शक्यता १/२ वर.
नियम 1 : पट्टीवर ठेवा — अशक्य, कमी शक्य, सारखे, जास्त शक्य की निश्चित ते ठरवा, मग संख्या द्या.
- सोपे : उद्या सूर्य उगवेल : सुमारे १.
- मध्यम : न्याय्य नाण्यावर छापा येणे : १/२.
- परीक्षेसाठी : फाशीवर ७ येणे : ०.
नियम 2 : घटनांची तुलना — मोठी संभाव्यता असलेली घटना जास्त शक्य.
- सोपे : P = ०.८ ही P = ०.३ पेक्षा जास्त शक्य.
- मध्यम : P = १/४ ही P = १/२ पेक्षा कमी शक्य.
- परीक्षेसाठी : १.२ किंवा −०.३ संभाव्यता असू शकत नाही.
संभाव्यता कधीच ऋण नसते आणि १ पेक्षा जास्त नसते.
एखाद्या घटनेची संभाव्यता २ किंवा १५०% सांगणे.
"शून्य कधीच नाही, एक नक्की, अर्धा अर्धा-अर्धा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1आज जन्मलेली व्यक्ती 500 वर्षे जगते. ही घटना निश्चित, अशक्य की दोन्ही नाही?
- 2उद्या सूर्य पूर्वेला उगवतो. ही घटना निश्चित, अशक्य की दोन्ही नाही?
- 3चार घटनांची संभाव्यता 1/10, 1/3, 1/5, 1/4 आहे. कोणती घटना सर्वांत जास्त शक्य आहे?
- 4चार घटनांची संभाव्यता 1/10, 9/10, 1/3, 4/5 आहे. कोणती घटना सर्वांत जास्त शक्य आहे?
- 5एका घटनेची संभाव्यता 0 आहे. कोणते वर्णन तिला सर्वांत योग्य आहे?
- 6पिशवी A मध्ये 7 चेंडूंपैकी 5 लाल आहेत. पिशवी B मध्ये 12 चेंडूंपैकी 5 लाल आहेत. कोणत्या पिशवीतून लाल चेंडू निघण्याची शक्यता जास्त आहे?
- 7पिशवी A मध्ये 9 चेंडूंपैकी 4 लाल आहेत. पिशवी B मध्ये 8 चेंडूंपैकी 2 लाल आहेत. कोणत्या पिशवीतून लाल चेंडू निघण्याची शक्यता जास्त आहे?
- 8एका घटनेची संभाव्यता 1/5 आहे. प्रयोग 100 वेळा केला तर ती घटना साधारण किती वेळा घडेल अशी अपेक्षा करता येते?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1अशक्य
- 2निश्चित
- 31/3
- 49/10
- 5अशक्य
- 6पिशवी A
- 7पिशवी A
- 820
प्रायोगिक संभाव्यता
पिन टोक वर करून पडते किती वेळा हे शोधण्यास अनेक वेळा टाकून मोजावे लागते. सूत्र ते सांगत नाही.
प्रायोगिक संभाव्यता = (घटना घडल्याची वेळा) ÷ (एकूण प्रयोग). जास्त प्रयोग तितकी किंमत विश्वासार्ह.
सूत्र : P(E) = E घडल्याची वेळा ÷ एकूण प्रयोग
आकृतीत : ५० उडवण्यात २७ छापा : प्रायोगिक P(छापा) = २७/५० = ०.५४.
नियम 1 : काढा — घटनेची संख्या एकूण प्रयोगांनी भागा.
- सोपे : ३० पैकी १२ दिवस पाऊस : १२/३० = २/५.
- मध्यम : २० पैकी ८ वेळा लक्ष्य : ०.४.
- परीक्षेसाठी : २०० पैकी ५ बल्ब सदोष : १/४०.
नियम 2 : अंदाज बांधा — प्रायोगिक संभाव्यतेला मोठ्या संख्येने गुणा.
- सोपे : P = ०.०५ सदोष, १००० वस्तू : सुमारे ५०.
- मध्यम : ६० फेकीत P(सहा) = १/६ : सुमारे १० वेळा सहा.
- परीक्षेसाठी : एका प्रयोगाच्या सर्व निकालांच्या संभाव्यतांची बेरीज १.
प्रयोगांच्या प्रत्येक संचात निकाल थोडे बदलतात, पण भरपूर प्रयोगात एका किमतीजवळ स्थिरावतात.
एकूण प्रयोगांऐवजी अनुकूल निकालांनी भागणे.
"यश मोजा, प्रयत्नांनी भागा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1नाणे 20 वेळा उडवले आणि 19 वेळा छाप आली. छापाची प्रायोगिक संभाव्यता किती?
- 2पिशवी हलवून एक मणी काढून परत ठेवण्याची क्रिया 33 वेळा केली. निकाल : लाल 5, निळा 10, हिरवा 5, पिवळा 13. लाल मणी निघण्याची प्रायोगिक संभाव्यता किती?
- 3पिशवी हलवून एक मणी काढून परत ठेवण्याची क्रिया 40 वेळा केली. निकाल : लाल 4, निळा 15, हिरवा 6, पिवळा 15. निळा मणी निघण्याची प्रायोगिक संभाव्यता किती?
- 4फासा 101 वेळा फेकला. 1 ते 6 हे निकाल अनुक्रमे 19, 11, 14, 18, 17, 22 वेळा आले. विषम संख्या मिळण्याची प्रायोगिक संभाव्यता शोधा.
- 550 बल्बांच्या नमुन्यात 6 सदोष आढळले. यावरून 500 बल्बांच्या साठ्यात साधारण किती सदोष बल्ब असतील?
- 6फासा 25 वेळा फेकल्यावर 6 ही संख्या 5 वेळा आली. 6 मिळण्याची प्रायोगिक संभाव्यता किती?
- 7नाणे 20 वेळा उडवल्यावर 8 वेळा छाप आली. मग नाणे आणखी 10 वेळा उडवले आणि प्रत्येक वेळी छाप आली. आता छापाची प्रायोगिक संभाव्यता किती?
- 843 विद्यार्थ्यांचे गुण असे गटात दिले आहेत : 0–20: 5, 20–40: 9, 40–60: 8, 60–80: 11, 80–100: 10 विद्यार्थी. यादृच्छिकपणे एक विद्यार्थी निवडला तर त्याला 60 किंवा त्याहून जास्त गुण मिळण्याची प्रायोगिक संभाव्यता किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 119/20
- 25/33
- 33/8
- 450/101
- 560
- 61/5
- 73/5
- 821/43
प्रायोगिक संभाव्यता
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडासैद्धांतिक संभाव्यता आणि नमुना अवकाश
न्याय्य फाशीला सहा पृष्ठे, सर्व सारखीच शक्य. फेकल्याशिवाय सम संख्येची शक्यता सांगता येते.
सर्व निकाल सारखेच शक्य असतील तर P(E) = अनुकूल निकाल ÷ एकूण निकाल. सर्व निकालांची यादी म्हणजे नमुना अवकाश.
सूत्र : P(E) = n(E) ÷ n(S)
आकृतीत : नमुना अवकाश {१, २, ३, ४, ५, ६}; सम संख्या २, ४, ६ म्हणजे ६ पैकी ३.
नियम 1 : फासे आणि नाणी — नमुना अवकाश लिहा, अनुकूल निकाल मोजा.
- सोपे : P(फाशीवर ५) = १/६.
- मध्यम : P(संख्या > ४) = २/६ = १/३.
- परीक्षेसाठी : P(फाशीवर मूळ संख्या) = ३/६ = १/२.
नियम 2 : पत्ते आणि पिशव्या — एकूण निकाल म्हणजे पिशवीतील किंवा गठ्ठ्यातील एकूण वस्तू.
- सोपे : पिशवी : ३ लाल, ५ निळे. P(लाल) = ३/८.
- मध्यम : ५२ पत्ते : P(राजा) = ४/५२ = १/१३.
- परीक्षेसाठी : MATHS अक्षरे : P(स्वर) = १/५.
सूत्र तेव्हाच लागू जेव्हा निकाल सारखेच शक्य असतात.
सारख्या शक्यतेचे नसलेले निकाल मोजणे, उदा. "पाऊस की नाही = १/२".
"हवे ते भागिले सर्व."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एकदा फासा फेकला. 4 पेक्षा मोठी संख्या मिळण्याची संभाव्यता शोधा.
- 2पिशवीत 5 हिरवे आणि 3 पिवळे मणी आहेत. यादृच्छिकपणे एक काढला. तो हिरवा असण्याची संभाव्यता किती?
- 3नाणे तीनदा उडवले, तर नमुना अवकाशात किती निकाल असतात?
- 4पिशवीत 4 लाल, 6 निळे आणि 4 हिरवे चेंडू आहेत. यादृच्छिकपणे एक चेंडू काढला. तो लाल किंवा हिरवा असण्याची संभाव्यता किती?
- 5एका फिरकीच्या चकतीचे 15 समान भाग आहेत आणि त्यांना 1 ते 15 क्रमांक दिले आहेत. ती 2 च्या पटीतील संख्येवर थांबण्याची संभाव्यता किती?
- 61 ते 30 क्रमांकाची कार्डे नीट पिसून एक काढले. ती संख्या मूळ संख्या असण्याची संभाव्यता शोधा.
- 7दोन फासे एकत्र फेकले. संख्यांची बेरीज 6 असण्याची संभाव्यता किती?
- 8पिशवीत 12 चेंडूंपैकी 5 लाल आहेत. आणखी 4 लाल चेंडू टाकले, तर लाल चेंडू निघण्याची नवी संभाव्यता किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11/3
- 25/8
- 38
- 44/7
- 57/15
- 61/3
- 75/36
- 89/16
सैद्धांतिक संभाव्यता आणि नमुना अवकाश
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडापूरक आणि परस्पर अपवर्जी घटना
सामना जिंकण्याची शक्यता ०.७ तर न जिंकण्याची ०.३, कारण जिंकणे किंवा न जिंकणे यात सर्व येते.
E चा पूरक (E नाही) : P(E नाही) = १ − P(E). एकत्र घडू न शकणाऱ्या घटना परस्पर अपवर्जी; तेव्हा P(A किंवा B) = P(A) + P(B).
सूत्र : P(E नाही) = १ − P(E); P(A किंवा B) = P(A) + P(B)
आकृतीत : दोन्ही स्तंभ मिळून १ : ०.७ + ०.३.
नियम 1 : पूरक वापरा — "किमान एक" किंवा "नाही" हे १ वजा विरुद्ध असे सोपे.
- सोपे : P(जिंकणे) = ०.६५ ⇒ P(न जिंकणे) = ०.३५.
- मध्यम : P(फाशीवर सहा नाही) = १ − १/६ = ५/६.
- परीक्षेसाठी : P(राजा नाही) = १ − १/१३ = १२/१३.
नियम 2 : "किंवा" साठी बेरीज — घटना एकत्र घडू शकत नसतील तेव्हाच बेरीज.
- सोपे : फासा : P(१ किंवा २) = १/६ + १/६ = १/३.
- मध्यम : पिशवी R ०.२, B ०.५ : P(R किंवा B) = ०.७.
- परीक्षेसाठी : फाशीवर सम आणि विषम परस्पर अपवर्जी : १/२ + १/२ = १.
पूरक घटना नेहमी परस्पर अपवर्जी; पण परस्पर अपवर्जी घटना पूरक असतीलच असे नाही.
एकत्र घडू शकणाऱ्या घटनांच्या संभाव्यता मिळवणे, उदा. "सम" आणि "३ पेक्षा मोठी".
"नाही = एक वजा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1A आणि B या परस्पर अपवर्जी घटना असून P(A) = 3/10 आणि P(B) = 1/10 आहे. P(A किंवा B) शोधा.
- 2पिशवीत 4 लाल, 7 निळे आणि 6 हिरवे चेंडू आहेत. यादृच्छिकपणे एक चेंडू काढला. तो लाल किंवा निळा असण्याची संभाव्यता शोधा.
- 3पिशवीत 3 लाल, 6 निळे आणि 6 हिरवे चेंडू आहेत. यादृच्छिकपणे एक चेंडू काढला. तो लाल किंवा निळा असण्याची संभाव्यता शोधा.
- 4A आणि B या परस्पर अपवर्जी घटना असून P(A) = 3/10 आणि P(B) = 2/5 आहे. A किंवा B यांपैकी एकही न घडण्याची संभाव्यता शोधा.
- 5A आणि B या परस्पर अपवर्जी घटना असून P(A) = 1/6 आणि P(B) = 1/3 आहे. A किंवा B यांपैकी एकही न घडण्याची संभाव्यता शोधा.
- 6दोन फासे फेकले. बेरीज 5 पेक्षा कमी असण्याची संभाव्यता किती?
- 7दोन फासे फेकले. बेरीज 4 पेक्षा कमी असण्याची संभाव्यता किती?
- 8A, B आणि C हेच प्रयोगाचे शक्य निकाल आहेत आणि कोणतेही दोन एकत्र घडू शकत नाहीत. P(A) = 3/10 आणि P(B) = 9/20 असेल तर P(C) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 12/5
- 211/17
- 33/5
- 43/10
- 51/2
- 61/6
- 71/12
- 81/4
वृक्ष आकृती आणि संयुक्त प्रयोग
दोन नाणी एकापाठोपाठ उडवताना प्रत्येक उडवणे H किंवा T मध्ये फुटते. फांद्या काढल्यास कोणताही निकाल सुटत नाही.
वृक्ष आकृती अनेक टप्प्यांच्या प्रयोगाचे सर्व निकाल दाखवते. निकालांची संख्या = प्रत्येक टप्प्यातील पर्यायांचा गुणाकार (२ × २ = ४). एका मार्गाची संभाव्यता = फांद्यांवरील संभाव्यतांचा गुणाकार.
सूत्र : निकाल = n₁ × n₂; P(मार्ग) = फांद्यांचा गुणाकार
आकृतीत : दोन नाणी : HH, HT, TH, TT, चार सारखेच शक्य निकाल.
नियम 1 : यादी आणि मोजणी — टप्प्याटप्प्याने फांद्या काढा, मग अनुकूल मार्ग मोजा.
- सोपे : दोन नाणी : P(नेमके एक छापा) = २/४ = १/२.
- मध्यम : तीन नाणी : ८ निकाल; P(HHH) = १/८.
- परीक्षेसाठी : फासा आणि नाणे : ६ × २ = १२ निकाल.
नियम 2 : फांद्यांवर गुणाकार — स्वतंत्र टप्प्यांसाठी प्रत्येक टप्प्याच्या संभाव्यता गुणा.
- सोपे : P(H नंतर H) = १/२ × १/२ = १/४.
- मध्यम : दोन फेकींत P(६ नंतर ६) = १/३६.
- परीक्षेसाठी : २ उडवण्यांत किमान एक छापा : १ − १/४ = ३/४.
हवा तो निकाल देणाऱ्या वेगळ्या मार्गांच्या संभाव्यता मिळवा.
HT आणि TH एकच निकाल मानणे.
"फांदीवर गुणा, मार्गांत बेरीज."
सरावासाठी प्रश्न
- 1नाणे 3 वेळा उडवले. एकूण किती वेगवेगळे निकाल (वृक्ष आकृतीतील मार्ग) असतात?
- 24 समान भाग असलेली फिरकीची चकती आणि एक नाणे एकत्र वापरले. वृक्ष आकृतीत किती निकाल असतात?
- 3एक नाणे 4 वेळा उडवले. नेमकी 1 छाप येण्याची संभाव्यता किती?
- 4पिशवीत 4 लाल आणि 5 निळे चेंडू आहेत. एक चेंडू काढून, नोंद करून परत ठेवला; मग दुसरा चेंडू काढला. दोन्ही लाल असण्याची संभाव्यता शोधा.
- 5एक नाणे 5 वेळा उडवले. किमान एक छाप येण्याची संभाव्यता शोधा.
- 6एक नाणे उडवले आणि एक फासा फेकला. छाप आणि फाशावर विषम संख्या मिळण्याची संभाव्यता शोधा.
- 7पिशवीत 3 लाल आणि 3 निळे चेंडू आहेत. परत न ठेवता एकापाठोपाठ दोन चेंडू काढले. दोन्ही लाल असण्याची संभाव्यता शोधा.
- 8पिशवीत 3 लाल आणि 2 निळे चेंडू आहेत. परत न ठेवता एकापाठोपाठ दोन चेंडू काढले. नेमका एकच लाल असण्याची संभाव्यता शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 18
- 28
- 31/4
- 416/81
- 531/32
- 61/4
- 71/5
- 83/5