कथन और 'यदि … तो' कथन
शिक्षक कहते हैं "काम पूरा करोगे तो बाहर जा सकते हो।" एक भाग शर्त, दूसरा परिणाम।
कथन वह वाक्य है जो सत्य या असत्य हो। "यदि P तो Q" में परिकल्पना P (दी हुई) और निष्कर्ष Q (सिद्ध करना) होता है। इसे P ⇒ Q लिखते हैं।
सूत्र : यदि P तो Q (P ⇒ Q)
आकृति में : P = "6, n को विभाजित करता है" परिकल्पना, Q = "2, n को विभाजित करता है" निष्कर्ष।
नियम 1 : P और Q खोजें — "यदि" के बाद P, "तो" के बाद Q। छिपे कथनों को इस रूप में लिखें।
- आसान : बारिश हो तो सड़क गीली : P = बारिश, Q = सड़क गीली।
- मध्यम : "वर्ग आयत है" ⇒ आकृति वर्ग हो तो वह आयत है।
- परीक्षा-प्रकार : "x = 3 तो x² = 9"।
नियम 2 : सत्य या असत्य? — कथन तभी सत्य जब परिकल्पना होने पर वह हर बार सत्य हो।
- आसान : संख्या 4 का गुणज हो तो सम : सत्य।
- मध्यम : संख्या सम हो तो 4 का गुणज : असत्य (6)।
- परीक्षा-प्रकार : त्रिभुज समबाहु हो तो समद्विबाहु : सत्य।
एक अपवाद कथन को असत्य करने के लिए काफ़ी।
परिकल्पना और निष्कर्ष की अदला-बदली।
"यदि दिया, तो सिद्ध करना।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1कथन "यदि कोई त्रिभुज समकोण हो, तो सबसे लंबी भुजा का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है।" में परिकल्पना (‘यदि’ के बाद का भाग) कौन-सी है?
- 2कथन "यदि कोई संख्या 4 से विभाज्य हो, तो वह सम है।" में परिकल्पना (‘यदि’ के बाद का भाग) कौन-सी है?
- 3कथन "यदि कोई संख्या 9 से विभाज्य हो, तो वह 3 से विभाज्य है।" में परिकल्पना (‘यदि’ के बाद का भाग) कौन-सी है?
- 4कथन "यदि कोई संख्या 0 पर समाप्त होने वाली हो, तो वह 10 से विभाज्य है।" में निष्कर्ष (‘तो’ के बाद का भाग) कौन-सा है?
- 5कथन "यदि कोई संख्या 8 का गुणज हो, तो वह 4 का गुणज है।" में निष्कर्ष (‘तो’ के बाद का भाग) कौन-सा है?
- 6कथन "यदि वृत्त के केंद्र से खींची गई रेखा जीवा पर लंब हो, तो वह जीवा को समद्विभाजित करती है।" में निष्कर्ष (‘तो’ के बाद का भाग) कौन-सा है?
- 7कथन "यदि कोई संख्या सम संख्या हो, तो इसका वर्ग सम है।" में परिकल्पना (‘यदि’ के बाद का भाग) कौन-सी है?
- 8कथन "यदि कोई संख्या 15 का गुणज हो, तो वह 3 का गुणज और 5 का भी गुणज है।" में परिकल्पना (‘यदि’ के बाद का भाग) कौन-सी है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1कोई त्रिभुज समकोण है
- 2कोई संख्या 4 से विभाज्य है
- 3कोई संख्या 9 से विभाज्य है
- 4वह 10 से विभाज्य है
- 5वह 4 का गुणज है
- 6वह जीवा को समद्विभाजित करती है
- 7कोई संख्या सम संख्या है
- 8कोई संख्या 15 का गुणज है
विलोम बनाना
कहानी उलटकर देखें : "बारिश हुई तो ज़मीन गीली" से "ज़मीन गीली तो बारिश हुई"। यही विलोम है।
"यदि P तो Q" का विलोम "यदि Q तो P" : परिकल्पना और निष्कर्ष की अदला-बदली। कथन और उसका विलोम अलग कथन हैं।
सूत्र : P ⇒ Q का विलोम Q ⇒ P
आकृति में : विलोम वही तीर दूसरी ओर से पढ़ता है : Q ⇒ P।
नियम 1 : विलोम लिखें — "यदि" और "तो" भाग शब्द बदले बिना अदला-बदली करें।
- आसान : x = 2 तो x + 3 = 5। विलोम : x + 3 = 5 तो x = 2।
- मध्यम : संख्या 0 पर समाप्त हो तो 10 से विभाज्य। विलोम : 10 से विभाज्य तो 0 पर समाप्त।
- परीक्षा-प्रकार : वर्ग हो तो सभी भुजाएँ समान। विलोम : सभी भुजाएँ समान तो वर्ग।
नियम 2 : छिपे यदि-तो रूप — "सभी A, B हैं" को "A हो तो B" के रूप में लिखें।
- आसान : सभी वर्ग आयत ⇒ वर्ग हो तो आयत।
- मध्यम : विलोम : आयत हो तो वर्ग।
- परीक्षा-प्रकार : "केवल यदि" भूमिकाएँ बदलता है : "P केवल यदि Q" यानी P ⇒ Q।
विलोम का विलोम मूल कथन होता है।
दोनों भागों को केवल निषेध करके विलोम लिखना।
"तीर पलटें।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1"यदि x² = 16, तो x = 4।" का विलोम क्या है?
- 2"यदि x² = 16, तो x = 4।" के विलोम की परिकल्पना क्या है?
- 3"यदि कोई संख्या 12 का गुणज हो, तो वह 6 का गुणज है।" के विलोम की परिकल्पना क्या है?
- 4"यदि x = 3, तो x² = 9।" के विलोम की परिकल्पना क्या है?
- 5"यदि दो त्रिभुज सर्वांगसम हों, तो उनके क्षेत्रफल बराबर हैं।" के विलोम की परिकल्पना क्या है?
- 6"यदि कोई संख्या अभाज्य हो, तो वह विषम है।" के विलोम की परिकल्पना क्या है?
- 7‘यदि X तो Y’ का विलोम है
- 8‘X, इसका अर्थ है कि Y’ का विलोम है
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1यदि x = 4, तो x² = 16।
- 2x = 4
- 3वह 6 का गुणज है
- 4x² = 9
- 5उनके क्षेत्रफल बराबर हैं
- 6वह विषम है
- 7यदि Y तो X
- 8Y, इसका अर्थ है कि X
क्या विलोम सत्य होता है?
"कुत्ता हो तो चार पैर" सत्य, पर "चार पैर हों तो कुत्ता" सत्य नहीं : बिल्ली, गाय के भी चार पैर।
सत्य कथन का विलोम असत्य या सत्य हो सकता है। हर एक अलग जाँचें। दोनों सत्य हों तो P ⇔ Q ("P यदि और केवल यदि Q")।
सूत्र : P ⇒ Q सत्य होने से Q ⇒ P सत्य नहीं
आकृति में : मूल कथन सत्य, पर बिल्ली पर विलोम विफल, इसलिए विलोम असत्य।
नियम 1 : दोनों दिशाएँ जाँचें — एक उदाहरण खोजें जहाँ विलोम विफल हो।
- आसान : x = 3 तो x² = 9 (सत्य)। विलोम असत्य : x = −3।
- मध्यम : शीर्षाभिमुख कोण समान (सत्य); समान कोण शीर्षाभिमुख हों जरूरी नहीं (असत्य)।
- परीक्षा-प्रकार : तीन समान भुजाओं वाले त्रिभुज के तीनों कोण समान; विलोम भी सत्य : दोनों ओर सत्य।
नियम 2 : यदि और केवल यदि — दोनों दिशाएँ सत्य हों तभी ⇔ लगाएँ।
- आसान : संख्या सम यदि और केवल यदि वह 2 से विभाज्य।
- मध्यम : चतुर्भुज आयत यदि और केवल यदि वह समकोण वाला समांतर चतुर्भुज।
- परीक्षा-प्रकार : x + 2 = 5 यदि और केवल यदि x = 3।
"iff" सिद्ध करने को P ⇒ Q और Q ⇒ P दोनों सिद्ध करें।
कथन सत्य तो विलोम भी सत्य मान लेना।
"iff कहने से पहले दोनों ओर जाँचें।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1यदि कोई कथन सत्य हो, तो उसका विलोम
- 2जो एक उदाहरण परिकल्पना को पूरा करता है पर निष्कर्ष को तोड़ता है, उसे ... कहते हैं।
- 3कथन "यदि कोई संख्या 8 का गुणज हो, तो वह 4 का गुणज है।" सत्य है। क्या उसका विलोम "यदि वह 4 का गुणज हो, तो कोई संख्या 8 का गुणज है।" भी सत्य है?
- 4कथन "यदि कोई बच्चा कक्षा 9 में हो, तो वह बच्चा 10 वर्ष से बड़ा है।" सत्य है। क्या उसका विलोम "यदि वह बच्चा 10 वर्ष से बड़ा हो, तो कोई बच्चा कक्षा 9 में है।" भी सत्य है?
- 5कथन "यदि कोई संख्या 100 से विभाज्य हो, तो इसके अंतिम दो अंक 00 हैं।" सत्य है। क्या उसका विलोम "यदि इसके अंतिम दो अंक 00 हों, तो कोई संख्या 100 से विभाज्य है।" भी सत्य है?
- 6कथन "यदि x = 3, तो x² = 9।" सत्य है। क्या उसका विलोम "यदि x² = 9, तो x = 3।" भी सत्य है?
- 7"यदि कोई संख्या 12 का गुणज हो, तो वह 6 का गुणज है।" और उसका विलोम "यदि वह 6 का गुणज हो, तो कोई संख्या 12 का गुणज है।" देखिए। कौन-सा वर्णन सही है?
- 8"यदि x² = 16, तो x = 4।" और उसका विलोम "यदि x = 4, तो x² = 16।" देखिए। कौन-सा वर्णन सही है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1आवश्यक रूप से सत्य नहीं
- 2प्रति-उदाहरण
- 3नहीं
- 4नहीं
- 5हाँ
- 6नहीं
- 7कथन सत्य पर उसका विलोम असत्य
- 8कथन असत्य पर उसका विलोम सत्य
प्रतिउदाहरण
दुकानदार कहता है "इस पेटी के सभी आम मीठे"। एक खट्टा आम दावा गलत कर देता है।
प्रतिउदाहरण वह एक स्थिति है जहाँ परिकल्पना सही पर निष्कर्ष गलत। एक प्रतिउदाहरण कथन को असत्य सिद्ध करता है। कई सही उदाहरण उसे सिद्ध नहीं करते।
सूत्र : एक प्रतिउदाहरण ⇒ कथन असत्य
आकृति में : अभाज्य 2 सम है, इसलिए "सभी अभाज्य विषम" दावा टूट जाता है।
नियम 1 : प्रतिउदाहरण खोजें — छोटी और विशेष संख्याएँ आज़माएँ : 0, 1, 2, ऋण, भिन्न।
- आसान : "सभी n के लिए n² > n" : n = 1 पर 1 = 1।
- मध्यम : "दो अभाज्यों का योग सम" : 2 + 3 = 5।
- परीक्षा-प्रकार : "(a + b)² = a² + b²" : a = b = 1 पर 4 ≠ 2।
नियम 2 : उदाहरण प्रमाण नहीं — कथन सिद्ध करने को हर स्थिति में चलने वाला तर्क चाहिए।
- आसान : n² + n + 41, n = 0 से 39 तक अभाज्य, पर n = 40 पर 41² (अभाज्य नहीं)।
- मध्यम : पाँच सही उदाहरण नियम सिद्ध नहीं करते।
- परीक्षा-प्रकार : एक विफल उदाहरण वैध खंडन है।
अच्छा प्रतिउदाहरण स्पष्ट और जाँचने में आसान होता है।
जहाँ कथन सही हो वह स्थिति प्रतिउदाहरण बताना।
"एक खराब आम दावा बिगाड़ता है।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1दावा : "4 और 6 दोनों से विभाज्य संख्या 24 से विभाज्य होती है।" क्या 12 प्रति-उदाहरण है?
- 2दावे "5 का प्रत्येक गुणज 15 का गुणज होता है" को असत्य सिद्ध करने वाली सबसे छोटी प्राकृत संख्या कौन-सी है?
- 3दावे "3 का प्रत्येक गुणज 9 का गुणज होता है" को असत्य सिद्ध करने वाली सबसे छोटी प्राकृत संख्या कौन-सी है?
- 4दावा : "यदि n², 25 से विभाज्य हो, तो n, 25 से विभाज्य होता है।" n का कौन-सा मान प्रति-उदाहरण है?
- 5दावा : "यदि n², 36 से विभाज्य हो, तो n, 36 से विभाज्य होता है।" n का कौन-सा मान प्रति-उदाहरण है?
- 6दावा : "यदि कोई संख्या 10 और 25 दोनों का गुणज हो, तो वह 250 का गुणज होती है।" कौन-सी संख्या प्रति-उदाहरण है?
- 7दावा : "यदि कोई संख्या 8 और 12 दोनों का गुणज हो, तो वह 96 का गुणज होती है।" कौन-सी संख्या प्रति-उदाहरण है?
- 8दावा : "सभी संख्याओं के लिए (a + b)² = a² + b²।" कौन-सा युग्म (a, b) प्रति-उदाहरण है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1हाँ, 12 प्रति-उदाहरण है
- 25
- 33
- 45
- 56
- 650
- 724
- 8a = 3, b = 5
ज्यामिति प्रमेयों के विलोम
त्रिभुज में समान भुजाओं से समान कोण। समान कोण हों तो भुजाएँ समान? ज्यामिति हर प्रमेय पर यह पूछती है।
कुछ प्रमेयों के विलोम सत्य : समद्विबाहु त्रिभुज प्रमेय (समान भुजाएँ ⇒ समान सम्मुख कोण) और उसका विलोम; पाइथागोरस और उसका विलोम। कुछ असत्य : "शीर्षाभिमुख कोण समान" का विलोम असत्य।
सूत्र : a² + b² = c² ⇔ c के सम्मुख शीर्ष पर समकोण
आकृति में : भुजाएँ 3, 4, 5 के लिए 3² + 4² = 5², इसलिए विलोम से त्रिभुज समकोण।
नियम 1 : सत्य विलोम — कसौटी के रूप में लगाएँ : भुजाओं से कोण तय करें, और उल्टा।
- आसान : त्रिभुज में दो कोण समान ⇒ सम्मुख भुजाएँ समान।
- मध्यम : 5, 12, 13 : 25 + 144 = 169, समकोण।
- परीक्षा-प्रकार : एकांतर कोण समान ⇒ रेखाएँ समांतर।
नियम 2 : असत्य विलोम — विलोम तोड़ने वाला एक उदाहरण खोजें।
- आसान : सर्वांगसम त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान; क्षेत्रफल समान यानी सर्वांगसम नहीं।
- मध्यम : वर्ग के विकर्ण समान; विकर्ण समान यानी वर्ग नहीं (आयत)।
- परीक्षा-प्रकार : 7, 8, 12 : 49 + 64 = 113 ≠ 144, समकोण नहीं।
ज्यामिति की कई कसौटियाँ (SSS, ASA, समांतर रेखा की कसौटियाँ) पहले प्रमेयों के विलोम हैं।
प्रमेय का विलोम सिद्ध किए बिना प्रयोग करना।
"तीर दोनों दिशाओं में जाँचें।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1चतुर्भुज PQRS में PQ = RS = 11 cm और QR = SP = 9 cm है। हम क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?
- 2चतुर्भुज PQRS में PQ = RS = 12 cm और QR = SP = 4 cm है। हम क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?
- 3त्रिभुज ABC में ∠B = ∠C = 68° है। समद्विबाहु त्रिभुज प्रमेय के विलोम का उपयोग करके कौन-सी दो भुजाएँ बराबर हैं?
- 4त्रिभुज ABC में ∠B = ∠C = 34° है। समद्विबाहु त्रिभुज प्रमेय के विलोम का उपयोग करके कौन-सी दो भुजाएँ बराबर हैं?
- 5त्रिभुज ABC में ∠B = ∠C = 59° है। समद्विबाहु त्रिभुज प्रमेय के विलोम का उपयोग करके कौन-सी दो भुजाएँ बराबर हैं?
- 6त्रिभुज की भुजाएँ 6 cm, 8 cm और 10 cm हैं। बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का उपयोग करके क्या यह समकोण त्रिभुज है?
- 7चतुर्भुज ABCD में ∠A = 120° और ∠C = 60° है। चक्रीय चतुर्भुज प्रमेय के विलोम से हम क्या कह सकते हैं?
- 8चतुर्भुज ABCD में ∠A = 75° और ∠C = 105° है। चक्रीय चतुर्भुज प्रमेय के विलोम से हम क्या कह सकते हैं?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1PQRS समांतर चतुर्भुज है
- 2PQRS समांतर चतुर्भुज है
- 3AB और AC
- 4AB और AC
- 5AB और AC
- 6हाँ, यह समकोण त्रिभुज है
- 7ABCD चक्रीय है
- 8ABCD चक्रीय है