विधाने आणि 'जर … तर' विधाने
शिक्षक म्हणतात "काम पूर्ण केलेस तर बाहेर जाऊ शकतोस." एक भाग अट, दुसरा परिणाम.
विधान म्हणजे खरे किंवा खोटे असे वाक्य. "जर P तर Q" या जर-तर विधानात गृहीतक P (दिलेले) आणि निष्कर्ष Q (सिद्ध करायचे). ते P ⇒ Q असे लिहितात.
सूत्र : जर P तर Q (P ⇒ Q)
आकृतीत : P = "६ ने n ला भाग जातो" गृहीतक, Q = "२ ने n ला भाग जातो" निष्कर्ष.
नियम 1 : P आणि Q शोधा — "जर" नंतर P, "तर" नंतर Q. लपलेली विधाने या रूपात लिहा.
- सोपे : पाऊस पडला तर रस्ता ओला : P = पाऊस, Q = रस्ता ओला.
- मध्यम : "चौरस हा आयत आहे" ⇒ आकृती चौरस असेल तर ती आयत आहे.
- परीक्षेसाठी : "x = ३ तर x² = ९".
नियम 2 : खरे की खोटे? — विधान तेव्हाच खरे जेव्हा गृहीतक असताना ते प्रत्येक वेळी खरे.
- सोपे : संख्या ४ ची पट असेल तर ती सम : खरे.
- मध्यम : संख्या सम असेल तर ती ४ ची पट : खोटे (६).
- परीक्षेसाठी : त्रिकोण समभुज असेल तर तो समद्विभुज : खरे.
एकच अपवाद विधान खोटे ठरवायला पुरेसा.
गृहीतक आणि निष्कर्ष यांची अदलाबदल.
"जर दिलेले, तर सिद्ध करायचे."
सरावासाठी प्रश्न
- 1विधान "जर एखादा त्रिकोण काटकोन असेल, तर सर्वांत लांब बाजूचा वर्ग इतर दोन बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेइतका आहे." मध्ये गृहीतक (‘जर’ नंतरचा भाग) कोणते?
- 2विधान "जर एखादी संख्या 4 ने भाग जाणारी असेल, तर ती सम आहे." मध्ये गृहीतक (‘जर’ नंतरचा भाग) कोणते?
- 3विधान "जर एखादी संख्या 9 ने भाग जाणारी असेल, तर ती 3 ने भाग जाणारी आहे." मध्ये गृहीतक (‘जर’ नंतरचा भाग) कोणते?
- 4विधान "जर एखादी संख्या 0 वर संपणारी असेल, तर ती 10 ने भाग जाणारी आहे." मध्ये निष्कर्ष (‘तर’ नंतरचा भाग) कोणता?
- 5विधान "जर एखादी संख्या 8 च्या पटीत असेल, तर ती 4 च्या पटीत आहे." मध्ये निष्कर्ष (‘तर’ नंतरचा भाग) कोणता?
- 6विधान "जर वर्तुळाच्या केंद्रातून काढलेली रेषा जीवेला लंब असेल, तर ती जीवेला दुभागणारी आहे." मध्ये निष्कर्ष (‘तर’ नंतरचा भाग) कोणता?
- 7विधान "जर एखादी संख्या सम संख्या असेल, तर त्याचा वर्ग सम आहे." मध्ये गृहीतक (‘जर’ नंतरचा भाग) कोणते?
- 8विधान "जर एखादी संख्या 15 च्या पटीत असेल, तर ती 3 च्या पटीत आणि 5 च्याही पटीत आहे." मध्ये गृहीतक (‘जर’ नंतरचा भाग) कोणते?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1एखादा त्रिकोण काटकोन आहे
- 2एखादी संख्या 4 ने भाग जाणारी आहे
- 3एखादी संख्या 9 ने भाग जाणारी आहे
- 4ती 10 ने भाग जाणारी आहे
- 5ती 4 च्या पटीत आहे
- 6ती जीवेला दुभागणारी आहे
- 7एखादी संख्या सम संख्या आहे
- 8एखादी संख्या 15 च्या पटीत आहे
व्यत्यास तयार करणे
गोष्ट उलट पाहा : "पाऊस पडला तर जमीन ओली" चे "जमीन ओली तर पाऊस पडला" होते. तो व्यत्यास.
"जर P तर Q" चा व्यत्यास "जर Q तर P" : गृहीतक आणि निष्कर्ष अदलाबदल. विधान आणि त्याचा व्यत्यास वेगळी विधाने.
सूत्र : P ⇒ Q चा व्यत्यास Q ⇒ P
आकृतीत : व्यत्यास तोच बाण उलट बाजूने वाचतो : Q ⇒ P.
नियम 1 : व्यत्यास लिहा — "जर" आणि "तर" भाग शब्द न बदलता अदलाबदल करा.
- सोपे : x = २ तर x + ३ = ५. व्यत्यास : x + ३ = ५ तर x = २.
- मध्यम : संख्या ० वर संपते तर १० ने भाज्य. व्यत्यास : १० ने भाज्य तर ० वर संपते.
- परीक्षेसाठी : चौरस असेल तर सर्व बाजू समान. व्यत्यास : सर्व बाजू समान तर चौरस.
नियम 2 : लपलेली जर-तर रूपे — "सर्व A हे B आहेत" चे "A असेल तर B" असे रूप द्या.
- सोपे : सर्व चौरस आयत ⇒ चौरस असेल तर आयत.
- मध्यम : व्यत्यास : आयत असेल तर चौरस.
- परीक्षेसाठी : "फक्त जर" भूमिका बदलते : "P फक्त जर Q" म्हणजे P ⇒ Q.
व्यत्यासाचा व्यत्यास म्हणजे मूळ विधान.
दोन्ही भाग फक्त नकारात्मक करून व्यत्यास लिहिणे.
"बाण उलटा करा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1"जर x² = 16, तर x = 4." चा व्यत्यास कोणता?
- 2"जर x² = 16, तर x = 4." च्या व्यत्यासातील गृहीतक कोणते?
- 3"जर एखादी संख्या 12 च्या पटीत असेल, तर ती 6 च्या पटीत आहे." च्या व्यत्यासातील गृहीतक कोणते?
- 4"जर x = 3, तर x² = 9." च्या व्यत्यासातील गृहीतक कोणते?
- 5"जर दोन त्रिकोण एकरूप असतील, तर त्यांची क्षेत्रफळे समान आहेत." च्या व्यत्यासातील गृहीतक कोणते?
- 6"जर एखादी संख्या मूळ असेल, तर ती विषम आहे." च्या व्यत्यासातील गृहीतक कोणते?
- 7‘जर X तर Y’ चा व्यत्यास म्हणजे
- 8‘X, याचा अर्थ Y’ चा व्यत्यास म्हणजे
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1जर x = 4, तर x² = 16.
- 2x = 4
- 3ती 6 च्या पटीत आहे
- 4x² = 9
- 5त्यांची क्षेत्रफळे समान आहेत
- 6ती विषम आहे
- 7जर Y तर X
- 8Y, याचा अर्थ X
व्यत्यास खरा असतो का?
"कुत्रा असेल तर चार पाय" खरे, पण "चार पाय असतील तर कुत्रा" खरे नाही : मांजर, गायही चार पायांची.
खरे विधान आणि त्याचा व्यत्यास खोटा किंवा खरा असू शकतो. प्रत्येक स्वतंत्र तपासा. दोन्ही खरे असतील तर P ⇔ Q ("P तर आणि फक्त तर Q").
सूत्र : P ⇒ Q खरे म्हणजे Q ⇒ P खरे असे नाही
आकृतीत : मूळ विधान खरे, पण मांजरासाठी व्यत्यास चुकतो, म्हणून व्यत्यास खोटा.
नियम 1 : दोन्ही दिशा तपासा — व्यत्यास चुकेल असे एक उदाहरण शोधा.
- सोपे : x = ३ तर x² = ९ (खरे). व्यत्यास खोटा : x = −३.
- मध्यम : विरुद्ध कोन समान (खरे); समान कोन विरुद्ध असतीलच असे नाही (खोटे).
- परीक्षेसाठी : तीन समान बाजूंच्या त्रिकोणाचे तीन कोन समान; व्यत्यासही खरा : दोन्ही बाजूंनी खरे.
नियम 2 : तर आणि फक्त तर — दोन्ही दिशा खरे असतील तेव्हाच ⇔ वापरा.
- सोपे : संख्या सम तर आणि फक्त तर ती २ ने भाज्य.
- मध्यम : चौकोन आयत तर आणि फक्त तर तो काटकोन असलेला समांतरभुज.
- परीक्षेसाठी : x + २ = ५ तर आणि फक्त तर x = ३.
"iff" सिद्ध करण्यास P ⇒ Q आणि Q ⇒ P दोन्ही सिद्ध करा.
विधान खरे तर व्यत्यासही खरा असे मानणे.
"iff म्हणण्यापूर्वी दोन्ही बाजू तपासा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1विधान खरे असेल तर त्याचा व्यत्यास
- 2गृहीतक पूर्ण करणाऱ्या पण निष्कर्ष मोडणाऱ्या एकाच उदाहरणाला ... म्हणतात.
- 3विधान "जर एखादी संख्या 8 च्या पटीत असेल, तर ती 4 च्या पटीत आहे." खरे आहे. त्याचा व्यत्यास "जर ती 4 च्या पटीत असेल, तर एखादी संख्या 8 च्या पटीत आहे." हाही खरा आहे का?
- 4विधान "जर एखादे मूल वर्ग 9 मध्ये असेल, तर ते मूल 10 वर्षांपेक्षा मोठे आहे." खरे आहे. त्याचा व्यत्यास "जर ते मूल 10 वर्षांपेक्षा मोठे असेल, तर एखादे मूल वर्ग 9 मध्ये आहे." हाही खरा आहे का?
- 5विधान "जर एखादी संख्या 100 ने भाग जाणारी असेल, तर त्याचे शेवटचे दोन अंक 00 आहेत." खरे आहे. त्याचा व्यत्यास "जर त्याचे शेवटचे दोन अंक 00 असतील, तर एखादी संख्या 100 ने भाग जाणारी आहे." हाही खरा आहे का?
- 6विधान "जर x = 3, तर x² = 9." खरे आहे. त्याचा व्यत्यास "जर x² = 9, तर x = 3." हाही खरा आहे का?
- 7"जर एखादी संख्या 12 च्या पटीत असेल, तर ती 6 च्या पटीत आहे." आणि त्याचा व्यत्यास "जर ती 6 च्या पटीत असेल, तर एखादी संख्या 12 च्या पटीत आहे." पाहा. कोणते वर्णन बरोबर आहे?
- 8"जर x² = 16, तर x = 4." आणि त्याचा व्यत्यास "जर x = 4, तर x² = 16." पाहा. कोणते वर्णन बरोबर आहे?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1खरा असेलच असे नाही
- 2प्रतिउदाहरण
- 3नाही
- 4नाही
- 5होय
- 6नाही
- 7विधान खरे पण त्याचा व्यत्यास खोटा
- 8विधान खोटे पण त्याचा व्यत्यास खरा
प्रतिउदाहरणे
दुकानदार म्हणतो "या पेटीतले सर्व आंबे गोड". एक आंबट आंबा दावा खोटा ठरवतो.
प्रतिउदाहरण म्हणजे असे एक उदाहरण जिथे गृहीतक लागू पण निष्कर्ष चुकतो. एक प्रतिउदाहरण विधान खोटे ठरवते. अनेक बरोबर उदाहरणे विधान सिद्ध करत नाहीत.
सूत्र : एक प्रतिउदाहरण ⇒ विधान खोटे
आकृतीत : मूळ संख्या २ सम आहे, म्हणून "सर्व मूळ संख्या विषम" हा दावा मोडतो.
नियम 1 : प्रतिउदाहरण शोधा — लहान व विशेष संख्या वापरा : ०, १, २, ऋण, अपूर्णांक.
- सोपे : "सर्व n साठी n² > n" : n = १ ला १ = १.
- मध्यम : "दोन मूळ संख्यांची बेरीज सम" : २ + ३ = ५.
- परीक्षेसाठी : "(a + b)² = a² + b²" : a = b = १ ला ४ ≠ २.
नियम 2 : उदाहरणे म्हणजे सिद्धता नव्हे — विधान सिद्ध करायला प्रत्येक बाबतीत चालणारा युक्तिवाद हवा.
- सोपे : n² + n + ४१ हे n = ० ते ३९ साठी मूळ, पण n = ४० ला ४१² (मूळ नाही).
- मध्यम : पाच खरी उदाहरणे नियम सिद्ध करत नाहीत.
- परीक्षेसाठी : एकच चुकीचे उदाहरण वैध खंडन आहे.
चांगले प्रतिउदाहरण नेमके आणि तपासायला सोपे असते.
विधान लागू होते अशी बाब प्रतिउदाहरण म्हणून देणे.
"एक सडका आंबा दावा बिघडवतो."
सरावासाठी प्रश्न
- 1दावा : "4 आणि 6 या दोन्हींनी भाग जाणारी संख्या 24 ने भाग जाते." 12 हे प्रतिउदाहरण आहे का?
- 2"5 चा प्रत्येक पट 15 चा पट असतो" हा दावा खोटा ठरवणारी सर्वांत लहान नैसर्गिक संख्या कोणती?
- 3"3 चा प्रत्येक पट 9 चा पट असतो" हा दावा खोटा ठरवणारी सर्वांत लहान नैसर्गिक संख्या कोणती?
- 4दावा : "जर n² हा 25 ने भाग जाणारा असेल, तर n हा 25 ने भाग जाणारा असतो." n ची कोणती किंमत प्रतिउदाहरण आहे?
- 5दावा : "जर n² हा 36 ने भाग जाणारा असेल, तर n हा 36 ने भाग जाणारा असतो." n ची कोणती किंमत प्रतिउदाहरण आहे?
- 6दावा : "जर एखादी संख्या 10 आणि 25 या दोहोंच्या पटीत असेल, तर ती 250 च्या पटीत असते." कोणती संख्या प्रतिउदाहरण आहे?
- 7दावा : "जर एखादी संख्या 8 आणि 12 या दोहोंच्या पटीत असेल, तर ती 96 च्या पटीत असते." कोणती संख्या प्रतिउदाहरण आहे?
- 8दावा : "सर्व संख्यांसाठी (a + b)² = a² + b²." कोणती जोडी (a, b) प्रतिउदाहरण आहे?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1होय, 12 हे प्रतिउदाहरण आहे
- 25
- 33
- 45
- 56
- 650
- 724
- 8a = 3, b = 5
भूमिती प्रमेयांचे व्यत्यास
त्रिकोणात समान बाजूंमुळे समान कोन. समान कोन असतील तर बाजू समान का? भूमिती प्रत्येक प्रमेयासाठी हे विचारते.
काही प्रमेयांचे व्यत्यास खरे : समद्विभुज त्रिकोण प्रमेय (समान बाजू ⇒ समान समोरचे कोन) आणि त्याचा व्यत्यास; पायथागोरस आणि त्याचा व्यत्यास. काही खोटे : "विरुद्ध कोन समान" चा व्यत्यास खोटा.
सूत्र : a² + b² = c² ⇔ c च्या समोरच्या शिरोबिंदूवर काटकोन
आकृतीत : बाजू ३, ४, ५ साठी ३² + ४² = ५², म्हणून व्यत्यासाने त्रिकोण काटकोन.
नियम 1 : खरे व्यत्यास — कसोटी म्हणून वापरा : बाजूंवरून कोन ठरवा, आणि उलट.
- सोपे : त्रिकोणात दोन कोन समान ⇒ समोरच्या बाजू समान.
- मध्यम : ५, १२, १३ : २५ + १४४ = १६९, काटकोन.
- परीक्षेसाठी : एकांतर कोन समान ⇒ रेषा समांतर.
नियम 2 : खोटे व्यत्यास — व्यत्यास मोडणारे एक उदाहरण शोधा.
- सोपे : एकरूप त्रिकोणांचे क्षेत्रफळ समान; क्षेत्रफळ समान म्हणजे एकरूप नाही.
- मध्यम : चौरसाचे कर्ण समान; कर्ण समान म्हणजे चौरस नाही (आयत).
- परीक्षेसाठी : ७, ८, १२ : ४९ + ६४ = ११३ ≠ १४४, काटकोन नाही.
भूमितीतील अनेक कसोट्या (SSS, ASA, समांतर रेषांच्या कसोट्या) आधीच्या प्रमेयांचे व्यत्यास.
प्रमेयाचा व्यत्यास सिद्ध न करता वापरणे.
"बाण दोन्ही दिशांत तपासा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1चौकोन PQRS मध्ये PQ = RS = 11 cm आणि QR = SP = 9 cm आहे. आपण काय निष्कर्ष काढू शकतो?
- 2चौकोन PQRS मध्ये PQ = RS = 12 cm आणि QR = SP = 4 cm आहे. आपण काय निष्कर्ष काढू शकतो?
- 3त्रिकोण ABC मध्ये ∠B = ∠C = 68° आहे. समद्विभुज त्रिकोण प्रमेयाचा व्यत्यास वापरून कोणत्या दोन बाजू समान आहेत?
- 4त्रिकोण ABC मध्ये ∠B = ∠C = 34° आहे. समद्विभुज त्रिकोण प्रमेयाचा व्यत्यास वापरून कोणत्या दोन बाजू समान आहेत?
- 5त्रिकोण ABC मध्ये ∠B = ∠C = 59° आहे. समद्विभुज त्रिकोण प्रमेयाचा व्यत्यास वापरून कोणत्या दोन बाजू समान आहेत?
- 6त्रिकोणाच्या बाजू 6 cm, 8 cm आणि 10 cm आहेत. बौधायन–पायथागोरस प्रमेयाचा व्यत्यास वापरून तो काटकोन त्रिकोण आहे का?
- 7चौकोन ABCD मध्ये ∠A = 120° आणि ∠C = 60° आहे. चक्रीय चौकोन प्रमेयाच्या व्यत्यासावरून आपण काय म्हणू शकतो?
- 8चौकोन ABCD मध्ये ∠A = 75° आणि ∠C = 105° आहे. चक्रीय चौकोन प्रमेयाच्या व्यत्यासावरून आपण काय म्हणू शकतो?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1PQRS समांतरभुज चौकोन आहे
- 2PQRS समांतरभुज चौकोन आहे
- 3AB आणि AC
- 4AB आणि AC
- 5AB आणि AC
- 6होय, तो काटकोन त्रिकोण आहे
- 7ABCD चक्रीय आहे
- 8ABCD चक्रीय आहे