सरासरी (मध्य)
पाच मित्रांना ६, ८, ७, ९, १० गुण. गुण सारखे वाटले तर प्रत्येकाला जो गुण येईल तो म्हणजे सरासरी.
सरासरी = सर्व किमतींची बेरीज ÷ किमतींची संख्या. ती आकडेवारीचा "समतोल बिंदू". सरासरीपासूनच्या फरकांची बेरीज शून्य.
सूत्र : सरासरी = (x₁ + x₂ + … + xₙ) ÷ n
आकृतीत : एकूण = ६ + ८ + ७ + ९ + १० = ४०, म्हणून सरासरी = ४० ÷ ५ = ८.
नियम 1 : सरासरी काढा — सर्व मिळवा, मग संख्येने भागा.
- सोपे : २, ४, ९ : सरासरी = १५ ÷ ३ = ५.
- मध्यम : १०, २०, ३०, ४० : सरासरी २५.
- परीक्षेसाठी : तापमान २८, ३०, ३२, २६ °C : सरासरी २९ °C.
नियम 2 : गाळलेली किंमत — आवश्यक एकूण = सरासरी × संख्या; माहीत बेरीज वजा करा.
- सोपे : ४ संख्यांची सरासरी १०; तीन ८, ९, १३ : चौथी = ४० − ३० = १०.
- मध्यम : ५ ची सरासरी १२ : एकूण ६०.
- परीक्षेसाठी : गुण ७०, ८० आणि x, सरासरी ८० : x = ९०.
सरासरी नेहमी सर्वात लहान आणि सर्वात मोठ्या किमतीदरम्यान असते.
सर्व किमतींऐवजी भिन्न किमतींच्या संख्येने भागणे.
"एकूण भागिले संख्या."
सरावासाठी प्रश्न
- 111, 27, 7, 30, 25 या संख्या पाच दिवसांत नोंदवलेली दैनिक पावले (शेकडोंत) आहेत. त्यांची सरासरी किती?
- 26 संख्यांची सरासरी 9 आहे. त्या 6 संख्यांची बेरीज किती?
- 310 संख्या 58, 19, 39, 26, 45, 6, 47, 39, 24, 12 यांची सरासरी शोधा.
- 46 संख्यांची सरासरी 14 आहे. त्यांपैकी 5 संख्या 12, 6, 10, 11, 18 आहेत. उरलेली संख्या कोणती?
- 5एका प्रश्नमंजुषेत 5, 3 आणि 12 विद्यार्थ्यांना अनुक्रमे 3, 4 आणि 8 गुण मिळाले. त्या 20 विद्यार्थ्यांच्या गुणांची सरासरी किती?
- 6समान अंतराच्या 7 संख्या 20, 30, 40, …, 80 यांची सरासरी किती?
- 79 संख्यांची सरासरी 24 आहे. प्रत्येक संख्येत आधी 5 मिळवली आणि मग निकाल 4 ने गुणला, तर नवी सरासरी किती?
- 8सहा संख्यांची सरासरी 17 आहे. त्यांपैकी चार संख्या 20, 8, 20, 10 आहेत. बाकीच्या दोन संख्या समान आहेत. प्रत्येकी किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 120
- 254
- 331.5
- 427
- 56.15
- 650
- 7116
- 822
सरासरी (मध्य)
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडासरासरी कशी बदलते
छोट्या कार्यालयात एकच खूप मोठा पगार सरासरी पगार वर खेचतो, बहुतेकांचे पगार कमी असले तरी. एक मोठी किंमत सरासरी ओढते.
प्रत्येक किमतीत k मिळवल्यास सरासरीत k मिळते. प्रत्येक किमतीला k ने गुणल्यास सरासरी k ने गुणली जाते. एक नवी किंमत मिळवल्यास सरासरी त्या किमतीकडे सरकते.
सूत्र : नवी सरासरी = (जुनी बेरीज + नवी किंमत) ÷ (n + १)
आकृतीत : पाच किमतींची सरासरी ८. ४० मिळवल्यास (४० + ४०) ÷ ६ ≈ १३.३.
नियम 1 : सरकवा आणि गुणा — सरासरी आकडेवारीप्रमाणेच बदलते.
- सोपे : सरासरी २०; प्रत्येकात ५ मिळवा : २५.
- मध्यम : सरासरी १२; प्रत्येक दुप्पट : २४.
- परीक्षेसाठी : सरासरी ५०; प्रत्येकातून १० वजा : ४०.
नियम 2 : किंमत वाढवा किंवा काढा — सरासरी नव्हे, एकूणांवर काम करा.
- सोपे : ४ ची सरासरी १० (एकूण ४०); २० मिळवल्यास ६० ÷ ५ = १२.
- मध्यम : ५ ची सरासरी ८ (एकूण ४०); ८ काढल्यास सरासरी ८ च.
- परीक्षेसाठी : वर्गाची सरासरी ६०; ९० गुणांचा नवा विद्यार्थी ती वाढवतो.
सरासरी इतकी किंमत मिळवल्यास सरासरी बदलत नाही.
जुनी सरासरी आणि नवी किंमत यांचीच सरासरी घेणे, किती किमती होत्या ते विसरून.
"सरासरी नव्हे, एकूण वापरा."
सरावासाठी प्रश्न
- 15 संख्यांची सरासरी 27 आहे. आणखी एक संख्या 33 समाविष्ट केली, तर नवी सरासरी किती?
- 25 संख्यांची सरासरी 26 आहे. आणखी एक संख्या 56 समाविष्ट केली, तर नवी सरासरी किती?
- 39 संख्यांची सरासरी 40 आहे. त्यांतली एक संख्या 56 काढून टाकली. उरलेल्या 8 संख्यांची सरासरी किती?
- 4एका विद्यार्थ्याची 4 चाचण्यांतील सरासरी 73 आहे. सर्व 5 चाचण्यांची सरासरी 78 होण्यासाठी पुढच्या चाचणीत त्याला किती गुण मिळवावे लागतील?
- 510 मित्रांच्या गटाचे सरासरी वय 37 वर्षे आहे. 38 वर्षांचा एक मित्र गेला आणि 58 वर्षांचा नवा मित्र आला. नवे सरासरी वय किती?
- 65 मुलांचे सरासरी वजन 39 किग्रॅ आहे. एक नवा मुलगा आला तेव्हा सरासरी 1 किग्रॅ ने वाढली. नव्या मुलाचे वजन किती?
- 7एका फलंदाजाची 9 डावांनंतर सरासरी 45 धावा आहे. सरासरी 48 करण्यासाठी पुढच्या डावात त्याला किती धावा कराव्या लागतील?
- 84 संख्यांची सरासरी 33 आहे. आणखी दोन संख्या मिळवल्या आणि सर्व 6 संख्यांची सरासरी 31 झाली. त्या दोन नव्या संख्यांची बेरीज किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 128
- 231
- 338
- 498
- 539
- 645
- 775
- 854
सरासरी कशी बदलते
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडाएकत्रित आणि भारित सरासरी
मोठी वर्ग A आणि लहान वर्ग B असलेली शाळा दोन्ही वर्गांच्या सरासरींची साधी सरासरी घेऊ शकत नाही. मोठ्या वर्गाचे वजन जास्त.
एकत्रित सरासरी = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂) ÷ (n₁ + n₂). भारित सरासरीत प्रत्येक किंमत तिच्या भाराने (महत्त्व किंवा वारंवारता) गुणतात आणि एकूण भाराने भागतात.
सूत्र : भारित सरासरी = Σ(किंमत × भार) ÷ Σ भार
आकृतीत : एकूण ३० × ६० = १८०० आणि २० × ७० = १४०० : एकत्रित सरासरी ३२०० ÷ ५० = ६४, ६५ नाही.
नियम 1 : दोन गट एकत्र करा — प्रत्येक गटाची बेरीज त्याच्या सरासरीवरून काढा, मिळवा, मग भागा.
- सोपे : १० विद्यार्थी सरासरी ५०, १० विद्यार्थी सरासरी ७० : ६०.
- मध्यम : २० ची सरासरी ४० आणि ३० ची ६० : ५२.
- परीक्षेसाठी : एकत्रित सरासरी मोठ्या गटाजवळ असते.
नियम 2 : भारित सरासरी — आधी प्रत्येक किंमत तिच्या भाराने गुणा.
- सोपे : चाचणी ८० (भार २) आणि परीक्षा ९० (भार ३) : (१६० + २७०) ÷ ५ = ८६.
- मध्यम : श्रेणी ५ (३ क्रेडिट), ७ (१ क्रेडिट) : २२ ÷ ४ = ५.५.
- परीक्षेसाठी : वारंवारता तक्त्याची सरासरी : Σfx ÷ Σf.
समान भार असलेली भारित सरासरी म्हणजे साधी सरासरी.
गटांच्या आकाराने भार न देता दोन गटांच्या सरासरींची सरासरी घेणे.
"मोठा गट, मोठे वजन."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एका चाचणीत संघ X च्या 20 विद्यार्थ्यांची सरासरी 33 आणि संघ Y च्या 20 विद्यार्थ्यांची सरासरी 63 आहे. सर्व 40 विद्यार्थ्यांची मिळून सरासरी किती?
- 2दोन गटांत प्रत्येकी 20 सदस्य आहेत. त्यांची सरासरी 76 आणि 60 आहे. एकत्रित गटाची सरासरी किती?
- 3एक दुकानदार किलोला ₹70 दराची 2 किग्रॅ डाळ आणि किलोला ₹40 दराची तीच डाळ 8 किग्रॅ मिसळतो. मिश्रणाची प्रति किलो सरासरी किंमत (₹ मध्ये) किती?
- 4अंतिम श्रेणीत प्रकल्पाला 60% आणि परीक्षेला 40% महत्त्व आहे. एका विद्यार्थ्याला प्रकल्पात 82 आणि परीक्षेत 65 गुण मिळाले. त्याची अंतिम श्रेणी किती?
- 530 विद्यार्थ्यांच्या गुणांची सरासरी 56 आहे. पहिल्या 10 विद्यार्थ्यांची सरासरी 70 आहे. उरलेल्या 20 विद्यार्थ्यांच्या गुणांची सरासरी किती?
- 6लिटरला ₹180 आणि लिटरला ₹150 किमतीची दोन प्रकारची मिश्रणे 1 : 3 या प्रमाणात मिसळली. मिश्रणाची प्रति लिटर किंमत (₹ मध्ये) किती?
- 7तीन तुकड्यांत अनुक्रमे 10, 10 आणि 30 विद्यार्थी आहेत आणि त्यांची सरासरी गुण 65, 33 आणि 68 आहेत. सर्व 50 विद्यार्थ्यांची सरासरी किती?
- 8गट A मध्ये 20 सदस्य आहेत आणि सरासरी 40 आहे. गट B ची सरासरी 60 आहे. दोन्ही गट एकत्र केल्यावर सरासरी 50 येते. गट B मध्ये किती सदस्य आहेत?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 148
- 268
- 346
- 475.2
- 549
- 6157.5
- 760.4
- 820
वृत्तालेख (पाय चार्ट)
गोल पोळी कापून कुटुंबाचा मासिक खर्च कसा वाटला ते दिसते : अन्नासाठी मोठा तुकडा, प्रवासासाठी लहान.
पाय चार्ट पूर्णाचे भाग वर्तुळाच्या त्रिज्याखंडांनी दाखवतो. त्रिज्याखंडाचा कोन = (किंमत ÷ एकूण) × ३६०°. कोनांची बेरीज ३६०° आणि टक्क्यांची बेरीज १००%.
सूत्र : कोन = (किंमत ÷ एकूण) × ३६०°
आकृतीत : झोप ५०% म्हणजे १८०°; शाळा २५% = ९०°.
नियम 1 : कोन काढा — प्रत्येक किंमत ३६०° चा अंश करा.
- सोपे : ८० पैकी २०: (२०/८०) × ३६०° = ९०°.
- मध्यम : पायच्या ३०% : १०८°.
- परीक्षेसाठी : पायचा अर्धा भाग : १८०°.
नियम 2 : आलेख वाचा — किंमत = कोन ÷ ३६० × एकूण.
- सोपे : ५०० विद्यार्थ्यांपैकी ७२° : १०० विद्यार्थी.
- मध्यम : ९०° आणि ६०° चे दोन भाग; उरलेल्यांसाठी २१०°.
- परीक्षेसाठी : एकूण दिलेले नसेल तर पाय चार्ट वाटे दाखवतो, नेमक्या संख्या नव्हे.
सर्वात मोठा त्रिज्याखंड म्हणजे सर्वात मोठा वाटा.
३६०° ऐवजी १००° किंवा १०० घेणे.
"वाटा गुणिले ३६०."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एका कुटुंबाच्या मासिक खर्चाच्या वर्तुळालेखात 30% खर्च भाड्यावर होतो. या त्रिज्याखंडाचा केंद्रीय कोन किती?
- 2वर्तुळालेखातील एका त्रिज्याखंडाचा केंद्रीय कोन 126° आहे. तो एकूणाचा किती टक्के दर्शवतो?
- 3एका वर्तुळालेखात 720 विद्यार्थी शाळेत कसे येतात ते दाखवले आहे. ‘सायकल’ च्या त्रिज्याखंडाचा केंद्रीय कोन 45° आहे. किती विद्यार्थी सायकलने येतात?
- 4पाहणी केलेल्या 72 लोकांपैकी 14 जणांना चहा आवडतो. पाहणीच्या वर्तुळालेखात ‘चहा’ च्या त्रिज्याखंडाचा केंद्रीय कोन किती?
- 5एका वर्तुळालेखात चार त्रिज्याखंड आहेत. तीन त्रिज्याखंडांचे (आंबा, सफरचंद, केळे) केंद्रीय कोन 30°, 70° आणि 100° आहेत. चौथ्या त्रिज्याखंडाचा केंद्रीय कोन किती?
- 6एका वर्तुळालेखात तीन बाबी 1 : 2 : 3 या प्रमाणात दाखवल्या आहेत. सर्वांत मोठ्या त्रिज्याखंडाचा केंद्रीय कोन किती?
- 7240 विद्यार्थ्यांच्या आवडत्या विषयांच्या वर्तुळालेखात गणिताचा त्रिज्याखंड 36° आणि विज्ञानाचा 108° आहे. गणितापेक्षा विज्ञान आवडणारे किती जास्त आहेत?
- 8एका वर्तुळालेखात एका त्रिज्याखंडाचा केंद्रीय कोन 80° आहे, आणि उरलेले वर्तुळ 3 : 5 या प्रमाणातील दोन त्रिज्याखंडांनी व्यापले आहे. त्या दोघांपैकी मोठा कोन कोणता?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1108°
- 235%
- 390
- 470°
- 5160°
- 6180°
- 748
- 8175°
स्टॅक केलेले आणि १००% स्तंभालेख
शाळा दरवर्षी एका स्तंभात मुले आणि मुली दाखवते : पूर्ण स्तंभ म्हणजे एकूण, रंगीत भाग म्हणजे गट.
स्टॅक केलेल्या स्तंभात भाग एकावर एक रचतात, म्हणून पूर्ण उंची म्हणजे एकूण. १००% स्टॅक स्तंभात प्रत्येक स्तंभ १००% वर आणतात; एकूण वेगळे असले तरी वाटे स्पष्ट दिसतात.
सूत्र : वाटा % = (भाग ÷ स्तंभाचा एकूण) × १००
आकृतीत : प्रत्येक स्तंभ मुली (निळा) आणि मुले (हिरवा) असा विभागला; पूर्ण उंची म्हणजे एकूण विद्यार्थी.
नियम 1 : स्टॅक स्तंभ वाचा — भाग = त्याच्या रंगाची वरची किनार वजा खालची किनार.
- सोपे : निळा ४० आणि हिरवा ३० : एकूण ७०.
- मध्यम : पुढच्या वर्षी निळा ५०, हिरवा ३५ : दोन्ही गट वाढले.
- परीक्षेसाठी : तिसऱ्या वर्षी एकूण : ५५ + ४५ = १००.
नियम 2 : १००% मध्ये बदला — प्रत्येक भाग स्तंभाच्या एकूणाने भागून १०० ने गुणा.
- सोपे : ७० पैकी ४० मुली : ≈ ५७%.
- मध्यम : १०० पैकी ५५ : ५५%.
- परीक्षेसाठी : १००% स्तंभ एकूण किती मोठा ते दाखवत नाहीत.
एकूणासाठी स्टॅक स्तंभ आणि वाट्यांच्या तुलनेसाठी १००% स्टॅक स्तंभ.
वरचा आकडा वरच्या रंगाची किंमत मानणे, एकूण नव्हे.
"एकूणासाठी रास, वाट्यासाठी टक्के."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एका चौकटी स्तंभालेखात दुकान P च्या स्तंभाचे दोन भाग आहेत : प्रौढ = 27 आणि मुले = 17. या स्तंभाची एकूण उंची किती?
- 2दुकान Q च्या चौकटी स्तंभाची एकूण उंची 23 आहे. प्रौढांचा भाग 14 आहे. मुलांच्या भागाची उंची किती?
- 3गाव A च्या चौकटी स्तंभाची एकूण उंची 80 आहे. त्यातील उत्तीर्णांचा भाग 60 आहे. स्तंभाचा किती टक्के भाग उत्तीर्णांचा आहे?
- 4गाव B च्या 100% चौकटी स्तंभात उत्तीर्णांचा भाग स्तंभाच्या 45% आहे. गाव B ची एकूण संख्या 500 आहे. किती जण उत्तीर्ण आहेत?
- 5वर्ग 9A : एकूण 60, मुले = 17. वर्ग 9B : एकूण 80, मुले = 46. 100% चौकटी स्तंभालेखात कोणत्या स्तंभातील मुलांचा भाग जास्त लांब आहे?
- 6चौकटी स्तंभ : दुकान P मध्ये प्रौढ = 9, मुले = 9; दुकान Q मध्ये प्रौढ = 11, मुले = 24. दोन्ही स्तंभांतील मिळून एकूण प्रौढ किती?
- 7100% चौकटी स्तंभांत वर्ग 9A (एकूण 100) मध्ये मुले 75% आहेत आणि वर्ग 9B (एकूण 100) मध्ये 10% आहेत. एकत्रित एकूणाच्या किती टक्के मुले आहेत?
- 8वर्ग 9A चा एकूण = 200, मुले = 40. वर्ग 9B चा एकूण = 400, मुले = 300. वर्ग 9A पासून वर्ग 9B पर्यंत मुलांचा वाटा किती टक्केवारी-अंकांनी बदलतो?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 144
- 29
- 375%
- 4225
- 5वर्ग 9B
- 620
- 742.5%
- 855 अंक वाढ
स्टॅक केलेले आणि १००% स्तंभालेख
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा