अल्गोरिदम आणि बेरजेची पद्धत
पाककृती पायऱ्या क्रमाने देते म्हणून कोणीही तोच पदार्थ करू शकतो. गणिती अल्गोरिदम म्हणजे नेहमी बरोबर उत्तर देणारी पाककृती.
अल्गोरिदम म्हणजे समस्या सोडवणाऱ्या आणि संपणाऱ्या स्पष्ट, क्रमबद्ध पायऱ्यांची मर्यादित यादी. स्तंभ-बेरीज हे एक : उजवीकडून अंक मिळवा, एकक अंक लिहा आणि उरलेला हातचा घ्या.
सूत्र : अल्गोरिदम = स्पष्ट पायऱ्या + क्रम + शेवट
आकृतीत : ४७८ + ३६५ : ८ + ५ = १३ (३ लिहा, १ हातचा); ७ + ६ + १ = १४ (४ लिहा, १ हातचा); ४ + ३ + १ = ८. उत्तर ८४३.
नियम 1 : अल्गोरिदम पाळा — प्रत्येक पायरी लिहिल्याप्रमाणे करा, हातचा सोडू नका.
- सोपे : ५९ + २७ = ८६.
- मध्यम : ९९९ + १ = १००० (हातचा सर्वत्र).
- परीक्षेसाठी : १२३४ + ४३२१ = ५५५५ (हातचा नाही).
नियम 2 : चांगला अल्गोरिदम कसा — स्पष्ट पायऱ्या, प्रत्येक वेळी तेच उत्तर आणि शेवटी थांबला पाहिजे.
- सोपे : "१ मिळवतच राहा" हा अल्गोरिदम नाही; तो संपत नाही.
- मध्यम : "साधारण बरोबर करा" पुरेसे स्पष्ट नाही.
- परीक्षेसाठी : पायऱ्या क्रमात हव्यात : पुढच्या स्तंभापूर्वी हातचा.
एकाच समस्येला अनेक बरोबर अल्गोरिदम असू शकतात.
हातचा विसरणे किंवा चुकीच्या स्तंभात मिळवणे.
"उजवीकडून डावीकडे, हातचा सोबत."
सरावासाठी प्रश्न
- 1प्रत्येक अल्गोरिदमचे कोणते वैशिष्ट्य आवश्यक असते?
- 270 + 21 ही बेरीज एककस्थानापासून स्तंभाने करताना दशकाच्या स्तंभात कोणता हातचा जातो?
- 3638 + 833 ही बेरीज स्तंभाने करताना हातचा किती वेळा येतो?
- 4259 + 608 करताना दशकाच्या स्तंभात कोणता अंक लिहिला जातो आणि शतकाच्या स्तंभात कोणता हातचा जातो?
- 55 अंकी संख्या आणि 1 अंकी संख्या यांच्या बेरजेला जास्तीत जास्त किती अंक असू शकतात?
- 6माया हिने 754 + 638 केले आणि तिला 1192 आले. तिच्या उत्तरातील पहिला चुकीचा अंक (उजवीकडून मोजून) कोणत्या स्तंभात आहे?
- 74885 + 7024 ही बेरीज स्तंभाने (एकक, दशक, शतक, हजार) करताना हातचा किती वेळा येतो?
- 854 + 93 + 16 करताना एककाच्या स्तंभातून दशकाच्या स्तंभात कोणता हातचा जातो?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1प्रत्येक पायरी स्पष्ट आणि अचूक असते
- 20
- 32
- 4अंक 6, हातचा 0
- 56
- 6शतकाचा स्तंभ
- 72
- 81
विभाजक शोधणे
३६ विद्यार्थी समान रांगांत बसवण्यास ३६ ला भाग जाणाऱ्या संख्या हव्यात : १, २, ३, ४, ६, ९, १२, १८ किंवा ३६.
n चा विभाजक म्हणजे n ला पूर्ण भाग जाणारी संख्या. विभाजक जोड्यांत येतात, ज्यांचा गुणाकार n. फक्त √n पर्यंत तपासा : प्रत्येक d ≤ √n चा जोडीदार n ÷ d.
सूत्र : d | n ⇒ (n ÷ d) | n; d ≤ √n तपासा
आकृतीत : ३६ साठी ६ पर्यंत तपासा; प्रत्येक यश जोडी देते : १ व ३६, २ व १८, ३ व १२, ४ व ९, ६ व ६.
नियम 1 : सर्व विभाजक लिहा — १, २, ३, … √n पर्यंत तपासा आणि दोन्ही जोडीदार लिहा.
- सोपे : १२ : १, २, ३, ४, ६, १२.
- मध्यम : ३० : १, २, ३, ५, ६, १०, १५, ३०.
- परीक्षेसाठी : १७ (मूळ) : फक्त १ आणि १७.
नियम 2 : विभाजक मोजा — पूर्ण वर्गाला विषम विभाजक कारण वर्गमूळ स्वतःशी जोडी बनवते.
- सोपे : ३६ ला ९ विभाजक (विषम, पूर्ण वर्ग).
- मध्यम : ९७ साठी ९ पर्यंतच तपासा : कोणताही भाग जात नाही, म्हणून मूळ.
- परीक्षेसाठी : प्रत्येक संख्येला १ आणि ती स्वतः विभाजक.
√n ला थांबल्याने बरीच तपासणी वाचते.
जोडीदार विभाजक विसरणे, उदा. १२ साठी १, २, ३, ४, ६ लिहून १२ सोडणे.
"एक शोधा, एक फुकट."
सरावासाठी प्रश्न
- 1कोणती संख्या प्रत्येक नैसर्गिक संख्येचा विभाजक असते?
- 2कोणत्या यादीत 18 चे सर्व विभाजक दिले आहेत?
- 336 चे किती विभाजक आहेत?
- 46 हा 180 चा एक विभाजक आहे. 180 चा आणखी कोणता विभाजकही आहे (6 ची जोडीदार संख्या)?
- 54 हा 48 चा एक विभाजक आहे. 48 चा आणखी कोणता विभाजकही आहे (4 ची जोडीदार संख्या)?
- 61 पेक्षा मोठा असलेला 253 चा सर्वांत लहान विभाजक कोणता?
- 71 पेक्षा मोठा असलेला 161 चा सर्वांत लहान विभाजक कोणता?
- 860 च्या सर्व विभाजकांची बेरीज किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11
- 21, 2, 3, 6, 9, 18
- 39
- 430
- 512
- 611
- 77
- 8168
सामाईक विभाजक आणि मसावि
१२ मी आणि १८ मी फिती वाया न घालवता समान तुकड्यांत कापण्यास तुकड्याची लांबी दोघांना भाग गेली पाहिजे. सर्वात मोठा असा तुकडा म्हणजे मसावि.
सामाईक विभाजक दोन्ही संख्यांना भाग जातो. मसावि (GCD) म्हणजे त्यातील सर्वात मोठा. मसावि १ असलेल्या संख्या परस्पर मूळ.
सूत्र : मसावि(१२, १८) = ६; मसावि(a, b) = १ ⇒ परस्पर मूळ
आकृतीत : १२ आणि १८ चे विभाजक १, २, ३, ६ मध्ये सामायिक; सर्वात मोठा ६.
नियम 1 : मसावि काढा — दोघांचे विभाजक लिहून सर्वात मोठा सामाईक घ्या, किंवा मूळ अवयव वापरा.
- सोपे : मसावि(८, १२) = ४.
- मध्यम : मसावि(१५, २८) = १, म्हणून परस्पर मूळ.
- परीक्षेसाठी : मसावि(३६, ४८) = १२.
नियम 2 : मसावि वापरा — उरवल्याशिवाय सर्वात मोठे समान गट किंवा फरश्या : मसावि.
- सोपे : २४ पेन आणि ३६ पेन्सिली जास्तीत जास्त किटमध्ये समान : १२ किट.
- मध्यम : १२० cm × ८० cm फरशीसाठी चौरस फरश्या : बाजू ४० cm.
- परीक्षेसाठी : १८/२४ सोपे करा : ६ ने भागून ३/४.
मसावि लहान संख्येपेक्षा मोठा नसतो.
मसावि (मोठा विभाजक) आणि लसावि (लहान गुणक) यांची गल्लत.
"दोघांत जाणारा सर्वात मोठा."
सरावासाठी प्रश्न
- 124 आणि 36 यांचे किती सामाईक विभाजक आहेत?
- 216 आणि 24 यांचा मसावि (महत्तम साधारण विभाजक) किती?
- 378 आणि 117 यांचा मसावि शोधा.
- 472 आणि 16 सहअभाज्य आहेत का (त्यांचा एकच सामाईक विभाजक 1 आहे का)?
- 5मसावि वापरून 15/21 हे सर्वांत सोप्या रूपात लिहा.
- 6एका मंडळात 56 मुले आणि 98 मुली आहेत. त्यांचे संघ असे करायचे की प्रत्येक संघात मुलांची संख्या समान आणि मुलींची संख्या समान असेल, आणि कोणीही उरणार नाही. जास्तीत जास्त किती संघ होतील?
- 760, 90 आणि 150 यांना पूर्ण भाग देणारी सर्वांत मोठी संख्या शोधा.
- 8दोन संख्यांचा मसावि 8 आहे. त्या 8 × 5 आणि 8 × 6 आहेत, जिथे 5 आणि 6 सहअभाज्य आहेत. त्यांची बेरीज किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 16
- 28
- 339
- 4नाही
- 55/7
- 614
- 730
- 888
युक्लिडचा अल्गोरिदम
प्रयत्नचुकीने मोठी चौरस फरशी शोधणे संथ. युक्लिडची कल्पना : उरलेली पट्टी काही उरेपर्यंत कापत राहा.
युक्लिडचा अल्गोरिदम : मोठ्या संख्येला लहानीने भागा, मग (a, b) ऐवजी (b, बाकी) घ्या. बाकी ० होईपर्यंत पुन्हा करा; शेवटची शून्येतर बाकी म्हणजे मसावि.
सूत्र : मसावि(a, b) = मसावि(b, a ÷ b ची बाकी)
आकृतीत : ४८ ÷ १८ बाकी १२, १८ ÷ १२ बाकी ६, १२ ÷ ६ बाकी ०, म्हणून मसावि(४८, १८) = ६.
नियम 1 : अल्गोरिदम चालवा — प्रत्येक ओळ : मोठी = भागाकार × लहान + बाकी.
- सोपे : मसावि(१००, ७५) : १०० = १×७५ + २५, ७५ = ३×२५ + ०, म्हणून २५.
- मध्यम : मसावि(२५२, १०५) = २१.
- परीक्षेसाठी : मसावि(१७, ५) : १७ = ३×५ + २, ५ = २×२ + १, २ = २×१ + ०, म्हणून १.
नियम 2 : हे का चालते — a आणि b ला भाग जाणारी संख्या बाकीलाही भाग जाते, म्हणून जोडी तोच मसावि राखते पण लहान होते.
- सोपे : मसावि(a, b) = मसावि(a − b, b).
- मध्यम : बाकी लहान होत जातात, म्हणून थांबणारच.
- परीक्षेसाठी : मोठ्या संख्यांसाठी चालते जिथे विभाजक लिहिणे अशक्य.
युक्लिडची पद्धत सर्व विभाजक लिहिण्यापेक्षा खूप वेगवान.
शेवटची बाकी ० वर थांबून तीच घेणे, आधीची शून्येतर बाकी नव्हे.
"भागा, बाकी घ्या, पुन्हा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1147 ला 13 ने भागल्यावर बाकी किती उरते?
- 2युक्लिडच्या अल्गोरिदमनुसार मसावि(263, 62) = मसावि(?, ?). पुढची जोडी कोणती?
- 3युक्लिडचा अल्गोरिदम वापरून मसावि(252, 99) शोधा.
- 4मसावि(432, 101) काढण्यासाठी (बाकी 0 होईपर्यंत) युक्लिडच्या अल्गोरिदमला किती भागाकाराच्या पायऱ्या लागतात?
- 5403 आणि 125 साठी युक्लिडच्या अल्गोरिदममध्ये पहिल्या भागाकारात बाकी 28 येते. दुसरी बाकी (125 ला 28 ने भागल्यावर) किती?
- 6युक्लिडचा अल्गोरिदम वापरून मसावि(361, 228) शोधा.
- 7लागोपाठ फिबोनाची संख्या युक्लिडच्या अल्गोरिदमसाठी सर्वांत कठीण प्रसंग असतात. मसावि(233, 144) काढायला किती भागाकाराच्या पायऱ्या लागतात?
- 8150 ला 48 ने भागल्यावर बाकी 6 उरते. मसावि(48, 6) = 6 दिले असेल, तर मसावि(150, 48) किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 14
- 2(62, 15)
- 39
- 47
- 513
- 619
- 711
- 86
युक्लिडचा अल्गोरिदम
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडापायऱ्या मोजणे आणि कार्यक्षमता
दोन रस्ते एकाच गावी; जो कमी वळणांचा तो चांगला. चांगला अल्गोरिदम तेच उत्तर कमी पायऱ्यांत देतो.
अल्गोरिदमची कार्यक्षमता त्याला किती पायऱ्या लागतात त्यावरून ठरते. तोच निविष्ट घेऊन पायऱ्या मोजून अल्गोरिदमची तुलना करा. पायऱ्या साधारणपणे निविष्टाच्या आकाराबरोबर वाढतात.
सूत्र : समान उत्तरासाठी कमी पायऱ्या = अधिक कार्यक्षम
आकृतीत : युक्लिड GCD(१०७१, ४६२) = २१ ३ भागाकारांत काढतो; विभाजक यादी खूपच जास्त काम.
नियम 1 : पायऱ्या मोजा — प्रत्येक भागाकार (किंवा चाचणी) एक पायरी मोजा.
- सोपे : ९७ साठी ९ पर्यंत : ९ चाचण्या, ९६ नाही.
- मध्यम : युक्लिडने मसावि(४८, १८) : ३ भागाकार.
- परीक्षेसाठी : १०० संख्या एक एक करून मिळवणे : ९९ बेरजा.
नियम 2 : अल्गोरिदमची तुलना — मोठ्या निविष्टासाठी कमी पायऱ्या लागणारा अल्गोरिदम निवडा.
- सोपे : जोड्या लावून १ + १००, २ + ९९ … ५० जोड्या; एक एक करून ९९.
- मध्यम : √n पर्यंत विभाजक तपासणे n पर्यंतपेक्षा चांगले.
- परीक्षेसाठी : निविष्टाचा आकार दुप्पट केल्यास पायऱ्या साधारणपणे वाढतात.
खूप मोठ्या संख्यांसाठी कार्यक्षम अल्गोरिदम सर्वात महत्त्वाचे.
अल्गोरिदम लिहायला किती छोटा यावरून ठरवणे, पायऱ्यांवरून नव्हे.
"कमी पायऱ्या, जलद उत्तर."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एका यादीत 26 वेगवेगळ्या संख्या आहेत. त्यांतील सर्वांत मोठी संख्या शोधण्यासाठी प्रत्येक संख्येची आतापर्यंतच्या सर्वोत्तम संख्येशी तुलना केली जाते. किती तुलना कराव्या लागतात?
- 215 संख्यांची एकूण बेरीज एकेक करून मिळवताना किती बेरजा कराव्या लागतात?
- 325 आणि 8 नोंदी असलेल्या दोन याद्यांतील सारख्या बाबी शोधण्यासाठी पहिल्या यादीतील प्रत्येक नोंदीची दुसऱ्या यादीतील प्रत्येक नोंदीशी तुलना केली जाते. एकूण किती तुलना होतात?
- 4दोन याद्यांत 50 आणि 20 नोंदी आहेत. तुम्ही पहिल्या यादीतील प्रत्येक नोंद एकदा वाचता आणि मग दुसऱ्या यादीतील प्रत्येक नोंद एकदा वाचता. एकूण किती नोंदी वाचल्या जातात?
- 5पद्धत A ही 15 नोंदींच्या यादीतील प्रत्येक बाबीची 18 नोंदींच्या यादीतील प्रत्येक बाबीशी तुलना करते. पद्धत B दोन्ही याद्या फक्त एकदा वाचते. पद्धत A ला पद्धत B पेक्षा किती जास्त पायऱ्या लागतात?
- 6एका पायरीला 5 मिलिसेकंद लागतात. m × n = 200 × 50 पायऱ्यांच्या पद्धतीला किती मिलिसेकंद लागतील?
- 7दोन्ही याद्यांत प्रत्येकी 1000 नोंदी आहेत. पद्धत A ला 1000×1000 पायऱ्या लागतात आणि पद्धत B ला 1000+1000 पायऱ्या. A ला B पेक्षा किती पट पायऱ्या लागतात?
- 8दोन कारकून एकाच वेळी दोन याद्या वाचतात, प्रत्येक यादीला एक कारकून. याद्यांत 60 आणि 55 नोंदी आहेत. दोन्ही याद्या पूर्ण वाचून होईपर्यंत किती फेऱ्या (प्रत्येक फेरीत प्रत्येक कारकुनाची एक नोंद) लागतात?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 125
- 214
- 3200
- 470
- 5237
- 650000
- 7500
- 860