चौकोन आणि त्यांचे कोन
पतंग, खिडकीची चौकट आणि चार बाजूंचे शेत चौकोन आहेत. कर्ण प्रत्येकाचे दोन त्रिकोण करतो.
चौकोनाला ४ बाजू, ४ कोन आणि २ कर्ण असतात. कोनांची बेरीज ३६०°, कारण कर्ण त्याचे प्रत्येकी १८०° चे २ त्रिकोण करतो.
सूत्र : ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = ३६०°
आकृतीत : लाल कर्णाने दोन त्रिकोण; म्हणून चार कोन २ × १८०° = ३६०°.
नियम 1 : गाळलेला कोन काढा — दिलेले तीन कोन ३६०° मधून वजा करा.
- सोपे : ७०°, ९०°, १००° : चौथा = १००°.
- मध्यम : कोन गुणोत्तर १ : २ : ३ : ४ : ३६°, ७२°, १०८°, १४४°.
- परीक्षेसाठी : तीन कोन प्रत्येकी ८०° : चौथा १२०°.
नियम 2 : बहिष्कोन — चारही बहिष्कोन (प्रत्येक शिरोबिंदूवर एक) मिळून ३६०°.
- सोपे : आतील ११०° ⇒ बहिष्कोन ७०°.
- मध्यम : बहिष्कोन ८०°, ९०°, १००° : चौथा ९०°.
- परीक्षेसाठी : उत्तल चौकोनात प्रत्येक कोन १८०° पेक्षा लहान.
प्रत्येक साध्या चौकोनाची कोनबेरीज आकार कसाही असला तरी ३६०°.
चौकोनासाठी १८०° (त्रिकोणाची बेरीज) वापरणे.
"चार कोपरे, तीनशे साठ."
सरावासाठी प्रश्न
- 1चौकोनाला किती कर्ण असतात?
- 2चौकोनाचे तीन कोन 50°, 75° आणि 125° आहेत. चौथा कोन किती?
- 3चौकोनाचे कोन 1:1:2:2 या गुणोत्तरात आहेत. सर्वांत मोठा कोन किती अंशांचा?
- 4चौकोनाचे कोन x°, (x + 30)°, (x + 20)° आणि (x + 10)° आहेत. सर्वांत लहान कोन शोधा.
- 5चौकोनाचे तीन बाह्यकोन (प्रत्येक शिरोबिंदूला एक) 100°, 110° आणि 120° आहेत. चौथा बाह्यकोन किती?
- 6चौकोनाचे तीन बाह्यकोन (प्रत्येक शिरोबिंदूला एक) 50°, 70° आणि 120° आहेत. चौथा बाह्यकोन किती?
- 7चौकोन ABCD मध्ये ∠A = ∠C = 92° आणि ∠B = 101° आहे. ∠D शोधा.
- 8चौकोन ABCD मध्ये ∠A = ∠B = x°, ∠C = (x + 24)° आणि ∠D = (2x − 39)° आहे. ∠D शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 12
- 2110°
- 3120°
- 475°
- 530°
- 6120°
- 775°
- 8111°
समांतरभुज चौकोनाचे गुणधर्म
घडीचे गेट आणि रुळ वाकवल्यास समांतरभुज चौकोन होतात. घडी करताना समोरच्या बाजू समांतर आणि समान राहतात.
समांतरभुज चौकोनात समोरच्या बाजूंच्या दोन्ही जोड्या समांतर. तेव्हा : समोरच्या बाजू समान, समोरचे कोन समान, लगतचे कोन मिळून १८०° आणि कर्ण एकमेकांना दुभागतात.
सूत्र : AB = DC, AD = BC; ∠A = ∠C; ∠A + ∠B = १८०°; AO = OC
आकृतीत : कर्ण O मध्ये भेटतात, जो दोघांचा मध्यबिंदू; म्हणून AO = OC आणि BO = OD.
नियम 1 : गुणधर्म वापरा — समोरचे समान, लगतचे पूरक, कर्ण दुभागतात.
- सोपे : ∠A = ६५° ⇒ ∠C = ६५°, ∠B = ∠D = ११५°.
- मध्यम : AB = ७ cm, AD = ४ cm : परिमिती २२ cm.
- परीक्षेसाठी : कर्ण AC = १० : AO = ५.
नियम 2 : समांतरभुजात बीजगणित — गुणधर्माने जे समान ते समान मांडा.
- सोपे : AB = ३x + १ आणि DC = २x + ५ : x = ४.
- मध्यम : ∠A = २x, ∠B = x + ३० : ३x + ३० = १८०, x = ५०.
- परीक्षेसाठी : समांतरभुजाचे कर्ण नेहमी समान नसतात.
कर्ण समांतरभुजाचे दोन एकरूप त्रिकोण करतो.
प्रत्येक समांतरभुजात कर्ण समान किंवा लंब असतात असे मानणे.
"समोरचे समान, कर्ण मध्य वाटतात."
सरावासाठी प्रश्न
- 1समांतरभुज चौकोन ABCD मध्ये AB = 14 cm आणि BC = 16 cm आहे. ABCD ची परिमिती किती?
- 2समांतरभुज चौकोन ABCD मध्ये ∠A = 110° आहे. ∠C किती?
- 3समांतरभुज चौकोन ABCD मध्ये AB = (3x + 2) cm आणि CD = (1x + 8) cm आहे. AB ची लांबी शोधा.
- 4समांतरभुज चौकोनाचे दोन लगतचे कोन 1 : 3 या गुणोत्तरात आहेत. मोठा कोन किती अंशांचा?
- 5समांतरभुज चौकोन ABCD चे कर्ण O मध्ये भेटतात. AC = 30 cm आणि BD = 8 cm आहे. OA + OB किती?
- 6समांतरभुज चौकोनाची परिमिती 54 cm आणि एक बाजू 14 cm आहे. लगतच्या बाजूची लांबी किती?
- 7समांतरभुज चौकोन ABCD चे कर्ण O मध्ये भेटतात; OA = (3x − 6) cm आणि OC = (x + 6) cm आहे. कर्ण AC ची लांबी शोधा.
- 8समांतरभुज चौकोन ABCD चे कर्ण O मध्ये भेटतात. AB = 11 cm, AC = 14 cm आणि BD = 20 cm आहे. त्रिकोण AOB ची परिमिती शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 160 cm
- 2110°
- 311 cm
- 4135°
- 519 cm
- 613 cm
- 724 cm
- 828 cm
समांतरभुज चौकोनाचे गुणधर्म
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडासमांतरभुज चौकोनाच्या कसोट्या आणि विशेष प्रकार
सुतार चौकट समांतरभुज आहे का ते कर्णांचे अर्धे मोजून पाहतो. सर्व तपासायची गरज नाही.
चौकोन समांतरभुज असतो जर : समोरच्या बाजूंच्या दोन्ही जोड्या समान, किंवा समोरच्या कोनांच्या दोन्ही जोड्या समान, किंवा कर्ण एकमेकांना दुभागतात, किंवा समोरच्या बाजूंची एक जोडी समान व समांतर. आयताचे सर्व कोन ९०°; समचौकोनाच्या सर्व बाजू समान; चौरस दोन्ही.
सूत्र : आयत : कर्ण समान. समचौकोन : कर्ण लंब.
आकृतीत : प्रत्येक चौरस आयत आणि समचौकोन; प्रत्येक आयत व समचौकोन समांतरभुज.
नियम 1 : कोणता प्रकार? — कर्णांची माहिती वापरा : समान ⇒ आयत, लंब ⇒ समचौकोन, दोन्ही ⇒ चौरस.
- सोपे : कर्ण एकमेकांना दुभागतात आणि समान : आयत.
- मध्यम : कर्ण काटकोनात दुभागतात : समचौकोन.
- परीक्षेसाठी : समान, लंब, दुभागणारे कर्ण : चौरस.
नियम 2 : समांतरभुज आहे का? — एक कसोटी पुरेशी; सर्व गुणधर्म तपासायची गरज नाही.
- सोपे : समोरच्या बाजू ५, ७, ५, ७ : होय.
- मध्यम : कोन क्रमाने ६०°, १२०°, ६०°, १२०° : होय.
- परीक्षेसाठी : बाजू क्रमाने ५, ५, ७, ७ (पतंग) : समांतरभुज नाही.
प्रत्येक समचौकोन समांतरभुज; पण सर्व बाजू समान असतील तरच समांतरभुज समचौकोन.
वेगळ्या क्रमात (५, ५, ७, ७) समान बाजू म्हणजे समांतरभुज असे मानणे.
"चौरस = आयत + समचौकोन."
सरावासाठी प्रश्न
- 1चौकोन PQRS मध्ये PQ = 8 cm, QR = 8 cm, RS = 7 cm आणि SP = 7 cm आहे. PQRS हा समांतरभुज चौकोन असलाच पाहिजे का?
- 2चौकोन ABCD चे कर्ण O मध्ये भेटतात; OA = 10 cm, OC = 10 cm, OB = 14 cm आणि OD = 7 cm आहे. ABCD हा समांतरभुज चौकोन आहे का?
- 3चौकोन ABCD चे कर्ण O मध्ये भेटतात; OA = 9 cm, OC = 9 cm, OB = 9 cm आणि OD = 12 cm आहे. ABCD हा समांतरभुज चौकोन आहे का?
- 4चौकोन ABCD मध्ये कर्ण O मध्ये भेटतात, OB = OD आणि OA = (3x − 6) cm, OC = (x + 4) cm आहे. x ची कोणती किंमत घेतल्यास ABCD समांतरभुज चौकोन होतो?
- 5समभुज चौकोनाचे कर्ण 20 cm आणि 48 cm आहेत. त्याची बाजू शोधा.
- 6समभुज चौकोनाचे कर्ण 24 cm आणि 18 cm आहेत. त्याची बाजू शोधा.
- 7आयताच्या बाजू 3 cm आणि 4 cm आहेत. त्याच्या कर्णाची लांबी शोधा.
- 8समभुज चौकोन ABCD मध्ये ∠A = 80° आहे. ∠ABD (कर्ण BD बाजू AB शी करतो तो कोन) किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1नाही, तो पतंग असू शकतो
- 2नाही
- 3नाही
- 45
- 526 cm
- 615 cm
- 75 cm
- 850°
समांतरभुज चौकोनाच्या कसोट्या आणि विशेष प्रकार
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडामध्यबिंदू प्रमेय आणि मध्यगा
त्रिकोणी तंबूच्या दोन बाजूंच्या मध्यांना जोडणारी दोरी पायाला समांतर आणि अगदी निम्मी असते.
मध्यबिंदू प्रमेय : त्रिकोणाच्या दोन बाजूंचे मध्यबिंदू जोडणारा रेषाखंड तिसऱ्या बाजूला समांतर आणि तिच्या निम्मा. व्यत्यास : एका बाजूच्या मध्यबिंदूतून दुसऱ्या बाजूला समांतर रेषा तिसरी बाजू दुभागते. मध्यगा म्हणजे शिरोबिंदू आणि समोरच्या बाजूचा मध्यबिंदू जोडणारा रेषाखंड.
सूत्र : DE ∥ BC आणि DE = ½ BC
आकृतीत : D व E हे AB व AC चे मध्यबिंदू, म्हणून DE ∥ BC आणि निम्मा.
नियम 1 : प्रमेय वापरा — मध्यबिंदू रेषाखंड = पायाचा निम्मा आणि त्याला समांतर.
- सोपे : BC = १२ ⇒ DE = ६.
- मध्यम : DE = ७ ⇒ BC = १४.
- परीक्षेसाठी : तीन मध्यबिंदूंनी बनलेल्या त्रिकोणाच्या बाजू निम्म्या, परिमिती निम्मी.
नियम 2 : मध्यगा — त्रिकोणाला तीन मध्यगा; त्या केंद्रबिंदूत भेटतात जो प्रत्येकीला २ : १ मध्ये विभागतो.
- सोपे : मध्यगा ९ cm : केंद्रबिंदू शिरोबिंदूपासून ६ cm, बाजूपासून ३ cm.
- मध्यम : मध्यगा त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ दुभागते.
- परीक्षेसाठी : काटकोन त्रिकोणात कर्णावरील मध्यगा कर्णाच्या निम्मी.
बिंदू मध्यबिंदू नसतील तर प्रमेय लागू होत नाही.
DE = ½ BC ऐवजी DE = BC म्हणणे.
"मध्य ते मध्य : समांतर आणि अर्धे."
सरावासाठी प्रश्न
- 1त्रिकोण ABC मध्ये D आणि E हे AB आणि AC चे मध्यबिंदू आहेत. BC = 26 cm असेल तर DE किती?
- 2त्रिकोण ABC मध्ये D आणि E हे AB आणि AC चे मध्यबिंदू आहेत आणि DE = 6 cm आहे. BC किती?
- 3त्रिकोण ABC च्या बाजू 26 cm, 8 cm आणि 22 cm आहेत. त्याच्या तिन्ही बाजूंचे मध्यबिंदू जोडून लहान त्रिकोण तयार केला. त्या लहान त्रिकोणाची परिमिती किती?
- 4त्रिकोण ABC मध्ये D आणि E हे AB आणि AC चे मध्यबिंदू आहेत. DE = (2x + 1) cm आणि BC = (5x − 6) cm आहे. DE शोधा.
- 5त्रिकोण ABC मध्ये D आणि E हे AB आणि AC चे मध्यबिंदू आहेत आणि ∠B = 75° आहे. ∠ADE किती?
- 628 cm² क्षेत्रफळाच्या त्रिकोणाच्या बाजूंचे मध्यबिंदू जोडून लहान त्रिकोण तयार केला. त्या लहान त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ किती?
- 7त्रिकोणाच्या मध्यगा गुरुत्वमध्य G मध्ये भेटतात. मध्यगा AD ची लांबी 36 cm आहे. AG ची लांबी किती?
- 8चौकोनाचे कर्ण 24 cm आणि 14 cm आहेत. त्याच्या चारही बाजूंचे मध्यबिंदू क्रमाने जोडून नवा चौकोन तयार केला. त्या नव्या चौकोनाची परिमिती किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 113 cm
- 212 cm
- 328 cm
- 417 cm
- 575°
- 67 cm²
- 724 cm
- 838 cm
मध्यबिंदू प्रमेय आणि मध्यगा
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडाफरशी भरणे आणि बिंदूभोवतालचे कोन
स्नानगृहातील फरश्या फटीशिवाय बसतात कारण एका बिंदूवर भेटणारे कोपरे बरोबर ३६०° होतात. चौरस आणि षट्कोन बसतात; नियमित पंचकोन बसत नाही.
एका बिंदूभोवतीचे कोन मिळून ३६०°. आकार प्रतल भरतो जर प्रती फटी किंवा अतिव्याप्तीशिवाय बसतात, म्हणजे प्रत्येक शिरोबिंदूवरील कोन ३६०°. प्रत्येक चौकोन प्रतल भरतो कारण त्याचे चार कोन ३६०° होतात.
सूत्र : बिंदूभोवतीच्या कोनांची बेरीज = ३६०°
आकृतीत : बिंदूभोवतीचे चार कोन ३६०°, म्हणून आकार फटीशिवाय बसतात.
नियम 1 : बिंदूवरील कोन काढा — माहीत कोन ३६०° मधून वजा करा.
- सोपे : १००°, १२०°, ९०° : उरलेला ५०°.
- मध्यम : चार समान कोन : प्रत्येकी ९०°.
- परीक्षेसाठी : सहा समभुज त्रिकोण एका बिंदूवर : ६ × ६०° = ३६०°.
नियम 2 : ती फरशी भरेल का? — कोपऱ्याच्या कोनाच्या पूर्ण प्रती ३६०° होतात का ते तपासा.
- सोपे : चौरस : ४ × ९०° = ३६०°, बसतो.
- मध्यम : नियमित षट्कोन (१२०°) : ३ × १२०° = ३६०°, बसतो.
- परीक्षेसाठी : नियमित पंचकोन (१०८°) : ३६० ÷ १०८ पूर्ण संख्या नाही, बसत नाही.
नियमित आकारांत फक्त त्रिकोण, चौकोन आणि षट्कोन भरतात : ६, ४ आणि ३ बिंदूवर भेटतात.
बिंदूभोवतीचा पूर्ण वळसा ३६०° आहे, १८०° नाही हे विसरणे.
"पूर्ण वळसा, तीनशे साठ."
सरावासाठी प्रश्न
- 1कोणत्या नियमित बहुभुजाचा आंतरकोन 120° आहे?
- 2नियमित दशकोनाचा प्रत्येक आंतरकोन किती?
- 3नियमित द्वादशकोनाच्या फक्त प्रती वापरून सपाट पृष्ठभाग फटीशिवाय झाकता येतो का?
- 4फरश्या लावताना एका शिरोबिंदूवर 108° आणि 90° कोपरे असलेल्या दोन फरश्या भेटतात आणि उरलेली जागा आणखी एका फरशीच्या कोपऱ्याने भरली जाते. त्या कोपऱ्याचा कोन किती?
- 5आयताकृती फरशीची माप 20 मी × 12 मी आहे. ती 4 मी बाजूच्या चौरसाकृती टाइल्सनी झाकायची आहे. किती टाइल्स लागतील?
- 6नियमित बहुभुजाचा प्रत्येक बाह्यकोन 18° आहे. त्या बहुभुजाला किती बाजू आहेत?
- 7नियमित बहुभुज एका शिरोबिंदूवर फट न ठेवता भेटतात. एक सोडून बाकीच्यांचे कोपरे 90°, 120°, 90° आहेत. उरलेला बहुभुज नियमित आहे. त्याला किती बाजू आहेत?
- 8नियमित बहुभुजाचा प्रत्येक बाह्यकोन 15° आहे. त्याच्या सर्व आंतरकोनांची बेरीज किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1षटकोन
- 2144°
- 3नाही
- 4162°
- 515
- 620
- 73
- 83960°
फरशी भरणे आणि बिंदूभोवतालचे कोन
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा