चतुर्भुज और उनके कोण
पतंग, खिड़की का फ्रेम और चार भुजाओं का खेत चतुर्भुज हैं। विकर्ण हर एक को दो त्रिभुजों में बाँटता है।
चतुर्भुज की 4 भुजाएँ, 4 कोण और 2 विकर्ण होते हैं। कोणों का योग 360°, क्योंकि विकर्ण उसे 180° के 2 त्रिभुजों में बाँटता है।
सूत्र : ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
आकृति में : लाल विकर्ण से दो त्रिभुज; इसलिए चारों कोण 2 × 180° = 360°।
नियम 1 : छूटा कोण ज्ञात करें — दिए तीन कोण 360° में से घटाएँ।
- आसान : 70°, 90°, 100° : चौथा = 100°।
- मध्यम : कोण अनुपात 1 : 2 : 3 : 4 : 36°, 72°, 108°, 144°।
- परीक्षा-प्रकार : तीन कोण 80° प्रत्येक : चौथा 120°।
नियम 2 : बहिष्कोण — चारों बहिष्कोण (हर शीर्ष पर एक) मिलकर 360°।
- आसान : अंतः 110° ⇒ बहिष्कोण 70°।
- मध्यम : बहिष्कोण 80°, 90°, 100° : चौथा 90°।
- परीक्षा-प्रकार : उत्तल चतुर्भुज में हर कोण 180° से छोटा।
हर सरल चतुर्भुज का कोण-योग आकार चाहे जो हो, 360°।
चतुर्भुज के लिए 180° (त्रिभुज का योग) लेना।
"चार कोने, तीन सौ साठ।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक चतुर्भुज के कितने विकर्ण होते हैं?
- 2एक चतुर्भुज के तीन कोण 50°, 75° और 125° हैं। चौथा कोण क्या है?
- 3एक चतुर्भुज के कोण 1:1:2:2 के अनुपात में हैं। सबसे बड़े कोण की माप क्या है?
- 4एक चतुर्भुज के कोण x°, (x + 30)°, (x + 20)° और (x + 10)° हैं। सबसे छोटा कोण ज्ञात कीजिए।
- 5एक चतुर्भुज के तीन बाह्य कोण (प्रत्येक शीर्ष पर एक) 100°, 110° और 120° हैं। चौथा बाह्य कोण क्या है?
- 6एक चतुर्भुज के तीन बाह्य कोण (प्रत्येक शीर्ष पर एक) 50°, 70° और 120° हैं। चौथा बाह्य कोण क्या है?
- 7चतुर्भुज ABCD में ∠A = ∠C = 92° और ∠B = 101° है। ∠D ज्ञात कीजिए।
- 8चतुर्भुज ABCD में ∠A = ∠B = x°, ∠C = (x + 24)° और ∠D = (2x − 39)° है। ∠D ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 12
- 2110°
- 3120°
- 475°
- 530°
- 6120°
- 775°
- 8111°
समांतर चतुर्भुज के गुण
मुड़ने वाला गेट समांतर चतुर्भुज बनाता है। मोड़ने पर सम्मुख भुजाएँ समांतर और समान रहती हैं।
समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं की दोनों जोड़ियाँ समांतर। तब : सम्मुख भुजाएँ समान, सम्मुख कोण समान, आसन्न कोणों का योग 180° और विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
सूत्र : AB = DC, AD = BC; ∠A = ∠C; ∠A + ∠B = 180°; AO = OC
आकृति में : विकर्ण O पर मिलते हैं, जो दोनों का मध्य-बिंदु; इसलिए AO = OC और BO = OD।
नियम 1 : गुणों का प्रयोग — सम्मुख समान, आसन्न संपूरक, विकर्ण समद्विभाजित।
- आसान : ∠A = 65° ⇒ ∠C = 65°, ∠B = ∠D = 115°।
- मध्यम : AB = 7 cm, AD = 4 cm : परिमाप 22 cm।
- परीक्षा-प्रकार : विकर्ण AC = 10 : AO = 5।
नियम 2 : समांतर चतुर्भुज में बीजगणित — गुण से जो समान हैं उन्हें बराबर रखें।
- आसान : AB = 3x + 1 और DC = 2x + 5 : x = 4।
- मध्यम : ∠A = 2x, ∠B = x + 30 : 3x + 30 = 180, x = 50।
- परीक्षा-प्रकार : समांतर चतुर्भुज के विकर्ण सदा समान नहीं होते।
विकर्ण समांतर चतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में बाँटता है।
हर समांतर चतुर्भुज में विकर्ण समान या लंब मान लेना।
"सम्मुख समान, विकर्ण मध्य बाँटते।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1समांतर चतुर्भुज ABCD में AB = 14 cm और BC = 16 cm है। ABCD की परिमिति क्या है?
- 2समांतर चतुर्भुज ABCD में ∠A = 110° है। ∠C क्या है?
- 3समांतर चतुर्भुज ABCD में AB = (3x + 2) cm और CD = (1x + 8) cm है। AB की लंबाई ज्ञात कीजिए।
- 4एक समांतर चतुर्भुज के दो संलग्न कोण 1 : 3 के अनुपात में हैं। बड़े कोण की माप क्या है?
- 5समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण O पर मिलते हैं। AC = 30 cm और BD = 8 cm है। OA + OB क्या है?
- 6एक समांतर चतुर्भुज की परिमिति 54 cm है और एक भुजा 14 cm है। संलग्न भुजा की लंबाई क्या है?
- 7समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण O पर मिलते हैं, जिनमें OA = (3x − 6) cm और OC = (x + 6) cm है। विकर्ण AC की लंबाई ज्ञात कीजिए।
- 8समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण O पर मिलते हैं। AB = 11 cm, AC = 14 cm और BD = 20 cm है। त्रिभुज AOB की परिमिति ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 160 cm
- 2110°
- 311 cm
- 4135°
- 519 cm
- 613 cm
- 724 cm
- 828 cm
समांतर चतुर्भुज के गुण
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंसमांतर चतुर्भुज की कसौटियाँ और विशेष प्रकार
बढ़ई फ्रेम समांतर चतुर्भुज है या नहीं विकर्णों के आधे नापकर देखता है। सब जाँचने की ज़रूरत नहीं।
चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज है यदि : सम्मुख भुजाओं की दोनों जोड़ियाँ समान, या सम्मुख कोणों की दोनों जोड़ियाँ समान, या विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करें, या सम्मुख भुजाओं की एक जोड़ी समान और समांतर। आयत के सभी कोण 90°; समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ समान; वर्ग दोनों।
सूत्र : आयत : विकर्ण समान। समचतुर्भुज : विकर्ण लंब।
आकृति में : हर वर्ग आयत और समचतुर्भुज; हर आयत व समचतुर्भुज समांतर चतुर्भुज।
नियम 1 : कौन-सा प्रकार? — विकर्ण के तथ्य लगाएँ : समान ⇒ आयत, लंब ⇒ समचतुर्भुज, दोनों ⇒ वर्ग।
- आसान : विकर्ण परस्पर समद्विभाजित और समान : आयत।
- मध्यम : विकर्ण समकोण पर समद्विभाजित : समचतुर्भुज।
- परीक्षा-प्रकार : समान, लंब, समद्विभाजित विकर्ण : वर्ग।
नियम 2 : क्या समांतर चतुर्भुज है? — एक कसौटी काफ़ी; सब गुण जाँचने की ज़रूरत नहीं।
- आसान : सम्मुख भुजाएँ 5, 7, 5, 7 : हाँ।
- मध्यम : कोण क्रम से 60°, 120°, 60°, 120° : हाँ।
- परीक्षा-प्रकार : भुजाएँ क्रम से 5, 5, 7, 7 (पतंग) : समांतर चतुर्भुज नहीं।
हर समचतुर्भुज समांतर चतुर्भुज; पर सभी भुजाएँ समान हों तभी समांतर चतुर्भुज समचतुर्भुज।
भिन्न क्रम (5, 5, 7, 7) की समान भुजाओं को समांतर चतुर्भुज मान लेना।
"वर्ग = आयत + समचतुर्भुज।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1चतुर्भुज PQRS में PQ = 8 cm, QR = 8 cm, RS = 7 cm और SP = 7 cm है। क्या PQRS अनिवार्य रूप से समांतर चतुर्भुज है?
- 2चतुर्भुज ABCD के विकर्ण O पर मिलते हैं, जिनमें OA = 10 cm, OC = 10 cm, OB = 14 cm और OD = 7 cm है। क्या ABCD समांतर चतुर्भुज है?
- 3चतुर्भुज ABCD के विकर्ण O पर मिलते हैं, जिनमें OA = 9 cm, OC = 9 cm, OB = 9 cm और OD = 12 cm है। क्या ABCD समांतर चतुर्भुज है?
- 4चतुर्भुज ABCD में विकर्ण O पर मिलते हैं, OB = OD है तथा OA = (3x − 6) cm, OC = (x + 4) cm है। x के किस मान के लिए ABCD समांतर चतुर्भुज है?
- 5एक समचतुर्भुज के विकर्ण 20 cm और 48 cm हैं। उसकी भुजा ज्ञात कीजिए।
- 6एक समचतुर्भुज के विकर्ण 24 cm और 18 cm हैं। उसकी भुजा ज्ञात कीजिए।
- 7एक आयत की भुजाएँ 3 cm और 4 cm हैं। उसके विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।
- 8समचतुर्भुज ABCD में ∠A = 80° है। ∠ABD (विकर्ण BD द्वारा भुजा AB से बनाया गया कोण) क्या है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1नहीं, यह पतंग हो सकता है
- 2नहीं
- 3नहीं
- 45
- 526 cm
- 615 cm
- 75 cm
- 850°
समांतर चतुर्भुज की कसौटियाँ और विशेष प्रकार
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंमध्य-बिंदु प्रमेय और माध्यिकाएँ
त्रिकोणीय तंबू की दो भुजाओं के मध्य को जोड़ने वाली रस्सी आधार के समांतर और ठीक आधी होती है।
मध्य-बिंदु प्रमेय : त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदु जोड़ने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर और उसका आधा। विलोम : एक भुजा के मध्य-बिंदु से दूसरी भुजा के समांतर रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। माध्यिका शीर्ष को सम्मुख भुजा के मध्य-बिंदु से जोड़ती है।
सूत्र : DE ∥ BC और DE = ½ BC
आकृति में : D और E, AB और AC के मध्य-बिंदु, इसलिए DE ∥ BC और आधा।
नियम 1 : प्रमेय लगाएँ — मध्य-बिंदु रेखाखंड = आधार का आधा और उसके समांतर।
- आसान : BC = 12 ⇒ DE = 6।
- मध्यम : DE = 7 ⇒ BC = 14।
- परीक्षा-प्रकार : तीन मध्य-बिंदुओं से बने त्रिभुज की भुजाएँ आधी, परिमाप आधा।
नियम 2 : माध्यिकाएँ — त्रिभुज की तीन माध्यिकाएँ; वे केंद्रक पर मिलती हैं जो हर एक को 2 : 1 में बाँटता है।
- आसान : माध्यिका 9 cm : केंद्रक शीर्ष से 6 cm, भुजा से 3 cm।
- मध्यम : माध्यिका त्रिभुज का क्षेत्रफल समद्विभाजित करती है।
- परीक्षा-प्रकार : समकोण त्रिभुज में कर्ण की माध्यिका कर्ण की आधी।
बिंदु मध्य-बिंदु न हों तो प्रमेय नहीं लगता।
DE = ½ BC की जगह DE = BC कहना।
"मध्य से मध्य : समांतर और आधा।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1त्रिभुज ABC में D और E, AB और AC के मध्य-बिंदु हैं। यदि BC = 26 cm है, तो DE क्या है?
- 2त्रिभुज ABC में D और E, AB और AC के मध्य-बिंदु हैं और DE = 6 cm है। BC क्या है?
- 3त्रिभुज ABC की भुजाएँ 26 cm, 8 cm और 22 cm हैं। उसकी तीनों भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाकर एक छोटा त्रिभुज बनाया जाता है। छोटे त्रिभुज की परिमिति क्या है?
- 4त्रिभुज ABC में D और E, AB और AC के मध्य-बिंदु हैं। DE = (2x + 1) cm और BC = (5x − 6) cm है। DE ज्ञात कीजिए।
- 5त्रिभुज ABC में D और E, AB और AC के मध्य-बिंदु हैं और ∠B = 75° है। ∠ADE क्या है?
- 628 cm² क्षेत्रफल वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाकर छोटा त्रिभुज बनाया जाता है। छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?
- 7त्रिभुज की माध्यिकाएँ केंद्रक G पर मिलती हैं। माध्यिका AD की लंबाई 36 cm है। AG की लंबाई क्या है?
- 8एक चतुर्भुज के विकर्ण 24 cm और 14 cm हैं। उसकी चारों भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को क्रम से मिलाकर नया चतुर्भुज बनाया जाता है। नए चतुर्भुज की परिमिति क्या है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 113 cm
- 212 cm
- 328 cm
- 417 cm
- 575°
- 67 cm²
- 724 cm
- 838 cm
मध्य-बिंदु प्रमेय और माध्यिकाएँ
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंटाइलिंग और बिंदु के चारों ओर के कोण
बाथरूम की टाइलें बिना दरार बैठती हैं क्योंकि एक बिंदु पर मिलने वाले कोने ठीक 360° होते हैं। वर्ग और षट्भुज टाइल बनाते हैं; सम पंचभुज नहीं।
एक बिंदु के चारों ओर कोण मिलकर 360°। आकृति तल को भरती है यदि प्रतियाँ बिना दरार या अतिव्याप्ति के बैठें, यानी हर शीर्ष पर कोणों का योग 360°। हर चतुर्भुज तल भरता है क्योंकि उसके चार कोण 360° होते हैं।
सूत्र : बिंदु के चारों ओर कोणों का योग = 360°
आकृति में : बिंदु के चारों ओर चार कोण 360°, इसलिए आकृतियाँ बिना दरार बैठती हैं।
नियम 1 : बिंदु पर कोण ज्ञात करें — ज्ञात कोण 360° में से घटाएँ।
- आसान : 100°, 120°, 90° : शेष 50°।
- मध्यम : चार समान कोण : प्रत्येक 90°।
- परीक्षा-प्रकार : छह समबाहु त्रिभुज एक बिंदु पर : 6 × 60° = 360°।
नियम 2 : क्या वह टाइल बनेगा? — देखें कि कोने के कोण की पूर्ण प्रतियाँ 360° बनाती हैं या नहीं।
- आसान : वर्ग : 4 × 90° = 360°, टाइल बनता है।
- मध्यम : सम षट्भुज (120°) : 3 × 120° = 360°, टाइल बनता है।
- परीक्षा-प्रकार : सम पंचभुज (108°) : 360 ÷ 108 पूर्ण संख्या नहीं, टाइल नहीं बनता।
सम आकृतियों में केवल त्रिभुज, चतुर्भुज और षट्भुज टाइल बनाते हैं : बिंदु पर 6, 4 और 3 मिलते हैं।
बिंदु के चारों ओर पूरा चक्कर 360° है, 180° नहीं यह भूलना।
"पूरा चक्कर, तीन सौ साठ।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1किस सम बहुभुज का प्रत्येक आंतरिक कोण 120° है?
- 2सम दशभुज का प्रत्येक आंतरिक कोण कितना होता है?
- 3क्या केवल सम द्वादशभुज की प्रतियाँ किसी समतल सतह को बिना खाली जगह छोड़े ढक सकती हैं?
- 4एक टाइलन के शीर्ष पर 108° और 90° कोने वाली दो टाइलें मिलती हैं और शेष स्थान एक और टाइल के कोने से भरा जाता है। उस कोने का कोण क्या है?
- 5एक आयताकार फ़र्श 20 m × 12 m का है। उसे 4 m भुजा वाली वर्गाकार टाइलों से ढका जाता है। कितनी टाइलें चाहिए?
- 6एक सम बहुभुज का प्रत्येक बाह्य कोण 18° है। बहुभुज की कितनी भुजाएँ हैं?
- 7सम बहुभुज एक शीर्ष पर बिना खाली जगह के मिलते हैं। एक को छोड़कर सभी के कोने 90°, 120°, 90° हैं। शेष बहुभुज सम है। उसकी कितनी भुजाएँ हैं?
- 8एक सम बहुभुज का प्रत्येक बाह्य कोण 15° है। उसके सभी आंतरिक कोणों का योग क्या है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1षट्भुज
- 2144°
- 3नहीं
- 4162°
- 515
- 620
- 73
- 83960°
टाइलिंग और बिंदु के चारों ओर के कोण
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
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