दो चरों वाले रैखिक समीकरण
पेन ₹5 और कॉपियाँ ₹10। ₹50 खर्च हों तो पेन-कॉपी की कई जोड़ियाँ चलती हैं : 10 पेन, या 6 पेन और 2 कॉपियाँ, आदि।
ax + by + c = 0 (a, b दोनों 0 नहीं) दो चरों में रैखिक समीकरण है। हल वह जोड़ी (x, y) है जो इसे सत्य करे। इसके अनंत हल होते हैं।
सूत्र : ax + by + c = 0; हल (x, y)
आकृति में : x + y = 7 के लिए (0, 7), (1, 6), (2, 5), (3, 4), … सब चलते हैं।
नियम 1 : क्या यह हल है? — x और y समीकरण में रखें; दोनों पक्ष मिलने चाहिए।
- आसान : 2x + y = 9 : (3, 3) चलता है क्योंकि 6 + 3 = 9।
- मध्यम : x − y = 2 : (5, 4) नहीं चलता (5 − 4 = 1)।
- परीक्षा-प्रकार : 3x + 2y = 12 : (0, 6) चलता है।
नियम 2 : और हल खोजें — x चुनें, फिर y हल करें।
- आसान : x + 2y = 8 : x = 2 ⇒ y = 3।
- मध्यम : y = 2x + 1 : x = 3 ⇒ y = 7।
- परीक्षा-प्रकार : शब्द समस्या को समीकरण में : 5p + 10b = 50।
दो चरों के एक समीकरण के एक नहीं, अनंत हल।
केवल एक हल को "उत्तर" बताना।
"दो अज्ञात, कई जोड़ियाँ।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1क्या (9, −4), 5x + y = 37 का एक हल है?
- 2समीकरण 4x + 5y = 5 में यदि x = 0 हो, तो y क्या है?
- 3समीकरण 4x + 3y = −7 में यदि x = −4 हो, तो y क्या है?
- 4(4, 1), (k + 3)x + 6y = 10 का एक हल है। k ज्ञात कीजिए।
- 5पेन ₹19 प्रति और कॉपियाँ ₹14 प्रति हैं। रिया x पेनों और y कॉपियों पर ₹122 खर्च करती है। यदि वह 2 पेन खरीदती है, तो कितनी कॉपियाँ खरीदती है?
- 68x + 6y + 5 = 0 की तुलना ax + by + c = 0 से कीजिए। a, b और c क्या हैं?
- 72x + 4y = 30 के कितने हलों में x और y दोनों धनात्मक पूर्ण संख्याएँ हैं?
- 8समीकरण 3x + ky = 34 का एक हल x = 2, y = 4 है। k ज्ञात कीजिए और x = 0 होने पर y का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1नहीं
- 21
- 33
- 4−2
- 56
- 6a = 8, b = 6, c = 5
- 77
- 8k = 7, y = 34/7
रैखिक समीकरण का आलेख
x + y = 4 की हर जोड़ी को आलेख कागज़ पर बिंदु बनाएँ; बिंदु सीधी रेखा में आते हैं।
दो चरों के रैखिक समीकरण का आलेख सीधी रेखा है। रेखा का हर बिंदु हल है और हर हल रेखा पर बिंदु। खींचने को दो बिंदु काफ़ी; तीसरा जाँच के लिए।
सूत्र : बिंदु : y-अंतःखंड के लिए x = 0, x-अंतःखंड के लिए y = 0
आकृति में : रेखा x + y = 4, (0, 4), (2, 2) और (4, 0) से गुज़रती है।
नियम 1 : रेखा खींचें — दोनों अंतःखंड निकालें, अंकित करें, जोड़ें और दोनों ओर बढ़ाएँ।
- आसान : 2x + y = 6 : (0, 6) और (3, 0)।
- मध्यम : x − y = 1 : (0, −1) और (1, 0)।
- परीक्षा-प्रकार : x = 3 ऊर्ध्वाधर रेखा; y = −2 क्षैतिज रेखा।
नियम 2 : रेखा पर बिंदु — बिंदु के निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करें तभी वह रेखा पर।
- आसान : (1, 3), x + y = 4 पर है, पर (2, 3) नहीं।
- मध्यम : रेखा y = 2x मूलबिंदु से गुज़रती है।
- परीक्षा-प्रकार : यदि (k, 2), x + y = 7 पर हो तो k = 5।
अक्ष : x-अक्ष का समीकरण y = 0 और y-अक्ष का x = 0।
बिंदुओं को वक्र से जोड़ना या रेखा को अंकित बिंदुओं पर रोकना।
"दो बिंदु रेखा, तीसरा प्रमाण।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1रेखा 3x + 7y = 6, x-अक्ष को कहाँ काटती है?
- 2रेखा 7x + 5y = 40, y-अक्ष को कहाँ काटती है?
- 3कौन-सा बिंदु रेखा x − 2y = 1 पर स्थित है?
- 4एक रेखा x-अक्ष के समांतर है और (−2, 5) से होकर जाती है। उसका समीकरण क्या है?
- 5बिंदु (0, −3), (−2, −13) और (−3, −18) एक रेखा पर स्थित हैं। x = 9 होने पर y क्या है?
- 6रेखा 3x + 5y = 45 और दोनों अक्ष मिलकर एक त्रिभुज बनाते हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्या है?
- 7एक रेखा x-अक्ष को (3, 0) पर और y-अक्ष को (0, 4) पर काटती है। इन दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी क्या है?
- 8एक रेखा x-अक्ष पर 4 और y-अक्ष पर 14 अंतःखंड बनाती है। अक्षों पर उसके अंतःखंडों को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु के निर्देशांक क्या हैं?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1(2, 0)
- 2(0, 8)
- 3(1, 0)
- 4y = 5
- 542
- 6135/2
- 75
- 8(2, 7)
ढाल और y = mx + c रूप
रैम्प 4 m ज़मीन पर 1 m ऊपर उठता है; ढाल 1/4। अधिक ढाल पर संख्या बड़ी।
ढाल m = उठान ÷ दूरी = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)। y = mx + c में m ढाल और c y-अंतःखंड। m धन तो चढ़ती, ऋण तो उतरती, m = 0 क्षैतिज।
सूत्र : m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁); y = mx + c
आकृति में : (0, 1) से 1 दाएँ और 2 ऊपर (1, 3) : उठान 2, दूरी 1, ढाल 2, इसलिए y = 2x + 1।
नियम 1 : ढाल ज्ञात करें — दो बिंदु लें, उठान बटा दूरी।
- आसान : (1, 2) और (3, 8) : m = 6/2 = 3।
- मध्यम : (0, 5) और (5, 0) : m = −1।
- परीक्षा-प्रकार : 2x + 3y = 6 ⇒ y = −(2/3)x + 2, ढाल −2/3।
नियम 2 : y = mx + c पढ़ें — y अकेला करें; तब m और c पढ़ सकते हैं।
- आसान : y = 4x − 3 : ढाल 4, y-अंतःखंड −3।
- मध्यम : समांतर रेखाओं की ढाल समान।
- परीक्षा-प्रकार : ढाल 1/2 और (0, 3) से : y = x/2 + 3।
सीधी रेखा पर ढाल हर जगह समान।
उठान/दूरी की जगह दूरी/उठान (x/y) लिखना।
"उठान बटा दूरी : पहले ऊपर।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1(−1, 2) और (0, 1) से होकर जाने वाली रेखा की ढाल क्या है?
- 2रेखा y = −2x + 1 का y-अंतःखंड क्या है?
- 3रेखा 6x + 3y = 9 की ढाल क्या है?
- 4एक रेखा की ढाल 2 है। उसके समांतर किसी भी रेखा की ढाल क्या है?
- 5एक रेखा की ढाल −5/3 है। उस पर लंबवत् रेखा की ढाल क्या है?
- 6ढाल −2 और y-अंतःखंड 6 वाली रेखा का समीकरण कौन-सा है?
- 7एक रेखा की ढाल 2 है और वह (4, 4) से होकर जाती है। उसका y-अंतःखंड क्या है?
- 8(1, −2) और (3, k) से होकर जाने वाली रेखा की ढाल 2 है। k ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1−1
- 21
- 3−2
- 42
- 53/5
- 6y = −2x + 6
- 7−4
- 82
समीकरण युग्म को बीजगणितीय विधि से हल करना
दो मित्र खर्च बाँटते हैं : साथ में ₹10 और एक ₹2 अधिक देता है। दो संकेत, दो अज्ञात; दोनों मिलकर राशि तय करते हैं।
रैखिक समीकरणों के युग्म का उभयनिष्ठ हल होता है। प्रतिस्थापन में एक चर को दूसरे के रूप में लिखकर दूसरे समीकरण में रखें। विलोपन में समीकरण जोड़कर/घटाकर एक चर हटाएँ।
सूत्र : प्रतिस्थापन या विलोपन, फिर दोनों समीकरणों में जाँचें
आकृति में : x + y = 10 और x − y = 2 जोड़ने पर y हट जाता है : 2x = 12, x = 6, फिर y = 4।
नियम 1 : प्रतिस्थापन — सरल समीकरण से एक चर व्यक्त करें।
- आसान : y = x + 1 और x + y = 7 : 2x + 1 = 7, x = 3, y = 4।
- मध्यम : x = 2y और x + y = 9 : 3y = 9, y = 3, x = 6।
- परीक्षा-प्रकार : हमेशा जाँचें : (3, 4) दोनों को संतुष्ट करता है।
नियम 2 : विलोपन — एक गुणांक बराबर करें, फिर जोड़ें या घटाएँ।
- आसान : 2x + y = 8 और x − y = 1 : जोड़ें ⇒ 3x = 9, x = 3, y = 2।
- मध्यम : x + 2y = 7 और x + y = 4 : घटाएँ ⇒ y = 3, x = 1।
- परीक्षा-प्रकार : 3x + 2y = 12 और x + y = 5 : दूसरे को ×2 ⇒ x = 2, y = 3।
दोनों विधियाँ समान उत्तर देती हैं; कम काम वाली चुनें।
x निकालकर y निकालना भूलना या दोनों समीकरणों में न जाँचना।
"एक हटाओ, एक पाओ, दूसरा पाओ।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1क्या x = −1, y = −1, −3x + 4y = −1 और −3x − y = 4 दोनों का हल है?
- 2x + y = 23 और x − y = 5 को हल कीजिए। x क्या है?
- 3युग्म x + 2y = 10 और −3x + 2y = 2 को हल कीजिए। x का मान क्या है?
- 4युग्म −x + 3y = 14 और −x + 4y = 19 को हल कीजिए। y का मान क्या है?
- 55x − 2y = −23 और −x + 5y = 23 को हल कीजिए। x + y क्या है?
- 63 पेंसिल और 2 रबर की कीमत ₹45 है; 5 पेंसिल और 4 रबर की कीमत ₹83 है। एक पेंसिल की कीमत (₹ में) क्या है?
- 7एक पिता अपने पुत्र से 31 वर्ष बड़ा है। उनकी आयु का योग 63 वर्ष है। पुत्र की आयु कितनी है?
- 8एक दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 14 है। वह संख्या अपने अंकों को पलटने से बनी संख्या से 36 अधिक है। संख्या क्या है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1हाँ
- 214
- 32
- 45
- 51
- 67
- 716
- 895
आलेखीय विधि और संगतता
दो सड़कें एक चौराहे पर कटती हैं, समांतर हों तो कभी नहीं मिलतीं, या एक ही सड़क होती हैं। दो रेखाएँ ठीक इन्हीं तीन तरह से बर्ताव करती हैं।
दोनों रेखाएँ खींचें। एक बिंदु पर काटें : ठीक एक हल (संगत)। समांतर : कोई हल नहीं (असंगत)। संपाती : अनंत हल (संगत)। कटान बिंदु ही हल है।
सूत्र : a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ : एक हल; = पर c भिन्न : नहीं; सब समान : अनंत
आकृति में : x + y = 6 और x − y = 2, (4, 2) पर कटती हैं; वही युग्म का हल।
नियम 1 : हल गिनें — ढाल और अंतःखंड की तुलना।
- आसान : x + y = 4 और x + y = 6 : समांतर, कोई हल नहीं।
- मध्यम : x + y = 4 और 2x + 2y = 8 : वही रेखा, अनंत।
- परीक्षा-प्रकार : x + y = 4 और x − y = 0 : एक हल (2, 2)।
नियम 2 : कटान बिंदु पढ़ें — बिंदु को दोनों समीकरणों में रखकर जाँचें।
- आसान : रेखाएँ (4, 2) पर मिलती हैं : x = 4, y = 2।
- मध्यम : समान ढाल, भिन्न अंतःखंड : कभी नहीं मिलतीं।
- परीक्षा-प्रकार : संगत युग्म का कम से कम एक हल।
कटान बिंदु ग्रिड बिंदु पर न हो तो आलेख सन्निकट उत्तर देता है; बीजगणित सटीक।
समांतर रेखाओं का एक हल कहना या कटान न होने को गलती मानना।
"कटान : एक। समांतर : नहीं। वही : अनेक।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1युग्म x + 4y = 7 और 2x + y = 9 के कितने हल हैं?
- 2रेखाएँ 4x + 2y = −14 और 4x − y = −11 एक ही ग्राफ़ पर खींची गई हैं। वे किस बिंदु पर कटती हैं?
- 3रेखाएँ 3x + y = 28 और 2x − 4y = 0 एक ही ग्राफ़ पर खींची गई हैं। वे किस बिंदु पर कटती हैं?
- 4p के किस मान के लिए युग्म x + 2y = 3 और p x + 8y = 15 का कोई हल नहीं है?
- 5p के किस मान के लिए 3x + 3y = 6 और 9x + 9y = p के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं?
- 6युग्म 4x + 5y = 12 और 8x + 10y = 23 दिया गया है। हल किए बिना बताइए इसके कितने हल हैं।
- 7यदि x + 2y = 6 और p x + q y = 18 एक ही रेखा को निरूपित करते हैं, तो p + q ज्ञात कीजिए।
- 8रेखा 3x + 6y = 18 x-अक्ष और y-अक्ष के साथ मिलकर एक त्रिभुज घेरती है। उसका क्षेत्रफल क्या है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1ठीक एक हल
- 2(−3, −1)
- 3(8, 4)
- 44
- 518
- 6कोई हल नहीं
- 79
- 89
आलेखीय विधि और संगतता
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