दोन चलांतील रेषीय समीकरणे
पेन ₹५ आणि वह्या ₹१०. ₹५० खर्च केले तर पेन-वही च्या अनेक जोड्या चालतात : १० पेन, किंवा ६ पेन आणि २ वह्या, इत्यादी.
ax + by + c = 0 (a, b दोन्ही ० नाहीत) हे दोन चलांतील रेषीय समीकरण. उकल म्हणजे ते खरे करणारी जोडी (x, y). त्याला अनंत उकली असतात.
सूत्र : ax + by + c = ०; उकल (x, y)
आकृतीत : x + y = ७ साठी (०, ७), (१, ६), (२, ५), (३, ४), … सर्व चालतात.
नियम 1 : ही उकल आहे का? — x आणि y समीकरणात ठेवा; दोन्ही बाजू जुळाव्यात.
- सोपे : २x + y = ९ : (३, ३) चालते कारण ६ + ३ = ९.
- मध्यम : x − y = २ : (५, ४) चालत नाही (५ − ४ = १).
- परीक्षेसाठी : ३x + २y = १२ : (०, ६) चालते.
नियम 2 : आणखी उकली शोधा — x निवडा, मग y साठी सोडवा.
- सोपे : x + २y = ८ : x = २ ⇒ y = ३.
- मध्यम : y = २x + १ : x = ३ ⇒ y = ७.
- परीक्षेसाठी : शब्दरूप समस्या समीकरणात : ५p + १०b = ५०.
दोन चलांतील एका समीकरणाला एक नव्हे तर अनंत उकली.
एकच उकल "उत्तर" म्हणून देणे.
"दोन अज्ञात, अनेक जोड्या."
सरावासाठी प्रश्न
- 1(9, −4) ही 5x + y = 37 ची उकल आहे का?
- 2समीकरण 4x + 5y = 5 मध्ये x = 0 असेल तर y किती?
- 3समीकरण 4x + 3y = −7 मध्ये x = −4 असेल तर y किती?
- 4(4, 1) ही (k + 3)x + 6y = 10 ची उकल आहे. k शोधा.
- 5पेनची किंमत प्रत्येकी ₹19 आणि वहीची किंमत प्रत्येकी ₹14 आहे. रियाने x पेन आणि y वह्यांवर ₹122 खर्च केले. तिने 2 पेन घेतली तर तिने किती वह्या घेतल्या?
- 68x + 6y + 5 = 0 ची ax + by + c = 0 शी तुलना करा. a, b आणि c किती?
- 72x + 4y = 30 च्या किती उकलींमध्ये x आणि y दोन्ही धन पूर्ण संख्या आहेत?
- 8समीकरण 3x + ky = 34 ची उकल x = 2, y = 4 आहे. k शोधा आणि x = 0 असताना y ची किंमत शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1नाही
- 21
- 33
- 4−2
- 56
- 6a = 8, b = 6, c = 5
- 77
- 8k = 7, y = 34/7
रेषीय समीकरणाचा आलेख
x + y = ४ ची प्रत्येक जोडी आलेख कागदावर ठिपका म्हणून मांडा; ठिपके सरळ रेषेत येतात.
दोन चलांतील रेषीय समीकरणाचा आलेख सरळ रेषा. रेषेवरील प्रत्येक बिंदू उकल आणि प्रत्येक उकल रेषेवरील बिंदू. काढायला दोन बिंदू पुरेसे; तिसरा तपासणीसाठी.
सूत्र : बिंदू : y-अंतःखंडासाठी x = ०, x-अंतःखंडासाठी y = ०
आकृतीत : रेषा x + y = ४ ही (०, ४), (२, २) आणि (४, ०) मधून जाते.
नियम 1 : रेषा काढा — दोन अंतःखंड काढा, मांडा, जोडा आणि दोन्ही बाजूंना वाढवा.
- सोपे : २x + y = ६ : (०, ६) आणि (३, ०).
- मध्यम : x − y = १ : (०, −१) आणि (१, ०).
- परीक्षेसाठी : x = ३ ही उभी रेषा; y = −२ आडवी रेषा.
नियम 2 : रेषेवरील बिंदू — बिंदूचे निर्देशक समीकरण पाळत असतील तरच तो रेषेवर.
- सोपे : (१, ३) हा x + y = ४ वर आहे, पण (२, ३) नाही.
- मध्यम : रेषा y = २x मूलबिंदूतून जाते.
- परीक्षेसाठी : (k, २) हा x + y = ७ वर असेल तर k = ५.
अक्ष : x-अक्षाचे समीकरण y = ० आणि y-अक्षाचे x = ०.
बिंदू वक्राने जोडणे किंवा रेषा मांडलेल्या बिंदूंवर थांबवणे.
"दोन बिंदू रेषा, तिसरा सिद्धता."
सरावासाठी प्रश्न
- 1रेषा 3x + 7y = 6 x-अक्षाला कुठे छेदते?
- 2रेषा 7x + 5y = 40 y-अक्षाला कुठे छेदते?
- 3कोणता बिंदू रेषा x − 2y = 1 वर आहे?
- 4एक रेषा x-अक्षाला समांतर आहे आणि (−2, 5) मधून जाते. तिचे समीकरण कोणते?
- 5(0, −3), (−2, −13) आणि (−3, −18) हे बिंदू एका रेषेवर आहेत. x = 9 असताना y किती?
- 6रेषा 3x + 5y = 45 आणि दोन अक्ष मिळून एक त्रिकोण तयार होतो. त्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ (चौरस एककांत) किती?
- 7एक रेषा x-अक्षाला (3, 0) मध्ये आणि y-अक्षाला (0, 4) मध्ये छेदते. या दोन बिंदूंमधील अंतर किती?
- 8एका रेषेचे x-अक्षावरील अंतःखंड 4 आणि y-अक्षावरील अंतःखंड 14 आहेत. अक्षांवरील त्या अंतःखंडांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाच्या मध्यबिंदूचे निर्देशक कोणते?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1(2, 0)
- 2(0, 8)
- 3(1, 0)
- 4y = 5
- 542
- 6135/2
- 75
- 8(2, 7)
उतार आणि y = mx + c रूप
उताऱ्याची जमिनीवर ४ मी साठी १ मी उंची; चढ १/४. जास्त चढ असेल तर संख्या मोठी.
उतार m = उंची ÷ अंतर = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). y = mx + c मध्ये m उतार आणि c y-अंतःखंड. m धन तर चढती, ऋण तर उतरती, m = ० आडवी.
सूत्र : m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁); y = mx + c
आकृतीत : (०, १) पासून १ उजवीकडे आणि २ वर (१, ३) : उंची २, अंतर १, उतार २, म्हणून y = २x + १.
नियम 1 : उतार काढा — दोन बिंदू घ्या, उंची भागिले अंतर.
- सोपे : (१, २) आणि (३, ८) : m = ६/२ = ३.
- मध्यम : (०, ५) आणि (५, ०) : m = −१.
- परीक्षेसाठी : २x + ३y = ६ ⇒ y = −(२/३)x + २, उतार −२/३.
नियम 2 : y = mx + c वाचा — y एकटा करा; मग m आणि c वाचता येतात.
- सोपे : y = ४x − ३ : उतार ४, y-अंतःखंड −३.
- मध्यम : समांतर रेषांचे उतार समान.
- परीक्षेसाठी : उतार १/२ आणि (०, ३) मधून : y = x/२ + ३.
सरळ रेषेवर उतार सर्वत्र सारखाच.
उंची/अंतरऐवजी अंतर/उंची (x/y) लिहिणे.
"उंची भागिले अंतर : आधी वर."
सरावासाठी प्रश्न
- 1(−1, 2) आणि (0, 1) मधून जाणाऱ्या रेषेचा उतार किती?
- 2रेषा y = −2x + 1 साठी y-अंतःखंड किती?
- 3रेषा 6x + 3y = 9 चा उतार किती?
- 4एका रेषेचा उतार 2 आहे. तिला समांतर असलेल्या कोणत्याही रेषेचा उतार किती?
- 5एका रेषेचा उतार −5/3 आहे. तिला लंब असलेल्या रेषेचा उतार किती?
- 6उतार −2 आणि y-अंतःखंड 6 असलेल्या रेषेचे समीकरण कोणते?
- 7एका रेषेचा उतार 2 आहे आणि ती (4, 4) मधून जाते. तिचा y-अंतःखंड किती?
- 8(1, −2) आणि (3, k) मधून जाणाऱ्या रेषेचा उतार 2 आहे. k शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1−1
- 21
- 3−2
- 42
- 53/5
- 6y = −2x + 6
- 7−4
- 82
समीकरण जोडी बैजिक पद्धतीने सोडवणे
दोन मित्र खर्च वाटतात : एकत्र ₹१० आणि एक ₹२ जास्त देतो. दोन सूचना, दोन अज्ञात; दोन्ही मिळून रक्कम ठरते.
रेषीय समीकरणांच्या जोडीची सामाईक उकल असते. प्रतिस्थापनाने एक चल दुसऱ्याच्या रूपात लिहून दुसऱ्या समीकरणात ठेवा. विलोपनाने समीकरणे मिळवून/वजा करून एक चल घालवा.
सूत्र : प्रतिस्थापन किंवा विलोपन, मग दोन्ही समीकरणांत तपासा
आकृतीत : x + y = १० आणि x − y = २ मिळवल्यास y जातो : २x = १२, x = ६, मग y = ४.
नियम 1 : प्रतिस्थापन — सोप्या समीकरणातून एक चल मांडा.
- सोपे : y = x + १ आणि x + y = ७ : २x + १ = ७, x = ३, y = ४.
- मध्यम : x = २y आणि x + y = ९ : ३y = ९, y = ३, x = ६.
- परीक्षेसाठी : नेहमी तपासा : (३, ४) दोन्ही पाळते.
नियम 2 : विलोपन — एक सहगुणक समान करा, मग मिळवा किंवा वजा करा.
- सोपे : २x + y = ८ आणि x − y = १ : मिळवा ⇒ ३x = ९, x = ३, y = २.
- मध्यम : x + २y = ७ आणि x + y = ४ : वजा ⇒ y = ३, x = १.
- परीक्षेसाठी : ३x + २y = १२ आणि x + y = ५ : दुसऱ्याला ×२ ⇒ x = २, y = ३.
दोन्ही पद्धती तेच उत्तर देतात; कमी काम असलेली निवडा.
x काढून y काढायला विसरणे किंवा दोन्ही समीकरणांत न तपासणे.
"एक घालवा, एक काढा, दुसरा काढा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1x = −1, y = −1 ही −3x + 4y = −1 आणि −3x − y = 4 या दोन्हींची उकल आहे का?
- 2x + y = 23 आणि x − y = 5 सोडवा. x किती?
- 3x + 2y = 10 आणि −3x + 2y = 2 ही जोडी सोडवा. x ची किंमत किती?
- 4−x + 3y = 14 आणि −x + 4y = 19 ही जोडी सोडवा. y ची किंमत किती?
- 55x − 2y = −23 आणि −x + 5y = 23 सोडवा. x + y किती?
- 63 पेन्सिली आणि 2 खोडरबरे ₹45 ला मिळतात; 5 पेन्सिली आणि 4 खोडरबरे ₹83 ला मिळतात. एका पेन्सिलीची किंमत (₹ मध्ये) किती?
- 7वडील मुलापेक्षा 31 वर्षांनी मोठे आहेत. त्यांच्या वयांची बेरीज 63 वर्षे आहे. मुलाचे वय किती?
- 8दोन अंकी संख्येच्या अंकांची बेरीज 14 आहे. ती संख्या तिच्या अंकांची अदलाबदल करून मिळणाऱ्या संख्येपेक्षा 36 ने जास्त आहे. ती संख्या कोणती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1होय
- 214
- 32
- 45
- 51
- 67
- 716
- 895
आलेखीय पद्धत आणि सुसंगतता
दोन रस्ते एका चौकात छेदतात, समांतर असतील तर कधी भेटत नाहीत, किंवा एकच रस्ता असतात. दोन रेषा याच तीन प्रकारे वागतात.
दोन्ही रेषा काढा. एका बिंदूत छेदतात : नेमकी एक उकल (सुसंगत). समांतर : उकल नाही (असंगत). एकरूप : अनंत उकली (सुसंगत). छेदबिंदू म्हणजे उकल.
सूत्र : a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ : एक उकल; = पण c वेगळा : नाही; सर्व समान : अनंत
आकृतीत : x + y = ६ आणि x − y = २ हे (४, २) मध्ये छेदतात; तीच जोडीची उकल.
नियम 1 : उकली मोजा — उतार आणि अंतःखंड तुलना.
- सोपे : x + y = ४ आणि x + y = ६ : समांतर, उकल नाही.
- मध्यम : x + y = ४ आणि २x + २y = ८ : एकच रेषा, अनंत.
- परीक्षेसाठी : x + y = ४ आणि x − y = ०: एक उकल (२, २).
नियम 2 : छेदबिंदू वाचा — बिंदू दोन्ही समीकरणांत ठेवून तपासा.
- सोपे : रेषा (४, २) मध्ये भेटतात : x = ४, y = २.
- मध्यम : सारखा उतार, वेगळे अंतःखंड : कधी भेटत नाहीत.
- परीक्षेसाठी : सुसंगत जोडीला किमान एक उकल.
छेदबिंदू जाळीबिंदूवर नसेल तर आलेख अंदाजे उत्तर देतो; बीजगणित अचूक.
समांतर रेषांना एक उकल म्हणणे किंवा छेद नाही म्हणजे चूक असे मानणे.
"छेद : एक. समांतर : नाही. एकच : अनेक."
सरावासाठी प्रश्न
- 1जोडी x + 4y = 7 आणि 2x + y = 9 ला किती उकली आहेत?
- 2रेषा 4x + 2y = −14 आणि 4x − y = −11 एकाच आलेखावर काढल्या आहेत. त्या कोणत्या बिंदूत छेदतात?
- 3रेषा 3x + y = 28 आणि 2x − 4y = 0 एकाच आलेखावर काढल्या आहेत. त्या कोणत्या बिंदूत छेदतात?
- 4p च्या कोणत्या किमतीसाठी जोडी x + 2y = 3 आणि p x + 8y = 15 ला उकल नसते?
- 5p च्या कोणत्या किमतीसाठी 3x + 3y = 6 आणि 9x + 9y = p ला अनंत उकली असतात?
- 6जोडी 4x + 5y = 12 आणि 8x + 10y = 23 दिली आहे. न सोडवता तिला किती उकली आहेत?
- 7x + 2y = 6 आणि p x + q y = 18 ही एकच रेषा दर्शवत असतील, तर p + q शोधा.
- 8रेषा 3x + 6y = 18, x-अक्ष आणि y-अक्ष मिळून एक त्रिकोण बनवतात. त्याचे क्षेत्रफळ किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1नेमकी एकच उकल असते
- 2(−3, −1)
- 3(8, 4)
- 44
- 518
- 6उकल नसते
- 79
- 89
आलेखीय पद्धत आणि सुसंगतता
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडा