घनचिती आणि घन
आगपेटी घनचिती आणि फासा घन. पेटी गुंडाळायला लागणारा कागद म्हणजे पृष्ठफळ; तिच्यात मावणारी वाळू म्हणजे घनफळ.
घनचिती l × b × h : घनफळ lbh, एकूण पृष्ठफळ २(lb + bh + hl), पार्श्वपृष्ठफळ २h(l + b). a बाजूच्या घनाचे घनफळ a³ आणि पृष्ठफळ ६a².
सूत्र : V = lbh; TSA = २(lb + bh + hl); घन V = a³, TSA = ६a²
आकृतीत : ५ × ४ × ३ घनचिती : V = ६० आणि TSA = २(२० + १२ + १५) = ९४.
नियम 1 : घनफळ आणि पृष्ठफळ — घनफळ घन एककांत, क्षेत्रफळ चौरस एककांत.
- सोपे : ६ × ५ × २ : V = ६०.
- मध्यम : घन बाजू ४ : V = ६४, TSA = ९६.
- परीक्षेसाठी : खोली ५ मी × ४ मी × ३ मी : चार भिंती = २ × ३ × ९ = ५४ मी².
नियम 2 : उलट हिशोब — गाळलेली कड काढायला V = lbh; घनासाठी घनमूळ.
- सोपे : V = १२०, l = ६, b = ५ : h = ४.
- मध्यम : घन V = १२५ : बाजू ५.
- परीक्षेसाठी : १ मी³ = १००० लिटर.
प्रत्येक कड दुप्पट केल्यास घनफळ ८ पट आणि पृष्ठफळ ४ पट.
घनफळ (घन एकके) आणि क्षेत्रफळ (चौरस एकके) यांची गल्लत.
"घनफळ घन, क्षेत्रफळ चौरस." घनाला ६ पृष्ठे, प्रत्येकी a², म्हणून ६a².
सरावासाठी प्रश्न
- 1घनाला सर्व समान चौरस असलेले किती पृष्ठे (फलक) असतात?
- 2घनायताचे माप 17 cm × 12 cm × 8 cm आहे. त्याचे घनफळ किती?
- 3घनाची कडा 11 cm आहे. त्याचे एकूण पृष्ठफळ शोधा.
- 4खोलीची लांबी 7 मी, रुंदी 19 मी आणि उंची 13 मी आहे. तिच्या चार भिंतींचे क्षेत्रफळ किती?
- 5घनायताचे घनफळ 140 cm³ आहे. त्याची लांबी 7 cm आणि रुंदी 5 cm आहे. त्याची उंची शोधा.
- 614 cm कडा असलेल्या घनाचे घनफळ किती?
- 712 cm × 12 cm × 14 cm घनायताच्या आत बसणाऱ्या सर्वांत लांब काठीची (अवकाश कर्णाची) लांबी शोधा.
- 816 cm × 4 cm × 16 cm घनायतातून 4 cm कडेचे किती घन कापता येतात?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 16
- 21632 cm³
- 3726 cm²
- 4676 m²
- 54 cm
- 62744 cm³
- 722 cm
- 816
घनचिती आणि घन
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडावृत्तचिती (सिलिंडर)
डब्याला गोल वरचे-खालचे तळ आणि वक्र बाजू. लेबल सोलले तर आयत उघडतो.
त्रिज्या r आणि उंची h च्या वृत्तचितीचे वक्रपृष्ठफळ २πrh (आयत २πr × h), एकूण पृष्ठफळ २πr(r + h) आणि घनफळ πr²h (पायाचे क्षेत्रफळ × उंची).
सूत्र : वक्रपृष्ठफळ = २πrh; TSA = २πr(r + h); V = πr²h
आकृतीत : r = ७, h = १० : V = (२२/७) × ४९ × १० = १५४० आणि CSA = २ × (२२/७) × ७ × १० = ४४०.
नियम 1 : क्षेत्रफळ आणि घनफळ काढा — r हा ७ चा पट असेल तर २२/७ वापरा.
- सोपे : r = ७, h = ५ : V = ७७०.
- मध्यम : r = ३.५, h = १० : CSA = २२०.
- परीक्षेसाठी : उघडी टाकी (वर झाकण नाही) : πr² + २πrh.
नियम 2 : क्षमतेचे प्रश्न — १००० cm³ = १ लिटर; आधी एकके बदला.
- सोपे : r = ७ cm, h = १० cm : १५४० cm³ = १.५४ लिटर.
- मध्यम : घनफळ ६१६, r = ७ : h = ४.
- परीक्षेसाठी : r दुप्पट केल्यास V चौपट.
वक्रपृष्ठ उलगडल्यास आयत; वर्तुळे म्हणजे दोन झाकणे.
त्रिज्येऐवजी व्यास वापरणे.
"गोल पाया गुणिले उंची." लेबल सोला : २πr लांब आणि h उंच आयत, म्हणून CSA = २πrh.
सरावासाठी प्रश्न
- 1वृत्तचितीचे वक्रपृष्ठफळ किती?
- 2वृत्तचितीचे घनफळ किती?
- 3वृत्तचितीची त्रिज्या 28 cm आणि उंची 28 cm आहे. तिचे वक्रपृष्ठफळ शोधा. (π = 22/7 घ्या.)
- 4वृत्तचितीची त्रिज्या 21 cm आणि उंची 3 cm आहे. तिचे वक्रपृष्ठफळ शोधा. (π = 22/7 घ्या.)
- 5वृत्तचितीची त्रिज्या 21 cm आणि उंची 4 cm आहे. तिचे वक्रपृष्ठफळ शोधा. (π = 22/7 घ्या.)
- 6वृत्तचितीची त्रिज्या 21 cm आणि उंची 5 cm आहे. तिचे वक्रपृष्ठफळ शोधा. (π = 22/7 घ्या.)
- 714 cm त्रिज्या आणि 12 cm उंचीच्या वृत्तचितीचे घनफळ शोधा. (π = 22/7 घ्या.)
- 821 cm त्रिज्या आणि 11 cm उंचीच्या वृत्तचितीचे घनफळ शोधा. (π = 22/7 घ्या.)
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 12πrh
- 2πr²h
- 34928 cm²
- 4396 cm²
- 5528 cm²
- 6660 cm²
- 77392 cm³
- 815246 cm³
वृत्तचिती (सिलिंडर)
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडाशंकू
आईस्क्रीम कोन किंवा विदूषकाची टोपी म्हणजे शंकू. त्याच पायाच्या व उंचीच्या वृत्तचितीत भरायला तीन शंकू लागतात.
त्रिज्या r, उंची h आणि तिरकी उंची l (l² = r² + h²) असलेल्या शंकूचे घनफळ ⅓πr²h, वक्रपृष्ठफळ πrl आणि एकूण पृष्ठफळ πr(r + l).
सूत्र : l² = r² + h²; V = ⅓πr²h; वक्रपृष्ठफळ = πrl
आकृतीत : r = ३, h = ४ तर तिरकी उंची l = ५, म्हणून V = ⅓π × ९ × ४ = १२π आणि वक्रपृष्ठफळ = π × ३ × ५ = १५π.
नियम 1 : आधी l काढा — तिरकी उंची काढायला पायथागोरस.
- सोपे : r = ६, h = ८ : l = १०.
- मध्यम : r = ५, l = १३ : h = १२.
- परीक्षेसाठी : h = २४, l = २५ : r = ७.
नियम 2 : घनफळ आणि पृष्ठफळ — घनफळात एक-तृतीयांश, पृष्ठफळात नाही.
- सोपे : r = ७, h = ६ : V = ⅓ × २२/७ × ४९ × ६ = ३०८.
- मध्यम : r = ७, l = २५ : CSA = २२/७ × ७ × २५ = ५५०.
- परीक्षेसाठी : समान r व h च्या वृत्तचितीच्या घनफळाचा एक-तृतीयांश शंकूचे घनफळ.
तिरकी उंची l नेहमी h पेक्षा मोठी.
वक्रपृष्ठफळात l ऐवजी h वापरणे.
"शंकू = वृत्तचितीचा एक-तृतीयांश." तीन शंकू = एक डबा. पृष्ठफळासाठी तिरकी बाजू : π-r-l.
सरावासाठी प्रश्न
- 1शंकूच्या पायाची त्रिज्या 21 cm आणि उंची 28 cm आहे. त्याची तिरकी उंची शोधा.
- 2शंकूच्या पायाची त्रिज्या 21 cm आणि उंची 72 cm आहे. त्याची तिरकी उंची शोधा.
- 3शंकूच्या पायाची त्रिज्या 14 cm आणि उंची 48 cm आहे. त्याची तिरकी उंची शोधा.
- 4शंकूच्या पायाची त्रिज्या 14 cm आणि तिरकी उंची 50 cm आहे. त्याची उंची शोधा.
- 5शंकूच्या पायाची त्रिज्या 7 cm आणि तिरकी उंची 25 cm आहे. त्याची उंची शोधा.
- 6शंकूच्या पायाची त्रिज्या 21 cm आणि तिरकी उंची 75 cm आहे. त्याची उंची शोधा.
- 735 cm त्रिज्येचा अर्धवर्तुळाकार पत्रा वाकवून खुला शंकू केला, तेव्हा पत्र्याची त्रिज्या ही शंकूची तिरकी उंची झाली. शंकूच्या पायाची त्रिज्या किती?
- 814 cm त्रिज्येचा अर्धवर्तुळाकार पत्रा वाकवून खुला शंकू केला, तेव्हा पत्र्याची त्रिज्या ही शंकूची तिरकी उंची झाली. शंकूच्या पायाची त्रिज्या किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 135 cm
- 275 cm
- 350 cm
- 448 cm
- 524 cm
- 672 cm
- 717.5 cm
- 87 cm
गोल आणि अर्धगोल
फुटबॉल आणि पृथ्वीचा गोल हे गोल. विषुववृत्तावर कापल्यास प्रत्येक अर्धा अर्धगोल, वाटीसारखा.
त्रिज्या r च्या गोलाचे पृष्ठफळ ४πr² आणि घनफळ (४/३)πr³. अर्धगोलाचे वक्रपृष्ठफळ २πr², एकूण पृष्ठफळ ३πr² (सपाट वर्तुळ मिळवून) आणि घनफळ (२/३)πr³.
सूत्र : गोल : ४πr², (४/३)πr³. अर्धगोल : २πr², ३πr², (२/३)πr³
आकृतीत : r = ७ : गोलाचे V = (४/३)(२२/७)(३४३) = ४३१२/३ ≈ १४३७.३ आणि SA = ४ × (२२/७) × ४९ = ६१६.
नियम 1 : गोल — क्षेत्रफळासाठी r चा वर्ग, घनफळासाठी r चा घन.
- सोपे : r = ७ : SA = ६१६.
- मध्यम : r = ३ : V = ३६π.
- परीक्षेसाठी : व्यास १४ ⇒ सूत्रापूर्वी r = ७.
नियम 2 : अर्धगोल — सपाट वरचा भाग धरायचा का ते ठरवा.
- सोपे : r = ७ वाटी (बाहेरून) : CSA = ३०८.
- मध्यम : r = ७ घन अर्धगोल : TSA = ४६२.
- परीक्षेसाठी : r = ३ : V = १८π.
r दुप्पट केल्यास पृष्ठफळ ४ पट आणि घनफळ ८ पट.
अर्धगोलाच्या एकूण पृष्ठफळात सपाट वर्तुळ (πr²) विसरणे.
"गोल : चार पाय आर वर्ग." क्षेत्रफळात ४ आणि r², घनफळात ४/३ आणि r³. अर्धगोल म्हणजे निम्मे, सपाट झाकण मिळवून ३πr².
सरावासाठी प्रश्न
- 121 cm त्रिज्येचा घन धातूचा गोल वितळवून 7 cm त्रिज्येचे लहान गोल बनवले. किती लहान गोल तयार होतात?
- 228 cm त्रिज्येचा घन धातूचा गोल वितळवून 14 cm त्रिज्येचे लहान गोल बनवले. किती लहान गोल तयार होतात?
- 321 cm त्रिज्येचा घन धातूचा गोल वितळवून 10.5 cm त्रिज्येचे लहान गोल बनवले. किती लहान गोल तयार होतात?
- 435 cm त्रिज्येचा घन धातूचा गोल वितळवून 7 cm त्रिज्येचे लहान गोल बनवले. किती लहान गोल तयार होतात?
- 542 cm त्रिज्येचा घन धातूचा गोल वितळवून 21 cm त्रिज्येचे लहान गोल बनवले. किती लहान गोल तयार होतात?
- 6r त्रिज्येच्या गोलाचे पृष्ठफळ किती?
- 7r त्रिज्येच्या गोलाचे घनफळ किती?
- 828 cm त्रिज्येच्या गोलाचे पृष्ठफळ शोधा. (π = 22/7)
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 127
- 28
- 38
- 4125
- 58
- 64πr²
- 7⁴⁄₃πr³
- 89856 cm²
गोल आणि अर्धगोल
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडापिरॅमिड आणि संयुक्त घन
दंडगोलावर शंकू असलेला तंबू, किंवा शंकूच्या टोकाची पेन्सिल म्हणजे संयुक्त घन : भाग मिळवा.
पिरॅमिडचे घनफळ ⅓ × पायाचे क्षेत्रफळ × उंची. संयुक्त घनाचे घनफळ = भागांची बेरीज; पृष्ठफळ = फक्त दिसणारे पृष्ठभाग (जोडलेले पृष्ठ मोजू नका).
सूत्र : पिरॅमिड V = ⅓ Bh; संयुक्त V = V₁ + V₂
आकृतीत : पिरॅमिडचे घनफळ तोच पाया व उंची असलेल्या प्रिझमच्या एक-तृतीयांश.
नियम 1 : पिरॅमिड — आधी पायाचे क्षेत्रफळ, मग पाया × उंची चा एक-तृतीयांश.
- सोपे : चौरस पाया ६, h = ९ : V = ⅓ × ३६ × ९ = १०८.
- मध्यम : पायाचे क्षेत्रफळ ३०, h = १० : V = १००.
- परीक्षेसाठी : त्रिकोणी पायाचे क्षेत्रफळ १२, h = ५ : V = २०.
नियम 2 : संयुक्त घन — ज्ञात घनांत विभागा; प्रत्येकाचे काढून मिळवा (घनफळ) किंवा दिसणारे भाग मिळवा (पृष्ठफळ).
- सोपे : वृत्तचिती r = ७, h = १० + अर्धगोल r = ७ : V = १५४० + ७१८.७ ≈ २२५८.७.
- मध्यम : १० बाजूच्या घनातून कोपऱ्यातील २ बाजूचा घन कापला : V = १००० − ८ = ९९२.
- परीक्षेसाठी : जोडलेले पृष्ठ बाहेरच्या पृष्ठफळात येत नाही.
मोजण्यापूर्वी आकारांची आणि लपलेल्या पृष्ठांची यादी करा.
जोडलेल्या पृष्ठांसह प्रत्येक भागाचे पृष्ठफळ मिळवणे.
"पिरॅमिड एक-तृतीयांश; भाग मिळवा." शंकू आणि पिरॅमिड दोन्हींच्या घनफळात ⅓. संयुक्त घन : घनफळे मिळवा, पण पृष्ठफळात जोडलेले पृष्ठ वगळा.
सरावासाठी प्रश्न
- 1चौरस पाया असलेल्या पिरॅमिडला किती त्रिकोणी फलक असतात?
- 2चौरस पाया असलेल्या पिरॅमिडच्या पायाची बाजू 16 cm आणि उंची 6 cm आहे. त्याचे घनफळ शोधा.
- 3चौरस पाया असलेल्या पिरॅमिडच्या पायाची बाजू 14 cm आणि उंची 24 cm आहे. त्याचे घनफळ शोधा.
- 4चौरस पाया असलेल्या पिरॅमिडच्या पायाची बाजू 8 cm आणि तिरकी उंची 5 cm आहे. त्याचे पार्श्वपृष्ठफळ शोधा.
- 5चौरस पाया असलेल्या पिरॅमिडच्या पायाची बाजू 8 cm आणि तिरकी उंची 5 cm आहे. त्याचे एकूण पृष्ठफळ शोधा.
- 6चौरस पाया असलेल्या पिरॅमिडच्या पायाची बाजू 14 cm आणि तिरकी उंची 25 cm आहे. त्याचे एकूण पृष्ठफळ शोधा.
- 7चौरस पाया असलेल्या पिरॅमिडच्या पायाची बाजू 14 cm आणि उंची 24 cm आहे. त्याची तिरकी उंची (प्रत्येक त्रिकोणी फलकाची उंची) शोधा.
- 8चौरस पाया असलेल्या पिरॅमिडच्या पायाची बाजू 6 cm आणि उंची 4 cm आहे. त्याची तिरकी उंची (प्रत्येक त्रिकोणी फलकाची उंची) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 14
- 2512 cm³
- 31568 cm³
- 480 cm²
- 5144 cm²
- 6896 cm²
- 725 cm
- 85 cm