घनाभ और घन
माचिस की डिब्बी घनाभ और पासा घन। डिब्बी लपेटने का कागज़ पृष्ठीय क्षेत्रफल; उसमें समाने वाली रेत आयतन।
घनाभ l × b × h : आयतन lbh, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 2(lb + bh + hl), पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 2h(l + b)। भुजा a के घन का आयतन a³ और पृष्ठीय क्षेत्रफल 6a²।
सूत्र : V = lbh; TSA = 2(lb + bh + hl); घन V = a³, TSA = 6a²
आकृति में : 5 × 4 × 3 घनाभ : V = 60 और TSA = 2(20 + 12 + 15) = 94।
नियम 1 : आयतन और क्षेत्रफल — आयतन घन इकाई में, क्षेत्रफल वर्ग इकाई में।
- आसान : 6 × 5 × 2 : V = 60।
- मध्यम : घन भुजा 4 : V = 64, TSA = 96।
- परीक्षा-प्रकार : कमरा 5 m × 4 m × 3 m : चार दीवारें = 2 × 3 × 9 = 54 m²।
नियम 2 : उल्टा हिसाब — छूटा किनारा निकालने को V = lbh; घन के लिए घनमूल।
- आसान : V = 120, l = 6, b = 5 : h = 4।
- मध्यम : घन V = 125 : भुजा 5।
- परीक्षा-प्रकार : 1 m³ = 1000 लीटर।
हर किनारा दुगुना करने पर आयतन 8 गुना और पृष्ठीय क्षेत्रफल 4 गुना।
आयतन (घन इकाई) और क्षेत्रफल (वर्ग इकाई) में गड़बड़ी।
"आयतन घन, क्षेत्रफल वर्ग।" घन के 6 फलक, हर एक a², इसलिए 6a²।
अभ्यास के प्रश्न
- 1घन के कितने फलक होते हैं, जो सभी बराबर वर्ग होते हैं?
- 2एक घनाभ की माप 17 cm × 12 cm × 8 cm है। उसका आयतन क्या है?
- 3एक घन का किनारा 11 cm है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 4एक कमरा 7 m लंबा, 19 m चौड़ा और 13 m ऊँचा है। उसकी चारों दीवारों का क्षेत्रफल क्या है?
- 5एक घनाभ का आयतन 140 cm³ है। उसकी लंबाई 7 cm और चौड़ाई 5 cm है। उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
- 614 cm किनारे वाले घन का आयतन क्या है?
- 712 cm × 12 cm × 14 cm के घनाभ के अंदर समाने वाली सबसे लंबी छड़ (अंतः विकर्ण) की लंबाई ज्ञात कीजिए।
- 816 cm × 4 cm × 16 cm के घनाभ से 4 cm किनारे वाले कितने घन काटे जा सकते हैं?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 16
- 21632 cm³
- 3726 cm²
- 4676 m²
- 54 cm
- 62744 cm³
- 722 cm
- 816
घनाभ और घन
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंबेलन
डिब्बे का ऊपर-नीचे गोल तल और वक्र पार्श्व। लेबल उतारें तो आयत खुलता है।
त्रिज्या r और ऊँचाई h वाले बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 2πrh (आयत 2πr × h), कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 2πr(r + h) और आयतन πr²h (आधार क्षेत्रफल × ऊँचाई)।
सूत्र : CSA = 2πrh; TSA = 2πr(r + h); V = πr²h
आकृति में : r = 7, h = 10 : V = (22/7) × 49 × 10 = 1540 और CSA = 2 × (22/7) × 7 × 10 = 440।
नियम 1 : क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करें — r, 7 का गुणज हो तो 22/7 लें।
- आसान : r = 7, h = 5 : V = 770।
- मध्यम : r = 3.5, h = 10 : CSA = 220।
- परीक्षा-प्रकार : खुली टंकी (ऊपर ढक्कन नहीं) : πr² + 2πrh।
नियम 2 : क्षमता की समस्याएँ — 1000 cm³ = 1 L; पहले इकाइयाँ बदलें।
- आसान : r = 7 cm, h = 10 cm : 1540 cm³ = 1.54 L।
- मध्यम : आयतन 616, r = 7 : h = 4।
- परीक्षा-प्रकार : r दुगुना करने पर V चौगुना।
वक्र पृष्ठ खोलने पर आयत; वृत्त दो ढक्कन।
त्रिज्या की जगह व्यास लेना।
"गोल आधार गुणा ऊँचाई।" लेबल उतारें : 2πr लंबा और h ऊँचा आयत, इसलिए CSA = 2πrh।
अभ्यास के प्रश्न
- 1बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होता है
- 2बेलन का आयतन होता है
- 3एक बेलन की त्रिज्या 28 cm और ऊँचाई 28 cm है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए।)
- 4एक बेलन की त्रिज्या 21 cm और ऊँचाई 3 cm है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए।)
- 5एक बेलन की त्रिज्या 21 cm और ऊँचाई 4 cm है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए।)
- 6एक बेलन की त्रिज्या 21 cm और ऊँचाई 5 cm है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए।)
- 714 cm त्रिज्या और 12 cm ऊँचाई वाले बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए।)
- 821 cm त्रिज्या और 11 cm ऊँचाई वाले बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए।)
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 12πrh
- 2πr²h
- 34928 cm²
- 4396 cm²
- 5528 cm²
- 6660 cm²
- 77392 cm³
- 815246 cm³
बेलन
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंशंकु
आइसक्रीम कोन या जोकर की टोपी शंकु है। उसी आधार और ऊँचाई के बेलन को भरने में तीन शंकु लगते हैं।
त्रिज्या r, ऊँचाई h और तिर्यक ऊँचाई l (l² = r² + h²) वाले शंकु का आयतन ⅓πr²h, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल πrl और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल πr(r + l)।
सूत्र : l² = r² + h²; V = ⅓πr²h; CSA = πrl
आकृति में : r = 3, h = 4 तो तिर्यक ऊँचाई l = 5, इसलिए V = ⅓π × 9 × 4 = 12π और CSA = π × 3 × 5 = 15π।
नियम 1 : पहले l निकालें — तिर्यक ऊँचाई निकालने को पाइथागोरस।
- आसान : r = 6, h = 8 : l = 10।
- मध्यम : r = 5, l = 13 : h = 12।
- परीक्षा-प्रकार : h = 24, l = 25 : r = 7।
नियम 2 : आयतन और क्षेत्रफल — आयतन में एक-तिहाई, क्षेत्रफल में नहीं।
- आसान : r = 7, h = 6 : V = ⅓ × 22/7 × 49 × 6 = 308।
- मध्यम : r = 7, l = 25 : CSA = 22/7 × 7 × 25 = 550।
- परीक्षा-प्रकार : समान r और h वाले बेलन के आयतन का एक-तिहाई शंकु का आयतन।
तिर्यक ऊँचाई l सदा h से बड़ी।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में l की जगह h लेना।
"शंकु = बेलन का एक-तिहाई।" तीन शंकु = एक डिब्बा। क्षेत्रफल के लिए तिर्यक भुजा : π-r-l।
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक शंकु के आधार की त्रिज्या 21 cm और ऊँचाई 28 cm है। उसकी तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
- 2एक शंकु के आधार की त्रिज्या 21 cm और ऊँचाई 72 cm है। उसकी तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
- 3एक शंकु के आधार की त्रिज्या 14 cm और ऊँचाई 48 cm है। उसकी तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
- 4एक शंकु के आधार की त्रिज्या 14 cm और तिर्यक ऊँचाई 50 cm है। उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
- 5एक शंकु के आधार की त्रिज्या 7 cm और तिर्यक ऊँचाई 25 cm है। उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
- 6एक शंकु के आधार की त्रिज्या 21 cm और तिर्यक ऊँचाई 75 cm है। उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
- 735 cm त्रिज्या की एक अर्धवृत्ताकार चादर को मोड़कर खुला शंकु बनाया जाता है, जिसमें चादर की त्रिज्या शंकु की तिर्यक ऊँचाई बन जाती है। शंकु के आधार की त्रिज्या क्या है?
- 814 cm त्रिज्या की एक अर्धवृत्ताकार चादर को मोड़कर खुला शंकु बनाया जाता है, जिसमें चादर की त्रिज्या शंकु की तिर्यक ऊँचाई बन जाती है। शंकु के आधार की त्रिज्या क्या है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 135 cm
- 275 cm
- 350 cm
- 448 cm
- 524 cm
- 672 cm
- 717.5 cm
- 87 cm
गोला और अर्धगोला
फुटबॉल और ग्लोब गोले हैं। भूमध्य रेखा पर काटें तो हर आधा अर्धगोला, कटोरे जैसा।
त्रिज्या r के गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 4πr² और आयतन (4/3)πr³। अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 2πr², कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 3πr² (समतल वृत्त जोड़कर) और आयतन (2/3)πr³।
सूत्र : गोला : 4πr², (4/3)πr³। अर्धगोला : 2πr², 3πr², (2/3)πr³
आकृति में : r = 7 : गोले का V = (4/3)(22/7)(343) = 4312/3 ≈ 1437.3 और SA = 4 × (22/7) × 49 = 616।
नियम 1 : गोला — क्षेत्रफल के लिए r का वर्ग, आयतन के लिए r का घन।
- आसान : r = 7 : SA = 616।
- मध्यम : r = 3 : V = 36π।
- परीक्षा-प्रकार : व्यास 14 ⇒ सूत्र से पहले r = 7।
नियम 2 : अर्धगोला — तय करें कि समतल ऊपरी भाग गिना जाए या नहीं।
- आसान : r = 7 कटोरा (बाहर से) : CSA = 308।
- मध्यम : r = 7 ठोस : TSA = 462।
- परीक्षा-प्रकार : r = 3 : V = 18π।
r दुगुना करने पर पृष्ठीय क्षेत्रफल 4 गुना और आयतन 8 गुना।
अर्धगोले के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में समतल वृत्त (πr²) भूलना।
"गोला : चार पाई आर वर्ग।" क्षेत्रफल में 4 और r², आयतन में 4/3 और r³। अर्धगोला आधा है, समतल ढक्कन जोड़कर 3πr²।
अभ्यास के प्रश्न
- 121 cm त्रिज्या के एक ठोस धातु के गोले को पिघलाकर 7 cm त्रिज्या के छोटे गोले बनाए जाते हैं। कितने छोटे गोले बनेंगे?
- 228 cm त्रिज्या के एक ठोस धातु के गोले को पिघलाकर 14 cm त्रिज्या के छोटे गोले बनाए जाते हैं। कितने छोटे गोले बनेंगे?
- 321 cm त्रिज्या के एक ठोस धातु के गोले को पिघलाकर 10.5 cm त्रिज्या के छोटे गोले बनाए जाते हैं। कितने छोटे गोले बनेंगे?
- 435 cm त्रिज्या के एक ठोस धातु के गोले को पिघलाकर 7 cm त्रिज्या के छोटे गोले बनाए जाते हैं। कितने छोटे गोले बनेंगे?
- 542 cm त्रिज्या के एक ठोस धातु के गोले को पिघलाकर 21 cm त्रिज्या के छोटे गोले बनाए जाते हैं। कितने छोटे गोले बनेंगे?
- 6r त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल होता है
- 7r त्रिज्या वाले गोले का आयतन होता है
- 828 cm त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 127
- 28
- 38
- 4125
- 58
- 64πr²
- 7⁴⁄₃πr³
- 89856 cm²
गोला और अर्धगोला
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंपिरामिड और संयुक्त ठोस
बेलन पर शंकु वाला तंबू, या शंकु नोक वाली पेंसिल संयुक्त ठोस है : भाग जोड़ें।
पिरामिड का आयतन ⅓ × आधार क्षेत्रफल × ऊँचाई। संयुक्त ठोस का आयतन = भागों का योग; पृष्ठीय क्षेत्रफल = केवल दिखने वाली सतहें (जुड़ी सतहें न गिनें)।
सूत्र : पिरामिड V = ⅓ Bh; संयुक्त V = V₁ + V₂
आकृति में : पिरामिड का आयतन उसी आधार व ऊँचाई वाले प्रिज़्म का एक-तिहाई।
नियम 1 : पिरामिड — पहले आधार क्षेत्रफल, फिर आधार × ऊँचाई का एक-तिहाई।
- आसान : वर्गाकार आधार 6, h = 9 : V = ⅓ × 36 × 9 = 108।
- मध्यम : आधार क्षेत्रफल 30, h = 10 : V = 100।
- परीक्षा-प्रकार : त्रिकोणीय आधार क्षेत्रफल 12, h = 5 : V = 20।
नियम 2 : संयुक्त ठोस — ज्ञात ठोसों में बाँटें; हर एक निकालकर जोड़ें (आयतन) या दिखने वाले भाग जोड़ें (क्षेत्रफल)।
- आसान : बेलन r = 7, h = 10 + अर्धगोला r = 7 : V = 1540 + 718.7 ≈ 2258.7।
- मध्यम : भुजा 10 के घन से कोने का भुजा 2 वाला घन काटा : V = 1000 − 8 = 992।
- परीक्षा-प्रकार : जुड़ी सतहें बाहरी क्षेत्रफल में नहीं आतीं।
गणना से पहले आकृतियों और छिपी सतहों की सूची बनाएँ।
जुड़ी सतहों सहित हर भाग का क्षेत्रफल जोड़ना।
"पिरामिड एक-तिहाई; भाग जोड़ें।" शंकु और पिरामिड दोनों के आयतन में ⅓। संयुक्त ठोस : आयतन जोड़ें, पर क्षेत्रफल में जुड़ी सतहें छोड़ें।
अभ्यास के प्रश्न
- 1वर्ग आधार वाले पिरामिड के कितने त्रिकोणीय फलक होते हैं?
- 2एक वर्ग-आधार पिरामिड के आधार की भुजा 16 cm और ऊँचाई 6 cm है। उसका आयतन ज्ञात कीजिए।
- 3एक वर्ग-आधार पिरामिड के आधार की भुजा 14 cm और ऊँचाई 24 cm है। उसका आयतन ज्ञात कीजिए।
- 4एक वर्ग-आधार पिरामिड के आधार की भुजा 8 cm और तिर्यक ऊँचाई 5 cm है। उसका पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 5एक वर्ग-आधार पिरामिड के आधार की भुजा 8 cm और तिर्यक ऊँचाई 5 cm है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 6एक वर्ग-आधार पिरामिड के आधार की भुजा 14 cm और तिर्यक ऊँचाई 25 cm है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 7एक वर्ग-आधार पिरामिड के आधार की भुजा 14 cm और ऊँचाई 24 cm है। उसकी तिर्यक ऊँचाई (प्रत्येक त्रिकोणीय फलक की ऊँचाई) ज्ञात कीजिए।
- 8एक वर्ग-आधार पिरामिड के आधार की भुजा 6 cm और ऊँचाई 4 cm है। उसकी तिर्यक ऊँचाई (प्रत्येक त्रिकोणीय फलक की ऊँचाई) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 14
- 2512 cm³
- 31568 cm³
- 480 cm²
- 5144 cm²
- 6896 cm²
- 725 cm
- 85 cm