माध्य
पाँच मित्रों के 6, 8, 7, 9, 10 अंक। अंक बराबर बाँटें तो हर एक को जो अंक मिले वह माध्य है।
माध्य = सभी मानों का योग ÷ मानों की संख्या। यह आँकड़ों का "संतुलन बिंदु" है। माध्य से अंतरों का योग शून्य।
सूत्र : माध्य = (x₁ + x₂ + … + xₙ) ÷ n
आकृति में : कुल = 6 + 8 + 7 + 9 + 10 = 40, इसलिए माध्य = 40 ÷ 5 = 8।
नियम 1 : माध्य ज्ञात करें — सब जोड़ें, फिर संख्या से भाग दें।
- आसान : 2, 4, 9 : माध्य = 15 ÷ 3 = 5।
- मध्यम : 10, 20, 30, 40 : माध्य 25।
- परीक्षा-प्रकार : तापमान 28, 30, 32, 26 °C : माध्य 29 °C।
नियम 2 : छूटा मान — आवश्यक कुल = माध्य × संख्या; ज्ञात योग घटाएँ।
- आसान : 4 संख्याओं का माध्य 10; तीन 8, 9, 13 : चौथी = 40 − 30 = 10।
- मध्यम : 5 का माध्य 12 : कुल 60।
- परीक्षा-प्रकार : अंक 70, 80 और x, माध्य 80 : x = 90।
माध्य सदा सबसे छोटे और सबसे बड़े मान के बीच होता है।
सभी मानों की जगह भिन्न मानों की संख्या से भाग देना।
"कुल बटा संख्या।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1संख्याएँ 11, 27, 7, 30, 25 पाँच दिनों में दर्ज किए गए दैनिक कदम (सैकड़ों में) हैं। उनका माध्य क्या है?
- 26 संख्याओं का माध्य 9 है। इन 6 संख्याओं का योग क्या है?
- 310 संख्याओं 58, 19, 39, 26, 45, 6, 47, 39, 24, 12 का माध्य ज्ञात कीजिए।
- 46 संख्याओं का माध्य 14 है। उनमें से 5 संख्याएँ 12, 6, 10, 11, 18 हैं। शेष संख्या क्या है?
- 5एक प्रश्नोत्तरी में 5, 3 और 12 विद्यार्थियों ने क्रमशः 3, 4 और 8 अंक प्राप्त किए। इन 20 विद्यार्थियों का माध्य अंक क्या है?
- 67 समान अंतर वाली संख्याओं 20, 30, 40, …, 80 का माध्य क्या है?
- 79 संख्याओं का माध्य 24 है। यदि प्रत्येक संख्या में पहले 5 जोड़ा जाए और फिर परिणाम को 4 से गुणा किया जाए, तो नया माध्य क्या होगा?
- 8छह संख्याओं का माध्य 17 है। उनमें से चार संख्याएँ 20, 8, 20, 10 हैं। शेष दो संख्याएँ बराबर हैं। उनमें से प्रत्येक क्या है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 120
- 254
- 331.5
- 427
- 56.15
- 650
- 7116
- 822
माध्य
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंमाध्य कैसे बदलता है
छोटे दफ़्तर में एक बहुत बड़ा वेतन औसत वेतन ऊपर खींच देता है, भले अधिकतर कम कमाएँ। एक बड़ा मान माध्य को खींचता है।
हर मान में k जोड़ने पर माध्य में k जुड़ता है। हर मान को k से गुणा करने पर माध्य k से गुणा होता है। एक नया मान जोड़ने पर माध्य उसी की ओर खिसकता है।
सूत्र : नया माध्य = (पुराना योग + नया मान) ÷ (n + 1)
आकृति में : पाँच मानों का माध्य 8। 40 जोड़ने पर (40 + 40) ÷ 6 ≈ 13.3।
नियम 1 : खिसकाएँ और गुणा करें — माध्य आँकड़ों की तरह ही बदलता है।
- आसान : माध्य 20; हर मान में 5 जोड़ें : 25।
- मध्यम : माध्य 12; हर मान दुगुना : 24।
- परीक्षा-प्रकार : माध्य 50; हर मान में से 10 घटाएँ : 40।
नियम 2 : मान जोड़ें या हटाएँ — माध्य नहीं, कुलों पर काम करें।
- आसान : 4 का माध्य 10 (कुल 40); 20 जोड़ने पर 60 ÷ 5 = 12।
- मध्यम : 5 का माध्य 8 (कुल 40); 8 हटाने पर माध्य 8 ही।
- परीक्षा-प्रकार : कक्षा का माध्य 60; 90 अंक वाला नया छात्र उसे बढ़ाता है।
माध्य के बराबर मान जोड़ने पर माध्य नहीं बदलता।
पुराने माध्य और नए मान का सीधा औसत लेना, कितने मान थे यह भूलकर।
"माध्य नहीं, कुल का प्रयोग।"
अभ्यास के प्रश्न
- 15 संख्याओं का माध्य 27 है। एक और संख्या 33 जोड़ने पर नया माध्य क्या होगा?
- 25 संख्याओं का माध्य 26 है। एक और संख्या 56 जोड़ने पर नया माध्य क्या होगा?
- 39 संख्याओं का माध्य 40 है। उनमें से एक संख्या 56 हटा दी जाती है। शेष 8 संख्याओं का माध्य क्या है?
- 4एक विद्यार्थी के 4 परीक्षणों में माध्य अंक 73 हैं। अगले परीक्षण में उसे कितने अंक मिलने चाहिए ताकि सभी 5 परीक्षणों का माध्य 78 हो जाए?
- 510 मित्रों के एक समूह की माध्य आयु 37 वर्ष है। 38 वर्ष का एक मित्र चला जाता है और 58 वर्ष का एक नया मित्र जुड़ता है। नई माध्य आयु क्या है?
- 65 लड़कों का माध्य भार 39 kg है। एक नया लड़का जुड़ने पर माध्य 1 kg बढ़ जाता है। नए लड़के का भार क्या है?
- 7एक बल्लेबाज़ का 9 पारियों के बाद औसत 45 रन है। माध्य को 48 तक बढ़ाने के लिए उसे अगली पारी में कितने रन बनाने होंगे?
- 84 संख्याओं का माध्य 33 है। दो और संख्याएँ जोड़ी जाती हैं और सभी 6 संख्याओं का माध्य 31 हो जाता है। दोनों नई संख्याओं का योग क्या है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 128
- 231
- 338
- 498
- 539
- 645
- 775
- 854
माध्य कैसे बदलता है
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंसंयुक्त और भारित माध्य
बड़ी कक्षा A और छोटी कक्षा B वाला स्कूल दोनों माध्यों का सीधा औसत नहीं ले सकता। बड़ी कक्षा का भार अधिक।
संयुक्त माध्य = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂) ÷ (n₁ + n₂)। भारित माध्य में हर मान को उसके भार (महत्त्व या बारंबारता) से गुणा कर कुल भार से भाग देते हैं।
सूत्र : भारित माध्य = Σ(मान × भार) ÷ Σ भार
आकृति में : कुल 30 × 60 = 1800 और 20 × 70 = 1400 : संयुक्त माध्य 3200 ÷ 50 = 64, 65 नहीं।
नियम 1 : दो समूह मिलाएँ — हर समूह का योग उसके माध्य से बनाएँ, जोड़ें, फिर भाग दें।
- आसान : 10 छात्र माध्य 50, 10 छात्र माध्य 70 : 60।
- मध्यम : 20 का माध्य 40 और 30 का 60 : 52।
- परीक्षा-प्रकार : संयुक्त माध्य बड़े समूह के पास होता है।
नियम 2 : भारित माध्य — पहले हर मान को उसके भार से गुणा करें।
- आसान : परीक्षण 80 (भार 2) और परीक्षा 90 (भार 3) : (160 + 270) ÷ 5 = 86।
- मध्यम : ग्रेड 5 (3 क्रेडिट), 7 (1 क्रेडिट) : 22 ÷ 4 = 5.5।
- परीक्षा-प्रकार : बारंबारता सारणी का माध्य : Σfx ÷ Σf।
समान भार वाला भारित माध्य साधारण माध्य है।
समूह के आकार का भार दिए बिना दो माध्यों का औसत लेना।
"बड़ा समूह, बड़ा भार।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक परीक्षा में टीम X के 20 विद्यार्थियों का माध्य अंक 33 है और टीम Y के 20 विद्यार्थियों का माध्य अंक 63 है। सभी 40 विद्यार्थियों का मिलाकर माध्य अंक क्या है?
- 2दो समूहों में सदस्यों की संख्या बराबर, प्रत्येक में 20 है। उनके माध्य 76 और 60 हैं। संयुक्त समूह का माध्य क्या है?
- 3एक दुकानदार ₹70 प्रति kg वाली 2 kg दाल को उसी दाल की ₹40 प्रति kg वाली 8 kg के साथ मिलाता है। मिश्रण की प्रति kg माध्य कीमत (₹ में) क्या है?
- 4अंतिम ग्रेड में प्रोजेक्ट का भार 60% और परीक्षा का भार 40% है। एक विद्यार्थी को प्रोजेक्ट में 82 और परीक्षा में 65 अंक मिलते हैं। उसका अंतिम ग्रेड क्या है?
- 530 विद्यार्थियों के माध्य अंक 56 हैं। पहले 10 विद्यार्थियों का माध्य 70 है। शेष 20 विद्यार्थियों का माध्य अंक क्या है?
- 6₹180 प्रति L और ₹150 प्रति L कीमत वाले दो प्रकार के मिश्रणों को 1 : 3 के अनुपात में मिलाया जाता है। मिश्रण की प्रति L कीमत (₹ में) क्या है?
- 7तीन वर्गों में क्रमशः 10, 10 और 30 विद्यार्थी हैं, जिनके माध्य अंक क्रमशः 65, 33 और 68 हैं। सभी 50 विद्यार्थियों का माध्य अंक क्या है?
- 8समूह A में 20 सदस्य हैं और उसका माध्य 40 है। समूह B का माध्य 60 है। दोनों समूहों को मिलाने पर माध्य 50 होता है। समूह B में कितने सदस्य हैं?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 148
- 268
- 346
- 475.2
- 549
- 6157.5
- 760.4
- 820
पाई चार्ट
गोल रोटी के टुकड़ों से परिवार का मासिक खर्च कैसे बँटा दिखता है : भोजन का बड़ा टुकड़ा, यात्रा का छोटा।
पाई चार्ट पूर्ण के भागों को वृत्त के त्रिज्यखंडों से दिखाता है। त्रिज्यखंड का कोण = (मान ÷ कुल) × 360°। कोणों का योग 360° और प्रतिशत का योग 100%।
सूत्र : कोण = (मान ÷ कुल) × 360°
आकृति में : नींद 50% यानी 180°; स्कूल 25% = 90°।
नियम 1 : कोण बनाएँ — हर मान को 360° का अंश बनाएँ।
- आसान : 80 में 20 : (20/80) × 360° = 90°।
- मध्यम : पाई का 30% : 108°।
- परीक्षा-प्रकार : पाई का आधा : 180°।
नियम 2 : चार्ट पढ़ें — मान = कोण ÷ 360 × कुल।
- आसान : 500 छात्रों में 72° : 100 छात्र।
- मध्यम : 90° और 60° के दो भाग; शेष के लिए 210°।
- परीक्षा-प्रकार : कुल न दिया हो तो पाई चार्ट हिस्से दिखाता है, ठीक संख्याएँ नहीं।
सबसे बड़ा त्रिज्यखंड यानी सबसे बड़ा हिस्सा।
360° की जगह 100° या 100 लेना।
"हिस्सा गुणा 360।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक परिवार के मासिक खर्च के वृत्त-आलेख में 30% किराये पर खर्च होता है। इस त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण क्या है?
- 2एक वृत्त-आलेख के त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण 126° है। वह पूर्ण का कितना प्रतिशत दर्शाता है?
- 3एक वृत्त-आलेख दर्शाता है कि 720 विद्यार्थी स्कूल कैसे आते हैं। 'साइकिल' के त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण 45° है। कितने विद्यार्थी साइकिल से आते हैं?
- 4सर्वेक्षण में 72 लोगों में से 14 चाय पसंद करते हैं। सर्वेक्षण के वृत्त-आलेख में 'चाय' के त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण क्या है?
- 5एक वृत्त-आलेख में चार त्रिज्यखंड हैं। तीन त्रिज्यखंडों (आम, सेब, केला) के केंद्रीय कोण 30°, 70° और 100° हैं। चौथे त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण क्या है?
- 6एक वृत्त-आलेख तीन मदों को 1 : 2 : 3 के अनुपात में दर्शाता है। सबसे बड़े त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण क्या है?
- 7240 विद्यार्थियों के पसंदीदा विषयों के वृत्त-आलेख में गणित का त्रिज्यखंड 36° और विज्ञान का 108° है। गणित की तुलना में कितने अधिक विद्यार्थी विज्ञान पसंद करते हैं?
- 8एक वृत्त-आलेख में एक त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण 80° है, और शेष वृत्त को भरने वाले दो त्रिज्यखंड 3 : 5 के अनुपात में हैं। उन दोनों कोणों में बड़ा कोण क्या है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1108°
- 235%
- 390
- 470°
- 5160°
- 6180°
- 748
- 8175°
स्टैक्ड और 100% स्टैक्ड बार
स्कूल हर वर्ष एक स्तंभ में लड़के और लड़कियाँ दिखाता है : पूरा स्तंभ कुल, रंगीन भाग समूह।
स्टैक्ड बार में भाग एक के ऊपर एक रखे जाते हैं, इसलिए पूरी ऊँचाई कुल है। 100% स्टैक्ड बार में हर बार 100% पर लाया जाता है, इसलिए कुल भिन्न होने पर भी हिस्से साफ़ दिखते हैं।
सूत्र : हिस्सा % = (भाग ÷ बार का कुल) × 100
आकृति में : हर बार लड़कियाँ (नीला) और लड़के (हरा) में बँटा; पूरी ऊँचाई कुल छात्र।
नियम 1 : स्टैक्ड बार पढ़ें — भाग = उसके रंग का ऊपरी किनारा घटा निचला किनारा।
- आसान : नीला 40 और हरा 30 : कुल 70।
- मध्यम : अगले वर्ष नीला 50, हरा 35 : दोनों समूह बढ़े।
- परीक्षा-प्रकार : तीसरे वर्ष कुल : 55 + 45 = 100।
नियम 2 : 100% में बदलें — हर भाग को बार के कुल से भाग देकर 100 से गुणा करें।
- आसान : 70 में 40 लड़कियाँ : ≈ 57%।
- मध्यम : 100 में 55 : 55%।
- परीक्षा-प्रकार : 100% बार कुल कितना बड़ा है यह नहीं दिखाते।
कुल के लिए स्टैक्ड और हिस्सों की तुलना के लिए 100% स्टैक्ड बार।
ऊपरी संख्या को ऊपरी रंग का मान समझना, कुल नहीं।
"कुल के लिए ढेर, हिस्सों के लिए प्रतिशत।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक स्टैक्ड दंड आलेख में दुकान P के स्तंभ के दो भाग हैं : वयस्क = 27 और बच्चे = 17। इस स्तंभ की कुल ऊँचाई क्या है?
- 2दुकान Q के स्टैक्ड स्तंभ की कुल ऊँचाई 23 है। वयस्कों का भाग 14 है। बच्चों के भाग की ऊँचाई क्या है?
- 3गाँव A के स्टैक्ड स्तंभ की कुल ऊँचाई 80 है। उसमें उत्तीर्णों का भाग 60 है। स्तंभ का कितना प्रतिशत उत्तीर्ण है?
- 4100% स्टैक्ड दंड में गाँव B का उत्तीर्ण खंड दंड का 45% है। गाँव B का कुल 500 है। कितने उत्तीर्ण हैं?
- 5कक्षा 9A : कुल 60, लड़के = 17। कक्षा 9B : कुल 80, लड़के = 46। 100% स्टैक्ड दंड आलेख में किस स्तंभ का लड़कों का खंड अधिक लंबा है?
- 6स्टैक्ड स्तंभ : दुकान P में वयस्क = 9, बच्चे = 9; दुकान Q में वयस्क = 11, बच्चे = 24। दोनों स्तंभों में मिलाकर कुल वयस्क कितने हैं?
- 7100% स्टैक्ड दंडों में लड़के कक्षा 9A (कुल 100) का 75% और कक्षा 9B (कुल 100) का 10% हैं। संयुक्त कुल का कितना प्रतिशत लड़के हैं?
- 8कक्षा 9A का कुल = 200, लड़के = 40। कक्षा 9B का कुल = 400, लड़के = 300। कक्षा 9A से कक्षा 9B तक लड़कों का हिस्सा कितने प्रतिशत अंक बदलता है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 144
- 29
- 375%
- 4225
- 5कक्षा 9B
- 620
- 742.5%
- 855 अंक की वृद्धि
स्टैक्ड और 100% स्टैक्ड बार
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलें