K2KARAKORAM
मराठीEnglishहिंदी
ॲप उघडा

CBSE · इयत्ता 8 · गणित भाग २

भाग 2, प्रकरण 6: बीजगणिताचा खेळ (Algebra Play)

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English · हिंदी

विचार केलेल्या संख्येच्या युक्त्या

रोजच्या जीवनातून

जत्रेत जादूगार म्हणतो: "तुमचे वय मनात धरा, 5 मिळवा, दुप्पट करा आणि 10 वजा करा. उत्तर सांगा, मी तुमचे वय सांगतो." तुम्ही 36 म्हणता. तो लगेच 18 सांगतो. बीजगणित हेच त्याचे रहस्य.

सोपी व्याख्या

गुप्त संख्येला n म्हणा आणि प्रत्येक पायरी व्यंजक म्हणून लिहा. सोपे केल्यावर n राहतो (म्हणून उत्तरावरून मागे जाता येते) किंवा रद्द होतो (म्हणून उत्तर ठरलेले असते).

n+5n + 5×22n + 10−102n÷2n

आकृतीत : 5 मिळवा, दुप्पट करा, 10 वजा करा, निम्मे करा: n परत येतो.

नियम 1 : पायऱ्या लिहा — प्रत्येक शब्द n वरील क्रियेत बदला. नंतरची क्रिया आधीच्या सर्वावर असेल तेव्हा कंस वापरा.

  • सोपे: 3 मिळवा, मग 4 ने गुणा: 4(n + 3) = 4n + 12.
  • मध्यम: दुप्पट करा, मग 6 मिळवा: 2n + 6.
  • परीक्षेतील प्रकार: 5 वजा करा, मग तिप्पट: 3(n − 5) = 3n − 15.

नियम 2 : रहस्य शोधायला सोपे करा — कंस सोडवा आणि सजातीय पदे एकत्र करा. काय उरते ते पाहा.

  • सोपे: (n + 7) × 2 − 14 = 2n: सुरुवातीच्या संख्येचे दुप्पट.
  • मध्यम: (3n + 12) ÷ 3 − 4 = n: सुरुवातीची संख्या स्वतः.
  • परीक्षेतील प्रकार: (2n + 10) ÷ 2 − n = 5: नेहमी 5.

नियम 3 : मागे जा — उलट क्रमाने, विरुद्ध क्रिया करून पायऱ्या मागे घ्या.

Live आकृती

विचार केलेल्या संख्येच्या युक्त्या

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

आकृतीत : दोन्ही बाजूंना समान क्रिया करा, युक्ती उलट करण्यासारखे.

  • सोपे: ×4 मग +9 केल्यावर 37: (37 − 9) ÷ 4 = 7.
  • मध्यम: ×3 मग −5 केल्यावर 22: (22 + 5) ÷ 3 = 9.
  • परीक्षेतील प्रकार: संख्येचे निम्मे + 6 = 15: (15 − 6) × 2 = 18.
लक्षात ठेवा

n रद्द झाला तर कोणतीही संख्या धरली तरी उत्तर तेच येते आणि यामुळेच युक्ती जादूसारखी वाटते.

सामान्य चूक

कंस विसरणे: "3 मिळवा मग 4 ने गुणा" म्हणजे 4(n + 3), 4n + 3 नाही.

शॉर्टकट

लिहा, सोपे करा, पाहा. आठवणीची युक्ती : "n आत गेला, n रद्द झाला की जादू बाहेर".

फरक ओळखा

मुद्दाn राहतोn रद्द होतो
उदाहरण2n(2n + 10) ÷ 2 − n = 5
उत्तर सुरुवातीच्या संख्येवर अवलंबून?होयनाही
उपयोगउत्तरावरून सुरुवात ओळखाउत्तर आधीच सांगा

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1व्यंजक लिहा: संख्येच्या तिप्पटीपेक्षा 5 जास्त.
  2. 26 पासून सुरू करा, 4 मिळवा, 3 ने गुणा, 12 वजा करा. निकाल काढा.
  3. 3संख्येला 5 ने गुणून 2 मिळवले तर 37. संख्या काढा.
मध्यम
  1. 42(n + 5) − 10 सोपे करा.
  2. 5n धरा, 9 मिळवा, दुप्पट करा, 18 वजा करा, निम्मे करा. n च्या रूपात निकाल काय?
  3. 6संख्येला 3 ने गुणून 8 वजा केल्यास 31. संख्या काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7n धरा, 4 ने गुणा, 20 मिळवा, 4 ने भागा, n वजा करा. निकाल काढा.
  2. 8संख्येला 6 ने गुणून 14 वजा करून निम्मे केल्यास 20. संख्या काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 13n + 5
  2. 218
  3. 37
  4. 42n
  5. 5n
  6. 613
  7. 75
  8. 89

संख्या पिरॅमिड

रोजच्या जीवनातून

दुकानात डबे असे रचतात की प्रत्येक डबा खालच्या दोन डब्यांवर टेकतो. संख्या पिरॅमिडमध्ये प्रत्येक चौकटीत खालच्या दोन चौकटींची बेरीज असते.

सोपी व्याख्या

3 ओळींच्या पिरॅमिडची तळाची ओळ a, b, c असेल तर मधली ओळ a + b, b + c आणि वर a + 2b + c. 4 ओळींचा पिरॅमिड, तळ a, b, c, d: वर a + 3b + 3c + d.

12572342 + 3 = 5, 3 + 4 = 7, 5 + 7 = 12

आकृतीत : तळ 2, 3, 4 पासून 5, 7 आणि मग 12. तपासा: 2 + 2 × 3 + 4 = 12.

नियम 1 : वर भरा — शेजारच्या प्रत्येक जोडीची बेरीज करून वरची चौकट भरा.

Live आकृती

संख्या पिरॅमिड

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

आकृतीत : पिरॅमिड जसे जोडतो तसे सजातीय पदे एकत्र करा.

  • सोपे: तळ 2, 5, 3: मधली 7, 8; वर 15.
  • मध्यम: तळ 4, 1, 6: मधली 5, 7; वर 12.
  • परीक्षेतील प्रकार: तळ 1, 9, 2: मधली 10, 11; वर 21.

नियम 2 : गहाळ संख्या शोधा — वर = a + 2b + c वापरून गहाळ अक्षर सोडवा.

  • सोपे: वर 22, तळ 3, ?, 5: 3 + 2b + 5 = 22, म्हणून b = 7.
  • मध्यम: वर 30, मधली डावी 14: मधली उजवी 30 − 14 = 16.
  • परीक्षेतील प्रकार: वर 17, तळ 2, 4, ?: 2 + 8 + c = 17, म्हणून c = 7.

नियम 3 : चार ओळी — तळाच्या मधल्या दोन संख्या प्रत्येकी 3 वेळा मोजल्या जातात.

  • सोपे: तळ 1, 2, 3, 4: 1 + 6 + 9 + 4 = 20.
  • मध्यम: तळ 2, 0, 1, 5: 2 + 0 + 3 + 5 = 10.
  • परीक्षेतील प्रकार: तळ 3, 1, 1, 3: 3 + 3 + 3 + 3 = 12.
लक्षात ठेवा

गणना 1, 2, 1 (तीन ओळी) आणि 1, 3, 3, 1 (चार ओळी) सांगतात की तळाची प्रत्येक संख्या वरच्या संख्येत किती वेळा वापरली जाते.

सामान्य चूक

तळाच्या सर्व संख्या एकदाच मिळवणे: 2 + 3 + 4 = 9, पण वर 12, कारण मधली संख्या दोनदा मोजली जाते.

शॉर्टकट

तीन ओळी: 1-2-1. चार ओळी: 1-3-3-1. आठवणीची युक्ती : "तीनला 121, चारला 1331".

फरक ओळखा

मुद्दा3 ओळींचा पिरॅमिड4 ओळींचा पिरॅमिड
वरची संख्याa + 2b + ca + 3b + 3c + d
उदाहरण तळाची ओळ2, 3, 41, 2, 3, 4
वर1220

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 13 ओळींच्या पिरॅमिडची तळाची ओळ 1, 4, 2. वरची संख्या काढा.
  2. 2मधली ओळ 6, 9. वरची संख्या काढा.
  3. 3तळाची ओळ 5, 5, 5. वरची संख्या काढा.
मध्यम
  1. 4वर 24 आणि तळाची ओळ 3, ?, 5. गहाळ संख्या काढा.
  2. 54 ओळींच्या पिरॅमिडची तळाची ओळ 1, 1, 1, 1. वरची संख्या काढा.
  3. 6वर 30 आणि मधल्या ओळीतील डावी संख्या 12. उजवी संख्या काढा.
आव्हानात्मक
  1. 74 ओळींच्या पिरॅमिडची तळाची प्रत्येक संख्या 2 ने वाढवली. वरची संख्या किती वाढते?
  2. 83 ओळींच्या पिरॅमिडमध्ये वर 40 आणि तळाची ओळ x, 6, x (दोन्ही बाजूंना सारखा x). x काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 111
  2. 215
  3. 320
  4. 48
  5. 58
  6. 618
  7. 716
  8. 814

चौकटी (ग्रिड) आणि दिनदर्शिका युक्त्या

रोजच्या जीवनातून

मित्र दिनदर्शिकेतील 2 × 2 चौकोन झाकतो आणि म्हणतो "चारही तारखांची बेरीज 52". तुम्ही लगेच सांगता की सर्वात लहान तारीख 9. दिनदर्शिकेत नमुना असतो: उजवीकडे एक पाऊल +1, एक ओळ खाली +7.

सोपी व्याख्या

वरची-डावी तारीख a असेल तर 2 × 2 चौकोनात a, a + 1, a + 7, a + 8, बेरीज 4a + 16. म्हणून a = (बेरीज − 16) ÷ 4.

aa + 1a + 7a + 84a + 16

आकृतीत : बेरीज: a + (a + 1) + (a + 7) + (a + 8) = 4a + 16.

नियम 1 : बेरजेवरून सुरुवात शोधा — 16 वजा करा आणि 4 ने भागा.

  • सोपे: बेरीज 76: (76 − 16) ÷ 4 = 15.
  • मध्यम: बेरीज 100: (100 − 16) ÷ 4 = 21.
  • परीक्षेतील प्रकार: बेरीज 44: (44 − 16) ÷ 4 = 7.

नियम 2 : इतर आकार — प्रत्येक तारीख a वापरून लिहा, मग मिळवा. 3 × 3 चौकोनाची बेरीज मधल्या तारखेच्या 9 पट.

  • सोपे: 5 पासून एका स्तंभातील तीन तारखा: 5 + 12 + 19 = 36 = 3a + 21.
  • मध्यम: 10 पासून एका ओळीतील तीन तारखा: 10 + 11 + 12 = 33 = 3a + 3.
  • परीक्षेतील प्रकार: मधली 16 असलेला 3 × 3 चौकोन: 9 × 16 = 144.

नियम 3 : नियम असलेल्या चौकटी — प्रत्येक नियम समीकरण म्हणून लिहा आणि अज्ञात सोडवा.

  • सोपे: शेवटची = पहिल्या दोनांची बेरीज; 6, ?, 15: ? = 15 − 6 = 9.
  • मध्यम: प्रत्येक ओळीची बेरीज 15; 6, ?, 4: ? = 15 − 10 = 5.
  • परीक्षेतील प्रकार: प्रत्येक ओळीची बेरीज 21; ?, 9, 7: ? = 21 − 16 = 5.
लक्षात ठेवा

दिनदर्शिकेतील प्रत्येक 2 × 2 बेरीज 4 च्या पटीत असते, कारण 4a + 16 = 4(a + 4). 70 सारखी बेरीज अशक्य.

सामान्य चूक

खालच्या तारखेसाठी +10 वापरणे. दिनदर्शिकेत एक ओळ खाली म्हणजे +7 (आठवड्याचे दिवस), +10 नाही.

शॉर्टकट

उजवीकडे +1, खाली +7. आठवणीची युक्ती : "उजवीकडे एक पाऊल, खाली एक आठवडा".

फरक ओळखा

मुद्दा2 × 2 चौकोन3 × 3 चौकोन
बेरीज4a + 169 × मधली
सुरुवात शोधा(बेरीज − 16) ÷ 4मधली = बेरीज ÷ 9
उदाहरणसुरुवात 5: 36मधली 16: 144

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1दिनदर्शिकेत 12 च्या अगदी खाली कोणती तारीख?
  2. 22 × 2 चौकोनाची वरची-डावी तारीख 3. बेरीज काढा.
  3. 320 च्या अगदी उजवीकडील तारीख कोणती?
मध्यम
  1. 42 × 2 चौकोनाची बेरीज 60. सर्वात लहान तारीख काढा.
  2. 53 × 3 चौकोनाची मधली तारीख 10. बेरीज काढा.
  3. 6एका ओळीतील तीन तारखा 8 पासून. त्यांची बेरीज काढा.
आव्हानात्मक
  1. 72 × 2 चौकोनाची बेरीज 92. त्यातील सर्वात मोठी तारीख काढा.
  2. 82 × 2 दिनदर्शिका चौकोनाची बेरीज 70 असू शकते का?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 119
  2. 228
  3. 321
  4. 411
  5. 590
  6. 627
  7. 727
  8. 8नाही (a = 13.5 पूर्ण संख्या नाही)

सर्वात मोठा गुणाकार

रोजच्या जीवनातून

खेळात तुम्हाला तीन अंकांच्या पत्त्यांपैकी 2, 4 आणि 6 मिळतात. दोन अंकी संख्या गुणिले एक अंकी संख्या अशी मांडणी करायची. कोणती मांडणी सर्वात मोठा गुणाकार देते?

सोपी व्याख्या

तीन वेगवेगळ्या अंकांसाठी □□ × □ मध्ये सर्वात मोठा गुणाकार तेव्हा येतो जेव्हा सर्वात मोठा अंक गुणक असतो आणि उरलेले दोन अंक उतरत्या क्रमाने दोन अंकी संख्या बनवतात (मोठा अंक दशकस्थानी).

24 × 614426 × 410442 × 625246 × 29262 × 424864 × 2128

आकृतीत : सहा गुणाकार: सर्वात मोठा 252 म्हणजे 42 × 6.

नियम 1 : नियम वापरा — सर्वात मोठा अंक गुणक घ्या, उरलेले मोठ्यापासून लहानाकडे मांडा.

  • सोपे: अंक 3, 4, 8: 43 × 8 = 344.
  • मध्यम: अंक 1, 5, 9: 51 × 9 = 459.
  • परीक्षेतील प्रकार: अंक 2, 6, 7: 62 × 7 = 434.

नियम 2 : विस्तार करून तुलना करा — प्रत्येक दोन अंकी संख्या दशक आणि एकक अशी फोडा. पहिले भाग सारखे असतील तर दुसरे भाग तुलना करा.

  • सोपे: 42 × 6 = 240 + 12 आणि 62 × 4 = 240 + 8, म्हणून 42 × 6 जिंकतो.
  • मध्यम: 43 × 8 = 320 + 24 आणि 83 × 4 = 320 + 12.
  • परीक्षेतील प्रकार: 31 × 8 = 240 + 8 आणि 81 × 3 = 240 + 3.

नियम 3 : हे का चालते — p < q < r अंकांसाठी qp × r = 10qr + pr आणि rp × q = 10qr + pq. पहिली पदे सारखी; r > q असल्याने pr हे pq पेक्षा मोठे.

  • सोपे: अंक 2, 4, 6: फरक = 2 × (6 − 4) = 4 (252 − 248).
  • मध्यम: अंक 1, 3, 8: 248 − 243 = 5 = 1 × (8 − 3).
  • परीक्षेतील प्रकार: चार अंक 1, 2, 3, 4, □□ × □□ मध्ये: 41 × 32 = 1312.
लक्षात ठेवा

हा नियम कोणत्याही तीन वेगवेगळ्या अंकांसाठी चालतो. दोन दोन-अंकी संख्यांसाठी दोन सर्वात मोठे अंक दशकस्थानी ठेवा.

सामान्य चूक

सर्वात मोठा अंक दोन अंकी संख्येच्या दशकस्थानी ठेवणे. 2, 4, 6 साठी 62 × 4 = 248, जे 252 पेक्षा लहान.

शॉर्टकट

सर्वात मोठा अंक म्हणजे गुणक-साहेब; उरलेले मोठ्यापासून लहानाकडे रांगेत. आठवणीची युक्ती : "साहेब गुणतो, बाकी उतरतात".

फरक ओळखा

मुद्दासर्वात मोठा अंक गुणकसर्वात मोठा अंक दशकस्थानी
मांडणी42 × 662 × 4
गुणाकार252248
निकालसर्वात मोठालहान

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 12, 5, 8 हे अंक □□ × □ मध्ये. सर्वात मोठ्या गुणाकारासाठी गुणक कोणता?
  2. 23, 6, 7 अंकांनी □□ × □ मध्ये सर्वात मोठा गुणाकार काढा.
  3. 3मोठा कोणता, 41 × 6 की 61 × 4?
मध्यम
  1. 41, 6, 9 अंकांनी □□ × □ मध्ये सर्वात मोठा गुणाकार काढा.
  2. 543 × 8 हे 83 × 4 पेक्षा किती मोठे?
  3. 6(10q + p) × r चा विस्तार करा.
आव्हानात्मक
  1. 71, 2, 3, 4 प्रत्येकी एकदा □□ × □□ मध्ये वापरा. सर्वात मोठा गुणाकार काढा.
  2. 81, 8, 9 अंकांनी □□ × □ मध्ये सर्वात मोठा गुणाकार काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 18
  2. 2441
  3. 341 × 6
  4. 4549
  5. 512
  6. 610qr + pr
  7. 71312
  8. 8729

भाज्यतेच्या युक्त्या

रोजच्या जीवनातून

आशा म्हणते: "एक दोन अंकी संख्या लिहा, उदा. 83. उलटवून 38 करा. वजाबाकी: 83 − 38 = 45. 9 ने भागा." बाकी कधीच उरत नाही! बीजगणित ते स्पष्ट करते.

सोपी व्याख्या

दशक अंक a आणि एकक अंक b असलेली दोन अंकी संख्या 10a + b. तिची उलट संख्या 10b + a. फरक: 9a − 9b = 9(a − b). बेरीज: 11a + 11b = 11(a + b). 3 अंकी संख्या abc आणि तिच्या दोन फिरवलेल्या संख्यांची बेरीज 111(a + b + c).

83↔38−45÷ 9510a + b − (10b + a) = 9(a − b)

आकृतीत : 83 − 38 = 45 आणि 45 ÷ 9 = 5: अंकांचा फरक.

नियम 1 : उलट संख्येसोबत फरक — फरक हा अंकांच्या फरकाच्या 9 पट असतो.

  • सोपे: 83 − 38 = 45 = 9 × 5.
  • मध्यम: 91 − 19 = 72 = 9 × 8.
  • परीक्षेतील प्रकार: 52 − 25 = 27 = 9 × 3.

नियम 2 : उलट संख्येसोबत बेरीज — बेरीज ही अंकांच्या बेरजेच्या 11 पट असते.

  • सोपे: 42 + 24 = 66 = 11 × 6.
  • मध्यम: 19 + 91 = 110 = 11 × 10.
  • परीक्षेतील प्रकार: 65 + 56 = 121 = 11 × 11.

नियम 3 : फिरवलेल्या संख्या — abc + bca + cab = 111(a + b + c) = 3 × 37 × (a + b + c), म्हणून 3 आणि 37 ने भाग जातो.

  • सोपे: 123 + 231 + 312 = 666 = 37 × 18.
  • मध्यम: 245 + 452 + 524 = 1221 = 37 × 33.
  • परीक्षेतील प्रकार: 507 + 075 + 750 = 1332 = 37 × 36.
लक्षात ठेवा

10a + b = 9a + (a + b). 9a नेहमी 9 आणि 3 चा पट, म्हणून 9 आणि 3 ने भाज्यता अंकांच्या बेरजेवर ठरते.

सामान्य चूक

काही उदाहरणे पाहून सिद्ध झाले असे म्हणणे. उदाहरणे फक्त सुचवतात; a आणि b वापरून बीजगणित प्रत्येक संख्येसाठी सिद्ध करते.

शॉर्टकट

फरक: 9. बेरीज: 11. फिरवलेली: 111. आठवणीची युक्ती : "वजा 9, अधिक 11, फिरव 111".

फरक ओळखा

मुद्दाउलट फरकउलट बेरीज
व्यंजक9(a − b)11(a + b)
नेहमी भाग जाते911
52 चे उदाहरण2777

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 183 घ्या, उलट 38, वजा करा आणि 9 ने भागा. भागाकार काढा.
  2. 242 आणि 24 मिळवा, मग 11 ने भागा. भागाकार काढा.
  3. 3738 ही संख्या 9 ने भाग जाते का?
मध्यम
  1. 4123 आणि त्याच्या दोन फिरवलेल्या संख्या मिळवा. बेरीज 37 ने भागा.
  2. 510a + b आणि तिच्या उलट संख्येचा फरक लिहा.
  3. 6123 ही 3 ने भाग जाते का? 9 ने?
आव्हानात्मक
  1. 791 आणि त्याची उलट संख्या यांचा फरक 72. 72 हे अंकांच्या फरकाच्या 9 पट म्हणून लिहा.
  2. 8दोन अंकी संख्या आणि तिच्या उलट संख्येची बेरीज नेहमी 11 ने का भाग जाते?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 15
  2. 26
  3. 3होय (7 + 3 + 8 = 18)
  4. 418
  5. 59a − 9b
  6. 6फक्त 3 ने (अंकांची बेरीज 6)
  7. 772 = 9 × 8
  8. 8कारण ती 11(a + b) इतकी असते