आयत, चौरस आणि पायवाटा
शेतकऱ्याकडे दोन भूखंड आहेत: 9 मी × 5 मी आणि 7 मी × 6 मी. कोणाला जास्त बी लागेल ते पाहायला एकक चौरस मोजा: 9 × 5 = 45 आणि 7 × 6 = 42. पहिला भूखंड मोठा.
क्षेत्रफळ म्हणजे प्रदेश भरणाऱ्या एकक चौरसांची संख्या. आयत: लांबी × रुंदी. चौरस: बाजू × बाजू. परिमिती फक्त सीमेची लांबी आहे आणि ती क्षेत्रफळ मोजू शकत नाही. पायवाटेचे क्षेत्रफळ = बाहेरच्या आकाराचे − आतल्या आकाराचे क्षेत्रफळ.
आकृतीत : पायवाट: 240 − 128 = 112 चौरस एकक (बाहेरचा 20 × 12, आतला 16 × 8).
नियम 1 : क्षेत्रफळ आणि गहाळ बाजू — क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी. गहाळ बाजूसाठी क्षेत्रफळाला ज्ञात बाजूने भागा.
आयत, चौरस आणि पायवाटा
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडाआकृतीत : बाजू बदला आणि क्षेत्रफळ पाहा.
- सोपे: 12 मी × 5 मी: 12 × 5 = 60 मी².
- मध्यम: क्षेत्रफळ 84 मी², लांबी 12 मी: रुंदी 84 ÷ 12 = 7 मी.
- परीक्षेतील प्रकार: 9 cm बाजूचा चौरस: 9 × 9 = 81 cm².
नियम 2 : क्षेत्रफळ म्हणजे परिमिती नव्हे — दोन आकारांची परिमिती सारखी पण क्षेत्रफळ वेगळे असू शकते, किंवा मोठी परिमिती आणि लहान क्षेत्रफळ.
- सोपे: 10 × 2: परिमिती 24, क्षेत्रफळ 20. 6 × 5: परिमिती 22, क्षेत्रफळ 30.
- मध्यम: 11 × 1 आणि 6 × 6 दोन्हींची परिमिती 24, पण क्षेत्रफळे 11 आणि 36.
- परीक्षेतील प्रकार: समान परिमितीच्या आयतांत चौरसाचे क्षेत्रफळ सर्वात जास्त.
नियम 3 : पायवाटेचे क्षेत्रफळ — बाहेरचा आयत वजा आतला आयत. बाहेर w रुंदीची पायवाट असेल तर प्रत्येक बाजूला w वाढते.
- सोपे: 18 मी × 10 मी उद्यानाबाहेर 1 मी पायवाट: 20 × 12 − 18 × 10 = 60 मी².
- मध्यम: 24 मी × 16 मी भूखंडात आत 1 मी पायवाट: 384 − 22 × 14 = 76 मी².
- परीक्षेतील प्रकार: 10 मी चौरसाबाहेर 2 मी पायवाट: 14 × 14 − 100 = 96 मी².
क्षेत्रफळ चौरस एककांत मोजतात: 1 मी² = 100 × 100 = 10000 cm². तुलना करण्यापूर्वी एकके एकसारखी करा.
परिमितीलाच क्षेत्रफळ मानणे, किंवा क्षेत्रफळासाठी cm² ऐवजी cm लिहिणे.
क्षेत्रफळ: फरश्या पसरा (लांबी × रुंदी). पायवाट: मोठे वजा लहान. आठवणीची युक्ती : "आत फरश्या, पायवाटेला मोठे वजा लहान".
फरक ओळखा
| मुद्दा | क्षेत्रफळ | परिमिती |
|---|---|---|
| काय मोजते | आतील जागा | सीमेची लांबी |
| एकक | cm² | cm |
| आयत 12 × 5 | 60 | 34 |
सरावासाठी प्रश्न
- 114 मी × 5 मी आयताचे क्षेत्रफळ काढा.
- 211 मी बाजूच्या चौरसाचे क्षेत्रफळ काढा.
- 3आयताचे क्षेत्रफळ 96 मी² आणि लांबी 12 मी. रुंदी काढा.
- 44 मी² चे cm² करा.
- 510 मी × 6 मी उद्यानाबाहेर सर्व बाजूंनी 2 मी रुंद पायवाट आहे. पायवाटेचे क्षेत्रफळ काढा.
- 67 मी × 5 मी फरशीला प्रति मी² ₹40 दराने फरशी बसवली. खर्च काढा.
- 7आयताचे क्षेत्रफळ 72 cm² आणि लांबी 12 cm. त्याची परिमिती काढा.
- 8आयताची लांबी दुप्पट आणि रुंदी तिप्पट केली. क्षेत्रफळ किती पट होते?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 170
- 2121
- 38
- 440000 cm²
- 580 m²
- 6₹1400
- 736 cm
- 86 पट
त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ
त्रिकोणी फलक हा तेवढ्याच पाया आणि उंचीच्या आयताकृती फलकाच्या अगदी निम्मा असतो. म्हणून त्याला रंगही निम्मा लागतो.
त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = ½ × पाया × उंची; उंची म्हणजे पायापासून समोरच्या शिरोबिंदूपर्यंतचे लंब अंतर. कोणतीही बाजू पाया होऊ शकते. एकाच पायावरील आणि एकाच समांतर रेषांमधील त्रिकोणांची क्षेत्रफळे समान असतात आणि मध्यगा त्रिकोणाचे समान क्षेत्रफळाचे दोन त्रिकोण करते.
आकृतीत : ठिपक्यांची लंब रेषा म्हणजे उंची; तिरकी बाजू नव्हे.
नियम 1 : क्षेत्रफळ काढा — पाया × उंची करा, मग निम्मे घ्या.
त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडाआकृतीत : शिरोबिंदू समांतर रेषेवर सरकवा: क्षेत्रफळ बदलत नाही.
- सोपे: पाया 16, उंची 5: ½ × 80 = 40 cm².
- मध्यम: पाया 9, उंची 8: 36 cm².
- परीक्षेतील प्रकार: काटकोन त्रिकोणाच्या लहान बाजू 6 आणि 8: ½ × 6 × 8 = 24 cm².
नियम 2 : पाया किंवा उंची शोधा — क्षेत्रफळ दुप्पट करा, मग ज्ञात बाजूने भागा.
- सोपे: क्षेत्रफळ 45, उंची 9: पाया 90 ÷ 9 = 10.
- मध्यम: क्षेत्रफळ 28, पाया 8: उंची 56 ÷ 8 = 7.
- परीक्षेतील प्रकार: क्षेत्रफळ 60, पाया 15: उंची 120 ÷ 15 = 8.
नियम 3 : समान पाया, समान उंची — समान पाया आणि समान उंची म्हणजे आकार वेगळे दिसले तरी समान क्षेत्रफळ.
- सोपे: 12 पायावरील आणि 5 अंतरावरील रेषांमधील दोन त्रिकोण: दोन्ही ½ × 12 × 5 = 30.
- मध्यम: 70 क्षेत्रफळाच्या त्रिकोणाची मध्यगा: प्रत्येक भाग 35.
- परीक्षेतील प्रकार: समद्विभुज त्रिकोण 10, 10, 12, बाजू 12 वरील उंची 8: ½ × 12 × 8 = 48.
तीनपैकी कोणतीही बाजू पाया घेता येते; संबंधित उंची बदलते पण क्षेत्रफळ तेच राहते.
तिरकी बाजू उंची म्हणून घेणे. उंची पायाला लंब असायला हवी.
त्रिकोण म्हणजे अर्धा डबा. आठवणीची युक्ती : "पाया-गुणिले-उंचीचे निम्मे: आयताला कर्णाने कापा".
फरक ओळखा
| मुद्दा | आयत | त्रिकोण (समान पाया, उंची) |
|---|---|---|
| क्षेत्रफळ | पाया × उंची | ½ × पाया × उंची |
| पाया 12, उंची 5 | 60 | 30 |
| तुलना | पूर्ण | निम्मे |
सरावासाठी प्रश्न
- 1पाया 16 cm आणि उंची 5 cm असलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढा.
- 2पाया 9 cm आणि उंची 8 cm असल्यास क्षेत्रफळ काढा.
- 345 cm² क्षेत्रफळाच्या त्रिकोणाचा पाया 10 cm. उंची काढा.
- 4काटकोन त्रिकोणाच्या लहान बाजू 6 cm आणि 8 cm. क्षेत्रफळ काढा.
- 570 cm² क्षेत्रफळाच्या त्रिकोणाला मध्यगा विभागते. प्रत्येक भागाचे क्षेत्रफळ काढा.
- 660 cm² क्षेत्रफळाच्या त्रिकोणाचा पाया 15 cm. उंची काढा.
- 7त्रिकोणाचा पाया 3 पट झाला आणि उंची तीच. क्षेत्रफळ किती पट?
- 8समद्विभुज त्रिकोणाच्या बाजू 10, 10 आणि 12 cm; 12 cm बाजूवरील उंची 8 cm. क्षेत्रफळ काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 140
- 236
- 39
- 424
- 535
- 68
- 73 पट
- 848
भाग पाडून बहुभुजाचे क्षेत्रफळ
शेतकऱ्याचे शेत वेडेवाकडे आहे. तो त्यातून एक लांब रेषा चालतो, प्रत्येक कोपरा त्या रेषेपासून किती दूर आहे ते मोजतो आणि संपूर्ण आकाराच्या सूत्राशिवाय क्षेत्रफळ काढतो.
बहुभुजाचे क्षेत्रफळ काढायला त्याचे त्रिकोण, आयत किंवा समलंब चौकोन करा, प्रत्येकाचे क्षेत्रफळ काढून मिळवा (किंवा कापलेला भाग वजा करा). कर्ण d आणि इतर दोन शिरोबिंदूंपासूनचे लंब h1, h2 असलेल्या चौकोनाचे क्षेत्रफळ = ½ × d × (h1 + h2). कर्ण लंब असतील तर क्षेत्रफळ = ½ × d1 × d2.
आकृतीत : एकाच कर्णावरील दोन त्रिकोण: ½ × d × h1 + ½ × d × h2.
नियम 1 : कर्ण आणि लंब — दोन्ही लंब मिळवा, कर्णाने गुणा, निम्मे घ्या.
- सोपे: d = 30, h1 = 6, h2 = 4: ½ × 30 × 10 = 150.
- मध्यम: d = 16, h1 = 5, h2 = 7: ½ × 16 × 12 = 96.
- परीक्षेतील प्रकार: d = 24, h1 = 9, h2 = 3: ½ × 24 × 12 = 144.
नियम 2 : आकार मिळवा किंवा वजा करा — आकृती साध्या आकारांत कापून मिळवा, किंवा मोठा आयत घेऊन हरवलेला कोपरा वजा करा.
- सोपे: आयत 9 × 4 अधिक त्रिकोण (पाया 9, उंची 5): 36 + 22.5 = 58.5.
- मध्यम: L-आकार: 14 × 8 वजा 6 × 3 = 112 − 18 = 94.
- परीक्षेतील प्रकार: घर: आयत 8 × 5 अधिक छपराचा त्रिकोण (पाया 8, उंची 3): 40 + 12 = 52.
नियम 3 : लंब कर्ण आणि त्रिकोणांची संख्या — कर्णांच्या गुणाकाराचे निम्मे. n बाजूंचा बहुभुज एका शिरोबिंदूपासून n − 2 त्रिकोणांत विभागतो.
- सोपे: कर्ण 18 आणि 10: ½ × 18 × 10 = 90.
- मध्यम: षटकोनाचे 6 − 2 = 4 त्रिकोण होतात.
- परीक्षेतील प्रकार: सप्तकोनाचे 7 − 2 = 5 त्रिकोण होतात.
तुम्हाला माहीत असलेल्या लांबींचा वापर होईल असा भाग पाडा: दोन लंबांसह कर्ण बहुधा सर्वात जलद.
कापलेला भाग वजा करायला विसरणे, किंवा लंब उंचीच्या जागी तिरकी बाजू वापरणे.
तोडा, सोडवा, मिळवा (किंवा वजा करा). आठवणीची युक्ती : "तोडा-सोडवा-जोडा".
फरक ओळखा
| मुद्दा | मिळवण्याची पद्धत | वजा करण्याची पद्धत |
|---|---|---|
| केव्हा | आकार तुकड्यांत विभागतो | आयतातून कोपरा गेलेला आहे |
| उदाहरण | घराचा आकार: 40 + 12 | L-आकार: 112 − 18 |
| निकाल | 52 | 94 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1चौकोनाचा कर्ण 20 मी आणि लंब 3 मी व 5 मी. क्षेत्रफळ काढा.
- 2षटकोन एका शिरोबिंदूपासून किती त्रिकोणांत विभागतो?
- 3चौकोनाचे कर्ण लंब, 12 cm आणि 7 cm. क्षेत्रफळ काढा.
- 4L-आकार म्हणजे 16 मी × 9 मी आयतातून 7 मी × 4 मी कोपरा काढलेला. क्षेत्रफळ काढा.
- 5घराचा आकार म्हणजे 10 मी × 4 मी आयत आणि पाया 10 मी, उंची 3 मी छपराचा त्रिकोण. क्षेत्रफळ काढा.
- 6भूखंडाचा कर्ण 36 मी आणि लंब 7 मी व 11 मी. क्षेत्रफळ काढा.
- 714 cm बाजूच्या चौरसाच्या चारही कोपऱ्यांतून 3 cm लहान बाजू असलेला काटकोन त्रिकोण कापला. उरलेले क्षेत्रफळ काढा.
- 8भूखंडाचा कर्ण 30 मी आणि लंब 8 मी व 12 मी. तो प्रति मी² ₹25 दराने विकला. किंमत काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 180
- 24 त्रिकोण
- 342
- 4116
- 555
- 6324
- 7178
- 8₹7500
समांतरभुज चौकोन आणि समभुज चौकोन
समांतरभुज चौकोनी कागदाच्या तिरक्या टोकाचा त्रिकोण कापून दुसऱ्या टोकाला जोडा: तोच पाया आणि तीच उंची असलेला आयत मिळतो. क्षेत्रफळ बदलले नाही.
समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = पाया × उंची (लंब उंची, तिरकी बाजू नव्हे). समभुज चौकोन हा समांतरभुज चौकोनच, म्हणून त्यालाही पाया × उंची चालते. कर्ण वापरून: समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = ½ × d1 × d2. कर्ण समांतरभुज चौकोनाचे दोन समान त्रिकोण करतो.
आकृतीत : तिरका तुकडा पलीकडे सरकवा: पाया × उंची.
नियम 1 : पाया गुणिले उंची — पायाला लंब उंचीने गुणा.
समांतरभुज चौकोन आणि समभुज चौकोन
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडाआकृतीत : तिरकेपणा बदला पण उंची तीच ठेवा: क्षेत्रफळ तेच राहते.
- सोपे: पाया 18, उंची 5: 90 cm².
- मध्यम: पाया 11, उंची 8: 88 cm².
- परीक्षेतील प्रकार: पाया 25, उंची 4, तिरकी बाजू 6: 100 cm² (तिरकी बाजू लागत नाही).
नियम 2 : गहाळ पाया किंवा उंची शोधा — क्षेत्रफळाला ज्ञात राशीने भागा.
- सोपे: क्षेत्रफळ 72, पाया 9: उंची 8.
- मध्यम: क्षेत्रफळ 90, उंची 6: पाया 15.
- परीक्षेतील प्रकार: बाजू 15 आणि 9, 15 बाजूवरील उंची 6: क्षेत्रफळ 90, म्हणून 9 बाजूवरील उंची 10.
नियम 3 : कर्ण असलेला समभुज चौकोन — दोन्ही कर्णांच्या गुणाकाराचे निम्मे. कर्ण एकमेकांना काटकोनात दुभागतात.
- सोपे: कर्ण 14 आणि 10: ½ × 14 × 10 = 70.
- मध्यम: क्षेत्रफळ 96, एक कर्ण 16: दुसरा 2 × 96 ÷ 16 = 12.
- परीक्षेतील प्रकार: बाजू 17, एक कर्ण 30: अर्ध-कर्ण 15 आणि 8, म्हणून दुसरा कर्ण 16 आणि क्षेत्रफळ ½ × 30 × 16 = 240.
समांतरभुज चौकोनाच्या पायावरील आणि त्याच समांतर रेषांमधील त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ त्याच्या निम्मे असते.
क्षेत्रफळासाठी दोन शेजारच्या बाजू (पाया × तिरकी बाजू) गुणणे. लंब उंची वापरा.
तिरका सरकवा, सरळ उंची वापरा. आठवणीची युक्ती : "समांतरभुज: सरकवा; समभुज: आडव्या रेषांचे निम्मे".
फरक ओळखा
| मुद्दा | समांतरभुज चौकोन | समभुज चौकोन (कर्णांसह) |
|---|---|---|
| क्षेत्रफळ | पाया × उंची | ½ × d1 × d2 |
| उदाहरण | 18 × 5 | ½ × 14 × 10 |
| निकाल | 90 | 70 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1समांतरभुज चौकोनाचा पाया 12 cm आणि उंची 9 cm. क्षेत्रफळ काढा.
- 2समभुज चौकोनाचे कर्ण 8 cm आणि 6 cm. क्षेत्रफळ काढा.
- 360 cm² क्षेत्रफळाच्या समांतरभुज चौकोनाचा पाया 12 cm. उंची काढा.
- 484 cm² क्षेत्रफळाच्या समांतरभुज चौकोनाला कर्ण दोन त्रिकोणांत विभागतो. प्रत्येकाचे क्षेत्रफळ काढा.
- 5समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ 120 cm² आणि एक कर्ण 24 cm. दुसरा कर्ण काढा.
- 6समांतरभुज चौकोनाच्या बाजू 15 cm आणि 9 cm; 15 cm बाजूवरील उंची 6 cm. 9 cm बाजूवरील उंची काढा.
- 7समभुज चौकोनाची बाजू 10 cm आणि एक कर्ण 16 cm. क्षेत्रफळ काढा.
- 8समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ 90 cm². त्याच पायावरील आणि त्याच समांतर रेषांमधील त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1108
- 224
- 35
- 442
- 510
- 610
- 796
- 845
समलंब चौकोन आणि प्रत्यक्ष जीवनातील क्षेत्रफळे
शेताच्या दोन समांतर कडा 50 मी आणि 30 मी असून त्यांच्यात 20 मी अंतर आहे. सरासरी रुंदी (50 + 30) ÷ 2 = 40 मी धरली तर शेत 40 मी × 20 मी आयतासारखे: 800 मी².
समलंब चौकोनाला समांतर बाजूंची एक जोडी असते. क्षेत्रफळ = ½ × (समांतर बाजूंची बेरीज) × उंची. समलंब चौकोनाच्या दोन प्रती (एक उलटी) जोडल्यावर पाया a + b असलेला समांतरभुज चौकोन बनतो; त्यातून सूत्र मिळते. उपयुक्त एकके: 1 मी² = 10000 cm², 1 चौरस फूट = 144 चौरस इंच, 1 एकर = 43560 चौरस फूट.
आकृतीत : समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ (a + b) × h, म्हणून एक समलंब चौकोन त्याचा निम्मा.
नियम 1 : क्षेत्रफळ काढा — समांतर बाजू मिळवा, उंचीने गुणा, निम्मे घ्या.
- सोपे: बाजू 13 आणि 7, उंची 6: ½ × 20 × 6 = 60.
- मध्यम: बाजू 18 आणि 10, उंची 5: ½ × 28 × 5 = 70.
- परीक्षेतील प्रकार: बाजू 9 आणि 3, उंची 8: ½ × 12 × 8 = 48.
नियम 2 : गहाळ भाग शोधा — क्षेत्रफळ दुप्पट करा, उंचीने भागा: समांतर बाजूंची बेरीज मिळते.
- सोपे: क्षेत्रफळ 80, उंची 8, एक बाजू 12: बेरीज 20, दुसरी बाजू 8.
- मध्यम: क्षेत्रफळ 75, बाजू 12 आणि 18: उंची 150 ÷ 30 = 5.
- परीक्षेतील प्रकार: क्षेत्रफळ 54, उंची 6: समांतर बाजूंची बेरीज 18.
नियम 3 : एकके बदला — लांबीच्या गुणकाचा वर्ग करा: 1 फूट = 12 इंच म्हणून 1 चौरस फूट = 12 × 12 = 144 चौरस इंच.
- सोपे: 2 चौरस फूट = 2 × 144 = 288 चौरस इंच.
- मध्यम: 3 मी² = 3 × 10000 = 30000 cm².
- परीक्षेतील प्रकार: 3 एकर = 3 × 43560 = 130680 चौरस फूट.
दोन्ही समांतर बाजू समान झाल्या तर समलंब चौकोन समांतरभुज चौकोन होतो. एक बाजू 0 झाली तर त्रिकोण होतो: एकच सूत्र दोन्हींना लागू.
तिरकी बाजू उंची म्हणून वापरणे, किंवा एकाच गणितात एकके (फूट आणि इंच) मिसळणे.
सरासरी रुंदी गुणिले उंची. आठवणीची युक्ती : "समांतरांची सरासरी, गुणिले अंतर".
फरक ओळखा
| मुद्दा | समलंब चौकोन | समांतरभुज चौकोन |
|---|---|---|
| क्षेत्रफळ | ½ × (a + b) × h | पाया × h |
| समांतर बाजू | दोन वेगळ्या | दोन्ही जोड्या समान |
| बाजू 12 आणि 8, उंची 5 | 50 | 60 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1समलंब चौकोनाच्या समांतर बाजू 15 cm आणि 9 cm, उंची 6 cm. क्षेत्रफळ काढा.
- 2समांतर बाजू 10 cm आणि 6 cm, उंची 3 cm. क्षेत्रफळ काढा.
- 31 चौरस फुटात किती चौरस इंच असतात?
- 4105 cm² क्षेत्रफळाच्या समलंब चौकोनाची उंची 7 cm. समांतर बाजूंची बेरीज काढा.
- 5150 cm² क्षेत्रफळ, 10 cm उंचीच्या समलंब चौकोनाची एक समांतर बाजू 18 cm. दुसरी काढा.
- 65 मी² चे cm² करा.
- 7समलंब चौकोनी शेताच्या समांतर बाजू 50 मी आणि 30 मी, अंतर 20 मी. नांगरणीला प्रति मी² ₹10 खर्च. एकूण खर्च काढा.
- 8समलंब चौकोनाची एक समांतर बाजू 0 झाली तर सूत्र ½ × (a + b) × h कोणत्या आकाराचे क्षेत्रफळ देते?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 172
- 224
- 3144 चौरस इंच
- 430
- 512
- 650000 cm²
- 7₹8000
- 8त्रिकोणाचे