आयत, वर्ग और पथ
किसान के पास दो खेत हैं: 9 m × 5 m और 7 m × 6 मी। किसे अधिक बीज लगेगा यह जानने के लिए इकाई वर्ग गिनें: 9 × 5 = 45 और 7 × 6 = 42। पहला खेत बड़ा है।
क्षेत्रफल उन इकाई वर्गों की संख्या है जो क्षेत्र को भरते हैं। आयत: लंबाई × चौड़ाई। वर्ग: भुजा × भुजा। परिमाप केवल सीमा की लंबाई है और क्षेत्रफल नहीं माप सकता। पथ का क्षेत्रफल = बाहरी आकृति का − भीतरी आकृति का क्षेत्रफल।
आकृति में : पथ: 240 − 128 = 112 वर्ग इकाई (बाहरी 20 × 12, भीतरी 16 × 8)।
नियम 1 : क्षेत्रफल और लुप्त भुजा — क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई। लुप्त भुजा के लिए क्षेत्रफल को ज्ञात भुजा से भाग दें।
आयत, वर्ग और पथ
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंआकृति में : भुजाएँ बदलें और क्षेत्रफल देखें।
- आसान: 12 m × 5 m: 12 × 5 = 60 m²।
- मध्यम: क्षेत्रफल 84 m², लंबाई 12 m: चौड़ाई 84 ÷ 12 = 7 मी।
- परीक्षा-प्रकार: 9 cm भुजा का वर्ग: 9 × 9 = 81 cm²।
नियम 2 : क्षेत्रफल परिमाप नहीं है — दो आकृतियों का परिमाप समान पर क्षेत्रफल अलग हो सकता है, या अधिक परिमाप और कम क्षेत्रफल।
- आसान: 10 × 2: परिमाप 24, क्षेत्रफल 20। 6 × 5: परिमाप 22, क्षेत्रफल 30।
- मध्यम: 11 × 1 और 6 × 6 दोनों का परिमाप 24, पर क्षेत्रफल 11 और 36।
- परीक्षा-प्रकार: समान परिमाप वाले आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल सबसे अधिक।
नियम 3 : पथ का क्षेत्रफल — बाहरी आयत घटा भीतरी आयत। बाहर w चौड़ाई का पथ हो तो हर ओर w बढ़ता है।
- आसान: 18 m × 10 m के उद्यान के बाहर 1 m पथ: 20 × 12 − 18 × 10 = 60 m²।
- मध्यम: 24 m × 16 m भूखंड में भीतर 1 m पथ: 384 − 22 × 14 = 76 m²।
- परीक्षा-प्रकार: 10 m के वर्ग के बाहर 2 m पथ: 14 × 14 − 100 = 96 m²।
क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में मापते हैं: 1 m² = 100 × 100 = 10000 cm²। तुलना से पहले इकाइयाँ एक करें।
परिमाप को ही क्षेत्रफल मान लेना, या क्षेत्रफल के लिए cm² की जगह cm लिखना।
क्षेत्रफल: टाइलें बिछाओ (लंबाई × चौड़ाई)। पथ: बड़ा घटा छोटा। याद रखने की युक्ति : "भीतर टाइलें, पथ के लिए बड़ा घटा छोटा"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | क्षेत्रफल | परिमाप |
|---|---|---|
| क्या मापता है | भीतर की जगह | सीमा की लंबाई |
| इकाई | cm² | cm |
| आयत 12 × 5 | 60 | 34 |
अभ्यास के प्रश्न
- 114 m × 5 m के आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 211 m भुजा के वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 3एक आयत का क्षेत्रफल 96 m² और लंबाई 12 m है। चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
- 44 m² को cm² में बदलिए।
- 510 m × 6 m के उद्यान के बाहर चारों ओर 2 m चौड़ा पथ है। पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 67 m × 5 m फर्श पर प्रति m² ₹40 की दर से टाइल लगाई। खर्च ज्ञात कीजिए।
- 7एक आयत का क्षेत्रफल 72 cm² और लंबाई 12 cm है। उसका परिमाप ज्ञात कीजिए।
- 8आयत की लंबाई दुगुनी और चौड़ाई तिगुनी की गई। क्षेत्रफल कितना गुना हो जाता है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 170
- 2121
- 38
- 440000 cm²
- 580 m²
- 6₹1400
- 736 cm
- 86 गुना
त्रिभुज का क्षेत्रफल
त्रिकोणाकार पटल उसी आधार और ऊँचाई वाले आयताकार पटल का ठीक आधा होता है। इसलिए उस पर रंग भी आधा लगता है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई; ऊँचाई आधार से सामने के शीर्ष तक की लंबवत दूरी है। कोई भी भुजा आधार हो सकती है। एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच के त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान होते हैं और माध्यिका त्रिभुज को समान क्षेत्रफल के दो त्रिभुजों में बाँटती है।
आकृति में : बिंदुदार लंब ऊँचाई है; तिरछी भुजा नहीं।
नियम 1 : क्षेत्रफल ज्ञात करें — आधार × ऊँचाई करें, फिर आधा लें।
त्रिभुज का क्षेत्रफल
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंआकृति में : शीर्ष को समांतर रेखा पर सरकाएँ: क्षेत्रफल नहीं बदलता।
- आसान: आधार 16, ऊँचाई 5: ½ × 80 = 40 cm²।
- मध्यम: आधार 9, ऊँचाई 8: 36 cm²।
- परीक्षा-प्रकार: समकोण त्रिभुज की छोटी भुजाएँ 6 और 8: ½ × 6 × 8 = 24 cm²।
नियम 2 : आधार या ऊँचाई ज्ञात करें — क्षेत्रफल को दुगुना करें, फिर ज्ञात भुजा से भाग दें।
- आसान: क्षेत्रफल 45, ऊँचाई 9: आधार 90 ÷ 9 = 10।
- मध्यम: क्षेत्रफल 28, आधार 8: ऊँचाई 56 ÷ 8 = 7।
- परीक्षा-प्रकार: क्षेत्रफल 60, आधार 15: ऊँचाई 120 ÷ 15 = 8।
नियम 3 : समान आधार, समान ऊँचाई — समान आधार और समान ऊँचाई यानी आकृतियाँ अलग दिखें तो भी समान क्षेत्रफल।
- आसान: 12 के आधार पर और 5 दूर की रेखाओं के बीच के दो त्रिभुज: दोनों ½ × 12 × 5 = 30।
- मध्यम: 70 क्षेत्रफल के त्रिभुज की माध्यिका: प्रत्येक भाग 35।
- परीक्षा-प्रकार: समद्विबाहु त्रिभुज 10, 10, 12, भुजा 12 पर ऊँचाई 8: ½ × 12 × 8 = 48।
तीनों में से कोई भी भुजा आधार ले सकते हैं; संबंधित ऊँचाई बदलती है पर क्षेत्रफल वही रहता है।
तिरछी भुजा को ऊँचाई मान लेना। ऊँचाई आधार पर लंब होनी चाहिए।
त्रिभुज यानी आधा डिब्बा। याद रखने की युक्ति : "आधार × ऊँचाई का आधा: आयत को विकर्ण से काटो"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | आयत | त्रिभुज (समान आधार, ऊँचाई) |
|---|---|---|
| क्षेत्रफल | आधार × ऊँचाई | ½ × आधार × ऊँचाई |
| आधार 12, ऊँचाई 5 | 60 | 30 |
| तुलना | पूर्ण | आधा |
अभ्यास के प्रश्न
- 1आधार 16 cm और ऊँचाई 5 cm वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 2आधार 9 cm और ऊँचाई 8 cm हो तो क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 345 cm² क्षेत्रफल वाले त्रिभुज का आधार 10 cm है। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
- 4एक समकोण त्रिभुज की छोटी भुजाएँ 6 cm और 8 cm हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 5माध्यिका 70 cm² क्षेत्रफल के त्रिभुज को बाँटती है। प्रत्येक भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 660 cm² क्षेत्रफल वाले त्रिभुज का आधार 15 cm है। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
- 7त्रिभुज का आधार 3 गुना हुआ और ऊँचाई वही। क्षेत्रफल कितना गुना?
- 8समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाएँ 10, 10 और 12 cm हैं; 12 cm वाली भुजा पर ऊँचाई 8 cm। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 140
- 236
- 39
- 424
- 535
- 68
- 73 गुना
- 848
भागों में बाँटकर बहुभुज का क्षेत्रफल
किसान का खेत बेढंगा है। वह उसके आर-पार एक लंबी रेखा चलता है, हर कोना उस रेखा से कितनी दूर है यह मापता है और पूरी आकृति के सूत्र के बिना क्षेत्रफल निकाल लेता है।
बहुभुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए उसे त्रिभुजों, आयतों या समलंब चतुर्भुजों में बाँटें, हर एक का क्षेत्रफल निकालकर जोड़ें (या काटा हुआ भाग घटाएँ)। विकर्ण d और अन्य दो शीर्षों से लंब h1, h2 वाले चतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × d × (h1 + h2)। विकर्ण लंबवत हों तो क्षेत्रफल = ½ × d1 × d2।
आकृति में : एक ही विकर्ण पर दो त्रिभुज: ½ × d × h1 + ½ × d × h2।
नियम 1 : विकर्ण और लंब — दोनों लंब जोड़ें, विकर्ण से गुणा करें, आधा लें।
- आसान: d = 30, h1 = 6, h2 = 4: ½ × 30 × 10 = 150।
- मध्यम: d = 16, h1 = 5, h2 = 7: ½ × 16 × 12 = 96।
- परीक्षा-प्रकार: d = 24, h1 = 9, h2 = 3: ½ × 24 × 12 = 144।
नियम 2 : आकृतियाँ जोड़ें या घटाएँ — आकृति को सरल आकारों में काटकर जोड़ें, या बड़ा आयत लेकर कटा कोना घटाएँ।
- आसान: आयत 9 × 4 और त्रिभुज (आधार 9, ऊँचाई 5): 36 + 22.5 = 58.5।
- मध्यम: L-आकार: 14 × 8 घटा 6 × 3 = 112 − 18 = 94।
- परीक्षा-प्रकार: घर: आयत 8 × 5 और छत का त्रिभुज (आधार 8, ऊँचाई 3): 40 + 12 = 52।
नियम 3 : लंबवत विकर्ण और त्रिभुजों की संख्या — विकर्णों के गुणनफल का आधा। n भुजाओं का बहुभुज एक शीर्ष से n − 2 त्रिभुजों में बँटता है।
- आसान: विकर्ण 18 और 10: ½ × 18 × 10 = 90।
- मध्यम: षट्भुज के 6 − 2 = 4 त्रिभुज बनते हैं।
- परीक्षा-प्रकार: सप्तभुज के 7 − 2 = 5 त्रिभुज बनते हैं।
ऐसा विभाजन चुनें जिसमें ज्ञात लंबाइयाँ काम आएँ: दो लंबों वाला विकर्ण प्रायः सबसे तेज़ होता है।
कटा भाग घटाना भूल जाना, या लंब ऊँचाई की जगह तिरछी भुजा लेना।
बाँटो, हल करो, जोड़ो (या घटाओ)। याद रखने की युक्ति : "बाँटो-हल करो-जोड़ो"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | जोड़ने की विधि | घटाने की विधि |
|---|---|---|
| कब | आकृति टुकड़ों में बँटती है | आयत से कोना कटा है |
| उदाहरण | घर की आकृति: 40 + 12 | L-आकार: 112 − 18 |
| परिणाम | 52 | 94 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक चतुर्भुज का विकर्ण 20 m और लंब 3 m व 5 m हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 2एक षट्भुज एक शीर्ष से कितने त्रिभुजों में बँटता है?
- 3एक चतुर्भुज के विकर्ण लंबवत, 12 cm और 7 cm हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 4L-आकार 16 m × 9 m के आयत से 7 m × 4 m का कोना हटाकर बना है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 5घर की आकृति 10 m × 4 m का आयत है जिस पर आधार 10 m, ऊँचाई 3 m का छत का त्रिभुज है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 6एक भूखंड का विकर्ण 36 m और लंब 7 m व 11 m हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 714 cm भुजा के वर्ग के चारों कोनों से छोटी भुजाएँ 3 cm वाला समकोण त्रिभुज काटा गया। शेष क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 8एक भूखंड का विकर्ण 30 m और लंब 8 m व 12 m हैं। वह प्रति m² ₹25 पर बेचा गया। मूल्य ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 180
- 24 त्रिभुज
- 342
- 4116
- 555
- 6324
- 7178
- 8₹7500
समांतर चतुर्भुज और समचतुर्भुज
समांतर चतुर्भुज आकार के कागज़ के तिरछे सिरे से त्रिभुज काटकर दूसरे सिरे पर जोड़ें: वही आधार और वही ऊँचाई वाला आयत मिलता है। क्षेत्रफल नहीं बदला।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई (लंब ऊँचाई, तिरछी भुजा नहीं)। समचतुर्भुज भी समांतर चतुर्भुज है, इसलिए उस पर भी आधार × ऊँचाई चलता है। विकर्णों से: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × d1 × d2। विकर्ण समांतर चतुर्भुज को दो समान त्रिभुजों में बाँटता है।
आकृति में : तिरछा टुकड़ा दूसरी ओर सरकाएँ: आधार × ऊँचाई।
नियम 1 : आधार गुणा ऊँचाई — आधार को लंब ऊँचाई से गुणा करें।
समांतर चतुर्भुज और समचतुर्भुज
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंआकृति में : तिरछापन बदलें पर ऊँचाई वही रखें: क्षेत्रफल वही रहता है।
- आसान: आधार 18, ऊँचाई 5: 90 cm²।
- मध्यम: आधार 11, ऊँचाई 8: 88 cm²।
- परीक्षा-प्रकार: आधार 25, ऊँचाई 4, तिरछी भुजा 6: 100 cm² (तिरछी भुजा काम नहीं आती)।
नियम 2 : लुप्त आधार या ऊँचाई ज्ञात करें — क्षेत्रफल को ज्ञात राशि से भाग दें।
- आसान: क्षेत्रफल 72, आधार 9: ऊँचाई 8।
- मध्यम: क्षेत्रफल 90, ऊँचाई 6: आधार 15।
- परीक्षा-प्रकार: भुजाएँ 15 और 9, भुजा 15 पर ऊँचाई 6: क्षेत्रफल 90, इसलिए भुजा 9 पर ऊँचाई 10।
नियम 3 : विकर्णों वाला समचतुर्भुज — दोनों विकर्णों के गुणनफल का आधा। विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
- आसान: विकर्ण 14 और 10: ½ × 14 × 10 = 70।
- मध्यम: क्षेत्रफल 96, एक विकर्ण 16: दूसरा 2 × 96 ÷ 16 = 12।
- परीक्षा-प्रकार: भुजा 17, एक विकर्ण 30: अर्ध-विकर्ण 15 और 8, इसलिए दूसरा विकर्ण 16 और क्षेत्रफल ½ × 30 × 16 = 240।
समांतर चतुर्भुज के आधार पर और उन्हीं समांतर रेखाओं के बीच के त्रिभुज का क्षेत्रफल उसका आधा होता है।
क्षेत्रफल के लिए दो पास की भुजाएँ (आधार × तिरछी भुजा) गुणा करना। लंब ऊँचाई लें।
तिरछा सरकाओ, सीधी ऊँचाई लो। याद रखने की युक्ति : "समांतर चतुर्भुज: सरकाओ; समचतुर्भुज: आर-पार रेखाओं का आधा"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | समांतर चतुर्भुज | समचतुर्भुज (विकर्णों से) |
|---|---|---|
| क्षेत्रफल | आधार × ऊँचाई | ½ × d1 × d2 |
| उदाहरण | 18 × 5 | ½ × 14 × 10 |
| परिणाम | 90 | 70 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक समांतर चतुर्भुज का आधार 12 cm और ऊँचाई 9 cm है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 2एक समचतुर्भुज के विकर्ण 8 cm और 6 cm हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 360 cm² क्षेत्रफल वाले समांतर चतुर्भुज का आधार 12 cm है। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
- 4विकर्ण 84 cm² क्षेत्रफल के समांतर चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में बाँटता है। प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 5एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 120 cm² और एक विकर्ण 24 cm है। दूसरा विकर्ण ज्ञात कीजिए।
- 6एक समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ 15 cm और 9 cm हैं; 15 cm भुजा पर ऊँचाई 6 cm। 9 cm भुजा पर ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
- 7एक समचतुर्भुज की भुजा 10 cm और एक विकर्ण 16 cm है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 8एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 90 cm² है। उसी आधार और उन्हीं समांतर रेखाओं के बीच के त्रिभुज का क्षेत्रफल कितना है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1108
- 224
- 35
- 442
- 510
- 610
- 796
- 845
समलंब चतुर्भुज और वास्तविक जीवन के क्षेत्रफल
एक खेत की दो समांतर किनारें 50 m और 30 m हैं और उनके बीच 20 m की दूरी है। औसत चौड़ाई (50 + 30) ÷ 2 = 40 m लें तो खेत 40 m × 20 m के आयत जैसा है: 800 m²।
समलंब चतुर्भुज में समांतर भुजाओं का एक जोड़ा होता है। क्षेत्रफल = ½ × (समांतर भुजाओं का योग) × ऊँचाई। समलंब की दो प्रतियाँ (एक उल्टी) जोड़ने पर आधार a + b वाला समांतर चतुर्भुज बनता है; उससे सूत्र मिलता है। उपयोगी इकाइयाँ: 1 m² = 10000 cm², 1 वर्ग फुट = 144 वर्ग इंच, 1 एकड़ = 43560 वर्ग फुट।
आकृति में : समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल (a + b) × h, इसलिए एक समलंब उसका आधा।
नियम 1 : क्षेत्रफल ज्ञात करें — समांतर भुजाएँ जोड़ें, ऊँचाई से गुणा करें, आधा लें।
- आसान: भुजाएँ 13 और 7, ऊँचाई 6: ½ × 20 × 6 = 60।
- मध्यम: भुजाएँ 18 और 10, ऊँचाई 5: ½ × 28 × 5 = 70।
- परीक्षा-प्रकार: भुजाएँ 9 और 3, ऊँचाई 8: ½ × 12 × 8 = 48।
नियम 2 : लुप्त भाग ज्ञात करें — क्षेत्रफल को दुगुना करें, ऊँचाई से भाग दें: समांतर भुजाओं का योग मिलता है।
- आसान: क्षेत्रफल 80, ऊँचाई 8, एक भुजा 12: योग 20, दूसरी भुजा 8।
- मध्यम: क्षेत्रफल 75, भुजाएँ 12 और 18: ऊँचाई 150 ÷ 30 = 5।
- परीक्षा-प्रकार: क्षेत्रफल 54, ऊँचाई 6: समांतर भुजाओं का योग 18।
नियम 3 : इकाइयाँ बदलें — लंबाई के गुणक का वर्ग करें: 1 फुट = 12 इंच इसलिए 1 वर्ग फुट = 12 × 12 = 144 वर्ग इंच।
- आसान: 2 वर्ग फुट = 2 × 144 = 288 वर्ग इंच।
- मध्यम: 3 m² = 3 × 10000 = 30000 cm²।
- परीक्षा-प्रकार: 3 एकड़ = 3 × 43560 = 130680 वर्ग फुट।
दोनों समांतर भुजाएँ बराबर हों तो समलंब चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज बन जाता है। एक भुजा 0 हो जाए तो त्रिभुज बनता है: वही सूत्र दोनों पर लागू।
तिरछी भुजा को ऊँचाई लेना, या एक ही गणना में इकाइयाँ (फुट और इंच) मिलाना।
औसत चौड़ाई गुणा ऊँचाई। याद रखने की युक्ति : "समांतरों का औसत, गुणा दूरी"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | समलंब चतुर्भुज | समांतर चतुर्भुज |
|---|---|---|
| क्षेत्रफल | ½ × (a + b) × h | आधार × h |
| समांतर भुजाएँ | दो अलग | दोनों जोड़े बराबर |
| भुजाएँ 12 और 8, ऊँचाई 5 | 50 | 60 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक समलंब चतुर्भुज की समांतर भुजाएँ 15 cm और 9 cm, ऊँचाई 6 cm है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 2समांतर भुजाएँ 10 cm और 6 cm, ऊँचाई 3 cm। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 31 वर्ग फुट में कितने वर्ग इंच होते हैं?
- 4105 cm² क्षेत्रफल वाले समलंब चतुर्भुज की ऊँचाई 7 cm है। समांतर भुजाओं का योग ज्ञात कीजिए।
- 5150 cm² क्षेत्रफल और 10 cm ऊँचाई वाले समलंब चतुर्भुज की एक समांतर भुजा 18 cm है। दूसरी ज्ञात कीजिए।
- 65 m² को cm² में बदलिए।
- 7समलंब चतुर्भुज आकार के खेत की समांतर भुजाएँ 50 m और 30 m, दूरी 20 m है। जुताई का खर्च प्रति m² ₹10 है। कुल खर्च ज्ञात कीजिए।
- 8यदि समलंब चतुर्भुज की एक समांतर भुजा 0 हो जाए तो सूत्र ½ × (a + b) × h किस आकृति का क्षेत्रफल देता है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 172
- 224
- 3144 वर्ग इंच
- 430
- 512
- 650000 cm²
- 7₹8000
- 8त्रिभुज का