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CBSE · कक्षा 8 · गणित भाग २

भाग 2, अध्याय 6: बीजगणित का खेल (Algebra Play)

5 अवधारणाएँ · उत्तर सहित 40 अभ्यास प्रश्न · पढ़ना मुफ़्त

यह पाठ इन भाषाओं में भी: मराठी · English

सोची हुई संख्या की युक्तियाँ

रोज़मर्रा के जीवन से

मेले में जादूगर कहता है: "अपनी उम्र सोचिए, 5 जोड़िए, दुगुना कीजिए और 10 घटाइए। उत्तर बताइए, मैं आपकी उम्र बता दूँगा।" आप 36 कहते हैं। वह तुरंत 18 बता देता है। बीजगणित ही उसका रहस्य है।

सरल परिभाषा

गुप्त संख्या को n कहें और हर चरण को व्यंजक के रूप में लिखें। सरल करने पर n रहता है (तब उत्तर से पीछे जाया जा सकता है) या कट जाता है (तब उत्तर तय रहता है)।

n+5n + 5×22n + 10−102n÷2n

आकृति में : 5 जोड़ें, दुगुना करें, 10 घटाएँ, आधा करें: n वापस आता है।

नियम 1 : चरण लिखें — हर शब्द को n पर क्रिया में बदलें। बाद की क्रिया पहले के सब पर लगे तो कोष्ठक लगाएँ।

  • आसान: 3 जोड़ें, फिर 4 से गुणा: 4(n + 3) = 4n + 12।
  • मध्यम: दुगुना करें, फिर 6 जोड़ें: 2n + 6।
  • परीक्षा-प्रकार: 5 घटाएँ, फिर तिगुना: 3(n − 5) = 3n − 15।

नियम 2 : रहस्य पाने के लिए सरल करें — कोष्ठक खोलें और समान पद जोड़ें। देखें क्या बचता है।

  • आसान: (n + 7) × 2 − 14 = 2n: शुरुआती संख्या का दुगुना।
  • मध्यम: (3n + 12) ÷ 3 − 4 = n: शुरुआती संख्या स्वयं।
  • परीक्षा-प्रकार: (2n + 10) ÷ 2 − n = 5: सदा 5।

नियम 3 : पीछे चलें — उल्टे क्रम में, विपरीत क्रिया से चरण पलटें।

Live आकृति

सोची हुई संख्या की युक्तियाँ

ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।

ऐप में खोलें

आकृति में : दोनों ओर वही क्रिया करें, जैसे युक्ति को पलटना।

  • आसान: ×4 फिर +9 से 37: (37 − 9) ÷ 4 = 7।
  • मध्यम: ×3 फिर −5 से 22: (22 + 5) ÷ 3 = 9।
  • परीक्षा-प्रकार: संख्या का आधा + 6 = 15: (15 − 6) × 2 = 18।
याद रखें

यदि n कट जाए तो कोई भी संख्या लें, उत्तर वही रहता है, और इसी से युक्ति जादू जैसी लगती है।

सामान्य गलती

कोष्ठक भूल जाना: "3 जोड़ें फिर 4 से गुणा" यानी 4(n + 3), 4n + 3 नहीं।

शॉर्टकट

लिखो, सरल करो, देखो। याद रखने की युक्ति : "n अंदर गया, n कट गया तो जादू बाहर"।

अंतर पहचानें

बिंदुn रहता हैn कट जाता है
उदाहरण2n(2n + 10) ÷ 2 − n = 5
उत्तर शुरुआती संख्या पर निर्भर?हाँनहीं
उपयोगउत्तर से शुरुआत पहचानेंउत्तर पहले बता दें

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 1व्यंजक लिखिए: संख्या के तिगुने से 5 अधिक।
  2. 26 से शुरू कीजिए, 4 जोड़िए, 3 से गुणा कीजिए, 12 घटाइए। परिणाम ज्ञात कीजिए।
  3. 3संख्या को 5 से गुणा करके 2 जोड़ने पर 37 मिलता है। संख्या ज्ञात कीजिए।
मध्यम
  1. 42(n + 5) − 10 को सरल कीजिए।
  2. 5n सोचिए, 9 जोड़िए, दुगुना कीजिए, 18 घटाइए, आधा कीजिए। n के रूप में परिणाम क्या है?
  3. 6संख्या को 3 से गुणा करके 8 घटाने पर 31 मिलता है। संख्या ज्ञात कीजिए।
चुनौतीपूर्ण
  1. 7n सोचिए, 4 से गुणा, 20 जोड़िए, 4 से भाग, n घटाइए। परिणाम ज्ञात कीजिए।
  2. 8संख्या को 6 से गुणा करके 14 घटाकर आधा करने पर 20 मिलता है। संख्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 13n + 5
  2. 218
  3. 37
  4. 42n
  5. 5n
  6. 613
  7. 75
  8. 89

संख्या पिरामिड

रोज़मर्रा के जीवन से

दुकान में डिब्बे ऐसे सजाते हैं कि हर डिब्बा नीचे के दो डिब्बों पर टिकता है। संख्या पिरामिड में हर खाने में ठीक नीचे के दो खानों का योग होता है।

सरल परिभाषा

3 पंक्तियों के पिरामिड की निचली पंक्ति a, b, c हो तो मध्य पंक्ति a + b, b + c और शीर्ष a + 2b + c। 4 पंक्तियों का पिरामिड, निचली पंक्ति a, b, c, d: शीर्ष a + 3b + 3c + d।

12572342 + 3 = 5, 3 + 4 = 7, 5 + 7 = 12

आकृति में : निचली 2, 3, 4 से 5, 7 और फिर 12। जाँचें: 2 + 2 × 3 + 4 = 12।

नियम 1 : ऊपर भरें — पास की हर जोड़ी का योग करके ऊपर का खाना भरें।

Live आकृति

संख्या पिरामिड

ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।

ऐप में खोलें

आकृति में : पिरामिड जैसे जोड़ता है वैसे समान पद जोड़ें।

  • आसान: निचली 2, 5, 3: मध्य 7, 8; शीर्ष 15।
  • मध्यम: निचली 4, 1, 6: मध्य 5, 7; शीर्ष 12।
  • परीक्षा-प्रकार: निचली 1, 9, 2: मध्य 10, 11; शीर्ष 21।

नियम 2 : लुप्त संख्या ज्ञात करें — शीर्ष = a + 2b + c का उपयोग करके लुप्त अक्षर हल करें।

  • आसान: शीर्ष 22, निचली 3, ?, 5: 3 + 2b + 5 = 22, इसलिए b = 7।
  • मध्यम: शीर्ष 30, मध्य बाईं 14: मध्य दाईं 30 − 14 = 16।
  • परीक्षा-प्रकार: शीर्ष 17, निचली 2, 4, ?: 2 + 8 + c = 17, इसलिए c = 7।

नियम 3 : चार पंक्तियाँ — निचली पंक्ति की बीच की दो संख्याएँ प्रत्येक 3 बार गिनी जाती हैं।

  • आसान: निचली 1, 2, 3, 4: 1 + 6 + 9 + 4 = 20।
  • मध्यम: निचली 2, 0, 1, 5: 2 + 0 + 3 + 5 = 10।
  • परीक्षा-प्रकार: निचली 3, 1, 1, 3: 3 + 3 + 3 + 3 = 12।
याद रखें

गणनाएँ 1, 2, 1 (तीन पंक्तियाँ) और 1, 3, 3, 1 (चार पंक्तियाँ) बताती हैं कि निचली पंक्ति की हर संख्या शीर्ष में कितनी बार आती है।

सामान्य गलती

निचली पंक्ति की सब संख्याएँ एक ही बार जोड़ना: 2 + 3 + 4 = 9, पर शीर्ष 12 है, क्योंकि बीच की संख्या दो बार गिनी जाती है।

शॉर्टकट

तीन पंक्तियाँ: 1-2-1। चार पंक्तियाँ: 1-3-3-1। याद रखने की युक्ति : "तीन को 121, चार को 1331"।

अंतर पहचानें

बिंदु3 पंक्तियों का पिरामिड4 पंक्तियों का पिरामिड
शीर्ष संख्याa + 2b + ca + 3b + 3c + d
उदाहरण निचली पंक्ति2, 3, 41, 2, 3, 4
शीर्ष1220

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 13 पंक्तियों के पिरामिड की निचली पंक्ति 1, 4, 2 है। शीर्ष ज्ञात कीजिए।
  2. 2मध्य पंक्ति 6, 9 है। शीर्ष ज्ञात कीजिए।
  3. 3निचली पंक्ति 5, 5, 5 है। शीर्ष ज्ञात कीजिए।
मध्यम
  1. 4शीर्ष 24 है और निचली पंक्ति 3, ?, 5 है। लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए।
  2. 54 पंक्तियों के पिरामिड की निचली पंक्ति 1, 1, 1, 1 है। शीर्ष ज्ञात कीजिए।
  3. 6शीर्ष 30 है और मध्य पंक्ति की बाईं संख्या 12 है। दाईं संख्या ज्ञात कीजिए।
चुनौतीपूर्ण
  1. 74 पंक्तियों वाले पिरामिड की निचली पंक्ति की हर संख्या 2 बढ़ाई गई। शीर्ष कितना बढ़ता है?
  2. 83 पंक्तियों के पिरामिड में शीर्ष 40 और निचली पंक्ति x, 6, x (दोनों ओर समान x)। x ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 111
  2. 215
  3. 320
  4. 48
  5. 58
  6. 618
  7. 716
  8. 814

ग्रिड और कैलेंडर की युक्तियाँ

रोज़मर्रा के जीवन से

मित्र कैलेंडर का 2 × 2 वर्ग ढककर कहता है "चारों तारीखों का योग 52 है"। आप तुरंत बताते हैं कि सबसे छोटी तारीख 9 है। कैलेंडर में पैटर्न है: एक कदम दाएँ +1, एक पंक्ति नीचे +7।

सरल परिभाषा

ऊपर-बाईं तारीख a हो तो 2 × 2 वर्ग में a, a + 1, a + 7, a + 8, योग 4a + 16। इसलिए a = (योग − 16) ÷ 4।

aa + 1a + 7a + 84a + 16

आकृति में : योग: a + (a + 1) + (a + 7) + (a + 8) = 4a + 16।

नियम 1 : योग से शुरुआत ज्ञात करें — 16 घटाएँ और 4 से भाग दें।

  • आसान: योग 76: (76 − 16) ÷ 4 = 15।
  • मध्यम: योग 100: (100 − 16) ÷ 4 = 21।
  • परीक्षा-प्रकार: योग 44: (44 − 16) ÷ 4 = 7।

नियम 2 : अन्य आकृतियाँ — हर तारीख a से लिखें, फिर जोड़ें। 3 × 3 वर्ग का योग बीच की तारीख का 9 गुना।

  • आसान: 5 से एक स्तंभ की तीन तारीखें: 5 + 12 + 19 = 36 = 3a + 21।
  • मध्यम: 10 से एक पंक्ति की तीन तारीखें: 10 + 11 + 12 = 33 = 3a + 3।
  • परीक्षा-प्रकार: बीच में 16 वाला 3 × 3 वर्ग: 9 × 16 = 144।

नियम 3 : नियमों वाले ग्रिड — हर नियम को समीकरण के रूप में लिखें और अज्ञात हल करें।

  • आसान: अंतिम = पहली दो का योग; 6, ?, 15: ? = 15 − 6 = 9।
  • मध्यम: हर पंक्ति का योग 15; 6, ?, 4: ? = 15 − 10 = 5।
  • परीक्षा-प्रकार: हर पंक्ति का योग 21; ?, 9, 7: ? = 21 − 16 = 5।
याद रखें

कैलेंडर के हर 2 × 2 योग 4 के गुणज होते हैं, क्योंकि 4a + 16 = 4(a + 4)। 70 जैसा योग असंभव है।

सामान्य गलती

नीचे की तारीख के लिए +10 लेना। कैलेंडर में एक पंक्ति नीचे +7 (सप्ताह के दिन) होता है, +10 नहीं।

शॉर्टकट

दाएँ +1, नीचे +7। याद रखने की युक्ति : "दाएँ एक कदम, नीचे एक सप्ताह"।

अंतर पहचानें

बिंदु2 × 2 वर्ग3 × 3 वर्ग
योग4a + 169 × बीच की
शुरुआत ज्ञात करें(योग − 16) ÷ 4बीच की = योग ÷ 9
उदाहरणशुरुआत 5: 36बीच की 16: 144

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 1कैलेंडर में 12 के ठीक नीचे कौन-सी तारीख है?
  2. 22 × 2 वर्ग की ऊपर-बाईं तारीख 3 है। योग ज्ञात कीजिए।
  3. 320 के ठीक दाईं ओर कौन-सी तारीख है?
मध्यम
  1. 42 × 2 वर्ग का योग 60 है। सबसे छोटी तारीख ज्ञात कीजिए।
  2. 53 × 3 वर्ग की बीच की तारीख 10 है। योग ज्ञात कीजिए।
  3. 6एक पंक्ति की तीन तारीखें 8 से शुरू हैं। उनका योग ज्ञात कीजिए।
चुनौतीपूर्ण
  1. 72 × 2 वर्ग का योग 92 है। उसकी सबसे बड़ी तारीख ज्ञात कीजिए।
  2. 8क्या 2 × 2 कैलेंडर वर्ग का योग 70 हो सकता है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 119
  2. 228
  3. 321
  4. 411
  5. 590
  6. 627
  7. 727
  8. 8नहीं (a = 13.5 पूर्ण संख्या नहीं है)

सबसे बड़ा गुणनफल

रोज़मर्रा के जीवन से

खेल में आपको तीन अंक-पत्ते 2, 4 और 6 मिलते हैं। उन्हें दो अंकीय संख्या × एक अंकीय संख्या के रूप में रखना है। कौन-सी व्यवस्था सबसे बड़ा गुणनफल देती है?

सरल परिभाषा

तीन भिन्न अंकों के □□ × □ में सबसे बड़ा गुणनफल तब आता है जब सबसे बड़ा अंक गुणक हो और शेष दो अंक घटते क्रम में दो अंकीय संख्या बनाएँ (बड़ा अंक दहाई में)।

24 × 614426 × 410442 × 625246 × 29262 × 424864 × 2128

आकृति में : छह गुणनफल: सबसे बड़ा 252 यानी 42 × 6।

नियम 1 : नियम लगाएँ — सबसे बड़े अंक को गुणक लें, शेष को बड़े से छोटे क्रम में रखें।

  • आसान: अंक 3, 4, 8: 43 × 8 = 344।
  • मध्यम: अंक 1, 5, 9: 51 × 9 = 459।
  • परीक्षा-प्रकार: अंक 2, 6, 7: 62 × 7 = 434।

नियम 2 : विस्तार करके तुलना करें — हर दो अंकीय संख्या को दहाई और इकाई में तोड़ें। पहले भाग बराबर हों तो दूसरे भाग की तुलना करें।

  • आसान: 42 × 6 = 240 + 12 और 62 × 4 = 240 + 8, इसलिए 42 × 6 जीतता है।
  • मध्यम: 43 × 8 = 320 + 24 और 83 × 4 = 320 + 12।
  • परीक्षा-प्रकार: 31 × 8 = 240 + 8 और 81 × 3 = 240 + 3।

नियम 3 : यह क्यों काम करता है — अंकों p < q < r के लिए qp × r = 10qr + pr और rp × q = 10qr + pq। पहले पद बराबर; r > q होने से pr, pq से बड़ा।

  • आसान: अंक 2, 4, 6: अंतर = 2 × (6 − 4) = 4 (252 − 248)।
  • मध्यम: अंक 1, 3, 8: 248 − 243 = 5 = 1 × (8 − 3)।
  • परीक्षा-प्रकार: चार अंक 1, 2, 3, 4, □□ × □□ में: 41 × 32 = 1312।
याद रखें

यह नियम किन्हीं तीन भिन्न अंकों के लिए चलता है। दो दो-अंकीय संख्याओं के लिए दो सबसे बड़े अंक दहाई में रखें।

सामान्य गलती

सबसे बड़े अंक को दो अंकीय संख्या की दहाई में रखना। 2, 4, 6 के लिए 62 × 4 = 248, जो 252 से छोटा है।

शॉर्टकट

सबसे बड़ा अंक मालिक गुणक है; शेष बड़े से छोटे क्रम में। याद रखने की युक्ति : "मालिक गुणा करे, बाकी उतरें"।

अंतर पहचानें

बिंदुसबसे बड़ा अंक गुणकसबसे बड़ा अंक दहाई में
व्यवस्था42 × 662 × 4
गुणनफल252248
परिणामसबसे बड़ाछोटा

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 1अंक 2, 5, 8 को □□ × □ में रखें। सबसे बड़े गुणनफल के लिए गुणक कौन-सा है?
  2. 2अंक 3, 6, 7 से □□ × □ में सबसे बड़ा गुणनफल ज्ञात कीजिए।
  3. 3कौन बड़ा है, 41 × 6 या 61 × 4?
मध्यम
  1. 4अंक 1, 6, 9 से □□ × □ में सबसे बड़ा गुणनफल ज्ञात कीजिए।
  2. 543 × 8, 83 × 4 से कितना बड़ा है?
  3. 6(10q + p) × r का विस्तार कीजिए।
चुनौतीपूर्ण
  1. 71, 2, 3, 4 को एक-एक बार □□ × □□ में रखें। सबसे बड़ा गुणनफल ज्ञात कीजिए।
  2. 8अंक 1, 8, 9 से □□ × □ में सबसे बड़ा गुणनफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 18
  2. 2441
  3. 341 × 6
  4. 4549
  5. 512
  6. 610qr + pr
  7. 71312
  8. 8729

विभाज्यता की युक्तियाँ

रोज़मर्रा के जीवन से

आशा कहती है: "एक दो अंकीय संख्या लिखिए, जैसे 83। उसे उलटकर 38 बनाइए। घटाइए: 83 − 38 = 45। 9 से भाग दीजिए।" शेष कभी नहीं बचता! बीजगणित बताता है क्यों।

सरल परिभाषा

दहाई अंक a और इकाई अंक b वाली दो अंकीय संख्या 10a + b है। उसकी उलटी 10b + a। अंतर: 9a − 9b = 9(a − b)। योग: 11a + 11b = 11(a + b)। 3 अंकीय संख्या abc और उसकी दो घुमाई संख्याओं का योग 111(a + b + c)।

83↔38−45÷ 9510a + b − (10b + a) = 9(a − b)

आकृति में : 83 − 38 = 45 और 45 ÷ 9 = 5: अंकों का अंतर।

नियम 1 : उलटी संख्या से अंतर — अंतर अंकों के अंतर का 9 गुना होता है।

  • आसान: 83 − 38 = 45 = 9 × 5।
  • मध्यम: 91 − 19 = 72 = 9 × 8।
  • परीक्षा-प्रकार: 52 − 25 = 27 = 9 × 3।

नियम 2 : उलटी संख्या के साथ योग — योग अंकों के योग का 11 गुना होता है।

  • आसान: 42 + 24 = 66 = 11 × 6।
  • मध्यम: 19 + 91 = 110 = 11 × 10।
  • परीक्षा-प्रकार: 65 + 56 = 121 = 11 × 11।

नियम 3 : घुमाई गई संख्याएँ — abc + bca + cab = 111(a + b + c) = 3 × 37 × (a + b + c), इसलिए 3 और 37 से विभाज्य।

  • आसान: 123 + 231 + 312 = 666 = 37 × 18।
  • मध्यम: 245 + 452 + 524 = 1221 = 37 × 33।
  • परीक्षा-प्रकार: 507 + 075 + 750 = 1332 = 37 × 36।
याद रखें

10a + b = 9a + (a + b)। 9a सदा 9 और 3 का गुणज है, इसलिए 9 और 3 से विभाज्यता अंकों के योग पर निर्भर है।

सामान्य गलती

कुछ उदाहरण देखकर उसे सिद्ध मान लेना। उदाहरण केवल संकेत देते हैं; a और b वाला बीजगणित हर संख्या के लिए सिद्ध करता है।

शॉर्टकट

अंतर: 9। योग: 11। घुमाई: 111। याद रखने की युक्ति : "घटाओ 9, जोड़ो 11, घुमाओ 111"।

अंतर पहचानें

बिंदुउलटा अंतरउलटा योग
व्यंजक9(a − b)11(a + b)
सदा विभाज्य911
52 का उदाहरण2777

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 183 लें, उलटकर 38, घटाएँ और 9 से भाग दें। भागफल ज्ञात कीजिए।
  2. 242 और 24 जोड़ें, फिर 11 से भाग दें। भागफल ज्ञात कीजिए।
  3. 3क्या 738, 9 से विभाज्य है?
मध्यम
  1. 4123 और उसकी दो घुमाई संख्याएँ जोड़ें। योग को 37 से भाग दें।
  2. 510a + b और उसकी उलटी संख्या का अंतर लिखिए।
  3. 6क्या 123, 3 से विभाज्य है? 9 से?
चुनौतीपूर्ण
  1. 791 और उसकी उलटी संख्या का अंतर 72 है। 72 को अंकों के अंतर का 9 गुना लिखिए।
  2. 8दो अंकीय संख्या और उसकी उलटी संख्या का योग सदा 11 से विभाज्य क्यों होता है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 15
  2. 26
  3. 3हाँ (7 + 3 + 8 = 18)
  4. 418
  5. 59a − 9b
  6. 6केवल 3 से (अंकों का योग 6)
  7. 772 = 9 × 8
  8. 8क्योंकि वह 11(a + b) के बराबर है