K2KARAKORAM
मराठीEnglishहिंदी
ऐप खोलें

CBSE · कक्षा 8 · गणित भाग २

भाग 2, अध्याय 5: बिंदुओं और रेखाओं की कहानियाँ (Tales by Dots and Lines)

5 अवधारणाएँ · उत्तर सहित 40 अभ्यास प्रश्न · पढ़ना मुफ़्त

यह पाठ इन भाषाओं में भी: मराठी · English

माध्य संतुलन बिंदु के रूप में

रोज़मर्रा के जीवन से

चार मित्रों के पास 2, 4, 6 और 12 टॉफ़ियाँ हैं। उन्हें इकट्ठा करके बराबर बाँटा: 24 ÷ 4 = 6 प्रत्येक। यह उचित हिस्सा ही माध्य है।

सरल परिभाषा

माध्य = सब मानों का योग ÷ मानों की संख्या। डॉट प्लॉट पर माध्य संतुलन बिंदु होता है: उसके नीचे और ऊपर के मानों की दूरियों का योग बराबर होता है।

024681012146(−4) + (−2) + 0 + 6 = 0

आकृति में : 6 के नीचे: 4 + 2 = 6। 6 के ऊपर: 6। दोनों संतुलित।

नियम 1 : माध्य निकालें — सब मान जोड़ें, फिर उनकी संख्या से भाग दें।

Live आकृति

माध्य संतुलन बिंदु के रूप में

ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।

ऐप में खोलें

आकृति में : स्लाइडर हिलाएँ और माध्य को बदलते देखें।

  • आसान: 4, 6, 8: 18 ÷ 3 = 6।
  • मध्यम: 2, 9, 10, 7: 28 ÷ 4 = 7।
  • परीक्षा-प्रकार: 12, 15, 18, 20, 25: 90 ÷ 5 = 18।

नियम 2 : संतुलन जाँचें — मान − माध्य: ऋण और धन मिलकर 0 आते हैं।

  • आसान: 2, 4, 12 (माध्य 6): −4, −2, +6 का योग 0।
  • मध्यम: 5, 5, 8, 10 (माध्य 7): −2, −2, +1, +3 का योग 0।
  • परीक्षा-प्रकार: 1 और 9 (माध्य 5): −4 और +4।

नियम 3 : माध्य और योग — योग = माध्य × मानों की संख्या। छिपा मान निकालने में उपयोग करें।

  • आसान: 5 संख्याओं का माध्य 8: योग 40।
  • मध्यम: 6 संख्याओं का माध्य 12: योग 72।
  • परीक्षा-प्रकार: 4 संख्याओं का माध्य 15, तीन 10, 12, 20: 60 − 42 = 18 चौथी।
याद रखें

माध्य सदा सबसे छोटे और सबसे बड़े मान के बीच होता है और वह एक मान होना ज़रूरी नहीं।

सामान्य गलती

गलत संख्या से भाग देना, जैसे 0 मान को भूल जाना। शून्य भी एक मान गिना जाता है।

शॉर्टकट

सब जोड़ो, गिनती से भाग दो। याद रखने की युक्ति : "इकट्ठा करो और बाँटो": सब इकट्ठा करो, फिर बराबर बाँटो।

अंतर पहचानें

बिंदुमाध्यमाध्यिका
कैसे निकालते हैंयोग ÷ संख्याक्रम में लगाकर बीच का मान
आँकड़े 2, 4, 6, 1265
बहुत बड़े मान का असरहाँबहुत कम

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 13, 5 और 10 का माध्य ज्ञात कीजिए।
  2. 212 और 20 का माध्य ज्ञात कीजिए।
  3. 34 संख्याओं का माध्य 9 है। उनका योग ज्ञात कीजिए।
मध्यम
  1. 46, 8, 9, 12 और 15 का माध्य ज्ञात कीजिए।
  2. 54 संख्याओं का माध्य 15 है। उनमें से तीन 10, 12 और 20 हैं। चौथी ज्ञात कीजिए।
  3. 6आँकड़ों 5, 7, 12 का माध्य 8 है। माध्य से छोटे मानों की माध्य से कुल दूरी ज्ञात कीजिए।
चुनौतीपूर्ण
  1. 75 संख्याओं का माध्य 22 है। उनमें से 3 का माध्य 20 है। शेष दो का माध्य ज्ञात कीजिए।
  2. 8x के किस मान पर 4, x और 10 का माध्य 8 होगा?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 16
  2. 216
  3. 336
  4. 410
  5. 518
  6. 64
  7. 725
  8. 810

माध्य कैसे बदलता है

रोज़मर्रा के जीवन से

पाँच विद्यार्थियों का औसत 50 अंक है। छठा विद्यार्थी 80 अंक पाता है। नया औसत 330 ÷ 6 = 55। बड़ा अंक औसत को ऊपर खींचता है।

सरल परिभाषा

माध्य से बड़ा मान जोड़ने पर वह बढ़ता है, छोटा जोड़ने पर घटता है, माध्य के बराबर जोड़ने पर वही रहता है। हर मान में +k करने पर माध्य में +k। हर मान को k से गुणा करने पर माध्य भी k से गुणा होता है।

Live आकृति

माध्य कैसे बदलता है

ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।

ऐप में खोलें

आकृति में : अतिरिक्त अंक सरकाएँ और माध्य को हिलते देखें।

नियम 1 : एक मान जोड़ें या हटाएँ — नया माध्य = (पुराना योग ± वह मान) ÷ नई संख्या।

  • आसान: 4 संख्याओं का माध्य 10 (योग 40), 20 जोड़ें: 60 ÷ 5 = 12।
  • मध्यम: 5 संख्याओं का माध्य 8 (योग 40), 12 हटाएँ: 28 ÷ 4 = 7।
  • परीक्षा-प्रकार: 3 संख्याओं का माध्य 6 (योग 18), 6 जोड़ें: 24 ÷ 4 = 6, कोई बदलाव नहीं।

नियम 2 : हर मान में वही संख्या जोड़ें — माध्य ठीक उतना बढ़ता (या घटता) है।

  • आसान: 4, 6, 8 (माध्य 6), हर एक में +5: माध्य 11।
  • मध्यम: 10, 20, 30 (माध्य 20), हर एक में −4: माध्य 16।
  • परीक्षा-प्रकार: 2, 3, 7 (माध्य 4), हर एक में +10: माध्य 14।

नियम 3 : हर मान को गुणा करें — माध्य भी उसी संख्या से गुणा होता है।

  • आसान: 2, 4, 6 (माध्य 4) × 3: माध्य 12।
  • मध्यम: 10, 20, 30 (माध्य 20) × आधा: माध्य 10।
  • परीक्षा-प्रकार: 5, 7, 9 (माध्य 7) × 2: माध्य 14।
याद रखें

नया मान जोड़ने से योग और संख्या दोनों बदलते हैं, इसलिए सदा योग और संख्या से दोबारा निकालें।

सामान्य गलती

10 मानों में से हर एक में +5 करने पर माध्य में 50 की वृद्धि मानना। योग 50 बढ़ता है, पर माध्य केवल 5।

शॉर्टकट

सब पर वही बदलाव, माध्य पर भी वही। याद रखने की युक्ति : "माध्य भीड़ के पीछे चलता है"।

अंतर पहचानें

बिंदुएक मान जोड़ाहर मान बदला
संख्या1 बढ़ती हैवही रहती है
योगउस मान से बढ़ता हैहर मान के लिए बदलता है
माध्यनए मान की ओर खिसकता हैठीक +k से बदलता है

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 15, 7 और 9 का माध्य 7 है। हर एक में +3। नया माध्य ज्ञात कीजिए।
  2. 22, 4 और 6 का माध्य 4 है। हर मान को 5 से गुणा किया। नया माध्य ज्ञात कीजिए।
  3. 34 संख्याओं का माध्य 10 है। पाँचवी संख्या 10 जोड़ी। नया माध्य ज्ञात कीजिए।
मध्यम
  1. 45 संख्याओं का माध्य 20 है। छठी संख्या 38 जोड़ी। नया माध्य ज्ञात कीजिए।
  2. 56 संख्याओं का माध्य 15 है। संख्या 30 हटाई। नया माध्य ज्ञात कीजिए।
  3. 63 संख्याओं का माध्य 12 है। हर एक को 4 से गुणा करके फिर हर एक से 2 घटाया। नया माध्य ज्ञात कीजिए।
चुनौतीपूर्ण
  1. 74 संख्याओं का माध्य 14 है। दो और संख्याएँ, 8 और दूसरी, जोड़ी गईं और माध्य 14 ही रहा। दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
  2. 810 विद्यार्थियों के औसत अंक 60 हैं। शिक्षक ने सबको 4 अंक जोड़े। फिर जिसके नए अंक 64 हैं वह विद्यार्थी चला गया। शेष 9 का औसत ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 110
  2. 220
  3. 310
  4. 423
  5. 512
  6. 646
  7. 720
  8. 864

अज्ञात मान, माध्यिका और बारंबारता तालिका

रोज़मर्रा के जीवन से

एक लड़के को तीन परीक्षाओं में 55, 65 और 75 अंक मिले; चार परीक्षाओं के बाद औसत 70 चाहिए। अंतिम परीक्षा में 4 × 70 − 195 = 85 चाहिए।

सरल परिभाषा

लुप्त मान = (माध्य × संख्या) − ज्ञात मानों का योग। माध्यिका: मानों को क्रम में लगाएँ; बीच का मान लें, संख्या सम हो तो बीच के दो मानों का माध्य। बारंबारता तालिका से: माध्य = (मान × बारंबारता का योग) ÷ कुल बारंबारता।

Live आकृति

अज्ञात मान, माध्यिका और बारंबारता तालिका

ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।

ऐप में खोलें

आकृति में : माध्य और ज्ञात अंक बदलकर लुप्त अंक खोजें।

नियम 1 : लुप्त मान ज्ञात करें — आवश्यक कुल योग घटा ज्ञात योग।

  • आसान: 4 संख्याओं का माध्य 9, ज्ञात 5, 8, 12: 36 − 25 = 11।
  • मध्यम: 5 संख्याओं का माध्य 7, ज्ञात 3, 6, 8, 9: 35 − 26 = 9।
  • परीक्षा-प्रकार: 5 परीक्षाओं में औसत 80, अंक 70, 75, 85, 90: 400 − 320 = 80।

नियम 2 : माध्यिका ज्ञात करें — पहले क्रम में लगाएँ। फिर बीच का मान (या बीच के दो का माध्य) लें।

Live आकृति

अज्ञात मान, माध्यिका और बारंबारता तालिका

ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।

ऐप में खोलें

आकृति में : बारंबारता बदलें और माध्य देखें।

  • आसान: 3, 9, 5, 1, 7 क्रम में 1, 3, 5, 7, 9: माध्यिका 5।
  • मध्यम: 8, 2, 6, 4 क्रम में 2, 4, 6, 8: (4 + 6) ÷ 2 = 5।
  • परीक्षा-प्रकार: 1, 2, 3, 100: माध्यिका (2 + 3) ÷ 2 = 2.5, जबकि माध्य 26.5।

नियम 3 : बारंबारता तालिका से माध्य — हर मान को उसकी बारंबारता से गुणा करें, जोड़ें, कुल बारंबारता से भाग दें।

  • आसान: मान 1, 2, 3 बारंबारता 2, 3, 5: 23 ÷ 10 = 2.3।
  • मध्यम: मान 10, 20 बारंबारता 3, 1: 50 ÷ 4 = 12.5।
  • परीक्षा-प्रकार: मान 0, 1, 2, 3 बारंबारता 1, 2, 3, 4: 20 ÷ 10 = 2।
याद रखें

बहुत बड़ा मान माध्य को बहुत बदलता है पर माध्यिका को बहुत कम, इसलिए अति मानों वाले आँकड़ों के लिए माध्यिका बेहतर सार देती है।

सामान्य गलती

क्रम में लगाए बिना बीच का मान लेना, या बारंबारता का उपयोग किए बिना तालिका के मानों का माध्य निकालना।

शॉर्टकट

आवश्यक योग घटा ज्ञात योग। याद रखने की युक्ति : माध्यिका के लिए "क्रम में लगाओ, फिर बीच में बाँटो"।

अंतर पहचानें

बिंदुविषम संख्या के मानसम संख्या के मान
माध्यिका हैबीच का मानबीच के दो मानों का माध्य
उदाहरण1, 3, 51, 3, 5, 9
माध्यिका34

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 14, 9 और 2 की माध्यिका ज्ञात कीजिए।
  2. 23 संख्याओं का माध्य 6 है। उनमें से दो 5 और 7 हैं। तीसरी ज्ञात कीजिए।
  3. 31, 2, 3 और 4 की माध्यिका ज्ञात कीजिए।
मध्यम
  1. 45 संख्याओं का माध्य 10 है। उनमें से चार 6, 8, 12 और 14 हैं। पाँचवी ज्ञात कीजिए।
  2. 5मान 2, 4, 6 की बारंबारताएँ 1, 2, 1 हैं। माध्य ज्ञात कीजिए।
  3. 610, 3, 8, 6, 15 और 1 की माध्यिका ज्ञात कीजिए।
चुनौतीपूर्ण
  1. 75 संख्याओं का माध्य 18 है। सबसे बड़ी, 30, हटाई गई। शेष चार का माध्य ज्ञात कीजिए।
  2. 8आँकड़ों 2, 4, 6, 8, x की माध्यिका 6 और माध्य 6 है। x ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 14
  2. 26
  3. 32.5
  4. 410
  5. 54
  6. 67
  7. 715
  8. 810

रेखा आलेख (लाइन ग्राफ)

रोज़मर्रा के जीवन से

डॉक्टर हर 3 घंटे में आपका तापमान लिखते हैं और बिंदु जोड़ते हैं। ऊपर जाना, नीचे आना, समतल रहना: रेखा बुखार की कहानी एक नज़र में बताती है।

सरल परिभाषा

रेखा आलेख बिंदुओं (समय, मान) को समय के क्रम में जोड़ता है। चढ़ती रेखा = वृद्धि, गिरती रेखा = कमी, समतल = कोई बदलाव नहीं। अधिक तीखी रेखा यानी तेज़ बदलाव।

5092214276+12 / 2 = 6

आकृति में : 2 और 4 के बीच रेखा 2 चरणों में 12 बढ़ती है: प्रति चरण 6, सबसे तीखा भाग।

नियम 1 : मान और बदलाव पढ़ें — हर बिंदु की ऊँचाई पढ़ें। बदलाव = बाद का मान − पहले का मान।

  • आसान: बिंदु (2019, 40), (2020, 55), (2021, 50): 2020 में मान 55।
  • मध्यम: 2019 से 2020 तक वृद्धि 55 − 40 = 15।
  • परीक्षा-प्रकार: 2020 से 2021 तक कमी 55 − 50 = 5।

नियम 2 : सबसे बड़ा बदलाव ज्ञात करें — हर पास की जोड़ी का बदलाव निकालें और तुलना करें।

  • आसान: 2018 से 2021 में मान 10, 14, 30, 32: बदलाव +4, +16, +2।
  • मध्यम: सबसे बड़ी वृद्धि +16, 2019 और 2020 के बीच।
  • परीक्षा-प्रकार: 2018 से 2021 तक कुल बदलाव 32 − 10 = 22।

नियम 3 : दर और बीच के मान — दर = बदलाव ÷ चरण। दो बिंदुओं के बीच में बीच का मान लें (अनुमान)।

  • आसान: (1, 10) से (5, 30) तक: 20 ÷ 4 = प्रति चरण 5।
  • मध्यम: चरण 3 पर (बीच में) अनुमान (10 + 30) ÷ 2 = 20।
  • परीक्षा-प्रकार: (6, 40) से (9, 40) तक समतल भाग: दर 0।
याद रखें

दो मापों के बीच की रेखा केवल अनुमान है: उनके बीच ठीक क्या हुआ यह आलेख नहीं बताता।

सामान्य गलती

सबसे ऊँचे बिंदु को सबसे तेज़ बदलाव मानना। सबसे तेज़ बदलाव सबसे तीखा भाग है, सबसे ऊँचा बिंदु नहीं।

शॉर्टकट

ऊपर यानी वृद्धि, नीचे यानी कमी, समतल यानी स्थिर। याद रखने की युक्ति : "ज़्यादा तीखा यानी ज़्यादा तेज़"।

अंतर पहचानें

बिंदुरेखा आलेखदंड आलेख
किसके लिए उत्तमसमय के साथ बदलावश्रेणियों की तुलना
बिंदुरेखाओं से जुड़ेअलग दंडों से दिखाए
उदाहरणहर घंटे का तापमानपाँच कक्षाओं के अंक

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 1सप्ताह 1, 2, 3 में मान 5, 8 और 6 हैं। किस सप्ताह में मान सबसे अधिक है?
  2. 2उसी आलेख में सप्ताह 1 से 2 तक की वृद्धि ज्ञात कीजिए।
  3. 3रेखा आलेख का समतल भाग क्या दिखाता है?
मध्यम
  1. 4रेखा (2, 10) से (4, 26) तक जाती है। प्रति चरण बदलाव की दर ज्ञात कीजिए।
  2. 5चरण 1 से 4 के मान 40, 34, 29, 35 हैं। पास के चरणों के बीच सबसे बड़ी कमी ज्ञात कीजिए।
  3. 6बिंदु (1, 12) और (3, 20) सीधी रेखा से जुड़े हैं। चरण 2 पर मान का अनुमान लगाइए।
चुनौतीपूर्ण
  1. 7रेखा आलेख के बिंदु (0, 5), (2, 9), (4, 21), (6, 27) हैं। प्रति चरण सर्वाधिक बदलाव की दर ज्ञात कीजिए।
  2. 8पौधा महीने 1 से 4 में 20, 26, 32 और 38 cm ऊँचा है और उसी दर से बढ़ता रहता है। महीने 6 में ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 1सप्ताह 2
  2. 23
  3. 3कोई बदलाव नहीं
  4. 48
  5. 56
  6. 616
  7. 76
  8. 850 cm

आलेख चुनना और पढ़ना

रोज़मर्रा के जीवन से

विद्यालय का कार्यालय हर कक्षा की संख्या के लिए दंड आलेख, रोज़ की उपस्थिति के लिए रेखा आलेख और निधि के खर्च के लिए पाई चार्ट रखता है। हर चित्र अलग प्रश्न का उत्तर देता है।

सरल परिभाषा

उद्देश्य से चुनें: समय के साथ बदलाव के लिए रेखा आलेख; श्रेणियों की तुलना के लिए दंड आलेख; पूर्ण के भागों के लिए पाई चार्ट; एक समूह के दोहराए मानों के लिए डॉट प्लॉट। पाई चार्ट में कोण = हिस्सा × 360°। शीर्षक, लेबल और अक्ष कहाँ से शुरू होता है, सदा जाँचें।

90°108°162°

आकृति में : 360° का 25% = 90°; 30% = 108°; 45% = 162°।

नियम 1 : आलेख चुनें — पूछें: समय, श्रेणियाँ या पूर्ण के भाग?

Live आकृति

आलेख चुनना और पढ़ना

ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।

ऐप में खोलें

आकृति में : दंड बदलें और आकारों की तुलना करें।

  • आसान: पाँच विद्यार्थियों के अंक: दंड आलेख।
  • मध्यम: सप्ताह भर का तापमान: रेखा आलेख।
  • परीक्षा-प्रकार: खर्च के हिस्से: पाई चार्ट।

नियम 2 : पाई चार्ट के कोण — कोण = पूर्ण का हिस्सा × 360°।

  • आसान: पूर्ण का 1/4: 90°।
  • मध्यम: 30%: 30/100 × 360° = 108°।
  • परीक्षा-प्रकार: 90 में से 45 विद्यार्थी: 1/2 × 360° = 180°।

नियम 3 : ध्यान से पढ़ें — अक्ष कहाँ से शुरू होता है, पैमाना और लेबल जाँचें।

  • आसान: वास्तविक 52 और 56 मानों के दंड, अक्ष 50 से शुरू: ऊँचाई 2 और 6: तीन गुना, जबकि मान लगभग बराबर हैं।
  • मध्यम: 0 से शुरू होने वाला अक्ष दंडों का सही आकार दिखाता है।
  • परीक्षा-प्रकार: अक्ष पर समान चरण आलेख को निष्पक्ष बनाते हैं।
याद रखें

पाई चार्ट केवल एक पूर्ण के भाग दिखा सकता है; उसके भागों का योग सदा 360° (100%) होता है।

सामान्य गलती

समय के साथ बदलाव दिखाने के लिए पाई चार्ट का उपयोग करना, या अक्ष कहाँ से शुरू होता है यह न जाँचना।

शॉर्टकट

समय: रेखा। श्रेणी: दंड। पूर्ण: पाई। याद रखने की युक्ति : "समय को रेखा, श्रेणी को दंड, पूर्ण को पाई"।

अंतर पहचानें

बिंदुदंड आलेखपाई चार्ट
दिखाता हैमात्राएँपूर्ण के हिस्से
सब भागों का योगकुछ भी हो सकता है360° (100%)
उदाहरणपाँच पुस्तकालयों की पुस्तकेंदिन कैसे बिताया

अभ्यास के प्रश्न

आसान
  1. 1वर्ष भर की मासिक वर्षा के लिए कौन-सा आलेख उत्तम है?
  2. 2पाई चार्ट में 25% भाग का कोण ज्ञात कीजिए।
  3. 3छह खिलाड़ियों के रनों की तुलना के लिए कौन-सा आलेख उत्तम है?
मध्यम
  1. 4पाई चार्ट में 200 में से 40 विद्यार्थियों को फुटबॉल पसंद है। कोण ज्ञात कीजिए।
  2. 5135° का भाग 480 लोगों के हिस्से को दर्शाता है। कितने लोग?
  3. 654° का भाग पूर्ण का कितना प्रतिशत है?
चुनौतीपूर्ण
  1. 7360 विद्यार्थियों के पाई चार्ट में विज्ञान 150° और गणित 90° है। शेष भाषाएँ हैं। भाषाएँ लेने वाले कितने विद्यार्थी हैं?
  2. 8दंड आलेख का अक्ष 40 से शुरू होता है। वास्तविक 45 और 55 के दंड 5 और 15 इकाई ऊँचे बनाए गए। दूसरा दंड कितना गुना ऊँचा दिखता है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
  1. 1रेखा आलेख
  2. 290°
  3. 3दंड आलेख
  4. 472°
  5. 5180
  6. 615%
  7. 7120
  8. 83 गुना