स्वसमरूपता और फ्रैक्टल पैटर्न
फर्न की पत्ती देखिए: हर छोटी पत्ती पूरी पत्ती जैसी दिखती है। रंगोली या मंदिर का गोपुरम एक ही डिज़ाइन को अपने भीतर बार-बार दोहरा सकता है। "अपने भीतर अपनी प्रति" का यह विचार स्वसमरूपता है।
फ्रैक्टल वह स्वसमरूप आकृति है जो वही नियम बार-बार लगाने से बनती है। सिएरपिंस्की कालीन: वर्ग के 9 बराबर वर्ग बनाएँ, बीच वाला हटाएँ, बचे 8 पर दोहराएँ। सिएरपिंस्की त्रिभुज: त्रिभुज के मध्य-बिंदु जोड़ें, बीच वाला त्रिभुज हटाएँ, बचे 3 पर दोहराएँ।
आकृति में : चरण 2 के बाद कालीन: 64 छोटे वर्ग।
आकृति में : चरण 3 के बाद त्रिभुज: 27 छोटे त्रिभुज।
नियम 1 : कालीन गिनें — हर चरण में वर्गों की संख्या 8 से गुणा होती है: चरण n पर 8^n वर्ग।
- आसान: चरण 1: 8 वर्ग।
- मध्यम: चरण 2: 8 × 8 = 64 वर्ग।
- परीक्षा-प्रकार: चरण 3: 64 × 8 = 512 वर्ग; हर एक की भुजा मूल की 1/27।
नियम 2 : त्रिभुज गिनें — हर चरण में त्रिभुजों की संख्या 3 से गुणा होती है: चरण n पर 3^n त्रिभुज।
- आसान: चरण 1: 3 त्रिभुज।
- मध्यम: चरण 2: 9 त्रिभुज; इस चरण में 3 हटाए।
- परीक्षा-प्रकार: चरण 3: 27 त्रिभुज, हर एक की भुजा मूल की 1/8।
नियम 3 : टुकड़ों का माप — कालीन के टुकड़े हर चरण में भुजा के 1/3 हो जाते हैं; त्रिभुज के टुकड़े भुजा के 1/2।
- आसान: कालीन की भुजा 27 cm: टुकड़े 9 cm, फिर 3 cm, फिर 1 cm।
- मध्यम: त्रिभुज की भुजा 16 cm: टुकड़े 8 cm, फिर 4 cm।
- परीक्षा-प्रकार: कालीन चरण 2 का वर्ग: भुजा का (1/3) × (1/3) = 1/9।
ये आकृतियाँ दोहराव से बनती हैं, इसलिए अगला चरण हर टुकड़े पर वही नियम एक बार और लगाने से मिलता है।
केवल पहले चरण के टुकड़े गिनना: चरण 2 के बाद कालीन में 64 वर्ग हैं, 16 नहीं, क्योंकि बचे 8 में से हर एक पर फिर नियम लगता है।
कालीन ×8, त्रिभुज ×3। याद रखने की युक्ति : "कालीन-8, त्रिभुज-3"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | सिएरपिंस्की कालीन | सिएरपिंस्की त्रिभुज |
|---|---|---|
| शुरुआत | वर्ग | त्रिभुज |
| चरण n के बाद टुकड़े | 8^n | 3^n |
| हर टुकड़े की भुजा | (1/3)^n | (1/2)^n |
अभ्यास के प्रश्न
- 1कालीन के पहले चरण में वर्ग के कितने बराबर वर्ग करते हैं?
- 2कालीन के चरण 1 के बाद कितने वर्ग बचते हैं?
- 3सिएरपिंस्की त्रिभुज के चरण 1 के बाद कितने त्रिभुज बचते हैं?
- 4कालीन में चरण 2 के बाद कितने वर्ग होते हैं?
- 5सिएरपिंस्की त्रिभुज के चरण 3 के बाद कितने त्रिभुज होते हैं?
- 627 cm भुजा का कालीन: चरण 2 के बाद टुकड़े की भुजा ज्ञात कीजिए।
- 7कालीन में चरण 3 के बाद कितने वर्ग होते हैं?
- 8सिएरपिंस्की त्रिभुज के चरण 2 में कितने त्रिभुज हटाए जाते हैं?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 19
- 28
- 33
- 464
- 527
- 63 cm
- 7512
- 83
सिएरपिंस्की कालीन और त्रिभुज में क्षेत्रफल
बेकर वर्गाकार केक को 9 बराबर टुकड़ों में काटकर बीच वाला खा लेता है: केक का 8/9 भाग बचता है। फिर बचे 8 में से हर एक पर वही करता है: 8/9 का 8/9 बचता है।
कालीन के हर चरण में क्षेत्रफल का 8/9 बचता है; त्रिभुज के हर चरण में 3/4। n चरणों के बाद बचा क्षेत्रफल = मूल क्षेत्रफल × (8/9)^n (कालीन) और × (3/4)^n (त्रिभुज)। हटाया गया = 1 − बचा भाग।
नियम 1 : कालीन का क्षेत्रफल — हर चरण पर क्षेत्रफल को 8/9 से गुणा करें।
- आसान: भुजा 9 cm: क्षेत्रफल 81; चरण 1 के बाद 72 cm²।
- मध्यम: भुजा 27 cm: क्षेत्रफल 729; हटाया 81; बचा 648 cm²।
- परीक्षा-प्रकार: 2 चरणों के बाद 64/81 बचता है; 3 चरणों के बाद 512/729।
नियम 2 : त्रिभुज का क्षेत्रफल — हर चरण पर क्षेत्रफल को 3/4 से गुणा करें।
- आसान: क्षेत्रफल 64 cm²: चरण 1 के बाद 48 cm²।
- मध्यम: क्षेत्रफल 64 cm²: चरण 2 के बाद 36, चरण 3 के बाद 27 cm²।
- परीक्षा-प्रकार: क्षेत्रफल 144 cm²: 2 चरणों के बाद 144 × 9/16 = 81 cm²।
नियम 3 : हटाया गया क्षेत्रफल — 1 में से बचा भाग घटाएँ।
- आसान: कालीन चरण 1: 1/9 हटा; त्रिभुज चरण 1: 1/4।
- मध्यम: 2 चरणों के बाद त्रिभुज: 1 − 9/16 = 7/16 हटा।
- परीक्षा-प्रकार: 2 चरणों के बाद कालीन: 1 − 64/81 = 17/81 हटा।
चरण बढ़ने पर बचा क्षेत्रफल शून्य की ओर जाता है, फिर भी आकृति पूरी तरह लुप्त नहीं होती।
हर बार 8/9 से गुणा करने की जगह 1/9 घटाना। 2 चरणों के बाद कालीन 64/81 रखता है, 7/9 नहीं।
बचा भाग लें, फिर गुणा करें। याद रखने की युक्ति : "कालीन 9 में 8, त्रिभुज 4 में 3 - गुणा करो, घटाओ नहीं"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | कालीन | त्रिभुज |
|---|---|---|
| हर चरण में बचता है | 8/9 | 3/4 |
| 2 चरणों के बाद | 64/81 | 9/16 |
| 2 चरणों के बाद हटा | 17/81 | 7/16 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1चरण 1 के बाद कालीन का कितना भाग बचता है?
- 2कालीन की भुजा 9 cm है। चरण 1 के बाद बचा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 364 cm² क्षेत्रफल का त्रिभुज लिया गया। चरण 1 के बाद बचा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 4चरण 2 के बाद कालीन का बचा भाग ज्ञात कीजिए।
- 564 cm² का त्रिभुज: चरण 3 के बाद बचा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 62 चरणों के बाद त्रिभुज का हटाया गया भाग ज्ञात कीजिए।
- 7कालीन की भुजा 27 cm है। चरण 1 में हटाया गया क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 8चरण 2 के बाद किसका क्षेत्रफल अधिक बचता है: कालीन या त्रिभुज?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 18/9
- 272 cm²
- 348 cm²
- 464/81
- 527 cm²
- 67/16
- 781 cm²
- 8कालीन (64/81 > 9/16)
कोच स्नोफ्लेक
समुद्र तट की कल्पना कीजिए: जितना पास से देखें उतनी अधिक खाड़ियाँ और उभार दिखते हैं, इसलिए छोटे पैमाने से नापा तट अधिक लंबा निकलता है। कोच स्नोफ्लेक इसका सुंदर नमूना है।
समबाहु त्रिभुज से शुरू करें। हर चरण में हर भुजा के तीन बराबर भाग करें, बीच वाला हटाएँ और वहाँ छोटा समबाहु "उभार" (दो टुकड़े) लगाएँ। हर भुजा 4 टुकड़ों की हो जाती है, हर टुकड़ा 1/3 लंबाई का, इसलिए परिमाप 4/3 से गुणा होता है।
आकृति में : भुजाओं की संख्या: 3, 12, 48, ...
नियम 1 : भुजाएँ गिनें — हर चरण में भुजाओं की संख्या 4 से गुणा: 3 × 4^n।
- आसान: चरण 1: 12 भुजाएँ।
- मध्यम: चरण 2: 48 भुजाएँ; चरण 3: 192 भुजाएँ।
- परीक्षा-प्रकार: एक मूल भुजा 4 टुकड़ों की, फिर 16 टुकड़ों की हो जाती है।
नियम 2 : एक टुकड़े की लंबाई — हर चरण में 3 से भाग: मूल भुजा ÷ 3^n।
- आसान: भुजा 27 cm: चरण 1 के टुकड़े 9 cm।
- मध्यम: भुजा 27 cm: चरण 2 के टुकड़े 3 cm; चरण 3 के 1 cm।
- परीक्षा-प्रकार: भुजा 81 cm: चरण 2 के टुकड़े 9 cm।
नियम 3 : परिमाप — 3 × भुजा से शुरू करें, फिर हर चरण पर 4/3 से गुणा करें।
- आसान: भुजा 9 cm: 27 → चरण 1 पर 36 cm।
- मध्यम: भुजा 9 cm: चरण 2 पर 36 × 4/3 = 48 cm।
- परीक्षा-प्रकार: भुजा 6 cm: 18 → 24 → 32 cm।
परिमाप बिना सीमा बढ़ता है, पर पूरा स्नोफ्लेक हमेशा एक वृत्त के भीतर आता है, इसलिए क्षेत्रफल सीमित रहता है।
यह मानना कि उभार केवल एक भुजा पर लगता है या हर टुकड़ा 1/2 लंबाई का होता है। हर भुजा बदलती है और हर नया टुकड़ा 1/3 लंबाई का।
भुजाएँ ×4, लंबाई ÷3, परिमाप ×4/3। याद रखने की युक्ति : "चौगुनी भुजाएँ, एक-तिहाई लंबाई"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | भुजाएँ | परिमाप |
|---|---|---|
| हर चरण में | × 4 | × 4/3 |
| चरण 2 (शुरुआत 3 और 27) | 48 | 48 |
| प्रवृत्ति | बढ़ता है | असीमित बढ़ता है |
अभ्यास के प्रश्न
- 1कोच स्नोफ्लेक के चरण 1 पर कितनी भुजाएँ होती हैं?
- 2भुजा 27 cm: चरण 1 पर टुकड़े की लंबाई ज्ञात कीजिए।
- 3भुजा 9 cm: चरण 1 पर परिमाप ज्ञात कीजिए।
- 4चरण 3 पर कितनी भुजाएँ?
- 5भुजा 9 cm: चरण 2 पर परिमाप ज्ञात कीजिए।
- 6भुजा 81 cm: चरण 2 पर टुकड़ा ज्ञात कीजिए।
- 7भुजा 6 cm: चरण 2 पर परिमाप ज्ञात कीजिए।
- 89 लंबाई का रेखाखंड कोच वक्र बना। चरण 2 पर लंबाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 112
- 29 cm
- 336 cm
- 4192
- 548 cm
- 69 cm
- 732 cm
- 816
कोच स्नोफ्लेक
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंफलक, किनारे, शीर्ष और जाल (नेट)
एक गत्ते का डिब्बा लीजिए। समतल बगलें फलक हैं, जहाँ दो फलक मिलते हैं वे रेखाएँ किनारे हैं और नुकीले कोने शीर्ष हैं। कुछ किनारों पर काटकर डिब्बे को खोलने पर नेट मिलता है।
समतल फलकों वाले किसी भी ठोस के लिए V − E + F = 2 (V शीर्ष, E किनारे, F फलक)। n भुजा वाले आधार के प्रिज़्म में n + 2 फलक, 3n किनारे, 2n शीर्ष। n भुजा वाले आधार के पिरामिड में n + 1 फलक, 2n किनारे, n + 1 शीर्ष।
आकृति में : घनाभ: 8 − 12 + 6 = 2।
नियम 1 : प्रिज़्म — आधार की भुजाएँ n लेकर गिनें: फलक n + 2, किनारे 3n, शीर्ष 2n।
- आसान: पंचभुजाकार प्रिज़्म (n = 5): 7 फलक, 15 किनारे, 10 शीर्ष।
- मध्यम: षट्भुजाकार प्रिज़्म (n = 6): 8 फलक, 18 किनारे, 12 शीर्ष; 6 आयत।
- परीक्षा-प्रकार: 10 भुजा के आधार वाला प्रिज़्म: 12 फलक, 30 किनारे, 20 शीर्ष।
नियम 2 : पिरामिड और यूलर का नियम — पिरामिड: n + 1, 2n, n + 1। V − E + F = 2 से जाँचें या लुप्त संख्या निकालें।
- आसान: वर्गाधार पिरामिड (n = 4): 5 फलक, 8 किनारे, 5 शीर्ष।
- मध्यम: V = 12, E = 30: F = 2 − 12 + 30 = 20।
- परीक्षा-प्रकार: चतुष्फलक: 4 फलक, 6 किनारे, 4 शीर्ष; 4 − 6 + 4 = 2।
नियम 3 : नेट — ठोस का हर फलक लिखें; नेट में वे सभी किनारों से जुड़े दिखने चाहिए।
आकृति में : घन का नेट: किनारे से किनारा जुड़े छह वर्ग, मोड़ने पर अतिव्यापन नहीं।
- आसान: घन: 6 वर्ग। त्रिभुजाकार प्रिज़्म: 2 त्रिभुज + 3 आयत।
- मध्यम: वर्गाधार पिरामिड: 1 वर्ग + 4 त्रिभुज।
- परीक्षा-प्रकार: बेलन: 2 वृत्त + 1 आयत।
वक्र सतह वाले ठोसों (गोला, बेलन, शंकु) पर n + 2 जैसी गिनती लागू नहीं होती, पर नेट उनके समतल और वक्र भाग दिखाता है।
फलक और किनारे में भ्रम, या प्रिज़्म के ऊपर-नीचे के फलक भूल जाना। त्रिभुज आधार वाले प्रिज़्म में 2 + 3 = 5 फलक।
V − E + F = 2। याद रखने की युक्ति : "शीर्ष घटा किनारे जोड़ फलक बराबर दो"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | प्रिज़्म (n भुजा) | पिरामिड (n भुजा) |
|---|---|---|
| फलक | n + 2 | n + 1 |
| किनारे | 3n | 2n |
| शीर्ष | 2n | n + 1 |
अभ्यास के प्रश्न
- 1घनाभ में कितने फलक, किनारे और शीर्ष होते हैं?
- 2प्रिज़्म के आधार की 5 भुजाएँ हैं। उसके फलक ज्ञात कीजिए।
- 3घन के नेट में क्या होता है?
- 4पिरामिड के आधार की 10 भुजाएँ हैं। उसके किनारे ज्ञात कीजिए।
- 5V = 12 और E = 30। F ज्ञात कीजिए।
- 6त्रिभुजाकार प्रिज़्म के नेट में क्या होता है?
- 7प्रिज़्म के आधार की 10 भुजाएँ हैं। उसके शीर्ष ज्ञात कीजिए।
- 8एक ठोस के लिए V = 8 और F = 6। E ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 16, 12, 8
- 27
- 36 वर्ग
- 420
- 520
- 62 त्रिभुज, 3 आयत
- 720
- 812
दृश्य और घनों के ढेर
बच्चा ब्लॉकों की मीनारें बनाता है। ऊपर से केवल ऊपरी सिरे दिखते हैं; सामने से हर स्तंभ की ऊँचाई दिखती है। एक ही ठोस एक ओर से वृत्त और दूसरी ओर से आयत जैसा दिख सकता है।
ऊपरी दृश्य, सामने का दृश्य और बगल का दृश्य ठोस को ऊपर, सामने और बगल से देखने पर मिलने वाली समतल बाहरी रेखाएँ हैं। घनों के ढेर के ऊपरी दृश्य में हर स्तंभ के लिए एक वर्ग होता है और कुल घन स्तंभों की ऊँचाइयों का योग होते हैं।
आकृति में : ऊपरी दृश्य की ऊँचाइयों का योग कुल घन: 10।
नियम 1 : सरल ठोसों की रूपरेखा — कल्पना कीजिए कि ठोस दीवार से गुज़र रहा है: छेद रूपरेखा दिखाता है।
- आसान: बेलन: ऊपर से वृत्त, बगल से आयत।
- मध्यम: शंकु: ऊपर से वृत्त, बगल से त्रिभुज। गोला: हर दिशा से वृत्त।
- परीक्षा-प्रकार: जिस बेलन की ऊँचाई व्यास के बराबर हो वह बगल से वर्ग और ऊपर से वृत्त दिखाता है।
नियम 2 : ढेर में घन गिनें — सब स्तंभों की ऊँचाइयाँ जोड़ें। ऊपरी दृश्य के वर्ग = स्तंभों की संख्या।
- आसान: ऊँचाइयाँ 3, 2, 1: 6 घन।
- मध्यम: ऊँचाइयाँ 4, 1, 2, 3: 10 घन और ऊपरी दृश्य में 4 वर्ग।
- परीक्षा-प्रकार: 3 लंबा, 2 चौड़ा, 4 ऊँचा ब्लॉक: 3 × 2 × 4 = 24 घन।
नियम 3 : सामने का दृश्य और विशेष दृश्य — सामने का दृश्य हर स्थान पर सबसे ऊँचा स्तंभ दिखाता है। आइसोमेट्रिक चित्र में घन षट्भुजाकार रेखा वाला दिखता है। सीधा नीचे पड़ता सूर्य का प्रकाश वही आकार और माप वाली छाया बनाता है।
- आसान: ऊँचाइयाँ 2, 1, 3, 1: सामने के दृश्य में सबसे ऊँचा 3।
- मध्यम: ऊँचाइयाँ 1, 4, 2: सामने की रेखा 4 तक पहुँचती है।
- परीक्षा-प्रकार: वर्गाधार पिरामिड: ऊपर से वर्ग, बगल से त्रिभुज।
एक दृश्य कभी पर्याप्त नहीं होता: वृत्त जैसा ऊपरी दृश्य गोला, बेलन या शंकु हो सकता है, इसलिए कम से कम दो दृश्य जाँचें।
केवल दिखने वाले घन गिनना। पीछे और नीचे छिपे घन भी कुल में गिने जाते हैं।
ऊपर से = स्तंभ, ऊँचाइयाँ जोड़ें = घन। याद रखने की युक्ति : "ऊपर से मीनारें गिनो, ऊँचाई से ब्लॉक गिनो"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | ऊपरी दृश्य | सामने का दृश्य |
|---|---|---|
| दिखाता है | स्तंभ | ऊँचाइयाँ |
| बेलन | वृत्त | आयत |
| शंकु | वृत्त | त्रिभुज |
अभ्यास के प्रश्न
- 1बेलन ऊपर से क्या दिखाता है?
- 2ढेरों की ऊँचाइयाँ 3, 2, 1। कुल कितने घन?
- 3शंकु बगल से क्या दिखाता है?
- 4ढेरों की ऊँचाइयाँ 4, 1, 2, 3। कुल कितने घन?
- 5ऊँचाइयाँ 2, 1, 3, 1 के लिए ऊपरी दृश्य में कितने वर्ग?
- 63 लंबे, 2 चौड़े, 4 ऊँचे ब्लॉक में कितने इकाई घन आते हैं?
- 7कौन-सा ठोस बगल से वर्ग और ऊपर से वृत्त दिखाता है?
- 8ऊँचाइयाँ 1, 4, 2: सामने के दृश्य में अधिकतम ऊँचाई और कुल घन ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1वृत्त
- 26
- 3त्रिभुज
- 410
- 54
- 624
- 7ऊँचाई व्यास के बराबर वाला बेलन
- 84 और 7