स्वसमरूपता आणि फ्रॅक्टल नमुने
नेचाचे पान पाहा: प्रत्येक लहान पान संपूर्ण पानासारखे दिसते. रांगोळी किंवा मंदिराचे गोपुर एकच डिझाईन स्वतःत पुन्हा पुन्हा दाखवू शकते. "स्वतःत स्वतःची प्रत" ही कल्पना म्हणजे स्वसमरूपता.
फ्रॅक्टल म्हणजे तोच नियम पुन्हा पुन्हा लावून बनलेला स्वसमरूप आकार. सिएरपिन्स्की गालिचा: चौरसाचे 9 समान चौरस करा, मधला काढा, उरलेल्या 8 वर पुन्हा करा. सिएरपिन्स्की त्रिकोण: त्रिकोणाचे मध्यबिंदू जोडा, मधला त्रिकोण काढा, उरलेल्या 3 वर पुन्हा करा.
आकृतीत : पायरी 2 नंतर गालिचा: 64 लहान चौरस.
आकृतीत : पायरी 3 नंतर त्रिकोण: 27 लहान त्रिकोण.
नियम 1 : गालिचा मोजा — प्रत्येक पायरीत चौरसांची संख्या 8 ने गुणली जाते: पायरी n ला 8^n चौरस.
- सोपे: पायरी 1: 8 चौरस.
- मध्यम: पायरी 2: 8 × 8 = 64 चौरस.
- परीक्षेतील प्रकार: पायरी 3: 64 × 8 = 512 चौरस; प्रत्येकाची बाजू मूळाची 1/27.
नियम 2 : त्रिकोण मोजा — प्रत्येक पायरीत त्रिकोणांची संख्या 3 ने गुणली जाते: पायरी n ला 3^n त्रिकोण.
- सोपे: पायरी 1: 3 त्रिकोण.
- मध्यम: पायरी 2: 9 त्रिकोण; या पायरीत 3 काढले.
- परीक्षेतील प्रकार: पायरी 3: 27 त्रिकोण, प्रत्येकाची बाजू मूळाची 1/8.
नियम 3 : तुकड्यांचे माप — गालिच्याचे तुकडे प्रत्येक पायरीत बाजूने 1/3 होतात; त्रिकोणाचे तुकडे बाजूने 1/2.
- सोपे: गालिच्याची बाजू 27 cm: तुकडे 9 cm, मग 3 cm, मग 1 cm.
- मध्यम: त्रिकोणाची बाजू 16 cm: तुकडे 8 cm, मग 4 cm.
- परीक्षेतील प्रकार: गालिचा पायरी 2 चा चौरस: बाजूच्या (1/3) × (1/3) = 1/9.
हे आकार पुनरावृत्तीने बनतात, म्हणून पुढची पायरी प्रत्येक तुकड्याला पुन्हा तोच नियम लावून मिळते.
फक्त पहिल्या पायरीचे तुकडे मोजणे: पायरी 2 नंतर गालिच्यात 64 चौरस, 16 नाही, कारण उरलेल्या 8 पैकी प्रत्येकावर पुन्हा नियम लागतो.
गालिचा ×8, त्रिकोण ×3. आठवणीची युक्ती : "गालिचा-8, त्रिकोण-3".
फरक ओळखा
| मुद्दा | सिएरपिन्स्की गालिचा | सिएरपिन्स्की त्रिकोण |
|---|---|---|
| सुरुवात | चौरस | त्रिकोण |
| पायरी n नंतर तुकडे | 8^n | 3^n |
| प्रत्येक तुकड्याची बाजू | (1/3)^n | (1/2)^n |
सरावासाठी प्रश्न
- 1गालिच्याच्या पहिल्या पायरीत चौरसाचे किती समान चौरस करतात?
- 2गालिच्याच्या पायरी 1 नंतर किती चौरस उरतात?
- 3सिएरपिन्स्की त्रिकोणाच्या पायरी 1 नंतर किती त्रिकोण उरतात?
- 4गालिच्यात पायरी 2 नंतर किती चौरस असतात?
- 5सिएरपिन्स्की त्रिकोणाच्या पायरी 3 नंतर किती त्रिकोण असतात?
- 627 cm बाजूचा गालिचा: पायरी 2 नंतर तुकड्याची बाजू काढा.
- 7गालिच्यात पायरी 3 नंतर किती चौरस असतात?
- 8सिएरपिन्स्की त्रिकोणाच्या पायरी 2 मध्ये किती त्रिकोण काढले जातात?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 19
- 28
- 33
- 464
- 527
- 63 cm
- 7512
- 83
सिएरपिन्स्की गालिचा आणि त्रिकोणातील क्षेत्रफळ
बेकर चौरस केकचे 9 समान तुकडे करतो आणि मधला खातो: केकचा 8/9 भाग उरतो. मग उरलेल्या 8 पैकी प्रत्येकावर तेच करतो: 8/9 चा 8/9 भाग उरतो.
गालिच्याच्या प्रत्येक पायरीत क्षेत्रफळाचा 8/9 भाग उरतो; त्रिकोणाच्या प्रत्येक पायरीत 3/4. n पायऱ्यांनंतर उरलेले क्षेत्रफळ = मूळ क्षेत्रफळ × (8/9)^n (गालिचा) आणि × (3/4)^n (त्रिकोण). काढलेले = 1 − उरलेला भाग.
नियम 1 : गालिच्याचे क्षेत्रफळ — प्रत्येक पायरीला क्षेत्रफळ 8/9 ने गुणा.
- सोपे: बाजू 9 cm: क्षेत्रफळ 81; पायरी 1 नंतर 72 cm².
- मध्यम: बाजू 27 cm: क्षेत्रफळ 729; काढले 81; उरले 648 cm².
- परीक्षेतील प्रकार: 2 पायऱ्यांनंतर 64/81 उरते; 3 पायऱ्यांनंतर 512/729.
नियम 2 : त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ — प्रत्येक पायरीला क्षेत्रफळ 3/4 ने गुणा.
- सोपे: क्षेत्रफळ 64 cm²: पायरी 1 नंतर 48 cm².
- मध्यम: क्षेत्रफळ 64 cm²: पायरी 2 नंतर 36, पायरी 3 नंतर 27 cm².
- परीक्षेतील प्रकार: क्षेत्रफळ 144 cm²: 2 पायऱ्यांनंतर 144 × 9/16 = 81 cm².
नियम 3 : काढलेले क्षेत्रफळ — 1 मधून उरलेला भाग वजा करा.
- सोपे: गालिचा पायरी 1: 1/9 काढले; त्रिकोण पायरी 1: 1/4.
- मध्यम: 2 पायऱ्यांनंतर त्रिकोण: 1 − 9/16 = 7/16 काढले.
- परीक्षेतील प्रकार: 2 पायऱ्यांनंतर गालिचा: 1 − 64/81 = 17/81 काढले.
पायऱ्या चालू राहिल्या की उरलेले क्षेत्रफळ शून्याकडे जाते, तरी आकार पूर्ण नाहीसा होत नाही.
प्रत्येक वेळी 8/9 ने गुणण्याऐवजी 1/9 वजा करणे. 2 पायऱ्यांनंतर गालिचा 64/81 राखतो, 7/9 नाही.
उरलेला भाग घ्या, पुन्हा गुणा. आठवणीची युक्ती : "गालिचा 9 पैकी 8, त्रिकोण 4 पैकी 3 - गुणा, वजा नको".
फरक ओळखा
| मुद्दा | गालिचा | त्रिकोण |
|---|---|---|
| प्रत्येक पायरीत उरते | 8/9 | 3/4 |
| 2 पायऱ्यांनंतर | 64/81 | 9/16 |
| 2 पायऱ्यांनंतर काढले | 17/81 | 7/16 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1पायरी 1 नंतर गालिच्याचा किती भाग उरतो?
- 2गालिच्याची बाजू 9 cm. पायरी 1 नंतर उरलेले क्षेत्रफळ काढा.
- 364 cm² क्षेत्रफळाचा त्रिकोण घेतला. पायरी 1 नंतर उरलेले क्षेत्रफळ काढा.
- 4पायरी 2 नंतर गालिच्याचा उरलेला भाग काढा.
- 564 cm² त्रिकोण: पायरी 3 नंतर उरलेले क्षेत्रफळ काढा.
- 62 पायऱ्यांनंतर त्रिकोणाचा काढलेला भाग काढा.
- 7गालिच्याची बाजू 27 cm. पायरी 1 मध्ये काढलेले क्षेत्रफळ काढा.
- 8पायरी 2 नंतर कोणाचे क्षेत्रफळ जास्त उरते: गालिचा की त्रिकोण?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 18/9
- 272 cm²
- 348 cm²
- 464/81
- 527 cm²
- 67/16
- 781 cm²
- 8गालिचा (64/81 > 9/16)
कोच स्नोफ्लेक
समुद्रकिनाऱ्याची कल्पना करा: जितके जवळून पाहाल तितक्या जास्त खाड्या आणि उंचवटे दिसतात, म्हणून लहान पट्टीने मोजलेला किनारा जास्त लांब होतो. कोच स्नोफ्लेक हा याचा सुरेख नमुना आहे.
समभुज त्रिकोणापासून सुरुवात करा. प्रत्येक पायरीत प्रत्येक बाजूचे तीन समान भाग करा, मधला भाग काढा आणि तेथे लहान समभुज "उंचवटा" (दोन तुकडे) लावा. प्रत्येक बाजू 4 तुकड्यांची होते, प्रत्येक 1/3 लांबीचा, म्हणून परिमिती 4/3 ने गुणली जाते.
आकृतीत : बाजूंची संख्या: 3, 12, 48, ...
नियम 1 : बाजू मोजा — प्रत्येक पायरीत बाजूंची संख्या 4 ने गुणा: 3 × 4^n.
- सोपे: पायरी 1: 12 बाजू.
- मध्यम: पायरी 2: 48 बाजू; पायरी 3: 192 बाजू.
- परीक्षेतील प्रकार: एक मूळ बाजू 4 तुकड्यांची, मग 16 तुकड्यांची होते.
नियम 2 : एका तुकड्याची लांबी — प्रत्येक पायरीत 3 ने भागा: मूळ बाजू ÷ 3^n.
- सोपे: बाजू 27 cm: पायरी 1 चे तुकडे 9 cm.
- मध्यम: बाजू 27 cm: पायरी 2 चे तुकडे 3 cm; पायरी 3 चे 1 cm.
- परीक्षेतील प्रकार: बाजू 81 cm: पायरी 2 चे तुकडे 9 cm.
नियम 3 : परिमिती — 3 × बाजू पासून सुरुवात, मग प्रत्येक पायरीला 4/3 ने गुणा.
- सोपे: बाजू 9 cm: 27 → पायरी 1 ला 36 cm.
- मध्यम: बाजू 9 cm: पायरी 2 ला 36 × 4/3 = 48 cm.
- परीक्षेतील प्रकार: बाजू 6 cm: 18 → 24 → 32 cm.
परिमिती अमर्याद वाढते, पण संपूर्ण स्नोफ्लेक नेहमी एका वर्तुळात बसतो, म्हणून क्षेत्रफळ मर्यादित राहते.
उंचवटा फक्त एका बाजूवर लागतो किंवा प्रत्येक तुकडा 1/2 लांबीचा होतो असे समजणे. प्रत्येक बाजू बदलते आणि नवा तुकडा 1/3 लांबीचा.
बाजू ×4, लांबी ÷3, परिमिती ×4/3. आठवणीची युक्ती : "चौपट बाजू, एक तृतीयांश लांबी".
फरक ओळखा
| मुद्दा | बाजू | परिमिती |
|---|---|---|
| प्रत्येक पायरीत | × 4 | × 4/3 |
| पायरी 2 (सुरुवात 3 आणि 27) | 48 | 48 |
| प्रवृत्ती | वाढते | अमर्याद वाढते |
सरावासाठी प्रश्न
- 1कोच स्नोफ्लेकला पायरी 1 ला किती बाजू असतात?
- 2बाजू 27 cm: पायरी 1 ला तुकड्याची लांबी काढा.
- 3बाजू 9 cm: पायरी 1 ला परिमिती काढा.
- 4पायरी 3 ला किती बाजू?
- 5बाजू 9 cm: पायरी 2 ला परिमिती काढा.
- 6बाजू 81 cm: पायरी 2 ला तुकडा काढा.
- 7बाजू 6 cm: पायरी 2 ला परिमिती काढा.
- 89 लांबीचा रेषाखंड कोच वक्र झाला. पायरी 2 ला लांबी काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 112
- 29 cm
- 336 cm
- 4192
- 548 cm
- 69 cm
- 732 cm
- 816
कोच स्नोफ्लेक
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडापृष्ठे, कडा, शिरोबिंदू आणि जाळ्या (नेट)
पुठ्ठ्याचा खोका घ्या. सपाट बाजू म्हणजे पृष्ठे, दोन पृष्ठे जिथे भेटतात त्या रेषा म्हणजे कडा, आणि टोकदार कोपरे म्हणजे शिरोबिंदू. काही कडांवर कापून खोका सपाट केला की नेट मिळते.
सपाट पृष्ठे असलेल्या कोणत्याही घनाकृतीसाठी V − E + F = 2 (V शिरोबिंदू, E कडा, F पृष्ठे). n बाजू पाया असलेल्या प्रिझमला n + 2 पृष्ठे, 3n कडा, 2n शिरोबिंदू. n बाजू पाया असलेल्या पिरॅमिडला n + 1 पृष्ठे, 2n कडा, n + 1 शिरोबिंदू.
आकृतीत : घनचिती: 8 − 12 + 6 = 2.
नियम 1 : प्रिझम — पायाच्या बाजू n घेऊन मोजा: पृष्ठे n + 2, कडा 3n, शिरोबिंदू 2n.
- सोपे: पंचकोनी प्रिझम (n = 5): 7 पृष्ठे, 15 कडा, 10 शिरोबिंदू.
- मध्यम: षटकोनी प्रिझम (n = 6): 8 पृष्ठे, 18 कडा, 12 शिरोबिंदू; 6 आयत.
- परीक्षेतील प्रकार: 10 बाजूंचा पाया असलेला प्रिझम: 12 पृष्ठे, 30 कडा, 20 शिरोबिंदू.
नियम 2 : पिरॅमिड आणि ऑयलरचा नियम — पिरॅमिड: n + 1, 2n, n + 1. V − E + F = 2 ने तपासा किंवा गहाळ संख्या काढा.
- सोपे: चौरस पिरॅमिड (n = 4): 5 पृष्ठे, 8 कडा, 5 शिरोबिंदू.
- मध्यम: V = 12, E = 30: F = 2 − 12 + 30 = 20.
- परीक्षेतील प्रकार: चतुष्फलक: 4 पृष्ठे, 6 कडा, 4 शिरोबिंदू; 4 − 6 + 4 = 2.
नियम 3 : नेट — घनाकृतीची प्रत्येक पृष्ठ लिहा; नेटमध्ये ती सर्व कडांनी जोडलेली दिसली पाहिजेत.
आकृतीत : घनाचे नेट: कडेला कड जोडलेले सहा चौरस, घडी घालताना अतिव्यापन नाही.
- सोपे: घन: 6 चौरस. त्रिकोणी प्रिझम: 2 त्रिकोण + 3 आयत.
- मध्यम: चौरस पिरॅमिड: 1 चौरस + 4 त्रिकोण.
- परीक्षेतील प्रकार: दंडगोल: 2 वर्तुळे + 1 आयत.
वक्र पृष्ठे असलेल्या घनाकृतींना (गोल, दंडगोल, शंकू) n + 2 सारखी मोजणी लागू होत नाही, पण नेट त्यांचे सपाट आणि वक्र भाग दाखवते.
पृष्ठे आणि कडा गोंधळणे, किंवा प्रिझमची वरची आणि खालची पृष्ठे विसरणे. त्रिकोणी पायाच्या प्रिझमला 2 + 3 = 5 पृष्ठे.
V − E + F = 2. आठवणीची युक्ती : "V - E + F = 2: शिरोबिंदू वजा कडा अधिक पृष्ठे दोन".
फरक ओळखा
| मुद्दा | प्रिझम (n बाजू) | पिरॅमिड (n बाजू) |
|---|---|---|
| पृष्ठे | n + 2 | n + 1 |
| कडा | 3n | 2n |
| शिरोबिंदू | 2n | n + 1 |
सरावासाठी प्रश्न
- 1घनचितीला किती पृष्ठे, कडा आणि शिरोबिंदू?
- 2प्रिझमच्या पायाला 5 बाजू. त्याची पृष्ठे काढा.
- 3घनाच्या नेटमध्ये काय असते?
- 4पिरॅमिडच्या पायाला 10 बाजू. त्याच्या कडा काढा.
- 5V = 12 आणि E = 30. F काढा.
- 6त्रिकोणी प्रिझमच्या नेटमध्ये काय असते?
- 7प्रिझमच्या पायाला 10 बाजू. त्याचे शिरोबिंदू काढा.
- 8घनाकृतीसाठी V = 8 आणि F = 6. E काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 16, 12, 8
- 27
- 36 चौरस
- 420
- 520
- 62 त्रिकोण, 3 आयत
- 720
- 812
दृश्ये आणि घनांचे ढीग
मुल ठोकळ्यांचे मनोरे रचते. वरून फक्त माथे दिसतात; समोरून प्रत्येक स्तंभ किती उंच ते दिसते. एकच घनाकृती एका बाजूने वर्तुळ आणि दुसऱ्या बाजूने आयत दिसू शकते.
वरचे दृश्य, समोरचे दृश्य आणि बाजूचे दृश्य म्हणजे वरून, समोरून आणि बाजूने दिसणाऱ्या घनाकृतीच्या सपाट बाह्यरेषा. घनांच्या ढिगाच्या वरच्या दृश्यात प्रत्येक स्तंभासाठी एक चौरस असतो आणि एकूण घन म्हणजे स्तंभांच्या उंचींची बेरीज.
आकृतीत : वरच्या दृश्यातील उंची मिळून एकूण घन: 10.
नियम 1 : साध्या घनाकृतींची रूपरेषा — घनाकृती भिंतीतून जात आहे अशी कल्पना करा: भोक रूपरेषा दाखवते.
- सोपे: दंडगोल: वरून वर्तुळ, बाजूने आयत.
- मध्यम: शंकू: वरून वर्तुळ, बाजूने त्रिकोण. गोल: सर्व दिशांनी वर्तुळ.
- परीक्षेतील प्रकार: उंची व्यासाएवढी असलेला दंडगोल बाजूने चौरस आणि वरून वर्तुळ दाखवतो.
नियम 2 : ढिगातील घन मोजा — सर्व स्तंभांची उंची मिळवा. वरच्या दृश्याचे चौरस = स्तंभांची संख्या.
- सोपे: उंची 3, 2, 1: 6 घन.
- मध्यम: उंची 4, 1, 2, 3: 10 घन आणि वरच्या दृश्यात 4 चौरस.
- परीक्षेतील प्रकार: 3 लांब, 2 रुंद, 4 उंच ठोकळा: 3 × 2 × 4 = 24 घन.
नियम 3 : समोरचे दृश्य आणि विशेष दृश्ये — समोरचे दृश्य प्रत्येक जागी सर्वात उंच स्तंभ दाखवते. आयसोमेट्रिक चित्रातील घन षटकोनी बाह्यरेषेचा दिसतो. सरळ खाली पडणारा सूर्यप्रकाश तोच आकार आणि माप असलेली सावली देतो.
- सोपे: उंची 2, 1, 3, 1: समोरच्या दृश्यात सर्वात उंच 3.
- मध्यम: उंची 1, 4, 2: समोरची बाह्यरेषा 4 पर पोहोचते.
- परीक्षेतील प्रकार: चौरस पिरॅमिड: वरून चौरस, बाजूने त्रिकोण.
एक दृश्य कधीच पुरेसे नसते: वरचे वर्तुळ दृश्य गोल, दंडगोल किंवा शंकू असू शकतो, म्हणून किमान दोन दृश्ये तपासा.
फक्त दिसणारे घन मोजणे. मागे आणि खाली लपलेले घनही एकूणमध्ये मोजावे लागतात.
वरून = स्तंभ, उंची मिळवा = घन. आठवणीची युक्ती : "वरून मनोरे मोजा, उंचींनी ठोकळे मोजा".
फरक ओळखा
| मुद्दा | वरचे दृश्य | समोरचे दृश्य |
|---|---|---|
| दाखवते | स्तंभ | उंची |
| दंडगोल | वर्तुळ | आयत |
| शंकू | वर्तुळ | त्रिकोण |
सरावासाठी प्रश्न
- 1दंडगोल वरून काय दाखवतो?
- 2ढिगांची उंची 3, 2, 1. एकूण किती घन?
- 3शंकू बाजूने काय दाखवतो?
- 4ढिगांची उंची 4, 1, 2, 3. एकूण किती घन?
- 5उंची 2, 1, 3, 1 साठी वरच्या दृश्यात किती चौरस?
- 63 लांब, 2 रुंद, 4 उंच ठोकळ्यात किती एकक घन बसतात?
- 7कोणती घनाकृती बाजूने चौरस आणि वरून वर्तुळ दाखवते?
- 8उंची 1, 4, 2: समोरच्या दृश्यातील सर्वात जास्त उंची आणि एकूण घन काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1वर्तुळ
- 26
- 3त्रिकोण
- 410
- 54
- 624
- 7उंची व्यासाएवढी असलेला दंडगोल
- 84 आणि 7