समानुपात, एकक दर आणि आडवा गुणाकार
दोन स्वयंपाकी एकच सांबार बनवतात. एक 4 लिटरला 6 चमचे मसाला घेतो, दुसरा 6 लिटरला 9 चमचे. चव सारखी असेल का? दोघेही प्रति लिटर 1.5 चमचे घेतात, म्हणून होय.
दोन गुणोत्तरे समान असतील तर ती समानुपातात असतात, a : b = c : d. आडवा गुणाकार तपासतो: a × d = b × c. एकक दर (एका एककाचे मूल्य) वापरून आपण वाढवू किंवा कमी करू शकतो.
समानुपात, एकक दर आणि आडवा गुणाकार
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडाआकृतीत : एक राशी बदला आणि दुसरी त्याच गुणकाने बदलताना पाहा.
नियम 1 : समानुपात तपासा — आडवे गुणा आणि दोन गुणाकारांची तुलना करा.
- सोपे: 3 : 5 = 12 : 20 बरोबर: 3 × 20 = 60 = 5 × 12.
- मध्यम: 6 : 9 = 10 : 16 चूक: 6 × 16 = 96 पण 9 × 10 = 90.
- परीक्षेतील प्रकार: तक्ता (2, 7), (4, 14), (6, 21) समानुपाती आहे का? प्रत्येक वेळी y ÷ x = 3.5. होय.
नियम 2 : गहाळ पद शोधा — कर्णाकृती दोन पदे गुणा, तिसऱ्याने भागा.
- सोपे: 4 : 7 = 20 : ? म्हणजे 7 × 20 ÷ 4 = 35.
- मध्यम: 9 : 2 = 45 : ? म्हणजे 2 × 45 ÷ 9 = 10.
- परीक्षेतील प्रकार: 5 : 8 = ? : 72 असेल तर गहाळ पद 5 × 72 ÷ 8 = 45.
नियम 3 : एकक दर पद्धत — आधी एकाचे मूल्य काढा, मग गुणा.
- सोपे: 12 वह्यांना ₹84: एक ₹7; 5 वह्या ₹35.
- मध्यम: बस: प्रति तास 50 km, म्हणून 7 तासांत 350 km.
- परीक्षेतील प्रकार: 5 किलो तांदूळ ₹275. 8 किलोची किंमत = 275 ÷ 5 × 8 = ₹440.
समानुपाती संबंधात y ÷ x ही संख्या नेहमी सारखी असते; तिला स्थिरांक किंवा एकक दर म्हणतात.
दोन्ही पदांना तीच संख्या मिळवून (3 : 5 आणि 5 : 7) ते समानुपाती म्हणणे. समानुपातात एकाच गुणकाने गुणावे लागते.
आडवे गुणा, तुलना करा. आठवणीची युक्ती : "X खूण - आडवे गुणाकार जुळतात".
फरक ओळखा
| मुद्दा | समानुपाती | समानुपाती नाही |
|---|---|---|
| y ÷ x | प्रत्येक वेळी सारखे | बदलते |
| उदाहरण | (2, 6), (3, 9) | (2, 7), (3, 10) |
| आडवे गुणाकार | सारखे | वेगळे |
सरावासाठी प्रश्न
- 16 : 9 = 10 : 15 बरोबर आहे का?
- 23 : 5 = 12 : ? मधील ? काढा.
- 312 पेनांची किंमत ₹84. एका पेनाची किंमत काढा.
- 48 पेनांची किंमत ₹120. 15 पेनांची किंमत काढा.
- 59 : 2 = 45 : ? मधील ? काढा.
- 6बस 1 तासात 50 km जाते. 7 तासांत किती?
- 7तक्ता (2, 7), (4, 15), (6, 21) समानुपाती आहे का?
- 85 किलो तांदूळ ₹275. 8 किलोची किंमत काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1होय (6 × 15 = 90 = 9 × 10)
- 220
- 3₹7
- 4₹225
- 510
- 6350 km
- 7नाही (15 ÷ 4, 3.5 नाही)
- 8₹440
नकाशातील गुणोत्तरे आणि प्रमाण (स्केल)
रस्ते नकाशावर 2 cm म्हणजे जमिनीवर 1 km. नकाशा हा खऱ्या जमिनीची लहान प्रत असतो, म्हणून प्रत्येक अंतर त्याच गुणकाने लहान होते.
प्रमाण 1 : n म्हणजे नकाशावरील 1 एकक जमिनीवरील त्याच एककाच्या n एककांचे. आधी दोन्ही एकाच एककात आणा (1 km = 1,00,000 cm). नमुन्याचे प्रमाणही असेच.
आकृतीत : नकाशावर 2 cm × 50000 = 100000 cm = 1 km.
नियम 1 : नकाशावरून खरे अंतर — प्रमाण-संख्येने गुणा, मग cm चे km करा.
नकाशातील गुणोत्तरे आणि प्रमाण (स्केल)
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडाआकृतीत : नकाशावरील लांबी आणि प्रमाण बदलून खरे अंतर पाहा.
- सोपे: 1 : 100000 वर 3 cm म्हणजे 3 km.
- मध्यम: 1 : 50000 वर 8 cm = 4,00,000 cm = 4 km.
- परीक्षेतील प्रकार: 1 : 250000 वर 6 cm = 15,00,000 cm = 15 km.
नियम 2 : खरे अंतरावरून नकाशा — km चे cm करा, मग प्रमाण-संख्येने भागा.
- सोपे: 1 : 200000 वर 12 km: 12,00,000 ÷ 200000 = 6 cm.
- मध्यम: 1 : 50000 वर 2.5 km = 5 cm.
- परीक्षेतील प्रकार: 1 : 1000000 वर 30 km = 3 cm.
नियम 3 : प्रमाण किंवा नमुना शोधा — प्रमाण = नकाशावरील लांबी : खरी लांबी (एकाच एककात), मग पहिले पद 1 करा.
- सोपे: 5 cm = 25 km: 5 : 25,00,000 = 1 : 500000.
- मध्यम: नमुना गाडी 1 : 25, खरी लांबी 450 cm: नमुना 18 cm.
- परीक्षेतील प्रकार: आराखडा 1 : 1000, भूखंड 3 cm × 2 cm म्हणजे जमिनीवर 30 मी × 20 मी.
दुसरी संख्या लहान (1 : 10000) म्हणजे 1 : 100000 पेक्षा मोठे चित्र आणि जास्त तपशील.
एकक बदलायला विसरणे: 1 : 100000 वर 3 cm म्हणजे 3,00,000 cm = 3 km, 3,00,000 km नाही.
नकाशा × प्रमाण = खरे; खरे ÷ प्रमाण = नकाशा. आठवणीची युक्ती : "नकाशातून गुणा, खऱ्यातून भागा".
फरक ओळखा
| मुद्दा | नकाशा → खरे | खरे → नकाशा |
|---|---|---|
| क्रिया | × प्रमाण-संख्या | ÷ प्रमाण-संख्या |
| उदाहरण | 3 cm → 3 km | 12 km → 6 cm |
| निकाल | मोठा | लहान |
सरावासाठी प्रश्न
- 11 : 100000 वर रस्ता 3 cm आहे. खरी लांबी काढा.
- 21 : 200000 वर 12 km नकाशावर किती लांब?
- 31 : 100000 वर 1 cm म्हणजे किती km?
- 41 : 250000 वर 6 cm ची खरी लांबी काढा.
- 5नकाशावर 5 cm म्हणजे 25 km. प्रमाण काढा.
- 6नमुना गाडीचे प्रमाण 1 : 25. खरी गाडी 450 cm लांब. नमुन्याची लांबी काढा.
- 7जास्त तपशीलवार कोणते: 1 : 10000 की 1 : 100000?
- 81 : 1000 वर भूखंड 3 cm × 2 cm काढला. खरे माप काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 13 km
- 26 cm
- 31 km
- 415 km
- 51 : 500000
- 618 cm
- 71 : 10000
- 830 m × 20 m
दोनपेक्षा जास्त पदांची गुणोत्तरे
दुकानदार सुका मेवा मिसळतो: 2 भाग काजू, 3 भाग बदाम आणि 5 भाग मनुका. एक गुणोत्तर 2 : 3 : 5 तिघांचे वर्णन एकत्र करते.
गुणोत्तर a : b : c तीन राशींची तुलना करते. सोपे करायला प्रत्येक पद सामाईक अवयवाने भागा; समतुल्य गुणोत्तरासाठी प्रत्येक पद एकाच संख्येने गुणा. एकूण भाग = a + b + c.
आकृतीत : दहा समान भाग: 120 ÷ 10 = 12 प्रति भाग, म्हणून 24, 36 आणि 60.
नियम 1 : सोपे करा आणि वाटा — सोपे करा, पदे मिळवा, एक भाग काढा, गुणा.
- सोपे: 12 : 20 : 28 सोपे रूप 3 : 5 : 7 (4 ने भागून).
- मध्यम: ₹180 चे 1 : 2 : 3: भाग 6, एक भाग ₹30, वाटे 30, 60, 90.
- परीक्षेतील प्रकार: ₹200 चे 2 : 5 : 3: भाग 10, एक भाग ₹20, वाटे 40, 100, 60.
नियम 2 : एका भागावरून एकूण — एका भागाची किंमत काढा, मग एकूण भागांनी गुणा.
- सोपे: 3 : 4 : 5 मध्ये दुसरा भाग 36: एक भाग 9, एकूण 9 × 12 = 108.
- मध्यम: 2 : 3 : 7 मध्ये पहिला भाग 8: एक भाग 4, एकूण 48.
- परीक्षेतील प्रकार: 4 : 5 : 6 मध्ये शेवटचा भाग 30: एक भाग 5, एकूण 75.
नियम 3 : दोन गुणोत्तरे जोडा — दोन्ही गुणोत्तरांत सामायिक राशी समान करा, मग a : b : c लिहा.
- सोपे: a : b = 2 : 3 आणि b : c = 3 : 4 म्हणजे 2 : 3 : 4 (b आधीच समान).
- मध्यम: a : b = 2 : 3 आणि b : c = 4 : 5: b = 12 करा: 8 : 12 : 15.
- परीक्षेतील प्रकार: a : b = 5 : 2 आणि b : c = 3 : 4: b = 6 करा: 15 : 6 : 8.
त्रिकोणाचे कोन 2 : 3 : 4 गुणोत्तरात: भाग 9, एक भाग 20°, कोन 40°, 60°, 80°.
गुणोत्तराची पदे प्रत्यक्ष रक्कम समजणे, किंवा भाग मिळवताना तीनपैकी फक्त दोन पदे घेणे.
आधी एकूण भाग, मग एक भाग. आठवणीची युक्ती : "मिळवा, भागा, गुणा".
फरक ओळखा
| मुद्दा | दोन पदांचे गुणोत्तर | तीन पदांचे गुणोत्तर |
|---|---|---|
| उदाहरण | 3 : 5 | 2 : 3 : 5 |
| एकूण भाग | 8 | 10 |
| 120 चे वाटे | 45, 75 | 24, 36, 60 |
सरावासाठी प्रश्न
- 19 : 36 : 45 सोपे करा.
- 2₹120 चे 2 : 3 : 5 वाटप करा. सर्वात मोठा वाटा काढा.
- 32 : 3 : 5 चे पहिले पद 4 असलेले समतुल्य गुणोत्तर काढा.
- 43 : 4 : 5 मध्ये मधला भाग 36. एकूण काढा.
- 5a : b = 2 : 3 आणि b : c = 4 : 5. a : b : c काढा.
- 6पेयात द्रव 3 : 2 : 1 आहेत. 24 लिटरमध्ये दुसरा द्रव किती?
- 7त्रिकोणाचे कोन 2 : 3 : 4 गुणोत्तरात आहेत. सर्वात मोठा कोन काढा.
- 8a : b = 3 : 5 आणि b : c = 10 : 7. a : b : c काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11 : 4 : 5
- 2₹60
- 34 : 6 : 10
- 4108
- 58 : 12 : 15
- 68 लिटर
- 780°
- 86 : 10 : 7
पूर्ण राशीची दिलेल्या गुणोत्तरात वाटणी आणि पाई चार्ट
दोन मित्र दुकानात 4 : 5 गुणोत्तरात पैसे घालतात आणि ₹450 नफा त्याच गुणोत्तरात वाटतात. पाई चार्ट असे वाटे वर्तुळाच्या फोडींनी दाखवतो.
पूर्ण राशी गुणोत्तरात वाटायला: वाटा = पूर्ण ÷ एकूण भाग × त्याचा भाग. पाई चार्टमध्ये पूर्ण वर्तुळ 360°, म्हणून फोडीचा कोन = (अपूर्णांक किंवा टक्के) × 360° आणि टक्के = कोन ÷ 360 × 100.
आकृतीत : 2 : 3 : 5 हे 20%, 30% आणि 50%, म्हणजे 72°, 108° आणि 180°.
नियम 1 : गुणोत्तरात वाटा — भाग मिळवा, पूर्ण एकूणने भागा, गुणा.
- सोपे: ₹450 चे 4 : 5: प्रति भाग ₹50; वाटे ₹200 आणि ₹250.
- मध्यम: ₹840 चे 3 : 4: प्रति भाग ₹120; वाटे ₹360 आणि ₹480.
- परीक्षेतील प्रकार: 600 मी² चे 7 : 3: प्रति भाग 60; क्षेत्रफळे 420 मी² आणि 180 मी².
नियम 2 : अपूर्णांक/टक्के → कोन — अपूर्णांकाला (किंवा टक्क्यांना) 360° ने गुणा.
पूर्ण राशीची दिलेल्या गुणोत्तरात वाटणी आणि पाई चार्ट
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडाआकृतीत : पूर्णाचे किती टक्के रंगवले ते पाहा.
- सोपे: 360° चा 1/4 = 90°; 360° चा 1/6 = 60°.
- मध्यम: 360° चे 40% = 144°.
- परीक्षेतील प्रकार: 120 पैकी 30 विद्यार्थ्यांना क्रिकेट: 30/120 × 360° = 90°.
नियम 3 : कोन → टक्के — कोनाला 360 ने भागा आणि 100 ने गुणा. सर्व कोनांची बेरीज 360°.
- सोपे: 72° म्हणजे 72/360 × 100 = 20%.
- मध्यम: दोन फोडी 100° आणि 120°: तिसरी 360° − 220° = 140°.
- परीक्षेतील प्रकार: फोडी 20%, 35%, 25% आणि उरलेले: उरलेले 20% = 72°.
पाई चार्ट तपासा: टक्के मिळून 100% आणि कोन मिळून 360°.
फोडीच्या कोनासाठी 360 ऐवजी 100 वापरणे. वर्तुळाचे 25% म्हणजे 90°, 25° नाही.
पूर्ण वर्तुळ = 360°. आठवणीची युक्ती : "पूर्ण वर्तुळ 360°; 1% = 3.6°".
फरक ओळखा
| मुद्दा | गुणोत्तराने वाटणी | पाई चार्ट |
|---|---|---|
| पूर्ण | रक्कम | 360° |
| एक भाग | पूर्ण ÷ एकूण भाग | 360° ÷ एकूण भाग |
| उदाहरण | ₹450, 4 : 5 | 2 : 3 : 5 → 72°, 108°, 180° |
सरावासाठी प्रश्न
- 1₹450 चे 4 : 5 गुणोत्तरात वाटप करा. मोठा वाटा काढा.
- 2पाई चार्टच्या 1/4 भागाचा कोन काढा.
- 340% फोडीचा कोन काढा.
- 4₹840 चे 3 : 4 मध्ये वाटप करा. लहान वाटा काढा.
- 5फोडीचा कोन 72° आहे. ती किती टक्के?
- 660 पैकी 18 विद्यार्थ्यांना फुटबॉल आवडतो. त्या फोडीचा कोन काढा.
- 7दोन फोडी 100° आणि 120° आहेत. तिसरी काढा.
- 8600 मी² बाग 7 : 3 मध्ये विभागला. लहान क्षेत्रफळ काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1₹250
- 290°
- 3144°
- 4₹360
- 520%
- 6108°
- 7140°
- 8180 m²
व्यस्त समानुपात
शाळेचा हॉल 6 जण 10 दिवसांत साफ करतात. 12 जण काम केले तर तेच काम 5 दिवसांत होते. माणसे जास्त म्हणजे दिवस कमी, पण एकूण काम 60 माणूस-दिवस तेच राहते.
दोन राशी x आणि y व्यस्त समानुपातात असतात जेव्हा एक वाढते आणि दुसरी तेवढ्याच गुणकाने कमी होते, म्हणून x × y स्थिर राहतो. x दुप्पट तर y निम्मा.
आकृतीत : प्रत्येक बिंदूसाठी कामगार × दिवस = 24.
नियम 1 : कामगार आणि दिवस — आधी एकूण कामगार-दिवस काढा, मग नव्या कामगारांनी भागा.
व्यस्त समानुपात
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडाआकृतीत : एक किंमत बदला आणि गुणाकार तोच राहून दुसरी कशी बदलते ते पाहा.
- सोपे: 6 कामगार, 10 दिवस; 4 कामगारांना 60 ÷ 4 = 15 दिवस.
- मध्यम: 3 नळ टाकी 20 तासांत भरतात; 5 नळ: 60 ÷ 5 = 12 तास.
- परीक्षेतील प्रकार: 40 विद्यार्थ्यांचे अन्न 15 दिवस; 50 विद्यार्थ्यांना 600 ÷ 50 = 12 दिवस.
नियम 2 : वेग आणि वेळ — ठराविक अंतरासाठी वेग × वेळ स्थिर.
- सोपे: 60 km/तास ला 5 तास; 75 km/तास: 300 ÷ 75 = 4 तास.
- मध्यम: 90 km/तास ला 4 तास; 60 km/तास: 360 ÷ 60 = 6 तास.
- परीक्षेतील प्रकार: 30 km/तास ला 8 तास; 40 km/तास: 240 ÷ 40 = 6 तास.
नियम 3 : स्थिर गुणाकार नियम — x1 × y1 = x2 × y2 असेल तर y2 = x1 × y1 ÷ x2.
- सोपे: x = 4, y = 15; x = 6 असताना y = 60 ÷ 6 = 10.
- मध्यम: y = 24 ÷ x: x = 8 असताना y = 3.
- परीक्षेतील प्रकार: तक्ता (2, 10), (4, 5), (5, 4), (10, 2): गुणाकार नेहमी 20.
सरळ समानुपात: y ÷ x स्थिर. व्यस्त: x × y स्थिर. विचारा: एक वाढल्यावर दुसरे वाढते (सरळ) की कमी होते (व्यस्त)?
"जास्त कामगार, कमी दिवस" हे सरळ समानुपात समजून भागण्याऐवजी गुणणे.
सरळ: तुलनेला भागा. व्यस्त: तुलनेला गुणा. आठवणीची युक्ती : "व्यस्त म्हणजे गुणाकार तोच".
फरक ओळखा
| मुद्दा | सरळ समानुपात | व्यस्त समानुपात |
|---|---|---|
| स्थिर | y ÷ x | x × y |
| x दुप्पट झाल्यास | y दुप्पट | y निम्मा |
| उदाहरण | किंमत आणि वजन | वेग आणि वेळ |
सरावासाठी प्रश्न
- 16 कामगार काम 10 दिवसांत करतात. 4 कामगारांना किती दिवस लागतील?
- 260 km/तास ला प्रवास 5 तास. 75 km/तास ला किती वेळ?
- 3x × y = 24. x = 8 असताना y काढा.
- 43 नळ टाकी 20 तासांत भरतात. 5 नळांना किती वेळ?
- 540 विद्यार्थ्यांचे अन्न 15 दिवस पुरते. 50 विद्यार्थ्यांना किती दिवस?
- 6x = 4, y = 15. x = 6 असताना y काढा (व्यस्त समानुपात).
- 7एक राशी 3 पट आणि दुसरी एकतृतीयांश झाली तर संबंध काय?
- 84 रंगारी 9 दिवसांत संपवतात. 6 रंगारींना किती दिवस?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 115 दिवस
- 24 तास
- 33
- 412 तास
- 512 दिवस
- 610
- 7व्यस्त समानुपात
- 86 दिवस