समानुपात, इकाई दर और तिर्यक गुणन
दो रसोइए एक ही सांबर बनाते हैं। एक 4 L में 6 चम्मच मसाला डालता है, दूसरा 6 L में 9 चम्मच। क्या स्वाद एक-सा होगा? दोनों प्रति L 1.5 चम्मच डालते हैं, इसलिए हाँ।
दो अनुपात बराबर हों तो वे समानुपात में होते हैं, a : b = c : d। तिर्यक गुणन जाँचता है: a × d = b × c। इकाई दर (एक इकाई का मान) से हम बढ़ा या घटा सकते हैं।
समानुपात, इकाई दर और तिर्यक गुणन
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंआकृति में : एक राशि बदलें और देखें कि दूसरी उसी गुणक से बदलती है।
नियम 1 : समानुपात जाँचें — आर-पार गुणा करें और दोनों गुणनफलों की तुलना करें।
- आसान: 3 : 5 = 12 : 20 सही: 3 × 20 = 60 = 5 × 12।
- मध्यम: 6 : 9 = 10 : 16 गलत: 6 × 16 = 96 पर 9 × 10 = 90।
- परीक्षा-प्रकार: क्या तालिका (2, 7), (4, 14), (6, 21) समानुपाती है? हर बार y ÷ x = 3.5। हाँ।
नियम 2 : लुप्त पद ज्ञात करें — तिरछे दो पदों को गुणा करें, तीसरे से भाग दें।
- आसान: 4 : 7 = 20 : ? यानी 7 × 20 ÷ 4 = 35।
- मध्यम: 9 : 2 = 45 : ? यानी 2 × 45 ÷ 9 = 10।
- परीक्षा-प्रकार: यदि 5 : 8 = ? : 72 हो तो लुप्त पद 5 × 72 ÷ 8 = 45।
नियम 3 : इकाई दर विधि — पहले एक का मान निकालें, फिर गुणा करें।
- आसान: 12 कॉपियों की कीमत ₹84: एक ₹7; 5 कॉपियाँ ₹35।
- मध्यम: बस: प्रति घंटा 50 km, इसलिए 7 घंटे में 350 km।
- परीक्षा-प्रकार: 5 किलो चावल ₹275 के। 8 किलो की कीमत = 275 ÷ 5 × 8 = ₹440।
समानुपाती संबंध में y ÷ x सदा एक ही संख्या रहती है; उसे स्थिरांक या इकाई दर कहते हैं।
दोनों पदों में वही संख्या जोड़कर (3 : 5 और 5 : 7) उसे समानुपाती कहना। समानुपात में एक ही गुणक से गुणा होता है।
आर-पार गुणा, तुलना करें। याद रखने की युक्ति : "X का निशान - तिर्यक गुणनफल बराबर"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | समानुपाती | समानुपाती नहीं |
|---|---|---|
| y ÷ x | हर बार समान | बदलता है |
| उदाहरण | (2, 6), (3, 9) | (2, 7), (3, 10) |
| तिर्यक गुणनफल | बराबर | अलग |
अभ्यास के प्रश्न
- 1क्या 6 : 9 = 10 : 15 सही है?
- 23 : 5 = 12 : ? में ? ज्ञात कीजिए।
- 312 पेनों की कीमत ₹84 है। एक पेन की कीमत ज्ञात कीजिए।
- 48 पेनों की कीमत ₹120 है। 15 पेनों की कीमत ज्ञात कीजिए।
- 59 : 2 = 45 : ? में ? ज्ञात कीजिए।
- 6बस 1 घंटे में 50 km चलती है। 7 घंटे में कितनी दूरी?
- 7क्या तालिका (2, 7), (4, 15), (6, 21) समानुपाती है?
- 85 किलो चावल ₹275 के हैं। 8 किलो की कीमत ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1हाँ (6 × 15 = 90 = 9 × 10)
- 220
- 3₹7
- 4₹225
- 510
- 6350 km
- 7नहीं (15 ÷ 4, 3.5 नहीं)
- 8₹440
मानचित्र में अनुपात और पैमाना
सड़क के मानचित्र पर 2 cm का अर्थ ज़मीन पर 1 km है। मानचित्र असली ज़मीन की छोटी प्रति है, इसलिए हर दूरी उसी गुणक से छोटी होती है।
पैमाना 1 : n का अर्थ मानचित्र की 1 इकाई ज़मीन की उसी इकाई की n इकाइयों के बराबर है। पहले दोनों को एक ही इकाई में लाएँ (1 km = 1,00,000 cm)। मॉडल का पैमाना भी ऐसा ही।
आकृति में : मानचित्र पर 2 cm × 50000 = 100000 cm = 1 km।
नियम 1 : मानचित्र से वास्तविक — पैमाने की संख्या से गुणा करें, फिर cm को km में बदलें।
मानचित्र में अनुपात और पैमाना
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंआकृति में : मानचित्र की लंबाई और पैमाना बदलकर वास्तविक दूरी देखें।
- आसान: 1 : 100000 पर 3 cm यानी 3 km।
- मध्यम: 1 : 50000 पर 8 cm = 4,00,000 cm = 4 km।
- परीक्षा-प्रकार: 1 : 250000 पर 6 cm = 15,00,000 cm = 15 km।
नियम 2 : वास्तविक से मानचित्र — km को cm में बदलें, फिर पैमाने की संख्या से भाग दें।
- आसान: 1 : 200000 पर 12 km: 12,00,000 ÷ 200000 = 6 cm।
- मध्यम: 1 : 50000 पर 2.5 km = 5 cm।
- परीक्षा-प्रकार: 1 : 1000000 पर 30 km = 3 cm।
नियम 3 : पैमाना या मॉडल ज्ञात करें — पैमाना = मानचित्र की लंबाई : वास्तविक लंबाई (एक ही इकाई में), फिर पहला पद 1 करें।
- आसान: 5 cm = 25 km: 5 : 25,00,000 = 1 : 500000।
- मध्यम: मॉडल कार 1 : 25, वास्तविक लंबाई 450 cm: मॉडल 18 cm।
- परीक्षा-प्रकार: योजना 1 : 1000, भूखंड 3 cm × 2 cm यानी ज़मीन पर 30 m × 20 मी।
दूसरी संख्या छोटी (1 : 10000) यानी 1 : 100000 से बड़ा चित्र और अधिक विवरण।
इकाई बदलना भूल जाना: 1 : 100000 पर 3 cm यानी 3,00,000 cm = 3 km, 3,00,000 km नहीं।
मानचित्र × पैमाना = वास्तविक; वास्तविक ÷ पैमाना = मानचित्र। याद रखने की युक्ति : "नक्शे से गुणा, असली से भाग"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | मानचित्र → वास्तविक | वास्तविक → मानचित्र |
|---|---|---|
| क्रिया | × पैमाने की संख्या | ÷ पैमाने की संख्या |
| उदाहरण | 3 cm → 3 km | 12 km → 6 cm |
| परिणाम | बड़ा | छोटा |
अभ्यास के प्रश्न
- 11 : 100000 पर सड़क 3 cm है। वास्तविक लंबाई ज्ञात कीजिए।
- 21 : 200000 पर 12 km मानचित्र पर कितना लंबा है?
- 31 : 100000 पर 1 cm कितने km के बराबर है?
- 41 : 250000 पर 6 cm की वास्तविक लंबाई ज्ञात कीजिए।
- 5मानचित्र पर 5 cm यानी 25 km। पैमाना ज्ञात कीजिए।
- 6मॉडल कार का पैमाना 1 : 25 है। असली कार 450 cm लंबी है। मॉडल की लंबाई ज्ञात कीजिए।
- 7अधिक विवरण वाला कौन-सा है: 1 : 10000 या 1 : 100000?
- 81 : 1000 पर भूखंड 3 cm × 2 cm बनाया गया। वास्तविक माप ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 13 km
- 26 cm
- 31 km
- 415 km
- 51 : 500000
- 618 cm
- 71 : 10000
- 830 m × 20 m
दो से अधिक पदों वाले अनुपात
दुकानदार मेवा मिलाता है: 2 भाग काजू, 3 भाग बादाम और 5 भाग किशमिश। एक अनुपात 2 : 3 : 5 तीनों को साथ बताता है।
अनुपात a : b : c तीन राशियों की तुलना करता है। सरल करने के लिए हर पद को उभयनिष्ठ गुणनखंड से भाग दें; समतुल्य अनुपात के लिए हर पद को एक ही संख्या से गुणा करें। कुल भाग = a + b + c।
आकृति में : दस बराबर भाग: 120 ÷ 10 = 12 प्रति भाग, इसलिए 24, 36 और 60।
नियम 1 : सरल करें और बाँटें — सरल करें, पद जोड़ें, एक भाग निकालें, गुणा करें।
- आसान: 12 : 20 : 28 का सरल रूप 3 : 5 : 7 (4 से भाग देकर)।
- मध्यम: ₹180 का 1 : 2 : 3: भाग 6, एक भाग ₹30, हिस्से 30, 60, 90।
- परीक्षा-प्रकार: ₹200 का 2 : 5 : 3: भाग 10, एक भाग ₹20, हिस्से 40, 100, 60।
नियम 2 : एक भाग से कुल — एक भाग का मान निकालें, फिर कुल भागों से गुणा करें।
- आसान: 3 : 4 : 5 में दूसरा भाग 36: एक भाग 9, कुल 9 × 12 = 108।
- मध्यम: 2 : 3 : 7 में पहला भाग 8: एक भाग 4, कुल 48।
- परीक्षा-प्रकार: 4 : 5 : 6 में अंतिम भाग 30: एक भाग 5, कुल 75।
नियम 3 : दो अनुपात जोड़ें — दोनों अनुपातों में उभयनिष्ठ राशि बराबर करें, फिर a : b : c लिखें।
- आसान: a : b = 2 : 3 और b : c = 3 : 4 से 2 : 3 : 4 (b पहले से समान)।
- मध्यम: a : b = 2 : 3 और b : c = 4 : 5: b = 12 करें: 8 : 12 : 15।
- परीक्षा-प्रकार: a : b = 5 : 2 और b : c = 3 : 4: b = 6 करें: 15 : 6 : 8।
त्रिभुज के कोण 2 : 3 : 4 अनुपात में: भाग 9, एक भाग 20°, कोण 40°, 60°, 80°।
अनुपात के पदों को असली राशि मान लेना, या भाग जोड़ते समय तीन में से केवल दो पद लेना।
पहले कुल भाग, फिर एक भाग। याद रखने की युक्ति : "जोड़ो, भाग दो, गुणा करो"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | दो पदों का अनुपात | तीन पदों का अनुपात |
|---|---|---|
| उदाहरण | 3 : 5 | 2 : 3 : 5 |
| कुल भाग | 8 | 10 |
| 120 के हिस्से | 45, 75 | 24, 36, 60 |
अभ्यास के प्रश्न
- 19 : 36 : 45 को सरल कीजिए।
- 2₹120 को 2 : 3 : 5 में बाँटिए। सबसे बड़ा हिस्सा ज्ञात कीजिए।
- 32 : 3 : 5 का पहला पद 4 वाला समतुल्य अनुपात ज्ञात कीजिए।
- 43 : 4 : 5 में बीच का भाग 36 है। कुल ज्ञात कीजिए।
- 5a : b = 2 : 3 और b : c = 4 : 5। a : b : c ज्ञात कीजिए।
- 6पेय में द्रव 3 : 2 : 1 में हैं। 24 L में दूसरा द्रव कितना है?
- 7त्रिभुज के कोण 2 : 3 : 4 अनुपात में हैं। सबसे बड़ा कोण ज्ञात कीजिए।
- 8a : b = 3 : 5 और b : c = 10 : 7। a : b : c ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11 : 4 : 5
- 2₹60
- 34 : 6 : 10
- 4108
- 58 : 12 : 15
- 68 L
- 780°
- 86 : 10 : 7
पूर्ण राशि को दिए अनुपात में बाँटना और पाई चार्ट
दो मित्र दुकान में 4 : 5 अनुपात में पैसे लगाते हैं और ₹450 लाभ उसी अनुपात में बाँटते हैं। पाई चार्ट ऐसे हिस्सों को वृत्त के टुकड़ों से दिखाता है।
पूर्ण को अनुपात में बाँटने के लिए: हिस्सा = पूर्ण ÷ कुल भाग × उसका भाग। पाई चार्ट में पूरा वृत्त 360° का है, इसलिए टुकड़े का कोण = (भिन्न या प्रतिशत) × 360° और प्रतिशत = कोण ÷ 360 × 100।
आकृति में : 2 : 3 : 5 यानी 20%, 30% और 50%, अर्थात् 72°, 108° और 180°।
नियम 1 : अनुपात में बाँटें — भाग जोड़ें, पूर्ण को कुल से भाग दें, गुणा करें।
- आसान: ₹450 का 4 : 5: प्रति भाग ₹50; हिस्से ₹200 और ₹250।
- मध्यम: ₹840 का 3 : 4: प्रति भाग ₹120; हिस्से ₹360 और ₹480।
- परीक्षा-प्रकार: 600 m² का 7 : 3: प्रति भाग 60; क्षेत्रफल 420 m² और 180 m²।
नियम 2 : भिन्न/प्रतिशत → कोण — भिन्न (या प्रतिशत) को 360° से गुणा करें।
पूर्ण राशि को दिए अनुपात में बाँटना और पाई चार्ट
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंआकृति में : देखें कि पूर्ण का कितना प्रतिशत रंगा है।
- आसान: 360° का 1/4 = 90°; 360° का 1/6 = 60°।
- मध्यम: 360° का 40% = 144°।
- परीक्षा-प्रकार: 120 में से 30 को क्रिकेट: 30/120 × 360° = 90°।
नियम 3 : कोण → प्रतिशत — कोण को 360 से भाग दें और 100 से गुणा करें। सब कोणों का योग 360°।
- आसान: 72° यानी 72/360 × 100 = 20%।
- मध्यम: दो टुकड़े 100° और 120°: तीसरा 360° − 220° = 140°।
- परीक्षा-प्रकार: टुकड़े 20%, 35%, 25% और शेष: शेष 20% = 72°।
पाई चार्ट जाँचें: प्रतिशत का योग 100% और कोणों का योग 360°।
टुकड़े के कोण के लिए 360 की जगह 100 लेना। वृत्त का 25% यानी 90°, 25° नहीं।
पूरा वृत्त = 360°। याद रखने की युक्ति : "पूरा वृत्त 360°; 1% = 3.6°"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | अनुपात से बँटवारा | पाई चार्ट |
|---|---|---|
| पूर्ण | राशि | 360° |
| एक भाग | पूर्ण ÷ कुल भाग | 360° ÷ कुल भाग |
| उदाहरण | ₹450, 4 : 5 | 2 : 3 : 5 → 72°, 108°, 180° |
अभ्यास के प्रश्न
- 1₹450 को 4 : 5 में बाँटिए। बड़ा हिस्सा ज्ञात कीजिए।
- 2पाई चार्ट के 1/4 भाग का कोण ज्ञात कीजिए।
- 340% वाले टुकड़े का कोण ज्ञात कीजिए।
- 4₹840 को 3 : 4 में बाँटिए। छोटा हिस्सा ज्ञात कीजिए।
- 5एक टुकड़े का कोण 72° है। वह कितना प्रतिशत है?
- 660 में से 18 को फुटबॉल पसंद है। उस टुकड़े का कोण ज्ञात कीजिए।
- 7दो टुकड़े 100° और 120° के हैं। तीसरा ज्ञात कीजिए।
- 8600 m² का बगीचा 7 : 3 में बाँटा गया। छोटा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1₹250
- 290°
- 3144°
- 4₹360
- 520%
- 6108°
- 7140°
- 8180 m²
प्रतिलोम समानुपात
स्कूल का हॉल 6 लोग 10 दिन में साफ करते हैं। 12 लोग काम करें तो वही काम 5 दिन में हो जाता है। लोग ज़्यादा तो दिन कम, पर कुल काम 60 व्यक्ति-दिन वही रहता है।
दो राशियाँ x और y प्रतिलोम समानुपात में होती हैं जब एक बढ़ने पर दूसरी उसी गुणक से घटती है, इसलिए x × y स्थिर रहता है। x दुगुना तो y आधा।
आकृति में : हर बिंदु के लिए मज़दूर × दिन = 24।
नियम 1 : मज़दूर और दिन — पहले कुल मज़दूर-दिन निकालें, फिर नए मज़दूरों से भाग दें।
प्रतिलोम समानुपात
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंआकृति में : एक मान बदलें और देखें कि गुणनफल वही रहकर दूसरा कैसे बदलता है।
- आसान: 6 मज़दूर, 10 दिन; 4 मज़दूरों को 60 ÷ 4 = 15 दिन।
- मध्यम: 3 नल टंकी 20 घंटे में भरते हैं; 5 नल: 60 ÷ 5 = 12 घंटे।
- परीक्षा-प्रकार: 40 विद्यार्थियों का भोजन 15 दिन; 50 के लिए 600 ÷ 50 = 12 दिन।
नियम 2 : चाल और समय — निश्चित दूरी के लिए चाल × समय स्थिर।
- आसान: 60 km/घंटा पर 5 घंटे; 75 km/घंटा: 300 ÷ 75 = 4 घंटे।
- मध्यम: 90 km/घंटा पर 4 घंटे; 60 km/घंटा: 360 ÷ 60 = 6 घंटे।
- परीक्षा-प्रकार: 30 km/घंटा पर 8 घंटे; 40 km/घंटा: 240 ÷ 40 = 6 घंटे।
नियम 3 : स्थिर गुणनफल नियम — यदि x1 × y1 = x2 × y2 हो तो y2 = x1 × y1 ÷ x2।
- आसान: x = 4, y = 15; x = 6 पर y = 60 ÷ 6 = 10।
- मध्यम: y = 24 ÷ x: x = 8 पर y = 3।
- परीक्षा-प्रकार: तालिका (2, 10), (4, 5), (5, 4), (10, 2): गुणनफल हमेशा 20।
सीधा समानुपात: y ÷ x स्थिर। प्रतिलोम: x × y स्थिर। पूछें: एक बढ़ने पर दूसरा बढ़ता है (सीधा) या घटता है (प्रतिलोम)?
"ज़्यादा मज़दूर, कम दिन" को सीधा समानुपात समझकर भाग देने की जगह गुणा करना।
सीधा: तुलना के लिए भाग दें। प्रतिलोम: तुलना के लिए गुणा करें। याद रखने की युक्ति : "प्रतिलोम यानी गुणनफल वही"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | सीधा समानुपात | प्रतिलोम समानुपात |
|---|---|---|
| स्थिर | y ÷ x | x × y |
| x दुगुना होने पर | y दुगुना | y आधा |
| उदाहरण | कीमत और वज़न | चाल और समय |
अभ्यास के प्रश्न
- 16 मज़दूर काम 10 दिन में करते हैं। 4 मज़दूरों को कितने दिन लगेंगे?
- 260 km/घंटा पर यात्रा 5 घंटे की है। 75 km/घंटा पर कितना समय?
- 3x × y = 24। x = 8 पर y ज्ञात कीजिए।
- 43 नल टंकी 20 घंटे में भरते हैं। 5 नलों को कितना समय लगेगा?
- 540 विद्यार्थियों का भोजन 15 दिन चलता है। 50 के लिए कितने दिन?
- 6x = 4, y = 15। x = 6 पर y ज्ञात कीजिए (प्रतिलोम समानुपात)।
- 7एक राशि 3 गुनी और दूसरी एक तिहाई हो जाए तो संबंध क्या है?
- 84 पेंटर 9 दिन में पूरा करते हैं। 6 पेंटरों को कितने दिन लगेंगे?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 115 दिन
- 24 घंटे
- 33
- 412 घंटे
- 512 दिन
- 610
- 7प्रतिलोम समानुपात
- 86 दिन