वर्ग को दुगुना और आधा करना
टाइल बनाने वाले के पास एक वर्गाकार टाइल है और उसे ठीक दुगुने क्षेत्रफल की नई वर्गाकार टाइल चाहिए। वह कुछ नापता नहीं; पुरानी टाइल के विकर्ण पर वर्ग बना देता है।
वर्ग के विकर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल दुगुना होता है। वर्ग की भुजाओं के मध्य-बिंदु जोड़ने पर आधे क्षेत्रफल का वर्ग बनता है। यही विचार बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय का बीज है।
आकृति में : मध्य-बिंदु जोड़ने से क्षेत्रफल 50 से 25 हो जाता है। उलटी दिशा में देखें तो बड़ा वर्ग तिरछे वर्ग के विकर्ण पर बना वर्ग है।
नियम 1 : विकर्ण पर बना वर्ग — उसका क्षेत्रफल मूल वर्ग से दुगुना होता है।
- आसान: भुजा 5 cm: विकर्ण वाले वर्ग का क्षेत्रफल 2 × 25 = 50 cm²।
- मध्यम: क्षेत्रफल 18 cm²: विकर्ण वाले वर्ग का क्षेत्रफल 36 cm²।
- परीक्षा-प्रकार: भुजा 12 cm: क्षेत्रफल 144 से 288 cm², नई भुजा 12√2 cm।
नियम 2 : मध्य-बिंदु जोड़ें — भीतर का तिरछा वर्ग ठीक आधे क्षेत्रफल का होता है।
- आसान: 72 cm² से 36 cm²।
- मध्यम: 200 cm², दो बार जोड़ा: 100, फिर 50 cm²।
- परीक्षा-प्रकार: भुजा 10 cm: भीतरी वर्ग का क्षेत्रफल 50, इसलिए भुजा 5√2 cm।
नियम 3 : भुजा दुगुनी यानी क्षेत्रफल दुगुना? — नहीं। भुजा दुगुनी करने पर क्षेत्रफल 4 गुना होता है। क्षेत्रफल दुगुना करने के लिए भुजा को √2 से गुणा करें।
- आसान: भुजा 3: क्षेत्रफल 9; भुजा 6: क्षेत्रफल 36 (4 गुना)।
- मध्यम: 3 cm वर्ग के दुगुने क्षेत्रफल के लिए भुजा 3√2 cm ≈ 4.2 cm।
- परीक्षा-प्रकार: वर्ग का क्षेत्रफल आधा करें: भुजा को 1/√2 से गुणा करें।
वर्ग को दोनों विकर्णों पर काटने से 4 बराबर त्रिभुज मिलते हैं। मूल वर्ग में 4 और उसके विकर्ण पर बने वर्ग में 8 त्रिभुज आते हैं, इसलिए वह दुगुना बड़ा है।
यह सोचना कि भुजा दुगुनी करने पर क्षेत्रफल दुगुना होता है। भुजा दुगुनी करने पर क्षेत्रफल 4 गुना होता है।
विकर्ण यानी दुगुना, मध्य-बिंदु यानी आधा। याद रखने की युक्ति : "विकर्ण - दुगुना, मध्य - आधा"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | विकर्ण पर वर्ग | मध्य-बिंदुओं का वर्ग |
|---|---|---|
| क्षेत्रफल | 2 × मूल | ½ × मूल |
| उदाहरण (मूल 50) | 100 | 25 |
| मूल भुजा से तुलना | भुजा × √2 (बड़ी) | भुजा ÷ √2 (छोटी) |
अभ्यास के प्रश्न
- 18 cm भुजा वाले वर्ग के विकर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 260 cm² वर्ग के मध्य-बिंदु जोड़े गए। नए वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 36 cm भुजा वाले वर्ग से दुगुने क्षेत्रफल वाले वर्ग की भुजा ज्ञात कीजिए।
- 4वर्ग का क्षेत्रफल 98 cm² है। उसके विकर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 5वर्ग की भुजा दुगुनी की गई। क्षेत्रफल कितने गुना हो जाता है?
- 680 cm² वर्ग के मध्य-बिंदु जोड़े, फिर नए वर्ग के मध्य-बिंदु जोड़े। अंतिम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 7वर्ग की भुजा 10 cm है। भुजाओं के मध्य-बिंदु जोड़े गए। भीतरी वर्ग की भुजा ज्ञात कीजिए।
- 8वर्ग के विकर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल 128 cm² है। मूल वर्ग की भुजा ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1128 cm²
- 230 cm²
- 36√2 cm
- 4196 cm²
- 54 गुना
- 620 cm²
- 75√2 cm
- 88 cm
समद्विबाहु समकोण त्रिभुज और वर्ग का विकर्ण
40 m भुजा वाले वर्गाकार बगीचे में कोने के आर-पार रास्ता है। विकर्ण पर चलना दो भुजाओं से चलने से कम है, पर एक भुजा से कितना ज़्यादा? उत्तर: √2 गुना।
समद्विबाहु समकोण त्रिभुज में दो बराबर भुजाएँ समकोण पर मिलती हैं और शेष दो कोण 45°-45° होते हैं। कर्ण = भुजा × √2। वर्ग को विकर्ण पर काटने से ऐसे दो त्रिभुज मिलते हैं, इसलिए वर्ग का विकर्ण = भुजा × √2।
आकृति में : भुजाएँ 5 और 5, इसलिए कर्ण 5√2 ≈ 7.05।
नियम 1 : कर्ण निकालें — भुजा को √2 से गुणा करें (लगभग मान के लिए √2 ≈ 1.41)।
- आसान: भुजा 4 cm: कर्ण 4√2 ≈ 5.64 cm।
- मध्यम: 60 m भुजा वाला वर्गाकार खेत: विकर्ण 60√2 ≈ 84.6 मी।
- परीक्षा-प्रकार: भुजाएँ 9 cm: परिमाप 18 + 9√2 ≈ 30.7 cm।
नियम 2 : भुजा निकालें — कर्ण को √2 से भाग दें।
- आसान: कर्ण 10√2 cm: भुजा = 10 cm।
- मध्यम: कर्ण 12 cm: भुजा = 12 ÷ √2 = 6√2 ≈ 8.46 cm।
- परीक्षा-प्रकार: वर्ग का विकर्ण 20 cm: भुजा = 10√2 ≈ 14.1 cm।
नियम 3 : विकर्ण से क्षेत्रफल — विकर्ण पर बना वर्ग दुगुना, इसलिए वर्ग का क्षेत्रफल = (विकर्ण)² ÷ 2।
- आसान: विकर्ण 10 cm: क्षेत्रफल = 100 ÷ 2 = 50 cm²।
- मध्यम: विकर्ण 12 cm: क्षेत्रफल = 144 ÷ 2 = 72 cm²।
- परीक्षा-प्रकार: कर्ण 10 cm वाला समद्विबाहु समकोण त्रिभुज: भुजाएँ 5√2, क्षेत्रफल = ½ × 50 = 25 cm²।
अधिकतर प्रश्नों के लिए √2 ≈ 1.41 पर्याप्त है। इस त्रिभुज के कोण हमेशा 45°, 45° और 90° होते हैं।
भुजा को √2 की जगह 2 से गुणा करना। कर्ण एक भुजा से बड़ा पर दोनों भुजाओं के योग से छोटा होता है।
भुजा → कर्ण: √2 से गुणा; कर्ण → भुजा: √2 से भाग। याद रखने की युक्ति : "एक, एक, रूट दो"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | भुजा → कर्ण | कर्ण → भुजा |
|---|---|---|
| क्रिया | × √2 | ÷ √2 |
| उदाहरण | 5 → 5√2 | 10√2 → 10 |
| परिणाम | बड़ा | छोटा |
अभ्यास के प्रश्न
- 1समद्विबाहु समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 6 cm हैं। कर्ण ज्ञात कीजिए।
- 2कर्ण 7√2 cm है। प्रत्येक भुजा ज्ञात कीजिए।
- 39 cm भुजा वाले वर्ग का विकर्ण ज्ञात कीजिए।
- 4√2 ≈ 1.41 लें। 20 cm भुजाओं के लिए कर्ण ज्ञात कीजिए।
- 5वर्गाकार खेत की भुजा 50 m है। विकर्ण ज्ञात कीजिए (√2 ≈ 1.41)।
- 6भुजाएँ 10 cm हैं। परिमाप ज्ञात कीजिए।
- 7समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का कर्ण 10 cm है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- 8वर्ग का विकर्ण 12 cm है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 16√2 cm
- 27 cm
- 39√2 cm
- 428.2 cm
- 570.5 m
- 620 + 10√2 cm
- 725 cm²
- 872 cm²
प्रमेय और उसका विलोम
बढ़ई जाँचता है कि दरवाज़े का फ्रेम समकोण है: एक किनारे पर 9 cm, दूसरे पर 12 cm और निशानों के बीच की तिरछी दूरी। वह 15 cm आए तो कोना एकदम समकोण है।
समकोण त्रिभुज में कर्ण पर बना वर्ग शेष दो भुजाओं पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है: a² + b² = c², जहाँ c कर्ण है। विलोम भी सत्य है: तीन भुजाओं के लिए a² + b² = c² हो तो त्रिभुज समकोण होता है।
आकृति में : 81 + 144 = 225 = 15², इसलिए कर्ण 15।
नियम 1 : कर्ण निकालें — दो छोटी भुजाओं के वर्ग जोड़ें, फिर वर्गमूल लें।
प्रमेय और उसका विलोम
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंआकृति में : स्लाइडर हिलाइए: कर्ण पर बना बड़ा वर्ग हमेशा दो छोटे वर्गों के योग के बराबर रहता है।
- आसान: भुजाएँ 9 और 12: 81 + 144 = 225, इसलिए c = 15।
- मध्यम: भुजाएँ 8 और 15: 64 + 225 = 289, इसलिए c = 17।
- परीक्षा-प्रकार: भुजाएँ 2 और 5: 4 + 25 = 29, इसलिए c = √29 ≈ 5.39।
नियम 2 : एक भुजा निकालें — कर्ण के वर्ग में से ज्ञात भुजा का वर्ग घटाएँ, फिर वर्गमूल लें।
- आसान: कर्ण 13, भुजा 5: 169 − 25 = 144, दूसरी भुजा 12।
- मध्यम: कर्ण 26, भुजा 24: 676 − 576 = 100, दूसरी भुजा 10।
- परीक्षा-प्रकार: कर्ण 41, भुजा 9: 1681 − 81 = 1600, दूसरी भुजा 40।
नियम 3 : विलोम से जाँचें — सबसे बड़ी भुजा का वर्ग करें। उसकी तुलना शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग से करें।
- आसान: 20, 21, 29: 400 + 441 = 841 = 29²। समकोण।
- मध्यम: 10, 11, 15: 100 + 121 = 221, पर 15² = 225। समकोण नहीं।
- परीक्षा-प्रकार: 9, 12, 16: 81 + 144 = 225, पर 16² = 256। समकोण नहीं।
कर्ण हमेशा सबसे बड़ी भुजा होता है और समकोण के सामने होता है। विलोम की जाँच में हमेशा सबसे बड़ी भुजा का वर्ग करें।
c² = a² − b² लिखना या भुजाओं के वर्गों की जगह भुजाएँ जोड़ना। हमेशा a² + b² = c² प्रयोग करें; c सबसे बड़ी भुजा।
दो छोटों के वर्ग मिलकर बड़े का वर्ग। याद रखने की युक्ति : "छोटा वर्ग + छोटा वर्ग = बड़ा वर्ग"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | प्रमेय | विलोम |
|---|---|---|
| शुरुआत | समकोण त्रिभुज | तीन भुजाओं की लंबाइयाँ |
| निष्कर्ष | a² + b² = c² | त्रिभुज समकोण है |
| उपयोग | लुप्त भुजा निकालना | समकोण जाँचना |
अभ्यास के प्रश्न
- 1समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 6 cm और 8 cm हैं। कर्ण ज्ञात कीजिए।
- 2कर्ण 13 cm और एक भुजा 12 cm है। दूसरी भुजा ज्ञात कीजिए।
- 3भुजाएँ 15 cm और 20 cm हैं। कर्ण ज्ञात कीजिए।
- 4कर्ण 26 cm और एक भुजा 24 cm है। दूसरी भुजा ज्ञात कीजिए।
- 5क्या 12, 35, 37 भुजाओं वाला त्रिभुज समकोण है?
- 6भुजाएँ 2 cm और 5 cm हैं। कर्ण ज्ञात कीजिए।
- 7क्या 9, 12, 16 भुजाओं वाला त्रिभुज समकोण है?
- 8समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 7 cm और 24 cm हैं। उसका परिमाप ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 110 cm
- 25 cm
- 325 cm
- 410 cm
- 5हाँ (1225 + 144 = 1369 = 37²)
- 6√29 cm
- 7नहीं (225 ≠ 256)
- 856 cm
बौधायन त्रिक
निर्माण स्थल पर रस्सी में बराबर दूरी पर गाँठें लगाकर 12 अंतरों का फंदा बनाया: एक ओर 3, दूसरी ओर 4 और आर-पार 5। तानने पर कोना समकोण बनता है। पूर्ण संख्याओं के ऐसे समूह त्रिक कहलाते हैं।
बौधायन (पाइथागोरस) त्रिक तीन पूर्ण संख्याओं a, b, c का वह समूह है जिसमें a² + b² = c²। त्रिक की हर संख्या को एक ही संख्या से गुणा करने पर नया त्रिक मिलता है। प्रसिद्ध त्रिक: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25।
आकृति में : हर पंक्ति पहली पंक्ति को एक ही संख्या से गुणा करके बनती है, इसलिए हर पंक्ति त्रिक है।
नियम 1 : त्रिक को गुणा करें — तीनों संख्याओं को एक ही पूर्ण संख्या से गुणा करें।
- आसान: 5, 12, 13 × 3 = 15, 36, 39।
- मध्यम: 3, 4, 5 × 8 = 24, 32, 40; जाँचें 576 + 1024 = 1600।
- परीक्षा-प्रकार: 20, ?, 52 में लुप्त संख्या (5, 12, 13 का गुणज): 52 ÷ 13 = 4, इसलिए ? = 12 × 4 = 48।
नियम 2 : m और n से त्रिक बनाएँ — पूर्ण संख्याएँ m > n लें। तब m² − n², 2mn और m² + n² हमेशा त्रिक बनाते हैं।
- आसान: m = 2, n = 1: 3, 4, 5।
- मध्यम: m = 4, n = 3: 7, 24, 25।
- परीक्षा-प्रकार: m = 5, n = 2: 21, 20, 29; जाँचें 441 + 400 = 841 = 29²।
नियम 3 : विषम संख्या का पैटर्न — विषम n के लिए त्रिक n, (n² − 1) ÷ 2, (n² + 1) ÷ 2। अंतिम दो संख्याएँ क्रमागत होती हैं।
बौधायन त्रिक
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंआकृति में : कोई भी तीन संख्याएँ रखें; जाँचक बताता है कि वे समकोण त्रिभुज बनाती हैं या नहीं।
- आसान: n = 7: (49 − 1) ÷ 2 = 24, (49 + 1) ÷ 2 = 25, इसलिए 7, 24, 25।
- मध्यम: n = 13: 84 और 85, इसलिए 13, 84, 85।
- परीक्षा-प्रकार: क्या 16, 63, 65 त्रिक है? 256 + 3969 = 4225 = 65²। हाँ।
त्रिक की तीनों संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ होनी चाहिए। 3, 4, 5 और इसके गुणज (6, 8, 10), (9, 12, 15) सब एक ही आकार के समकोण त्रिभुज हैं।
गुणा करने की जगह हर संख्या में वही संख्या जोड़ना (3 + 1, 4 + 1, 5 + 1)। केवल गुणा करने से ही त्रिक बना रहता है।
गुणा से बढ़ाएँ, "घटा, दुगुना, जोड़" से बनाएँ। याद रखने की युक्ति : m² घटा n², दुगुना mn, m² जोड़ n²।
अंतर पहचानें
| बिंदु | गुणा | m, n नियम |
|---|---|---|
| शुरुआत | ज्ञात त्रिक | दो पूर्ण संख्याएँ m > n |
| उदाहरण | 3, 4, 5 × 3 = 9, 12, 15 | m = 3, n = 2: 5, 12, 13 |
| मिलता है | बड़ा समरूप त्रिक | एकदम नया त्रिक |
अभ्यास के प्रश्न
- 1त्रिक 3, 4, 5 को 10 से गुणा कीजिए।
- 2त्रिक 5, 12, 13 को 2 से गुणा कीजिए।
- 3m = 2 और n = 1 लेकर m² − n², 2mn, m² + n² निकालिए।
- 4m = 3 और n = 2 लेकर त्रिक बनाइए।
- 5विषम संख्या 15 से त्रिक बनाइए।
- 6?, 24, 25 में लुप्त संख्या निकालिए।
- 716, 30, 34 किस छोटे त्रिक का गुणज है?
- 8क्या 11, 60, 61 त्रिक है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 130, 40, 50
- 210, 24, 26
- 33, 4, 5
- 45, 12, 13
- 515, 112, 113
- 67
- 78, 15, 17 (× 2)
- 8हाँ (121 + 3600 = 3721 = 61²)
प्रमेय के उपयोग
पेंटर 13 m की सीढ़ी से दीवार पर 12 m ऊँची खिड़की तक पहुँचना चाहता है। सीढ़ी का पैर कहाँ रखे? प्रमेय ठीक बताता है: दीवार से 5 मी।
जिस प्रश्न में समकोण हो (सीढ़ी और दीवार, आयत और उसका विकर्ण, समचतुर्भुज और उसके विकर्ण, 90° पर मुड़ने वाला रास्ता), वहाँ समकोण त्रिभुज बनाएँ, कर्ण चिह्नित करें और a² + b² = c² प्रयोग करें।
आकृति में : सीढ़ी 13 कर्ण है: 13² − 12² = 25, इसलिए पैर 5 m दूर।
नियम 1 : सीढ़ी और दीवार — सीढ़ी कर्ण है। ऊँचाई² = सीढ़ी² − दूरी²।
प्रमेय के उपयोग
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंआकृति में : सीढ़ी की लंबाई और पैर की दूरी बदलें; देखें सीढ़ी कितनी ऊँचाई तक पहुँचती है।
- आसान: सीढ़ी 5 m, पैर दीवार से 3 m: ऊँचाई = 4 मी।
- मध्यम: सीढ़ी 17 m, पैर 8 m: ऊँचाई² = 289 − 64 = 225, ऊँचाई 15 मी।
- परीक्षा-प्रकार: पेड़ ज़मीन से 12 m ऊपर टूटता है और सिरा 9 m दूर छूता है: टूटा भाग = 15 m, कुल ऊँचाई 12 + 15 = 27 मी।
नियम 2 : आयत और उसका विकर्ण — विकर्ण² = लंबाई² + चौड़ाई²।
- आसान: 12 m × 16 m भूखंड: विकर्ण 20 मी।
- मध्यम: विकर्ण 25 cm, एक भुजा 24 cm: दूसरी भुजा 7 cm।
- परीक्षा-प्रकार: विकर्ण 41 m, लंबाई 40 m: चौड़ाई 9 m, परिमाप 98 मी।
नियम 3 : समचतुर्भुज और चलने का रास्ता — समचतुर्भुज के विकर्ण समकोण पर एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, इसलिए भुजा² = (एक विकर्ण का आधा)² + (दूसरे का आधा)²। 90° मोड़ वाले रास्ते में सीधी दूरी कर्ण होती है।
- आसान: 9 m पूर्व, फिर 12 m उत्तर: सीधी दूरी 15 मी।
- मध्यम: विकर्ण 48 और 20 वाला समचतुर्भुज: आधे 24 और 10, भुजा = 26 cm।
- परीक्षा-प्रकार: विकर्ण 16 और 30 वाला समचतुर्भुज: आधे 8 और 15, भुजा = 17 cm, परिमाप 68 cm।
पहले साफ़ आकृति बनाएँ और उस पर लंबाइयाँ लिखें। उत्तर जाँचें: कर्ण शेष हर भुजा से बड़ा होना चाहिए।
समचतुर्भुज में आधे विकर्ण को पूरा विकर्ण मान लेना, या भुजा निकालते समय घटाने की जगह जोड़ना। सीढ़ी, रस्सी या विकर्ण = कर्ण।
समकोण पहचानें, सबसे बड़ी भुजा तय करें। याद रखने की युक्ति : "बनाओ, नाम दो, वर्ग करो"।
अंतर पहचानें
| बिंदु | कर्ण निकालना | एक भुजा निकालना |
|---|---|---|
| क्रिया | वर्ग जोड़ें | वर्ग घटाएँ |
| उदाहरण | 9² + 12² = 225 | 17² − 8² = 225 |
| फिर | वर्गमूल: 15 | वर्गमूल: 15 |
अभ्यास के प्रश्न
- 110 m की सीढ़ी का पैर दीवार से 6 m है। वह कितनी ऊँचाई तक पहुँचती है?
- 2भूखंड 12 m × 16 m है। उसका विकर्ण ज्ञात कीजिए।
- 3आशा 9 m पूर्व और 12 m उत्तर चलती है। शुरुआत से सीधी दूरी कितनी है?
- 417 m की सीढ़ी का पैर दीवार से 8 m है। वह कितनी ऊँचाई तक पहुँचती है?
- 5समचतुर्भुज के विकर्ण 48 cm और 20 cm हैं। उसकी भुजा ज्ञात कीजिए।
- 6आयत का विकर्ण 25 cm और एक भुजा 24 cm है। दूसरी भुजा ज्ञात कीजिए।
- 7पेड़ ज़मीन से 12 m ऊपर टूटता है और सिरा तने से 5 m दूर छूता है। मूल ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
- 8आयत का विकर्ण 41 m और लंबाई 40 m है। उसका परिमाप ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 18 m
- 220 m
- 315 m
- 415 m
- 526 cm
- 67 cm
- 725 m
- 898 m