K2KARAKORAM
मराठीEnglishहिंदी
ॲप उघडा

CBSE · इयत्ता 8 · गणित भाग २

भाग 2, प्रकरण 5: ठिपके आणि रेषांच्या कथा (Tales by Dots and Lines)

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English · हिंदी

सरासरी म्हणजे समतोल बिंदू

रोजच्या जीवनातून

चार मित्रांकडे 2, 4, 6 आणि 12 गोळ्या आहेत. त्या एकत्र करून समान वाटल्या: 24 ÷ 4 = 6 प्रत्येकी. हा न्याय्य वाटा म्हणजे सरासरी.

सोपी व्याख्या

सरासरी = सर्व किमतींची बेरीज ÷ किमतींची संख्या. डॉट प्लॉटवर सरासरी हा समतोल बिंदू असतो: त्याखालील आणि त्यावरील किमतींच्या अंतरांची बेरीज सारखी असते.

024681012146(−4) + (−2) + 0 + 6 = 0

आकृतीत : 6 च्या खाली: 4 + 2 = 6. 6 च्या वर: 6. दोन्ही समतोल.

नियम 1 : सरासरी काढा — सर्व किमती मिळवा, मग त्यांच्या संख्येने भागा.

Live आकृती

सरासरी म्हणजे समतोल बिंदू

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

आकृतीत : स्लायडर हलवा आणि सरासरी बदलताना पाहा.

  • सोपे: 4, 6, 8: 18 ÷ 3 = 6.
  • मध्यम: 2, 9, 10, 7: 28 ÷ 4 = 7.
  • परीक्षेतील प्रकार: 12, 15, 18, 20, 25: 90 ÷ 5 = 18.

नियम 2 : समतोल तपासा — किंमत − सरासरी: ऋण आणि धन मिळून 0 येते.

  • सोपे: 2, 4, 12 (सरासरी 6): −4, −2, +6 ची बेरीज 0.
  • मध्यम: 5, 5, 8, 10 (सरासरी 7): −2, −2, +1, +3 ची बेरीज 0.
  • परीक्षेतील प्रकार: 1 आणि 9 (सरासरी 5): −4 आणि +4.

नियम 3 : सरासरी आणि बेरीज — बेरीज = सरासरी × किमतींची संख्या. लपलेली किंमत काढायला वापरा.

  • सोपे: 5 संख्यांची सरासरी 8: बेरीज 40.
  • मध्यम: 6 संख्यांची सरासरी 12: बेरीज 72.
  • परीक्षेतील प्रकार: 4 संख्यांची सरासरी 15, तिघी 10, 12, 20: 60 − 42 = 18 ही चौथी.
लक्षात ठेवा

सरासरी नेहमी सर्वात लहान आणि सर्वात मोठ्या किमतीच्या दरम्यान असते आणि ती एक किंमत असायलाच हवी असे नाही.

सामान्य चूक

चुकीच्या संख्येने भागणे, उदा. 0 ही किंमत विसरणे. शून्यही एक किंमत मानली जाते.

शॉर्टकट

सर्व मिळवा, संख्येने भागा. आठवणीची युक्ती : "एकत्र करा आणि वाटा": सर्व एकत्र करा, मग समान वाटा.

फरक ओळखा

मुद्दासरासरीमध्यक
कशी काढतातबेरीज ÷ संख्याक्रमाने लावल्यावर मधली किंमत
माहिती 2, 4, 6, 1265
खूप मोठ्या किमतीचा परिणामहोयफार कमी

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 13, 5 आणि 10 ची सरासरी काढा.
  2. 212 आणि 20 ची सरासरी काढा.
  3. 34 संख्यांची सरासरी 9 आहे. त्यांची बेरीज काढा.
मध्यम
  1. 46, 8, 9, 12 आणि 15 ची सरासरी काढा.
  2. 54 संख्यांची सरासरी 15. त्यापैकी तीन 10, 12 आणि 20 आहेत. चौथी काढा.
  3. 65, 7, 12 या माहितीची सरासरी 8. सरासरीपेक्षा लहान किमतींचे सरासरीपासूनचे एकूण अंतर काढा.
आव्हानात्मक
  1. 75 संख्यांची सरासरी 22. त्यांपैकी 3 ची सरासरी 20. उरलेल्या दोन संख्यांची सरासरी काढा.
  2. 8x ची कोणती किंमत असेल तर 4, x आणि 10 ची सरासरी 8 होईल?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 16
  2. 216
  3. 336
  4. 410
  5. 518
  6. 64
  7. 725
  8. 810

सरासरी कशी बदलते

रोजच्या जीवनातून

पाच विद्यार्थ्यांची सरासरी 50 गुण. सहावा 80 गुण मिळवतो. नवी सरासरी 330 ÷ 6 = 55. मोठा गुण सरासरी वर ओढतो.

सोपी व्याख्या

सरासरीपेक्षा मोठी किंमत घातली तर ती वाढते, लहान घातली तर कमी होते, सरासरीएवढी घातली तर तीच राहते. प्रत्येक किमतीत +k केले तर सरासरीत +k. प्रत्येक किंमत k ने गुणली तर सरासरीही k ने गुणली जाते.

Live आकृती

सरासरी कशी बदलते

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

आकृतीत : जास्तीचा गुण सरकवा आणि सरासरी हलताना पाहा.

नियम 1 : एक किंमत घाला किंवा काढा — नवी सरासरी = (जुनी बेरीज ± ती किंमत) ÷ नवी संख्या.

  • सोपे: 4 संख्यांची सरासरी 10 (बेरीज 40), 20 घाला: 60 ÷ 5 = 12.
  • मध्यम: 5 संख्यांची सरासरी 8 (बेरीज 40), 12 काढा: 28 ÷ 4 = 7.
  • परीक्षेतील प्रकार: 3 संख्यांची सरासरी 6 (बेरीज 18), 6 घाला: 24 ÷ 4 = 6, बदल नाही.

नियम 2 : प्रत्येक किमतीत तीच संख्या मिळवा — सरासरी नेमकी तेवढ्याने वाढते (किंवा कमी होते).

  • सोपे: 4, 6, 8 (सरासरी 6), प्रत्येकात +5: सरासरी 11.
  • मध्यम: 10, 20, 30 (सरासरी 20), प्रत्येकातून −4: सरासरी 16.
  • परीक्षेतील प्रकार: 2, 3, 7 (सरासरी 4), प्रत्येकात +10: सरासरी 14.

नियम 3 : प्रत्येक किंमत गुणा — सरासरीही त्याच संख्येने गुणली जाते.

  • सोपे: 2, 4, 6 (सरासरी 4) × 3: सरासरी 12.
  • मध्यम: 10, 20, 30 (सरासरी 20) × निम्मे: सरासरी 10.
  • परीक्षेतील प्रकार: 5, 7, 9 (सरासरी 7) × 2: सरासरी 14.
लक्षात ठेवा

नवी किंमत घातल्याने बेरीज आणि संख्या दोन्ही बदलतात, म्हणून नेहमी बेरीज आणि संख्येवरून पुन्हा काढा.

सामान्य चूक

10 किमतींतील प्रत्येकात +5 केल्यास सरासरीत 50 वाढ होते असे समजणे. बेरीज 50 ने वाढते, पण सरासरी फक्त 5 ने.

शॉर्टकट

सर्वांना तोच बदल, सरासरीलाही तोच बदल. आठवणीची युक्ती : "सरासरी जमावामागे जाते".

फरक ओळखा

मुद्दाएक किंमत घातलीप्रत्येक किंमत बदलली
संख्या1 ने वाढतेतीच राहते
बेरीजत्या किमतीने वाढतेप्रत्येक किमतीसाठी बदलते
सरासरीनव्या किमतीकडे सरकतेनेमकी +k ने बदलते

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 15, 7 आणि 9 ची सरासरी 7. प्रत्येकात +3. नवी सरासरी काढा.
  2. 22, 4 आणि 6 ची सरासरी 4. प्रत्येक किंमत 5 ने गुणली. नवी सरासरी काढा.
  3. 34 संख्यांची सरासरी 10. पाचवी संख्या 10 घातली. नवी सरासरी काढा.
मध्यम
  1. 45 संख्यांची सरासरी 20. सहावी संख्या 38 घातली. नवी सरासरी काढा.
  2. 56 संख्यांची सरासरी 15. संख्या 30 काढली. नवी सरासरी काढा.
  3. 63 संख्यांची सरासरी 12. प्रत्येक 4 ने गुणली आणि मग प्रत्येकातून 2 वजा केले. नवी सरासरी काढा.
आव्हानात्मक
  1. 74 संख्यांची सरासरी 14. आणखी दोन संख्या, 8 आणि दुसरी, घातल्या आणि सरासरी 14 च राहिली. दुसरी संख्या काढा.
  2. 810 विद्यार्थ्यांचे सरासरी गुण 60. शिक्षकाने सर्वांना 4 गुण जोडले. मग ज्याचे नवे गुण 64 आहेत तो विद्यार्थी गेला. उरलेल्या 9 ची सरासरी काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 110
  2. 220
  3. 310
  4. 423
  5. 512
  6. 646
  7. 720
  8. 864

अज्ञात किंमत, मध्यक आणि वारंवारता तक्ता

रोजच्या जीवनातून

एका मुलाला तीन चाचण्यांत 55, 65 आणि 75 गुण मिळाले; चार चाचण्यांनंतर सरासरी 70 हवी आहे. शेवटच्या चाचणीत 4 × 70 − 195 = 85 हवे.

सोपी व्याख्या

गहाळ किंमत = (सरासरी × संख्या) − ज्ञात किमतींची बेरीज. मध्यक: किमती क्रमाने लावा; मधली किंमत घ्या, संख्या सम असल्यास मधल्या दोन किमतींची सरासरी. वारंवारता तक्त्यावरून: सरासरी = (किंमत × वारंवारता ची बेरीज) ÷ एकूण वारंवारता.

Live आकृती

अज्ञात किंमत, मध्यक आणि वारंवारता तक्ता

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

आकृतीत : सरासरी आणि ज्ञात गुण बदला आणि गहाळ गुण शोधा.

नियम 1 : गहाळ किंमत शोधा — हवी असलेली एकूण बेरीज वजा ज्ञात बेरीज.

  • सोपे: 4 संख्यांची सरासरी 9, ज्ञात 5, 8, 12: 36 − 25 = 11.
  • मध्यम: 5 संख्यांची सरासरी 7, ज्ञात 3, 6, 8, 9: 35 − 26 = 9.
  • परीक्षेतील प्रकार: 5 चाचण्यांत सरासरी 80, गुण 70, 75, 85, 90: 400 − 320 = 80.

नियम 2 : मध्यक शोधा — आधी क्रमाने लावा. मग मधली किंमत (किंवा मधल्या दोघांची सरासरी) घ्या.

Live आकृती

अज्ञात किंमत, मध्यक आणि वारंवारता तक्ता

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

आकृतीत : वारंवारता बदला आणि सरासरी पाहा.

  • सोपे: 3, 9, 5, 1, 7 क्रमाने 1, 3, 5, 7, 9: मध्यक 5.
  • मध्यम: 8, 2, 6, 4 क्रमाने 2, 4, 6, 8: (4 + 6) ÷ 2 = 5.
  • परीक्षेतील प्रकार: 1, 2, 3, 100: मध्यक (2 + 3) ÷ 2 = 2.5, तर सरासरी 26.5.

नियम 3 : वारंवारता तक्त्यावरून सरासरी — प्रत्येक किंमत तिच्या वारंवारतेने गुणा, मिळवा, एकूण वारंवारतेने भागा.

  • सोपे: किमती 1, 2, 3 वारंवारता 2, 3, 5: 23 ÷ 10 = 2.3.
  • मध्यम: किमती 10, 20 वारंवारता 3, 1: 50 ÷ 4 = 12.5.
  • परीक्षेतील प्रकार: किमती 0, 1, 2, 3 वारंवारता 1, 2, 3, 4: 20 ÷ 10 = 2.
लक्षात ठेवा

खूप मोठी किंमत सरासरी बरीच बदलते पण मध्यक फार कमी, म्हणून टोकाच्या किमती असलेल्या माहितीसाठी मध्यक चांगला सारांश देतो.

सामान्य चूक

क्रमाने न लावता मधली किंमत घेणे, किंवा वारंवारता न वापरता तक्त्यातील किमतींची सरासरी काढणे.

शॉर्टकट

हवी असलेली बेरीज वजा ज्ञात बेरीज. आठवणीची युक्ती : मध्यकासाठी "क्रमाने लावा, मग मध्यावर तोडा".

फरक ओळखा

मुद्दाविषम संख्येच्या किमतीसम संख्येच्या किमती
मध्यक आहेमधली किंमतमधल्या दोन किमतींची सरासरी
उदाहरण1, 3, 51, 3, 5, 9
मध्यक34

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 14, 9 आणि 2 चा मध्यक काढा.
  2. 23 संख्यांची सरासरी 6. त्यापैकी दोन 5 आणि 7. तिसरी काढा.
  3. 31, 2, 3 आणि 4 चा मध्यक काढा.
मध्यम
  1. 45 संख्यांची सरासरी 10. त्यापैकी चार 6, 8, 12 आणि 14. पाचवी काढा.
  2. 52, 4, 6 या किमतींच्या वारंवारता 1, 2, 1 आहेत. सरासरी काढा.
  3. 610, 3, 8, 6, 15 आणि 1 चा मध्यक काढा.
आव्हानात्मक
  1. 75 संख्यांची सरासरी 18. सर्वात मोठी, 30, काढली. उरलेल्या चारांची सरासरी काढा.
  2. 82, 4, 6, 8, x या माहितीचा मध्यक 6 आणि सरासरी 6 आहे. x काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 14
  2. 26
  3. 32.5
  4. 410
  5. 54
  6. 67
  7. 715
  8. 810

रेषा आलेख (लाइन ग्राफ)

रोजच्या जीवनातून

डॉक्टर दर 3 तासांनी तुमचे तापमान लिहितात आणि ठिपके जोडतात. वर जाणे, खाली येणे, सपाट राहणे: रेषा तापाची कथा एका नजरेत सांगते.

सोपी व्याख्या

रेषा आलेख (वेळ, किंमत) हे बिंदू वेळेच्या क्रमाने जोडतो. वर जाणारी रेषा = वाढ, खाली येणारी = घट, सपाट = बदल नाही. जास्त तीव्र रेषा म्हणजे जलद बदल.

5092214276+12 / 2 = 6

आकृतीत : 2 आणि 4 दरम्यान रेषा 2 टप्प्यांत 12 ने वाढते: प्रति टप्पा 6, सर्वात तीव्र भाग.

नियम 1 : किमती आणि बदल वाचा — प्रत्येक बिंदूची उंची वाचा. बदल = नंतरची किंमत − आधीची किंमत.

  • सोपे: बिंदू (2019, 40), (2020, 55), (2021, 50): 2020 मधील किंमत 55.
  • मध्यम: 2019 ते 2020 वाढ 55 − 40 = 15.
  • परीक्षेतील प्रकार: 2020 ते 2021 घट 55 − 50 = 5.

नियम 2 : सर्वात मोठा बदल शोधा — शेजारच्या प्रत्येक जोडीचा बदल काढा आणि तुलना करा.

  • सोपे: 2018 ते 2021 मध्ये किमती 10, 14, 30, 32: बदल +4, +16, +2.
  • मध्यम: सर्वात मोठी वाढ +16, 2019 आणि 2020 दरम्यान.
  • परीक्षेतील प्रकार: 2018 ते 2021 एकूण बदल 32 − 10 = 22.

नियम 3 : दर आणि मधल्या किमती — दर = बदल ÷ टप्पे. दोन बिंदूंच्या मध्यावर मधली किंमत घ्या (अंदाज).

  • सोपे: (1, 10) पासून (5, 30) पर्यंत: 20 ÷ 4 = प्रति टप्पा 5.
  • मध्यम: टप्पा 3 वर (मध्यावर) अंदाज (10 + 30) ÷ 2 = 20.
  • परीक्षेतील प्रकार: (6, 40) पासून (9, 40) पर्यंत सपाट भाग: दर 0.
लक्षात ठेवा

दोन नोंदींमधील रेषा फक्त अंदाज असतो: त्या दरम्यान नेमके काय झाले ते आलेख सांगत नाही.

सामान्य चूक

सर्वात उंच बिंदू म्हणजे सर्वात जलद बदल असे समजणे. जलद बदल म्हणजे सर्वात तीव्र भाग, सर्वात उंच बिंदू नव्हे.

शॉर्टकट

वर म्हणजे वाढ, खाली म्हणजे घट, सपाट म्हणजे स्थिर. आठवणीची युक्ती : "जास्त तीव्र म्हणजे जास्त जलद".

फरक ओळखा

मुद्दारेषा आलेखस्तंभ आलेख
कशासाठी उत्तमवेळेनुसार बदलवर्गांची तुलना
बिंदूरेषांनी जोडलेलेवेगळ्या स्तंभांनी दाखवलेले
उदाहरणदर तासाचे तापमानपाच वर्गांचे गुण

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1आठवड्याच्या किमती आठवडा 1, 2, 3 मध्ये 5, 8 आणि 6. कोणत्या आठवड्यात किंमत सर्वात जास्त?
  2. 2त्याच आलेखात आठवडा 1 ते 2 मधील वाढ काढा.
  3. 3रेषा आलेखाचा सपाट भाग काय दाखवतो?
मध्यम
  1. 4रेषा (2, 10) पासून (4, 26) पर्यंत जाते. प्रति टप्पा बदलाची दर काढा.
  2. 5टप्पे 1 ते 4 मधील किमती 40, 34, 29, 35. शेजारच्या टप्प्यांमधील सर्वात मोठी घट काढा.
  3. 6(1, 12) आणि (3, 20) हे बिंदू सरळ रेषेने जोडले आहेत. टप्पा 2 वरील किंमत अंदाजे काढा.
आव्हानात्मक
  1. 7रेषा आलेखाचे बिंदू (0, 5), (2, 9), (4, 21), (6, 27). प्रति टप्पा सर्वाधिक बदलाचा दर काढा.
  2. 8रोप महिने 1 ते 4 मध्ये 20, 26, 32 आणि 38 cm उंच आहे आणि तशाच दराने वाढत राहते. महिना 6 मध्ये उंची काढा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1आठवडा 2
  2. 23
  3. 3बदल नाही
  4. 48
  5. 56
  6. 616
  7. 76
  8. 850 cm

आलेख निवडणे आणि वाचणे

रोजच्या जीवनातून

शाळेचे कार्यालय प्रत्येक वर्गाच्या संख्येसाठी स्तंभ आलेख, रोजच्या उपस्थितीसाठी रेषा आलेख आणि निधीच्या खर्चासाठी पाई चार्ट ठेवते. प्रत्येक चित्र वेगळ्या प्रश्नाचे उत्तर देते.

सोपी व्याख्या

उद्देशानुसार निवडा: वेळेनुसार बदलासाठी रेषा आलेख; वर्गांच्या तुलनेसाठी स्तंभ आलेख; पूर्णाच्या भागांसाठी पाई चार्ट; एका संचातील पुनरावृत्त किमतींसाठी डॉट प्लॉट. पाई चार्टमध्ये कोन = वाटा × 360°. शीर्षक, नावे आणि अक्ष कोठून सुरू होतो ते नेहमी तपासा.

90°108°162°

आकृतीत : 360° चे 25% = 90°; 30% = 108°; 45% = 162°.

नियम 1 : आलेख निवडा — विचारा: वेळ, वर्ग की पूर्णाचे भाग?

Live आकृती

आलेख निवडणे आणि वाचणे

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

आकृतीत : स्तंभ बदला आणि आकारांची तुलना करा.

  • सोपे: पाच विद्यार्थ्यांचे गुण: स्तंभ आलेख.
  • मध्यम: आठवडाभराचे तापमान: रेषा आलेख.
  • परीक्षेतील प्रकार: खर्चाचे वाटे: पाई चार्ट.

नियम 2 : पाई चार्टचे कोन — कोन = पूर्णाचा वाटा × 360°.

  • सोपे: पूर्णाचा 1/4: 90°.
  • मध्यम: 30%: 30/100 × 360° = 108°.
  • परीक्षेतील प्रकार: 90 पैकी 45 विद्यार्थी: 1/2 × 360° = 180°.

नियम 3 : काळजीपूर्वक वाचा — अक्ष कोठून सुरू होतो, माप आणि नावे तपासा.

  • सोपे: वास्तविक 52 आणि 56 किमतींचे स्तंभ, अक्ष 50 पासून सुरू: उंची 2 आणि 6: तिप्पट, पण किमती जवळजवळ सारख्या.
  • मध्यम: 0 पासून सुरू होणारा अक्ष स्तंभांचे खरे आकार दाखवतो.
  • परीक्षेतील प्रकार: अक्षावर समान टप्पे आलेख न्याय्य बनवतात.
लक्षात ठेवा

पाई चार्ट फक्त एका पूर्णाचे भाग दाखवू शकतो; त्याच्या फोडींची बेरीज नेहमी 360° (100%) असते.

सामान्य चूक

वेळेनुसार बदल दाखवायला पाई चार्ट वापरणे, किंवा अक्ष कोठून सुरू होतो ते न तपासणे.

शॉर्टकट

वेळ: रेषा. वर्ग: स्तंभ. पूर्ण: पाई. आठवणीची युक्ती : "वेळेला रेषा, वर्गाला स्तंभ, पूर्णाला पाई".

फरक ओळखा

मुद्दास्तंभ आलेखपाई चार्ट
दाखवतोप्रमाणपूर्णाचे वाटे
सर्व भागांची बेरीजकाहीही असू शकते360° (100%)
उदाहरणपाच ग्रंथालयांतील पुस्तकेदिवस कसा घालवला

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1वर्षभरातील मासिक पावसासाठी कोणता आलेख उत्तम?
  2. 2पाई चार्टमध्ये 25% फोडीचा कोन काढा.
  3. 3सहा खेळाडूंच्या धावांची तुलना करायला कोणता आलेख उत्तम?
मध्यम
  1. 4पाई चार्टमध्ये 200 पैकी 40 विद्यार्थ्यांना फुटबॉल आवडतो. कोन काढा.
  2. 5135° ची फोड 480 माणसांच्या वाट्याचे प्रतिनिधित्व करते. किती माणसे?
  3. 654° ची फोड पूर्णाच्या किती टक्के?
आव्हानात्मक
  1. 7360 विद्यार्थ्यांच्या पाई चार्टमध्ये विज्ञान 150° आणि गणित 90°. उरलेले भाषा. भाषा घेणारे किती विद्यार्थी?
  2. 8स्तंभ आलेखाचा अक्ष 40 पासून सुरू होतो. वास्तविक 45 आणि 55 चे स्तंभ 5 आणि 15 एकक उंच काढले. दुसरा स्तंभ किती पट उंच दिसतो?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1रेषा आलेख
  2. 290°
  3. 3स्तंभ आलेख
  4. 472°
  5. 5180
  6. 615%
  7. 7120
  8. 83 पट