K2KARAKORAM
मराठीEnglishहिंदी
ॲप उघडा

CBSE · इयत्ता 10 · गणित

निर्देशक भूमिती 7.3 : विभाजन सूत्र

5 संकल्पना · उत्तरांसह 40 सराव प्रश्न · वाचन मोफत

हा धडा या भाषेतही: English · हिंदी

रेषाखंडाचा मध्यबिंदू

रोजच्या जीवनातून

ग्रिड नकाशावरील दोन मित्रांच्या घरांच्या बरोबर मध्ये भेटायचे ठिकाण म्हणजे त्यांच्या स्थानांची सरासरी.

सोपी व्याख्या

A(x₁, y₁) व B(x₂, y₂) चा मध्यबिंदू M((x₁ + x₂)/२, (y₁ + y₂)/२) : x ची सरासरी व y ची सरासरी.

सूत्र : M = ((x₁ + x₂)/२, (y₁ + y₂)/२)

A(x₁, y₁)B(x₂, y₂)M

आकृतीत : समान खुणा दाखवतात की M हा A व B च्या बरोबर मध्ये आहे.

Live आकृती

रेषाखंडाचा मध्यबिंदू

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : मध्यबिंदू काढा — दोन x मिळवून निम्मे करा; दोन y मिळवून निम्मे करा.

  • सोपे : (२, ३) व (८, ७) : M = (५, ५).
  • मध्यम : (−४, ६) व (२, −२) : M = (−१, २).
  • परीक्षेसाठी : (०, ०) व (६, −८) : M = (३, −४).

नियम 2 : दुसरे टोक शोधा — मध्यबिंदू सूत्रात घालून अज्ञात टोक सोडवा.

  • सोपे : M(−२, ८), A(१, ४) : B = (−५, १२).
  • मध्यम : M(३, १), A(−१, −२) : B = (७, ४).
  • परीक्षेसाठी : M(२, −३), A(५, ०) : B = (−१, −६).
लक्षात ठेवा

दुसरे टोक = २ × मध्यबिंदू − माहीत टोक.

सामान्य चूक

निम्मे करायला विसरणे आणि निर्देशकांची बेरीज देणे.

आठवणीची युक्ती

"मध्यबिंदू : मिळवा व निम्मे करा, x व y वेगवेगळे."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1A(−9, −5) आणि B(−23, −19) या बिंदूंना जोडणाऱ्या रेषाखंडाचा मध्यबिंदू शोधा.
  2. 2A(6, 1) आणि B(4, −11) या बिंदूंना जोडणाऱ्या रेषाखंडाचा मध्यबिंदू शोधा.
  3. 3A(9, 1) आणि B(21, 1) या बिंदूंना जोडणाऱ्या रेषाखंडाचा मध्यबिंदू शोधा.
मध्यम
  1. 4A(−1, −3) आणि B(−15, −3) या बिंदूंना जोडणाऱ्या रेषाखंडाचा मध्यबिंदू शोधा.
  2. 5A(9, −8) आणि B(11, −20) या बिंदूंना जोडणाऱ्या रेषाखंडाचा मध्यबिंदू शोधा.
  3. 6रेषाखंड AB चा मध्यबिंदू M(−2, 8) आहे. A हा (1, 4) असेल तर B चे निर्देशक शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7रेषाखंड AB चा मध्यबिंदू M(2, 7) आहे. A हा (7, 2) असेल तर B चे निर्देशक शोधा.
  2. 8रेषाखंड AB चा मध्यबिंदू M(−10, 10) आहे. A हा (−7, 4) असेल तर B चे निर्देशक शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1(−16, −12)
  2. 2(5, −5)
  3. 3(15, 1)
  4. 4(−8, −3)
  5. 5(10, −14)
  6. 6(−5, 12)
  7. 7(−3, 12)
  8. 8(−13, 16)

दिलेल्या गुणोत्तरात विभागणारा बिंदू

रोजच्या जीवनातून

शाळेपासून बाजाराकडे एक-तृतीयांश अंतरावर लावलेला फलक रस्त्याला १ : २ गुणोत्तरात विभागतो.

सोपी व्याख्या

P हा AB ला अंतर्विभाजनाने m : n (AP : PB) गुणोत्तरात विभागतो तर P = ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n)). आडवी जोडी लक्षात घ्या : m हा दूरच्या टोकाशी B जातो.

सूत्र : P = ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n))

A(x₁, y₁)B(x₂, y₂)Pmn

आकृतीत : AP : PB = २ : ३, म्हणून P हा A पासून B कडे २/५ अंतरावर.

Live आकृती

दिलेल्या गुणोत्तरात विभागणारा बिंदू

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : सूत्र वापरा — m, n व निर्देशक काळजीपूर्वक घाला; m दुसऱ्या बिंदूशी गुणले जाते.

  • सोपे : A(१, २), B(७, ८), १ : २ : P = (३, ४).
  • मध्यम : A(−३, ५), B(९, −७), १ : ३ : P = (०, २).
  • परीक्षेसाठी : A(२, −१), B(६, ७), ३ : १ : P = (५, ५).

नियम 2 : अंतराच्या भागाची सोपी पद्धत — m : n गुणोत्तर म्हणजे P हा A पासून B कडे m/(m + n) अंतरावर.

  • सोपे : A(०, ०), B(९, ६), गुणोत्तर १ : २ : एक-तृतीयांश अंतरावर : (३, २).
  • मध्यम : A(०, ०), B(१०, ५), गुणोत्तर २ : ३ : दोन-पंचमांश अंतरावर : (४, २).
  • परीक्षेसाठी : गुणोत्तर १ : १ म्हणजे मध्यबिंदू.
लक्षात ठेवा

A जवळचा भाग (m) B च्या निर्देशकाशी आणि B जवळचा भाग (n) A च्या निर्देशकाशी गुणला जातो.

सामान्य चूक

m व n उलटे घेणे, ज्यामुळे बिंदू चुकीच्या टोकापासून मिळतो.

आठवणीची युक्ती

"m दूरच्या टोकाशी, n जवळच्या टोकाशी."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1A(−3, −4) आणि B(−3, 6) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाला अंतर्गत 2 : 3 गुणोत्तरात विभागणाऱ्या बिंदू P चे निर्देशक शोधा (म्हणजे AP : PB = 2 : 3).
  2. 2A(−7, 7) आणि B(−15, 15) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाला अंतर्गत 3 : 1 गुणोत्तरात विभागणाऱ्या बिंदू P चे निर्देशक शोधा (म्हणजे AP : PB = 3 : 1).
  3. 3A(1, 1) आणि B(6, 1) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाला अंतर्गत 2 : 3 गुणोत्तरात विभागणाऱ्या बिंदू P चे निर्देशक शोधा (म्हणजे AP : PB = 2 : 3).
मध्यम
  1. 4A(−4, −2) आणि B(6, −7) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाला अंतर्गत 3 : 2 गुणोत्तरात विभागणाऱ्या बिंदू P चे निर्देशक शोधा (म्हणजे AP : PB = 3 : 2).
  2. 5A(4, −5) आणि B(16, −9) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाला अंतर्गत 3 : 1 गुणोत्तरात विभागणाऱ्या बिंदू P चे निर्देशक शोधा (म्हणजे AP : PB = 3 : 1).
  3. 6A(5, −4) आणि B(11, −4) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाला अंतर्गत 2 : 1 गुणोत्तरात विभागणाऱ्या बिंदू P चे निर्देशक शोधा (म्हणजे AP : PB = 2 : 1).
आव्हानात्मक
  1. 7A(0, −3) आणि B(−7, −31) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाला अंतर्गत 5 : 2 गुणोत्तरात विभागणाऱ्या बिंदू P चे निर्देशक शोधा (म्हणजे AP : PB = 5 : 2).
  2. 8A(0, −3) आणि B(−12, 15) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाला अंतर्गत 5 : 1 गुणोत्तरात विभागणाऱ्या बिंदू P चे निर्देशक शोधा (म्हणजे AP : PB = 5 : 1).
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1(−3, 0)
  2. 2(−13, 13)
  3. 3(3, 1)
  4. 4(2, −5)
  5. 5(13, −8)
  6. 6(9, −4)
  7. 7(−5, −23)
  8. 8(−10, 12)

गुणोत्तर, अक्षावरील बिंदू किंवा अज्ञात टोक शोधणे

रोजच्या जीवनातून

रस्त्यावर बिंदू कोठे आहे माहीत असेल तर उलट गणित करून गुणोत्तर किंवा न माहीत टोक काढता येते.

सोपी व्याख्या

माहीत निर्देशक विभाजन सूत्रात घालून m : n किंवा अज्ञात टोक सोडवा. x-अक्ष रेषाखंडाला तेथे विभागतो जेथे y = ०, म्हणून m : n = −y₁ : y₂; y-अक्ष जेथे x = ०, म्हणून −x₁ : x₂.

सूत्र : m : n = −y₁ : y₂

A(x₁, y₁)B(x₂, y₂)y = 0 atthe axism : n =−y₁ : y₂thenfind x

आकृतीत : x-अक्ष A(२, −३), B(५, ६) ला ३ : ६ = १ : २ गुणोत्तरात विभागतो, बिंदू (३, ०) येथे.

नियम 1 : गुणोत्तर शोधा — P कोठे आहे ते सांगणारा एकच निर्देशक वापरा.

  • सोपे : P(३, ४) हा A(१, २), B(७, ८) ला विभागतो : m : n = १ : २.
  • मध्यम : x-अक्ष A(२, −३), B(५, ६) ला विभागतो : १ : २, बिंदू (३, ०).
  • परीक्षेसाठी : y-अक्ष A(−२, ४), B(६, −२) ला विभागतो : १ : ३, बिंदू (०, २.५).

नियम 2 : अज्ञात टोक शोधा — गुणोत्तर व P सूत्रात घालून B सोडवा.

  • सोपे : P(३, ४) हा AB ला १ : २ मध्ये विभागतो, A(१, २) : B = (७, ८).
  • मध्यम : P(४, ६) हा AB ला २ : १ मध्ये विभागतो, A(०, ०) : B = (६, ९).
  • परीक्षेसाठी : B परत सूत्रात घालून तपासा.
लक्षात ठेवा

अक्षावर दुसरा निर्देशक ० असतो, म्हणून एकाच निर्देशकावरून गुणोत्तर मिळते.

सामान्य चूक

m : n = −y₁ : y₂ मधील वजा चिन्ह विसरणे; ऋण गुणोत्तर म्हणजे बिंदू रेषाखंडाबाहेर.

आठवणीची युक्ती

"x-अक्षावर y शून्य, y-अक्षावर x शून्य."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1A(−2, y) आणि B(−8, 1) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाचा मध्यबिंदू M(−5, 2) आहे. y शोधा.
  2. 2A(9, y) आणि B(−3, −5) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाचा मध्यबिंदू M(3, 0) आहे. y शोधा.
  3. 3x-अक्ष हा A(5, −6) आणि B(−7, 7) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाला कोणत्या गुणोत्तरात विभागतो?
मध्यम
  1. 4P(−3, 25) हा बिंदू A(−3, 5) आणि B(−3, 33) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडावर आहे. AP : PB हे गुणोत्तर शोधा.
  2. 5y-अक्ष हा A(−6, −4) आणि B(8, −2) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाला कोणत्या गुणोत्तरात विभागतो?
  3. 6P(0, −12) हा बिंदू A(−6, −6) आणि B ला जोडणाऱ्या रेषाखंडाला 3 : 1 (AP : PB) गुणोत्तरात विभागतो. B चे निर्देशक शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7P(−9, 1) हा बिंदू A(−1, −3) आणि B ला जोडणाऱ्या रेषाखंडाला 2 : 1 (AP : PB) गुणोत्तरात विभागतो. B चे निर्देशक शोधा.
  2. 8P(−6, −1) हा बिंदू A(−6, 5) आणि B ला जोडणाऱ्या रेषाखंडाला 2 : 5 (AP : PB) गुणोत्तरात विभागतो. B चे निर्देशक शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 13
  2. 25
  3. 36 : 7
  4. 45 : 2
  5. 53 : 4
  6. 6(2, −14)
  7. 7(−13, 3)
  8. 8(−6, −16)

त्रिभाजन, समांतरभुज चौकोन व वर्तुळे

रोजच्या जीवनातून

तारेवर एक-तृतीयांश व दोन-तृतीयांश अंतरावरचे दोन खांब तिचे तीन समान तुकडे करतात.

सोपी व्याख्या

त्रिभाजन बिंदू AB ला १ : २ व २ : १ गुणोत्तरात विभागतात. समांतरभुज चौकोनात कर्णांचा मध्यबिंदू एकच असतो. AB हा व्यास असेल तर केंद्र म्हणजे त्याचा मध्यबिंदू व त्रिज्या म्हणजे AB चा निम्मा.

trisection1 : 2, 2 : 1parallelogramsame mid-pointcirclecentre = mid-point

आकृतीत : A(२, −२), B(−७, ४) चे त्रिभाजन : P = (−१, ०), Q = (−४, २).

नियम 1 : त्रिभाजन व समांतरभुज चौकोन — १ : २ व २ : १ वापरा, किंवा दोन्ही कर्णांचे मध्यबिंदू समान मांडा.

  • सोपे : A(२, −२), B(−७, ४) : P (१ : २) = (−१, ०), Q (२ : १) = (−४, २).
  • मध्यम : A(१, २), B(४, ३), C(६, ६) : चौथा शिरोबिंदू D = (३, ५).
  • परीक्षेसाठी : A(−१, ०), B(२, १), C(३, ५) : D = (०, ४).

नियम 2 : व्यास असलेले वर्तुळ — केंद्र = व्यासाचा मध्यबिंदू; त्रिज्या = AB अंतराचा निम्मा.

  • सोपे : A(२, −३), B(−४, ५) : केंद्र (−१, १), त्रिज्या ५.
  • मध्यम : A(−३, २), B(५, ६) : केंद्र (१, ४), त्रिज्या √२०.
  • परीक्षेसाठी : केंद्र (२, ३), एक टोक (६, ६) : दुसरे टोक (−२, ०).
लक्षात ठेवा

प्रत्येक समांतरभुज चौकोनात A + C = B + D (शिरोबिंदूंचे निर्देशक).

सामान्य चूक

चुकीचे शिरोबिंदू जोडणे : कर्ण समोरचे शिरोबिंदू जोडतात, शेजारचे नव्हे.

आठवणीची युक्ती

"कर्ण एकमेकांना दुभागतात : A + C = B + D."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1△ABC मध्ये A हा (1, 2), B हा (0, −6) आणि C हा (8, 8) आहे. D हा BC चा मध्यबिंदू आहे. D चे निर्देशक शोधा.
  2. 2△ABC मध्ये A हा (4, 6), B हा (2, 5) आणि C हा (−10, −5) आहे. D हा BC चा मध्यबिंदू आहे. D चे निर्देशक शोधा.
  3. 3A(−5, 5) आणि B(−11, 20) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाचे त्रिभाजन करणारे बिंदू शोधा (रेषाखंडाचे तीन समान भाग करणारे दोन बिंदू).
मध्यम
  1. 4वर्तुळाचा AB हा व्यास आहे; A(−4, 5) आणि B(−16, −5). वर्तुळाचे केंद्र शोधा.
  2. 5A(3, 1) आणि B(6, 7) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाचे त्रिभाजन करणारे बिंदू शोधा (रेषाखंडाचे तीन समान भाग करणारे दोन बिंदू).
  3. 6वर्तुळाचे केंद्र O(1, 0) आहे आणि व्यासाचे एक टोक A(−4, 3) आहे. व्यासाचे दुसरे टोक शोधा.
आव्हानात्मक
  1. 7समांतरभुज चौकोन ABCD चे क्रमाने घेतलेले तीन शिरोबिंदू A(5, −5), B(5, 6) आणि C(1, −6) आहेत. चौथा शिरोबिंदू D शोधा.
  2. 8समांतरभुज चौकोन ABCD चे क्रमाने घेतलेले तीन शिरोबिंदू A(−5, 5), B(−6, −4) आणि C(4, 1) आहेत. चौथा शिरोबिंदू D शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1(4, 1)
  2. 2(−4, 0)
  3. 3(−7, 10) आणि (−9, 15)
  4. 4(−10, 0)
  5. 5(4, 3) आणि (5, 5)
  6. 6(6, −3)
  7. 7(1, −17)
  8. 8(5, 10)

विभाजन सूत्राचे उपयोग

रोजच्या जीवनातून

दोन गावांमधील ठरावीक अंशावर मेट्रो स्थानक ठरवणे किंवा त्रिकोणी पत्र्याचा तोल-बिंदू शोधणे; दोन्हीत हेच सूत्र.

सोपी व्याख्या

गोष्टीचे गुणोत्तर असलेल्या रेषाखंडात रूपांतर करा. त्रिकोणाचा मध्यगासंपात बिंदू तीन शिरोबिंदूंची सरासरी : ((x₁ + x₂ + x₃)/३, (y₁ + y₂ + y₃)/३). समभुज चौकोनात कर्ण एकमेकांना दुभागतात; काटकोन त्रिकोणाच्या कर्णाचा मध्यबिंदू तिन्ही शिरोबिंदूंपासून समान अंतरावर.

सूत्र : G = ((x₁ + x₂ + x₃)/३, (y₁ + y₂ + y₃)/३)

story→ segmentpickm : napplyformulaanswerwith unit

आकृतीत : त्रिकोण (०, ०), (६, ०), (३, ६) : मध्यगासंपात बिंदू = (९/३, ६/३) = (३, २).

नियम 1 : प्रत्यक्ष प्रसंग — गोष्टीतून दोन टोके व गुणोत्तर ठरवा, मग सूत्र वापरा.

  • सोपे : A(२, ३), B(१०, ७) : एक-चतुर्थांश अंतरावरील बिंदू (१ : ३) : (४, ४).
  • मध्यम : त्रिकोण (०, ०), (६, ०), (३, ६) : मध्यगासंपात बिंदू (३, २).
  • परीक्षेसाठी : (४, ०) व (४, १०) चा मध्यबिंदू (४, ५).

नियम 2 : आकृती व सिद्धता — गुणधर्म सिद्ध करायला कर्णांचे मध्यबिंदू वापरा.

  • सोपे : A(०, ०), B(४, ३), C(८, ०), D(४, −३) : दोन्ही कर्णांचा मध्यबिंदू (४, ०); समान बाजूंसह समभुज चौकोन.
  • मध्यम : काटकोन त्रिकोण A(०, ०), B(६, ०), C(०, ८) : BC चा मध्यबिंदू (३, ४), A पासून अंतर ५, BC = १० चा निम्मा.
  • परीक्षेसाठी : दोन कर्णांचा मध्यबिंदू एकच म्हणजे समांतरभुज चौकोन.
लक्षात ठेवा

आधी बिंदू ग्रिडवर काढा म्हणजे गुणोत्तर दिसते.

सामान्य चूक

मध्यगासंपात बिंदूसाठी ३ ने भागायला विसरणे.

आठवणीची युक्ती

"मध्यगासंपात बिंदू = तीन कोपऱ्यांची सरासरी."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे
  1. 1नकाशावर (1 एकक = 1 km) गाव A (5, 3) वर आणि गाव B (13, 11) वर आहे. सरळ वाट AB च्या अगदी मध्यावर पाण्याची टाकी आहे. त्या ठिकाणाचे निर्देशक शोधा.
  2. 2नकाशावर (1 एकक = 1 km) गाव A (8, 7) वर आणि गाव B (12, 3) वर आहे. सरळ वाट AB च्या अगदी मध्यावर पूल आहे. त्या ठिकाणाचे निर्देशक शोधा.
  3. 3नकाशावर (1 एकक = 1 km) गाव A (9, 5) वर आणि गाव B (13, 13) वर आहे. सरळ वाट AB च्या अगदी मध्यावर विहीर आहे. त्या ठिकाणाचे निर्देशक शोधा.
मध्यम
  1. 4नकाशावर (1 एकक = 1 km) शहर A (2, 8) वर आणि शहर B (29, 26) वर आहे. A पासून B कडे जाणाऱ्या सरळ रस्त्यावर A पासून 4/9 अंतरावर पेट्रोल पंप आहे. त्या ठिकाणाचे निर्देशक शोधा.
  2. 5नकाशावर (1 एकक = 1 km) शहर A (8, 9) वर आणि शहर B (−19, 36) वर आहे. A पासून B कडे जाणाऱ्या सरळ रस्त्यावर A पासून 4/9 अंतरावर विश्रामगृह आहे. त्या ठिकाणाचे निर्देशक शोधा.
  3. 6नकाशावर (1 एकक = 1 km) शहरे A आणि B अनुक्रमे (8, −9) आणि (2, −15) वर आहेत. AB च्या मध्यबिंदूवर विश्रामगृह आहे. ते नकाशाच्या मूलबिंदूपासून किती अंतरावर आहे (km मध्ये)?
आव्हानात्मक
  1. 7नकाशावर (1 एकक = 1 km) शहरे A आणि B अनुक्रमे (−12, 6) आणि (−18, 10) वर आहेत. AB च्या मध्यबिंदूवर बस थांबा आहे. ते नकाशाच्या मूलबिंदूपासून किती अंतरावर आहे (km मध्ये)?
  2. 8नकाशावर (1 एकक = 1 km) शहरे A आणि B अनुक्रमे (8, −5) आणि (16, −13) वर आहेत. AB च्या मध्यबिंदूवर पेट्रोल पंप आहे. ते नकाशाच्या मूलबिंदूपासून किती अंतरावर आहे (km मध्ये)?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
  1. 1(9, 7)
  2. 2(10, 5)
  3. 3(11, 9)
  4. 4(14, 16)
  5. 5(−4, 21)
  6. 613
  7. 717
  8. 815