रेखाखंड का मध्य-बिंदु
ग्रिड मानचित्र पर दो मित्रों के घरों के ठीक बीच का मिलन-स्थान उनके स्थानों का औसत है।
A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) का मध्य-बिंदु M((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) : x का औसत और y का औसत।
सूत्र : M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
आकृति में : समान चिह्न दिखाते हैं कि M, A और B के ठीक बीच में है।
रेखाखंड का मध्य-बिंदु
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : मध्य-बिंदु निकालें — दो x जोड़कर आधा करें; दो y जोड़कर आधा करें।
- आसान : (2, 3) और (8, 7) : M = (5, 5)।
- मध्यम : (−4, 6) और (2, −2) : M = (−1, 2)।
- परीक्षा-प्रकार : (0, 0) और (6, −8) : M = (3, −4)।
नियम 2 : दूसरा सिरा निकालें — मध्य-बिंदु सूत्र में रखकर अज्ञात सिरा हल करें।
- आसान : M(−2, 8), A(1, 4) : B = (−5, 12)।
- मध्यम : M(3, 1), A(−1, −2) : B = (7, 4)।
- परीक्षा-प्रकार : M(2, −3), A(5, 0) : B = (−1, −6)।
दूसरा सिरा = 2 × मध्य-बिंदु − ज्ञात सिरा।
आधा करना भूल जाना और निर्देशांकों का योग देना।
"मध्य-बिंदु : जोड़कर आधा करें, x और y अलग-अलग।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1बिंदुओं A(−9, −5) और B(−23, −19) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु ज्ञात कीजिए।
- 2बिंदुओं A(6, 1) और B(4, −11) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु ज्ञात कीजिए।
- 3बिंदुओं A(9, 1) और B(21, 1) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु ज्ञात कीजिए।
- 4बिंदुओं A(−1, −3) और B(−15, −3) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु ज्ञात कीजिए।
- 5बिंदुओं A(9, −8) और B(11, −20) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु ज्ञात कीजिए।
- 6रेखाखंड AB का मध्य-बिंदु M(−2, 8) है। यदि A (1, 4) हो तो B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
- 7रेखाखंड AB का मध्य-बिंदु M(2, 7) है। यदि A (7, 2) हो तो B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
- 8रेखाखंड AB का मध्य-बिंदु M(−10, 10) है। यदि A (−7, 4) हो तो B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1(−16, −12)
- 2(5, −5)
- 3(15, 1)
- 4(−8, −3)
- 5(10, −14)
- 6(−5, 12)
- 7(−3, 12)
- 8(−13, 16)
दिए अनुपात में बाँटने वाला बिंदु
स्कूल से बाज़ार की ओर एक-तिहाई दूरी पर लगा बोर्ड सड़क को 1 : 2 अनुपात में बाँटता है।
यदि P, AB को आंतरिक रूप से m : n (AP : PB) अनुपात में बाँटे तो P = ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n))। तिरछी जोड़ी देखें : m दूर वाले सिरे B के साथ आता है।
सूत्र : P = ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n))
आकृति में : AP : PB = 2 : 3, अतः P, A से B की ओर 2/5 दूरी पर।
दिए अनुपात में बाँटने वाला बिंदु
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : सूत्र लगाएँ — m, n और निर्देशांक सावधानी से रखें; m दूसरे बिंदु से गुणा होता है।
- आसान : A(1, 2), B(7, 8), 1 : 2 : P = (3, 4)।
- मध्यम : A(−3, 5), B(9, −7), 1 : 3 : P = (0, 2)।
- परीक्षा-प्रकार : A(2, −1), B(6, 7), 3 : 1 : P = (5, 5)।
नियम 2 : दूरी के भाग का सरल तरीका — अनुपात m : n का अर्थ P, A से B की ओर m/(m + n) दूरी पर।
- आसान : A(0, 0), B(9, 6), अनुपात 1 : 2 : एक-तिहाई दूरी पर : (3, 2)।
- मध्यम : A(0, 0), B(10, 5), अनुपात 2 : 3 : दो-पाँचवाँ दूरी पर : (4, 2)।
- परीक्षा-प्रकार : अनुपात 1 : 1 मध्य-बिंदु देता है।
A के पास का भाग (m) B के निर्देशांक से और B के पास का भाग (n) A के निर्देशांक से गुणा होता है।
m और n उलट देना, जिससे बिंदु गलत सिरे से मिलता है।
"m दूर वाले सिरे के साथ, n पास वाले के साथ।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1A(−3, −4) और B(−3, 6) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 3 अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए (अर्थात AP : PB = 2 : 3)।
- 2A(−7, 7) और B(−15, 15) को मिलाने वाले रेखाखंड को 3 : 1 अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए (अर्थात AP : PB = 3 : 1)।
- 3A(1, 1) और B(6, 1) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 3 अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए (अर्थात AP : PB = 2 : 3)।
- 4A(−4, −2) और B(6, −7) को मिलाने वाले रेखाखंड को 3 : 2 अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए (अर्थात AP : PB = 3 : 2)।
- 5A(4, −5) और B(16, −9) को मिलाने वाले रेखाखंड को 3 : 1 अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए (अर्थात AP : PB = 3 : 1)।
- 6A(5, −4) और B(11, −4) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 1 अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए (अर्थात AP : PB = 2 : 1)।
- 7A(0, −3) और B(−7, −31) को मिलाने वाले रेखाखंड को 5 : 2 अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए (अर्थात AP : PB = 5 : 2)।
- 8A(0, −3) और B(−12, 15) को मिलाने वाले रेखाखंड को 5 : 1 अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए (अर्थात AP : PB = 5 : 1)।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1(−3, 0)
- 2(−13, 13)
- 3(3, 1)
- 4(2, −5)
- 5(13, −8)
- 6(9, −4)
- 7(−5, −23)
- 8(−10, 12)
अनुपात, अक्ष पर बिंदु या अज्ञात सिरा ज्ञात करना
सड़क पर बिंदु कहाँ है पता हो तो उलट हल करके अनुपात या अज्ञात सिरा निकाल सकते हैं।
ज्ञात निर्देशांक विभाजन सूत्र में रखकर m : n या अज्ञात सिरा हल करें। x-अक्ष रेखाखंड को वहाँ बाँटता है जहाँ y = 0, अतः m : n = −y₁ : y₂; y-अक्ष जहाँ x = 0, अतः −x₁ : x₂।
सूत्र : m : n = −y₁ : y₂
आकृति में : x-अक्ष A(2, −3), B(5, 6) को 3 : 6 = 1 : 2 अनुपात में बाँटता है, बिंदु (3, 0) पर।
नियम 1 : अनुपात निकालें — P कहाँ है यह बताने वाला एक निर्देशांक लें।
- आसान : P(3, 4) बाँटता है A(1, 2), B(7, 8) को : m : n = 1 : 2।
- मध्यम : x-अक्ष A(2, −3), B(5, 6) को बाँटता है : 1 : 2, बिंदु (3, 0)।
- परीक्षा-प्रकार : y-अक्ष A(−2, 4), B(6, −2) को बाँटता है : 1 : 3, बिंदु (0, 2.5)।
नियम 2 : अज्ञात सिरा निकालें — अनुपात और P सूत्र में रखकर B हल करें।
- आसान : P(3, 4), AB को 1 : 2 में बाँटता है, A(1, 2) : B = (7, 8)।
- मध्यम : P(4, 6), AB को 2 : 1 में बाँटता है, A(0, 0) : B = (6, 9)।
- परीक्षा-प्रकार : B को वापस सूत्र में रखकर जाँचें।
अक्ष पर दूसरा निर्देशांक 0 होता है, इसलिए एक ही निर्देशांक से अनुपात मिलता है।
m : n = −y₁ : y₂ का ऋण चिह्न भूल जाना; ऋण अनुपात का अर्थ बिंदु रेखाखंड के बाहर है।
"x-अक्ष पर y शून्य, y-अक्ष पर x शून्य।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1A(−2, y) और B(−8, 1) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु M(−5, 2) है। y ज्ञात कीजिए।
- 2A(9, y) और B(−3, −5) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु M(3, 0) है। y ज्ञात कीजिए।
- 3x-अक्ष बिंदुओं A(5, −6) और B(−7, 7) को मिलाने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में बाँटता है?
- 4बिंदु P(−3, 25), A(−3, 5) और B(−3, 33) को मिलाने वाले रेखाखंड पर है। अनुपात AP : PB ज्ञात कीजिए।
- 5y-अक्ष बिंदुओं A(−6, −4) और B(8, −2) को मिलाने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में बाँटता है?
- 6बिंदु P(0, −12), A(−6, −6) और B को मिलाने वाले रेखाखंड को 3 : 1 (AP : PB) अनुपात में बाँटता है। B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
- 7बिंदु P(−9, 1), A(−1, −3) और B को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 1 (AP : PB) अनुपात में बाँटता है। B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
- 8बिंदु P(−6, −1), A(−6, 5) और B को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 5 (AP : PB) अनुपात में बाँटता है। B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 13
- 25
- 36 : 7
- 45 : 2
- 53 : 4
- 6(2, −14)
- 7(−13, 3)
- 8(−6, −16)
त्रिभाजन, समांतर चतुर्भुज और वृत्त
तार पर एक-तिहाई और दो-तिहाई दूरी के दो खंभे उसे तीन बराबर टुकड़ों में बाँटते हैं।
त्रिभाजन बिंदु AB को 1 : 2 और 2 : 1 अनुपात में बाँटते हैं। समांतर चतुर्भुज में विकर्णों का मध्य-बिंदु एक ही होता है। AB व्यास हो तो केंद्र उसका मध्य-बिंदु और त्रिज्या AB की आधी होती है।
आकृति में : A(2, −2), B(−7, 4) का त्रिभाजन : P = (−1, 0), Q = (−4, 2)।
नियम 1 : त्रिभाजन और समांतर चतुर्भुज — 1 : 2 और 2 : 1 लें, या दोनों विकर्णों के मध्य-बिंदु बराबर रखें।
- आसान : A(2, −2), B(−7, 4) : P (1 : 2) = (−1, 0), Q (2 : 1) = (−4, 2)।
- मध्यम : A(1, 2), B(4, 3), C(6, 6) : चौथा शीर्ष D = (3, 5)।
- परीक्षा-प्रकार : A(−1, 0), B(2, 1), C(3, 5) : D = (0, 4)।
नियम 2 : व्यास वाला वृत्त — केंद्र = व्यास का मध्य-बिंदु; त्रिज्या = दूरी AB की आधी।
- आसान : A(2, −3), B(−4, 5) : केंद्र (−1, 1), त्रिज्या 5।
- मध्यम : A(−3, 2), B(5, 6) : केंद्र (1, 4), त्रिज्या √20।
- परीक्षा-प्रकार : केंद्र (2, 3), एक सिरा (6, 6) : दूसरा सिरा (−2, 0)।
हर समांतर चतुर्भुज में A + C = B + D (शीर्षों के निर्देशांक)।
गलत शीर्ष जोड़ना : विकर्ण सम्मुख शीर्ष जोड़ते हैं, पड़ोसी नहीं।
"विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं : A + C = B + D।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1△ABC में A (1, 2), B (0, −6) और C (8, 8) है। D भुजा BC का मध्य-बिंदु है। D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
- 2△ABC में A (4, 6), B (2, 5) और C (−10, −5) है। D भुजा BC का मध्य-बिंदु है। D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
- 3A(−5, 5) और B(−11, 20) को मिलाने वाले रेखाखंड के त्रिभाजक बिंदु ज्ञात कीजिए (वे दो बिंदु जो इसे तीन बराबर भागों में बाँटते हैं)।
- 4वृत्त का AB एक व्यास है; A(−4, 5) और B(−16, −5)। वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए।
- 5A(3, 1) और B(6, 7) को मिलाने वाले रेखाखंड के त्रिभाजक बिंदु ज्ञात कीजिए (वे दो बिंदु जो इसे तीन बराबर भागों में बाँटते हैं)।
- 6वृत्त का केंद्र O(1, 0) है और व्यास का एक सिरा A(−4, 3) है। व्यास का दूसरा सिरा ज्ञात कीजिए।
- 7समांतर चतुर्भुज ABCD के क्रम से लिए गए तीन शीर्ष A(5, −5), B(5, 6) और C(1, −6) हैं। चौथा शीर्ष D ज्ञात कीजिए।
- 8समांतर चतुर्भुज ABCD के क्रम से लिए गए तीन शीर्ष A(−5, 5), B(−6, −4) और C(4, 1) हैं। चौथा शीर्ष D ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1(4, 1)
- 2(−4, 0)
- 3(−7, 10) और (−9, 15)
- 4(−10, 0)
- 5(4, 3) और (5, 5)
- 6(6, −3)
- 7(1, −17)
- 8(5, 10)
विभाजन सूत्र के अनुप्रयोग
दो कस्बों के बीच निश्चित अंश पर मेट्रो स्टेशन तय करना या त्रिकोणी पट्टी का संतुलन-बिंदु ढूँढ़ना; दोनों में यही सूत्र।
कहानी को अनुपात वाले रेखाखंड में बदलें। त्रिभुज का केंद्रक तीन शीर्षों का औसत : ((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3)। समचतुर्भुज में विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं; समकोण त्रिभुज के कर्ण का मध्य-बिंदु तीनों शीर्षों से समान दूरी पर होता है।
सूत्र : G = ((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3)
आकृति में : त्रिभुज (0, 0), (6, 0), (3, 6) : केंद्रक = (9/3, 6/3) = (3, 2)।
नियम 1 : वास्तविक स्थितियाँ — कहानी से दो सिरे और अनुपात तय करें, फिर सूत्र लगाएँ।
- आसान : A(2, 3), B(10, 7) : एक-चौथाई दूरी पर बिंदु (1 : 3) : (4, 4)।
- मध्यम : त्रिभुज (0, 0), (6, 0), (3, 6) : केंद्रक (3, 2)।
- परीक्षा-प्रकार : (4, 0) और (4, 10) का मध्य-बिंदु (4, 5)।
नियम 2 : आकृतियाँ और उपपत्तियाँ — गुण सिद्ध करने के लिए विकर्णों के मध्य-बिंदु लें।
- आसान : A(0, 0), B(4, 3), C(8, 0), D(4, −3) : दोनों विकर्णों का मध्य-बिंदु (4, 0); समान भुजाओं सहित समचतुर्भुज।
- मध्यम : समकोण त्रिभुज A(0, 0), B(6, 0), C(0, 8) : BC का मध्य-बिंदु (3, 4), A से दूरी 5, BC = 10 की आधी।
- परीक्षा-प्रकार : दो विकर्णों का एक ही मध्य-बिंदु यानी समांतर चतुर्भुज।
पहले बिंदु ग्रिड पर बनाएँ ताकि अनुपात दिखे।
केंद्रक के लिए 3 से भाग देना भूल जाना।
"केंद्रक = तीन कोनों का औसत।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1मानचित्र पर (1 इकाई = 1 km) गाँव A (5, 3) पर और गाँव B (13, 11) पर है। सीधे रास्ते AB के ठीक बीच में पानी की टंकी है। उस स्थान के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
- 2मानचित्र पर (1 इकाई = 1 km) गाँव A (8, 7) पर और गाँव B (12, 3) पर है। सीधे रास्ते AB के ठीक बीच में पुल है। उस स्थान के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
- 3मानचित्र पर (1 इकाई = 1 km) गाँव A (9, 5) पर और गाँव B (13, 13) पर है। सीधे रास्ते AB के ठीक बीच में कुआँ है। उस स्थान के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
- 4मानचित्र पर (1 इकाई = 1 km) नगर A (2, 8) पर और नगर B (29, 26) पर है। A से B को जाने वाली सीधी सड़क पर A से 4/9 दूरी पर पेट्रोल पंप है। उस स्थान के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
- 5मानचित्र पर (1 इकाई = 1 km) नगर A (8, 9) पर और नगर B (−19, 36) पर है। A से B को जाने वाली सीधी सड़क पर A से 4/9 दूरी पर विश्रामगृह है। उस स्थान के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
- 6मानचित्र पर (1 इकाई = 1 km) नगर A और B क्रमशः (8, −9) और (2, −15) पर हैं। AB के मध्य-बिंदु पर विश्रामगृह बना है। वह मानचित्र के मूल बिंदु से कितनी दूर है (km में)?
- 7मानचित्र पर (1 इकाई = 1 km) नगर A और B क्रमशः (−12, 6) और (−18, 10) पर हैं। AB के मध्य-बिंदु पर बस स्टॉप बना है। वह मानचित्र के मूल बिंदु से कितनी दूर है (km में)?
- 8मानचित्र पर (1 इकाई = 1 km) नगर A और B क्रमशः (8, −5) और (16, −13) पर हैं। AB के मध्य-बिंदु पर पेट्रोल पंप बना है। वह मानचित्र के मूल बिंदु से कितनी दूर है (km में)?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1(9, 7)
- 2(10, 5)
- 3(11, 9)
- 4(14, 16)
- 5(−4, 21)
- 613
- 717
- 815