समकोण त्रिभुज में छह अनुपात
ढलान की तीव्रता “उठान ÷ दूरी” है। त्रिकोणमिति हर कोण के लिए ऐसे भुजाओं के अनुपात को नाम देती है।
न्यूनकोण A वाले समकोण त्रिभुज में A के सामने की भुजा सामने की भुजा, A से सटी भुजा संलग्न भुजा और समकोण के सामने की कर्ण है। मुख्य अनुपात : sin A, cos A, tan A; उनके व्युत्क्रम : cosec A, sec A, cot A। A निश्चित हो तो त्रिभुज छोटा-बड़ा होने पर भी ये अनुपात नहीं बदलते।
सूत्र : sin A = सामने की ÷ कर्ण ; cos A = संलग्न ÷ कर्ण ; tan A = सामने की ÷ संलग्न
आकृति में : 3-4-5 त्रिभुज में कोण A के लिए : सामने 3, संलग्न 4, कर्ण 5।
समकोण त्रिभुज में छह अनुपात
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : कोण A से भुजाओं के नाम — नाम इस पर निर्भर हैं कि आप किस न्यूनकोण पर खड़े हैं।
- आसान : कर्ण समकोण के सामने होता है और हमेशा सबसे लंबा।
- मध्यम : सामने की भुजा कोण A के सामने (आकृति में BC)।
- परीक्षा-प्रकार : संलग्न भुजा A से सटी पर कर्ण नहीं (यहाँ AB)।
नियम 2 : छह अनुपात लिखना — तीन अनुपातों में कर्ण; tan और cot में केवल दो लंब भुजाएँ।
- आसान : sin A = 3/5, cos A = 4/5, tan A = 3/4।
- मध्यम : cosec A = 5/3, sec A = 5/4, cot A = 4/3।
- परीक्षा-प्रकार : दूसरे कोण C पर भूमिकाएँ बदलती हैं : sin C = 4/5, cos C = 3/5।
अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
सामने और संलग्न भुजा की अदला-बदली; हर बार उन्हें दिए गए कोण से तय करें।
"SOH-CAH-TOA" : Sin = सामने/कर्ण, Cos = संलग्न/कर्ण, Tan = सामने/संलग्न।
अभ्यास के प्रश्न
- 1△XFC में F पर समकोण है, XF = 9 cm, FC = 40 cm और XC = 41 cm। cosec X ज्ञात कीजिए।
- 2△GLC में L पर समकोण है, GL = 6 cm, LC = 8 cm और GC = 10 cm। cot G ज्ञात कीजिए।
- 3△DSX में S पर समकोण है, DS = 10 cm, SX = 24 cm और DX = 26 cm। cosec D ज्ञात कीजिए।
- 4△XZY में Z पर समकोण है, XZ = 9 cm और XY = 41 cm। cosec X ज्ञात कीजिए।
- 5△KGL में G पर समकोण है, KG = 7 cm और KL = 25 cm। cosec K ज्ञात कीजिए।
- 6△BHY में H पर समकोण है, BH = 4 cm और HY = 3 cm। sin Y ज्ञात कीजिए।
- 7△XWZ में W पर समकोण है, XW = 20 cm और XZ = 29 cm। sin X ज्ञात कीजिए।
- 8△EUQ में U पर समकोण है, sin E = 40/41। tan Q ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 141/40
- 23/4
- 313/12
- 441/40
- 525/24
- 64/5
- 721/29
- 89/40
दिए गए अनुपात से अन्य अनुपात
यदि ढलान की 5 लंबाई पर 3 ऊँचाई ज्ञात हो तो बिना नापे निकाल सकते हैं कि वह कितना आगे जाता है।
एक ज्ञात अनुपात त्रिभुज का आकार तय करता है। समकोण त्रिभुज बनाएँ, दो भुजाएँ समान k के गुणज में लिखें, तीसरी भुजा पायथागोरस से निकालें और बाकी सब अनुपात पढ़ लें। k कट जाता है।
आकृति में : sin A = 3/5 दिया : भुजाएँ 3k और 5k, तीसरी 4k, अतः cos A = 4/5 और tan A = 3/4।
नियम 1 : त्रिभुज बनाएँ — अंश की संख्या उसी भुजा पर लिखें जिससे अनुपात जुड़ा है।
- आसान : sin A = 3/5 : सामने 3k, कर्ण 5k, संलग्न 4k।
- मध्यम : tan A = 5/12 : सामने 5k, संलग्न 12k, कर्ण √(25 + 144)k = 13k।
- परीक्षा-प्रकार : तब sin A = 5/13, cos A = 12/13।
नियम 2 : शेष पढ़ें — सामने, संलग्न और कर्ण को सही जगह लगाएँ।
- आसान : cos A = 8/17 : सामने = √(289 − 64) = 15, अतः sin A = 15/17, tan A = 15/8।
- मध्यम : जाँच : 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17²।
- परीक्षा-प्रकार : उभयनिष्ठ k हमेशा कट जाता है।
अनुपात पढ़ने से पहले जाँच लें कि तीनों भुजाएँ पायथागोरस पर खरी हैं।
संख्याएँ गलत भुजाओं पर लिखना, जैसे sin A = 3/5 में 3 सामने की भुजा होने पर उसे संलग्न मान लेना।
"बनाएँ, k, पायथागोरस, पढ़ें।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1यदि न्यूनकोण A के लिए sin A = 12/13 हो तो cos A ज्ञात कीजिए।
- 2यदि न्यूनकोण A के लिए cos A = 24/25 हो तो sin A ज्ञात कीजिए।
- 3यदि न्यूनकोण A के लिए cos A = 21/29 हो तो sin A ज्ञात कीजिए।
- 4यदि न्यूनकोण A के लिए cos A = 21/29 हो तो sec A ज्ञात कीजिए।
- 5यदि न्यूनकोण A के लिए cosec A = 25/24 हो तो tan A ज्ञात कीजिए।
- 6यदि न्यूनकोण A के लिए cos A = 7/25 हो तो cosec A ज्ञात कीजिए।
- 7यदि न्यूनकोण A के लिए sin A = 4/5 हो तो cot A + 3 tan A का मान ज्ञात कीजिए।
- 8यदि न्यूनकोण A के लिए cos A = 15/17 हो तो 4 cos A − 2 cot A का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 15/13
- 27/25
- 320/29
- 429/21
- 524/7
- 625/24
- 719/4
- 8−15/68
व्युत्क्रम अनुपात व आपसी संबंध
चाल = दूरी ÷ समय और “दूरी पर समय” एक ही विचार के दो रूप हैं। वैसे ही ये अनुपात-जोड़ियाँ एक-दूसरे का उलटा हैं।
व्युत्क्रम जोड़ियाँ : sin A और cosec A, cos A और sec A, tan A और cot A; हर जोड़ी का गुणनफल 1। साथ ही tan A = sin A ÷ cos A और cot A = cos A ÷ sin A।
सूत्र : cosec A = 1/sin A ; sec A = 1/cos A ; cot A = 1/tan A ; tan A = sin A/cos A
आकृति में : हर व्युत्क्रम जोड़ी का गुणनफल 1; tan यानी sin भाग cos।
नियम 1 : भिन्न उलटें — व्युत्क्रम में अंश और हर बदलते हैं।
- आसान : sin A = 3/5 से cosec A = 5/3।
- मध्यम : cos A = 4/5 से sec A = 5/4।
- परीक्षा-प्रकार : tan A = 3/4 से cot A = 4/3।
नियम 2 : भागफल संबंध लगाएँ — tan A = sin A ÷ cos A, इसलिए कर्ण कट जाता है।
- आसान : sin A = 3/5, cos A = 4/5 : tan A = (3/5) ÷ (4/5) = 3/4।
- मध्यम : यदि sin A = 5/13 और cos A = 12/13 तो cot A = 12/5।
- परीक्षा-प्रकार : जाँच : tan A × cot A = (5/12) × (12/5) = 1।
cos, cot, cosec क्रमशः sin, tan, sec के व्युत्क्रम नहीं हैं; जोड़ियाँ sin–cosec, cos–sec, tan–cot हैं।
sec A को sin A का व्युत्क्रम मानना; sec, cos का जोड़ीदार है।
"जोड़ीदार उलटे नाम से : sin–cosec, cos–sec, tan–cot।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1sec A के बराबर कौन-सी राशि है?
- 2cosec A के बराबर कौन-सी राशि है?
- 3न्यूनकोण A के लिए sin A = 9/41 और cos A = 40/41 है। sec A ज्ञात कीजिए।
- 4न्यूनकोण A के लिए sin A = 5/13 और cos A = 12/13 है। cosec A ज्ञात कीजिए।
- 5न्यूनकोण A के लिए sin A = 12/13 और cos A = 5/13 है। tan A ज्ञात कीजिए।
- 6न्यूनकोण A के लिए sin A = 21/29 और cos A = 20/29 है। tan A ज्ञात कीजिए।
- 7यदि न्यूनकोण A के लिए cot A = 20/21 हो तो tan A + sec A का मान ज्ञात कीजिए।
- 8यदि न्यूनकोण A के लिए sec A = 25/24 हो तो sin A × cos A का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11 / cos A
- 21 / sin A
- 341/40
- 413/5
- 512/5
- 621/20
- 75/2
- 8168/625
अनुपात से भुजा निकालना
निश्चित ऊँचाई तक पहुँचने के लिए तिरछी रस्सी कितनी लंबी हो, यह नापने की जगह ज्ञात अनुपात से निकाल सकते हैं।
एक भुजा और एक अनुपात ज्ञात हो तो अनुपात को भुजाओं के भिन्न में लिखें और अज्ञात निकालें। ज्ञात और अज्ञात भुजा को जोड़ने वाला अनुपात चुनें। तीसरी भुजा पायथागोरस से।
आकृति में : sin A = 3/5 और AC = 20 : BC = 20 × 3/5 = 12।
नियम 1 : सही अनुपात चुनें — ज्ञात और अज्ञात भुजा तय करती हैं कि sin, cos या tan लगाना है।
- आसान : sin A = 3/5, AC = 20 : BC = 20 × 3/5 = 12।
- मध्यम : cos A = 4/5, AC = 15 : AB = 15 × 4/5 = 12।
- परीक्षा-प्रकार : tan A = 5/12, AB = 24 : BC = 24 × 5/12 = 10।
नियम 2 : तीसरी भुजा निकालें — एक नई भुजा मिलने पर अंतिम पायथागोरस से।
- आसान : अंतिम उदाहरण में AC = √(24² + 10²) = √676 = 26।
- मध्यम : sin A = 3/5, AC = 20, BC = 12 : AB = √(400 − 144) = 16।
- परीक्षा-प्रकार : जाँच : cos A = 16/20 = 4/5।
अज्ञात अंश में हो तो गुणा करें, हर में हो तो भाग।
गुणा की जगह भाग देना, जैसे BC = 20 × 3/5 की जगह 20 ÷ (3/5)।
"अनुपात = भाग ÷ भाग; भाग निकालने के लिए गुणा।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1△UNV में N पर समकोण है, cos U = 3/5 और UN = 6 cm। UV (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 2△NVP में V पर समकोण है, sin N = 20/29 और NP = 58 cm। VP (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 3△TCW में C पर समकोण है, sin T = 20/29 और CW = 60 cm। TW (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 4△MUY में U पर समकोण है, tan M = 20/21 और UY = 80 cm। MU (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 5△UAM में A पर समकोण है, sin U = 7/25 और AM = 63 cm। UM (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 6△WBS में B पर समकोण है, tan W = 9/40 और BS = 45 cm। WB (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 7△RBM में B पर समकोण है, cos R = 8/17 और RM = 51 cm। RB (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 8△FPD में P पर समकोण है, tan F = 3/4 और FP = 16 cm। △FPD का परिमाप (cm में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 110
- 240
- 387
- 484
- 5225
- 6200
- 724
- 848
संभव मान और कथनों की जाँच
सीढ़ी अपनी पहुँच की ऊँचाई से छोटी नहीं हो सकती। इसीलिए कुछ अनुपात मान असंभव होते हैं।
कर्ण सबसे लंबा होने से न्यूनकोण के लिए sin A और cos A, 0 से 1 के बीच, sec A और cosec A कम से कम 1, और tan A और cot A कोई भी धनात्मक संख्या हो सकती हैं। इन सीमाओं से बाहर का कथन असंभव है।
आकृति में : sin और cos 1 तक; sec और cosec 1 से शुरू; tan और cot बड़े हो सकते हैं।
नियम 1 : मान संभव है? — उस अनुपात की सीमाओं से तुलना करें।
- आसान : sin A = 4/3 असंभव, क्योंकि 4/3, 1 से बड़ा है।
- मध्यम : tan A = 12 संभव; sec A = 3/4 असंभव, क्योंकि 1 से छोटा।
- परीक्षा-प्रकार : cosec A = 5/4 संभव, क्योंकि यह कम से कम 1 है।
नियम 2 : क्या दो मान एक कोण से मेल खाते हैं? — एक मान से त्रिभुज बनाकर दूसरा जाँचें।
- आसान : sin A = 3/5 और cos A = 4/5 3-4-5 त्रिभुज से मेल खाते हैं : संभव।
- मध्यम : sin A = 3/5 और tan A = 1 मेल नहीं खाते : 3-4-5 त्रिभुज में tan A = 3/4।
- परीक्षा-प्रकार : न्यूनकोण का अनुपात कभी ऋण नहीं होता : cot A = −2 असंभव।
कोई और काम करने से पहले sin, cos की और sec, cosec की 1 से तुलना करें।
मान लेना कि tan A, 1 से बड़ा नहीं हो सकता; तीखे कोण के लिए यह 12 या 100 हो सकता है।
"sin, cos एक के नीचे; sec, cosec एक के ऊपर।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1क्या किसी न्यूनकोण A के लिए cos A = 14/13 संभव है?
- 2क्या किसी न्यूनकोण A के लिए cos A = 10 संभव है?
- 3क्या किसी न्यूनकोण A के लिए sin A = 7/8 संभव है?
- 4क्या किसी न्यूनकोण A के लिए tan A = 11/12 संभव है?
- 5△FPZ में P पर समकोण है; FP = 15 cm, PZ = 8 cm, FZ = 17 cm। △HKQ में K पर समकोण है, ∠H = ∠F और HK = 30 cm। sec H ज्ञात कीजिए।
- 6△WYT में Y पर समकोण है; WY = 7 cm, YT = 24 cm, WT = 25 cm। △NUZ में U पर समकोण है, ∠N = ∠W और NU = 21 cm। tan N ज्ञात कीजिए।
- 7△VQK में Q पर समकोण है; VQ = 5 cm, QK = 12 cm, VK = 13 cm। tan V × tan K का मान ज्ञात कीजिए।
- 8△ZBT में B पर समकोण है; ZB = 8 cm, BT = 15 cm, ZT = 17 cm। sin Z × sin T का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1नहीं
- 2नहीं
- 3हाँ
- 4हाँ
- 517/15
- 624/7
- 71
- 8120/289