0°, 30°, 45°, 60°, 90° के मान
ज्यामिति बॉक्स की दो सेट-स्क्वायर 45°-45°-90° और 30°-60°-90° की भुजाओं के निश्चित अनुपात ही इन मानों का स्रोत हैं।
45° त्रिभुज की भुजाएँ 1 : 1 : √2 और 30°-60° त्रिभुज की 1 : √3 : 2 हैं। इनसे अनुपात पढ़ने पर मानक मान मिलते हैं, जो याद होने चाहिए। 0° और 90° के मान सीमांत त्रिभुज से आते हैं।
आकृति में : सेट-स्क्वायर की भुजाएँ : 1, 1, √2 और 1, √3, 2।
0°, 30°, 45°, 60°, 90° के मान
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : sin की पंक्ति याद करें — sin के मान एक सरल पैटर्न में।
- आसान : sin 0°, 30°, 45°, 60°, 90° = √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 = 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1।
- मध्यम : cos वही सूची उलटी : 1, √3/2, 1/√2, 1/2, 0।
- परीक्षा-प्रकार : tan = sin ÷ cos : tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3।
नियम 2 : अपरिभाषित मान — जिस अनुपात के हर में शून्य हो उसका कोई मान नहीं।
- आसान : tan 90° और sec 90° अपरिभाषित, क्योंकि cos 90° = 0।
- मध्यम : cot 0° और cosec 0° अपरिभाषित, क्योंकि sin 0° = 0।
- परीक्षा-प्रकार : sin 0° = 0 और cos 0° = 1, अतः tan 0° = 0।
पहले चतुर्थांश में sin 0 से 1 तक बढ़ता है और cos 1 से 0 तक घटता है।
sin 30° = 1/2 और cos 30° = √3/2 की अदला-बदली; 30° पर cos बड़ा होता है।
"sin ऊपर गिनता है √0, √1, √2, √3, √4 भाग 2; cos नीचे गिनता है।"
झटपट तालिका
| कोण θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | 1/2 | 1/√2 | √3/2 | 1 |
| cos | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 |
| tan | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | अपरिभाषित |
अभ्यास के प्रश्न
- 1cos 30° का मान क्या है?
- 2cosec 90° का मान क्या है?
- 3sec 30° का मान क्या है?
- 4cosec 30° का मान क्या है?
- 5cot 60° का मान क्या है?
- 6tan 45° का मान क्या है?
- 7cosec 60° का मान क्या है?
- 8tan 0° का मान क्या है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1√3/2
- 21
- 32/√3
- 42
- 51/√3
- 61
- 72/√3
- 80
सरल व्यंजकों का मान
दुकानदार जोड़ने से पहले सब कीमतें एक इकाई में लाता है। यहाँ हर अनुपात को पहले उसकी संख्या से बदलते हैं।
व्यंजक का मान निकालने के लिए हर अनुपात की जगह उसका मानक मान रखें, फिर साधारण गणित की तरह भिन्न और वर्गमूल सरल करें। दशमलव न माँगा जाए तो उत्तर सटीक (जैसे √3/2) रखें।
आकृति में : sin 30° + cos 60° = 1/2 + 1/2 = 1।
नियम 1 : जोड़-घटाव — बदलें, फिर समान हर वाली भिन्न जोड़ें।
- आसान : sin 30° + cos 60° = 1/2 + 1/2 = 1।
- मध्यम : 2 tan 45° − cos 0° = 2 × 1 − 1 = 1।
- परीक्षा-प्रकार : tan 60° − 2 sin 60° = √3 − √3 = 0।
नियम 2 : गुणनफल — संख्याएँ गुणा करें, फिर गुणनफल जोड़ें।
- आसान : sin 60° cos 30° = (√3/2)(√3/2) = 3/4।
- मध्यम : sin 30° cos 60° = (1/2)(1/2) = 1/4।
- परीक्षा-प्रकार : अंतिम दोनों का योग : 3/4 + 1/4 = 1।
गुणा करने से पहले हर मानक मान कोष्ठक में लिखें, ताकि चिह्न और भिन्न की भूलें न हों।
sin 30° + cos 60° को sin 90° लिखना; नामों के भीतर के कोण कभी नहीं जोड़े जाते।
"पहले बदलें, फिर हिसाब।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1sin 0° + cos 45° का मान ज्ञात कीजिए।
- 2cos 0° − tan 30° का मान ज्ञात कीजिए।
- 3tan 30° − cos 0° का मान ज्ञात कीजिए।
- 4cos 60° + cos 0° का मान ज्ञात कीजिए।
- 5sin 90° + 4 cos 60° + 2 cot 45° का मान ज्ञात कीजिए।
- 63 cosec 60° − 2 cot 60° का मान ज्ञात कीजिए।
- 72 sec 45° + 3 cos 30° का मान ज्ञात कीजिए।
- 85 tan 0° + cos 45° − 2 cot 45° का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11/√2
- 2(3 − √3)/3
- 3(√3 − 3)/3
- 43/2
- 55
- 64√3/3
- 7(4√2 + 3√3)/2
- 8(√2 − 4)/2
वर्ग, गुणनफल और भागफल
क्षेत्रफल में वर्ग आता है, इसलिए लंबाई और क्षेत्रफल मिलाने वाले प्रश्नों में अनुपात का वर्ग आता है।
sin² A का अर्थ (sin A)²। अनुपात की जगह मान रखें, पूरे मान का वर्ग करें, फिर जोड़ें। मूल वाले मानों के वर्ग पूर्ण भिन्न बन जाते हैं : (√3/2)² = 3/4।
आकृति में : sin² 45° = (1/√2)² = 1/2।
नियम 1 : मान का वर्ग करें — अंश और हर का अलग-अलग वर्ग करें।
- आसान : sin² 45° + cos² 45° = 1/2 + 1/2 = 1।
- मध्यम : tan² 30° = (1/√3)² = 1/3।
- परीक्षा-प्रकार : sin² 30° + cos² 30° = 1/4 + 3/4 = 1।
नियम 2 : भागफल और बड़े व्यंजक — पद-दर-पद हल करें, फिर जोड़ें।
- आसान : tan 60° ÷ sin 60° = √3 ÷ (√3/2) = 2।
- मध्यम : (sin 30° + cos 30°)² = 1/4 + 2(1/2)(√3/2) + 3/4 = 1 + √3/2।
- परीक्षा-प्रकार : 4 cot² 45° − sec² 60° − sin² 60° = 4 − 4 − 3/4 = −3/4।
sin² 30° + cos² 30° = 1 केवल 30° ही नहीं, हर कोण के लिए सत्य है; यह पहली सर्वसमिका है।
केवल अंश का वर्ग करना : (√3/2)² = 3/4 होता है, √3/4 नहीं।
"पूरी भिन्न का वर्ग : अंश और हर दोनों का।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1tan² 0° + cos² 30° का मान ज्ञात कीजिए।
- 2cos² 45° + tan² 60° का मान ज्ञात कीजिए।
- 3cos² 30° + sin² 60° का मान ज्ञात कीजिए।
- 4cos² 45° − cos² 30° का मान ज्ञात कीजिए।
- 53 sec² 60° − sin 90° का मान ज्ञात कीजिए।
- 64 cot 45° sin 30° + 2 cot 30° sin 90° का मान ज्ञात कीजिए।
- 7(cot 60° − cot 30°)/(sin 45° + cos 45°) का मान ज्ञात कीजिए।
- 8(sin 60° − cos 45°)/(cos 0° + cot 90°) का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 13/4
- 27/2
- 33/2
- 4−1/4
- 511
- 62 + 2√3
- 7−√6/3
- 8(√3 − √2)/2
अनुपात या समीकरण से कोण ज्ञात करना
पते से घर खोजने की तरह मानक मान बताता है कि कौन-सा मानक कोण चाहिए।
एक अनुपात मानक मान के बराबर आने तक व्यंजक सरल करें, फिर सारणी से कोण पढ़ें। कोण 2A या 3A आए तो उसे निकालकर भाग दें। समीकरणों की जोड़ी में कोणों का जोड़-घटाव करें।
आकृति में : sin A = 1/2 से A = 30°; cos A = 1/√2 से A = 45°; tan A = √3 से A = 60°।
नियम 1 : कोण पढ़ें — एक अनुपात को सारणी के मान के बराबर करें।
- आसान : 2 sin A = 1 से sin A = 1/2, अतः A = 30°।
- मध्यम : न्यूनकोण के लिए sin A = cos A से A = 45°।
- परीक्षा-प्रकार : tan 2A = √3 से 2A = 60°, अतः A = 30°।
नियम 2 : दो शर्तें — दोनों कोण निकालकर जोड़-घटाव करें।
- आसान : 2 cos 3A = 1 से cos 3A = 1/2, 3A = 60°, अतः A = 20°।
- मध्यम : tan (A − B) = 1/√3 और tan (A + B) = √3 से A − B = 30°, A + B = 60°।
- परीक्षा-प्रकार : जोड़ने पर : 2A = 90°, अतः A = 45° और B = 15°।
उत्तर को मूल समीकरण में वापस रखकर जाँचें।
3A = 60° पर रुककर A = 60° लिख देना; 3 से भाग देना न भूलें।
"अनुपात निकालें, कोण पहचानें, फिर गुणक हटाएँ।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1यदि न्यूनकोण θ के लिए sec θ = 1 हो तो θ ज्ञात कीजिए।
- 2यदि न्यूनकोण θ के लिए cos θ = √3/2 हो तो θ ज्ञात कीजिए।
- 3यदि न्यूनकोण θ के लिए tan θ = 0 हो तो θ ज्ञात कीजिए।
- 4यदि न्यूनकोण θ के लिए 4 cot θ = 4√3 हो तो θ ज्ञात कीजिए।
- 5यदि न्यूनकोण θ के लिए 4 cosec θ = 4√2 हो तो θ ज्ञात कीजिए।
- 6यदि न्यूनकोण θ के लिए 2 sin θ = 1 हो तो θ ज्ञात कीजिए।
- 7यदि cot (A + B) = 1/√3 और tan (A − B) = 1/√3 तथा 0° ≤ B ≤ A ≤ 90° हो तो A (अंशों में) ज्ञात कीजिए।
- 8यदि cot (A + B) = 0 और tan (A − B) = 1/√3 तथा 0° ≤ B ≤ A ≤ 90° हो तो A (अंशों में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 10°
- 230°
- 30°
- 430°
- 545°
- 630°
- 745
- 860
30°, 45°, 60° कोणों वाले समकोण त्रिभुज
60° जैसे सरल कोण पर टिकी सीढ़ी का आधार उसकी लंबाई का आधा होता है, इसलिए अनुमान बिना कैलकुलेटर के लग जाता है।
मानक अनुपातों से भुजाएँ निकालें। 45° त्रिभुज में दोनों लंब भुजाएँ समान और कर्ण भुजा × √2। 30°-60° त्रिभुज में भुजाएँ 1 : √3 : 2 अनुपात में, सबसे छोटी भुजा 30° के सामने।
आकृति में : 10 m की सीढ़ी 60° पर : आधार 10 cos 60° = 5 m, ऊँचाई 10 sin 60° = 5√3 m ≈ 8.66 m।
नियम 1 : 30°-60° त्रिभुज — सबसे छोटी भुजा कर्ण की आधी।
- आसान : कर्ण 12 : छोटी भुजा 6, बड़ी लंब भुजा 6√3।
- मध्यम : छोटी भुजा 5 : कर्ण 10, बड़ी लंब भुजा 5√3 ≈ 8.66।
- परीक्षा-प्रकार : 8 cm भुजा वाले समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई 8 sin 60° = 4√3 ≈ 6.93 cm।
नियम 2 : 45° त्रिभुज — दोनों लंब भुजाएँ समान।
- आसान : लंब भुजाएँ 7 और 7 : कर्ण 7√2 ≈ 9.9।
- मध्यम : कर्ण 10 : प्रत्येक लंब भुजा 10 sin 45° = 5√2 ≈ 7.07।
- परीक्षा-प्रकार : जाँच : (5√2)² + (5√2)² = 50 + 50 = 100।
दशमलव उत्तरों के लिए √2 ≈ 1.41 और √3 ≈ 1.73 लें।
√3 वाली भुजा को 30° के सामने रखना; सबसे छोटी भुजा 30° के सामने होती है।
"छोटी भुजा, छोटा कोण : 1, 30° के सामने।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1△ABC में B पर समकोण है, ∠A = 60°। अनुपात AB/BC ज्ञात कीजिए।
- 2△ABC में B पर समकोण है, ∠A = 60°। अनुपात AC/AB ज्ञात कीजिए।
- 3△ABC में B पर समकोण है, ∠A = 60° और BC = 7√3 cm। AC (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 4△ABC में B पर समकोण है, ∠A = 30° और BC = 8√3 cm। AC (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 5△ABC में B पर समकोण है, ∠A = 45° और BC = 5√3 cm। AC (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 6△ABC में B पर समकोण है, ∠A = 30° और AC = 2√2 cm। AB (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 7△ABC में B पर समकोण है, ∠A = 60° और AC = 10√2 cm। BC (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 8△ABC में B पर समकोण है, ∠A = 45° और AC = 6√2 cm। △ABC का परिमाप (cm में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11/√3
- 22
- 314
- 416√3
- 55√6
- 6√6
- 75√6
- 812 + 6√2