०°, ३०°, ४५°, ६०°, ९०° वरील किमती
भूमिती पेटीतील दोन सेट-स्क्वेअर ४५°-४५°-९०° व ३०°-६०°-९०° यांच्या बाजूंची ठरलेली गुणोत्तरेच या किमतींचा स्रोत आहेत.
४५° च्या त्रिकोणाच्या बाजू १ : १ : √२ व ३०°-६०° च्या त्रिकोणाच्या १ : √३ : २. त्यांतून गुणोत्तरे वाचून प्रमाण किमती मिळतात, त्या पाठ असाव्यात. ०° व ९०° च्या किमती मर्यादेच्या त्रिकोणातून येतात.
आकृतीत : सेट-स्क्वेअरच्या बाजू : १, १, √२ व १, √३, २.
०°, ३०°, ४५°, ६०°, ९०° वरील किमती
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : sin ची ओळ पाठ करा — sin च्या किमती एका सोप्या नमुन्यात.
- सोपे : sin ०°, ३०°, ४५°, ६०°, ९०° = √०/२, √१/२, √२/२, √३/२, √४/२ = ०, १/२, १/√२, √३/२, १.
- मध्यम : cos ही तीच यादी उलट : १, √३/२, १/√२, १/२, ०.
- परीक्षेसाठी : tan = sin ÷ cos : tan ३०° = १/√३, tan ४५° = १, tan ६०° = √३.
नियम 2 : अव्याख्यित किमती — ज्या गुणोत्तराच्या छेदात शून्य त्याला किंमत नसते.
- सोपे : tan ९०° व sec ९०° अव्याख्यित, कारण cos ९०° = ०.
- मध्यम : cot ०° व cosec ०° अव्याख्यित, कारण sin ०° = ०.
- परीक्षेसाठी : sin ०° = ० व cos ०° = १, म्हणून tan ०° = ०.
पहिल्या चरणात sin ० पासून १ पर्यंत वाढतो व cos १ पासून ० पर्यंत घटतो.
sin ३०° = १/२ व cos ३०° = √३/२ यांची अदलाबदल; ३०° ला cos मोठा असतो हे लक्षात ठेवा.
"sin वर मोजतो √०, √१, √२, √३, √४ भागिले २; cos खाली मोजतो."
झटपट तक्ता
| कोन θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | 1/2 | 1/√2 | √3/2 | 1 |
| cos | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 |
| tan | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | अव्याख्यित |
सरावासाठी प्रश्न
- 1cos 30° ची किंमत किती?
- 2cosec 90° ची किंमत किती?
- 3sec 30° ची किंमत किती?
- 4cosec 30° ची किंमत किती?
- 5cot 60° ची किंमत किती?
- 6tan 45° ची किंमत किती?
- 7cosec 60° ची किंमत किती?
- 8tan 0° ची किंमत किती?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1√3/2
- 21
- 32/√3
- 42
- 51/√3
- 61
- 72/√3
- 80
सोप्या राशी सोडवणे
दुकानदार बेरजेआधी सर्व किमती एकाच एककात आणतो. येथे प्रत्येक गुणोत्तर आधी त्याच्या संख्येत बदलतात.
राशीची किंमत काढायला प्रत्येक गुणोत्तराऐवजी त्याची प्रमाण किंमत लिहा, मग नेहमीप्रमाणे अपूर्णांक व वर्गमुळे सोपी करा. दशांश मागितला नसेल तर उत्तर अचूक (उदा. √३/२) ठेवा.
आकृतीत : sin ३०° + cos ६०° = १/२ + १/२ = १.
नियम 1 : बेरीज-वजाबाकी — बदला, मग समान छेदाचे अपूर्णांक मिळवा.
- सोपे : sin ३०° + cos ६०° = १/२ + १/२ = १.
- मध्यम : २ tan ४५° − cos ०° = २ × १ − १ = १.
- परीक्षेसाठी : tan ६०° − २ sin ६०° = √३ − √३ = ०.
नियम 2 : गुणाकार — संख्या गुणा, मग गुणाकार मिळवा.
- सोपे : sin ६०° cos ३०° = (√३/२)(√३/२) = ३/४.
- मध्यम : sin ३०° cos ६०° = (१/२)(१/२) = १/४.
- परीक्षेसाठी : शेवटच्या दोहोंची बेरीज : ३/४ + १/४ = १.
गुणण्याआधी प्रत्येक प्रमाण किंमत कंसात लिहा, म्हणजे चिन्ह व अपूर्णांकाच्या चुका टळतात.
sin ३०° + cos ६०° ला sin ९०° लिहिणे; नावांतील कोन कधीही मिळवत नाहीत.
"आधी बदला, मग हिशोब."
सरावासाठी प्रश्न
- 1sin 0° + cos 45° ची किंमत शोधा.
- 2cos 0° − tan 30° ची किंमत शोधा.
- 3tan 30° − cos 0° ची किंमत शोधा.
- 4cos 60° + cos 0° ची किंमत शोधा.
- 5sin 90° + 4 cos 60° + 2 cot 45° ची किंमत शोधा.
- 63 cosec 60° − 2 cot 60° ची किंमत शोधा.
- 72 sec 45° + 3 cos 30° ची किंमत शोधा.
- 85 tan 0° + cos 45° − 2 cot 45° ची किंमत शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11/√2
- 2(3 − √3)/3
- 3(√3 − 3)/3
- 43/2
- 55
- 64√3/3
- 7(4√2 + 3√3)/2
- 8(√2 − 4)/2
वर्ग, गुणाकार व भागाकार
क्षेत्रफळात वर्ग येतो, म्हणून लांबी व क्षेत्रफळ मिसळणाऱ्या प्रश्नांत गुणोत्तराचा वर्ग येतो.
sin² A म्हणजे (sin A)². गुणोत्तराऐवजी किंमत लिहा, पूर्ण किमतीचा वर्ग करा, मग मिळवा. √ असलेल्या किमतींचे वर्ग पूर्ण अपूर्णांक होतात : (√३/२)² = ३/४.
आकृतीत : sin² ४५° = (१/√२)² = १/२.
नियम 1 : किमतीचा वर्ग करा — अंश व छेद वेगवेगळे वर्गित करा.
- सोपे : sin² ४५° + cos² ४५° = १/२ + १/२ = १.
- मध्यम : tan² ३०° = (१/√३)² = १/३.
- परीक्षेसाठी : sin² ३०° + cos² ३०° = १/४ + ३/४ = १.
नियम 2 : भागाकार व मोठ्या राशी — पद-पद सोडवा, मग मिळवा.
- सोपे : tan ६०° ÷ sin ६०° = √३ ÷ (√३/२) = २.
- मध्यम : (sin ३०° + cos ३०°)² = १/४ + २(१/२)(√३/२) + ३/४ = १ + √३/२.
- परीक्षेसाठी : ४ cot² ४५° − sec² ६०° − sin² ६०° = ४ − ४ − ३/४ = −३/४.
sin² ३०° + cos² ३०° = १ हे फक्त ३०° साठी नव्हे, प्रत्येक कोनासाठी खरे; ती पहिली सर्वसमिका.
फक्त अंशाचा वर्ग करणे : (√३/२)² = ३/४, √३/४ नव्हे.
"पूर्ण अपूर्णांकाचा वर्ग : अंश व छेद दोन्हीचा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1tan² 0° + cos² 30° ची किंमत शोधा.
- 2cos² 45° + tan² 60° ची किंमत शोधा.
- 3cos² 30° + sin² 60° ची किंमत शोधा.
- 4cos² 45° − cos² 30° ची किंमत शोधा.
- 53 sec² 60° − sin 90° ची किंमत शोधा.
- 64 cot 45° sin 30° + 2 cot 30° sin 90° ची किंमत शोधा.
- 7(cot 60° − cot 30°)/(sin 45° + cos 45°) ची किंमत शोधा.
- 8(sin 60° − cos 45°)/(cos 0° + cot 90°) ची किंमत शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 13/4
- 27/2
- 33/2
- 4−1/4
- 511
- 62 + 2√3
- 7−√6/3
- 8(√3 − √2)/2
गुणोत्तर किंवा समीकरणावरून कोन शोधणे
पत्त्यावरून घर शोधावे तसे प्रमाण किंमत सांगते की कोणता प्रमाण कोन हवा आहे.
एक गुणोत्तर प्रमाण किमतीइतके येईपर्यंत समीकरण सोपे करा, मग तक्त्यावरून कोन वाचा. कोन २A किंवा ३A असा आला तर तो काढा व मग भागा. समीकरणांची जोडी असेल तर कोनांची बेरीज-वजाबाकी करा.
आकृतीत : sin A = १/२ वरून A = ३०°; cos A = १/√२ वरून A = ४५°; tan A = √३ वरून A = ६०°.
नियम 1 : कोन वाचा — एक गुणोत्तर तक्त्यातील किमतीइतके करा.
- सोपे : २ sin A = १ वरून sin A = १/२, म्हणून A = ३०°.
- मध्यम : लघुकोनासाठी sin A = cos A वरून A = ४५°.
- परीक्षेसाठी : tan २A = √३ वरून २A = ६०°, म्हणून A = ३०°.
नियम 2 : दोन अटी — दोन्ही कोन काढून मग बेरीज-वजाबाकी करा.
- सोपे : २ cos ३A = १ वरून cos ३A = १/२, ३A = ६०°, म्हणून A = २०°.
- मध्यम : tan (A − B) = १/√३ व tan (A + B) = √३ वरून A − B = ३०°, A + B = ६०°.
- परीक्षेसाठी : मिळवून : २A = ९०°, म्हणून A = ४५° व B = १५°.
उत्तर मूळ समीकरणात परत घालून तपासा.
३A = ६०° वर थांबून A = ६०° लिहिणे; ३ ने भागायला विसरू नका.
"गुणोत्तर काढा, कोन ओळखा, मग गुणक काढा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1लघुकोन θ साठी sec θ = 1 असेल तर θ शोधा.
- 2लघुकोन θ साठी cos θ = √3/2 असेल तर θ शोधा.
- 3लघुकोन θ साठी tan θ = 0 असेल तर θ शोधा.
- 4लघुकोन θ साठी 4 cot θ = 4√3 असेल तर θ शोधा.
- 5लघुकोन θ साठी 4 cosec θ = 4√2 असेल तर θ शोधा.
- 6लघुकोन θ साठी 2 sin θ = 1 असेल तर θ शोधा.
- 7cot (A + B) = 1/√3 आणि tan (A − B) = 1/√3 असून 0° ≤ B ≤ A ≤ 90° असेल तर A (अंशांत) शोधा.
- 8cot (A + B) = 0 आणि tan (A − B) = 1/√3 असून 0° ≤ B ≤ A ≤ 90° असेल तर A (अंशांत) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 10°
- 230°
- 30°
- 430°
- 545°
- 630°
- 745
- 860
३०°, ४५°, ६०° कोनांचे काटकोन त्रिकोण
६०° सारख्या सोप्या कोनात टेकवलेल्या शिडीचा पाया तिच्या लांबीच्या अर्धा असतो, म्हणून अंदाज कॅल्क्युलेटरशिवाय येतो.
बाजू काढायला प्रमाण गुणोत्तरे वापरा. ४५° च्या त्रिकोणात दोन लंब बाजू समान व कर्ण बाजू × √२. ३०°-६०° च्या त्रिकोणात बाजू १ : √३ : २ या गुणोत्तरात, सर्वात लहान बाजू ३०° समोर.
आकृतीत : १० m शिडी ६०° वर : पाया १० cos ६०° = ५ m, उंची १० sin ६०° = ५√३ m ≈ ८.६६ m.
नियम 1 : ३०°-६०° त्रिकोण — सर्वात लहान बाजू कर्णाची अर्धी.
- सोपे : कर्ण १२ : लहान बाजू ६, मोठी लंब बाजू ६√३.
- मध्यम : लहान बाजू ५ : कर्ण १०, मोठी लंब बाजू ५√३ ≈ ८.६६.
- परीक्षेसाठी : ८ cm बाजूच्या समभुज त्रिकोणाची उंची ८ sin ६०° = ४√३ ≈ ६.९३ cm.
नियम 2 : ४५° त्रिकोण — दोन्ही लंब बाजू समान.
- सोपे : लंब बाजू ७ व ७ : कर्ण ७√२ ≈ ९.९.
- मध्यम : कर्ण १० : प्रत्येक लंब बाजू १० sin ४५° = ५√२ ≈ ७.०७.
- परीक्षेसाठी : पडताळा : (५√२)² + (५√२)² = ५० + ५० = १००.
दशांश उत्तरांसाठी √२ ≈ १.४१ व √३ ≈ १.७३ वापरा.
√३ वाली बाजू ३०° समोर ठेवणे; सर्वात लहान बाजू ३०° समोर असते.
"लहान बाजू, लहान कोन : १ ही ३०° समोर."
सरावासाठी प्रश्न
- 1△ABC मध्ये B वर काटकोन आहे, ∠A = 60°. गुणोत्तर AB/BC शोधा.
- 2△ABC मध्ये B वर काटकोन आहे, ∠A = 60°. गुणोत्तर AC/AB शोधा.
- 3△ABC मध्ये B वर काटकोन आहे, ∠A = 60° आणि BC = 7√3 cm. AC (cm मध्ये) शोधा.
- 4△ABC मध्ये B वर काटकोन आहे, ∠A = 30° आणि BC = 8√3 cm. AC (cm मध्ये) शोधा.
- 5△ABC मध्ये B वर काटकोन आहे, ∠A = 45° आणि BC = 5√3 cm. AC (cm मध्ये) शोधा.
- 6△ABC मध्ये B वर काटकोन आहे, ∠A = 30° आणि AC = 2√2 cm. AB (cm मध्ये) शोधा.
- 7△ABC मध्ये B वर काटकोन आहे, ∠A = 60° आणि AC = 10√2 cm. BC (cm मध्ये) शोधा.
- 8△ABC मध्ये B वर काटकोन आहे, ∠A = 45° आणि AC = 6√2 cm. △ABC चे परिमिती (cm मध्ये) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11/√3
- 22
- 314
- 416√3
- 55√6
- 6√6
- 75√6
- 812 + 6√2