sin²A + cos²A = १
काटकोन कोपऱ्याच्या दोन लहान बाजूंवरील चौरस फरशा मिळून लांब बाजूवरील फरशांइतक्या असतात. लांब बाजूच्या फरशांनी भागल्यावर ही सर्वसमिका मिळते.
सर्वसमिका म्हणजे कोनाच्या प्रत्येक किमतीसाठी खरे समीकरण. a² + b² = c² ला c² ने भागल्यावर sin²A + cos²A = १. म्हणून sin²A = १ − cos²A व cos²A = १ − sin²A.
सूत्र : sin²A + cos²A = १
आकृतीत : a² + b² = c² ला c² ने भागा : (a/c)² + (b/c)² = १.
sin²A + cos²A = १
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : सर्वसमिका तपासा — माहीत किमती घालून वर्ग मिळवा.
- सोपे : sin A = ३/५, cos A = ४/५ : ९/२५ + १६/२५ = १.
- मध्यम : ६०° ला : (√३/२)² + (१/२)² = ३/४ + १/४ = १.
- परीक्षेसाठी : ०° ला : ०² + १² = १.
नियम 2 : एकावरून दुसरे काढा — माहीत गुणोत्तराचा वर्ग करा, १ मधून वजा करा, धन वर्गमूळ घ्या.
- सोपे : sin A = ५/१३ : cos²A = १ − २५/१६९ = १४४/१६९, म्हणून cos A = १२/१३.
- मध्यम : cos A = ३/५ : sin²A = १ − ९/२५ = १६/२५, म्हणून sin A = ४/५.
- परीक्षेसाठी : लघुकोनासाठी फक्त धन वर्गमूळ घ्या.
ही सर्वसमिका प्रत्येक कोनासाठी खरी, म्हणून काही किमती तपासण्यापेक्षा ती अधिक भक्कम.
sin²A ला sin A² लिहिणे; त्याचा अर्थ (sin A)², गुणोत्तराचा वर्ग.
"sin-वर्ग अधिक cos-वर्ग = एक, नेहमी."
सरावासाठी प्रश्न
- 19 − sin² 70° − cos² 70° ची किंमत शोधा.
- 23 − sin² θ − cos² θ ची किंमत शोधा.
- 3लघुकोन θ साठी cos θ = 8/17 असेल तर sin θ शोधा.
- 4लघुकोन θ साठी cos θ = 5/13 असेल तर sin θ शोधा.
- 51 − cos² θ = 64/289 असेल तर cos² θ ची किंमत शोधा.
- 6cos² θ = 225/289 असेल तर sin² θ शोधा.
- 7लघुकोन θ साठी cos θ = 8/17 असेल तर 1 − 2 sin² θ ची किंमत शोधा.
- 8लघुकोन θ साठी sin θ = 3/5 असेल तर 1 − 2 sin² θ ची किंमत शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 18
- 22
- 315/17
- 412/13
- 5225/289
- 664/289
- 7−161/289
- 87/25
१ + tan²A = sec²A व १ + cot²A = cosec²A
तेच पायथागोरसचे वाक्य वेगळ्या बाजूने भागले की वेगळी, तितकीच उपयोगी रूपे मिळतात.
sin²A + cos²A = १ ला cos²A ने भागा : १ + tan²A = sec²A. sin²A ने भागा : १ + cot²A = cosec²A. गुणोत्तरे ज्या कोनांसाठी व्याख्यित त्यांना ही खरी.
सूत्र : १ + tan²A = sec²A ; १ + cot²A = cosec²A
आकृतीत : लक्षात ठेवायच्या तीन सर्वसमिका.
नियम 1 : १ + tan²A = sec²A वापरा — tan चा वर्ग करा, १ मिळवा, sec साठी वर्गमूळ घ्या.
- सोपे : tan A = ३/४ : sec²A = १ + ९/१६ = २५/१६, म्हणून sec A = ५/४.
- मध्यम : ४५° ला : १ + १ = २ = (√२)².
- परीक्षेसाठी : sec²A − tan²A = १ हीच सर्वसमिका उलटसुलट मांडलेली.
नियम 2 : १ + cot²A = cosec²A वापरा — cot चा वर्ग करा, १ मिळवा, cosec साठी वर्गमूळ घ्या.
- सोपे : cot A = ४/३ : cosec²A = १ + १६/९ = २५/९, म्हणून cosec A = ५/३.
- मध्यम : ३०° ला : १ + ३ = ४ = २².
- परीक्षेसाठी : cosec²A − cot²A = १ हे उलटसुलट रूप.
योग्य जोड्या : tan सोबत sec, cot सोबत cosec.
tan ला cosec सोबत जोडणे किंवा १ + tan²A मधील १ विसरणे.
"१ अधिक tan-वर्ग = sec-वर्ग; १ अधिक cot-वर्ग = cosec-वर्ग."
सरावासाठी प्रश्न
- 1लघुकोन θ साठी cot θ = 24/7 असेल तर cosec θ शोधा.
- 21 + cot² A = ___ ही सर्वसमिका
- 3लघुकोन θ साठी tan θ = 8/15 असेल तर sec θ शोधा.
- 4लघुकोन θ साठी tan θ = 5/12 असेल तर cos θ शोधा.
- 5लघुकोन θ साठी cosec θ = 13/5 असेल तर sin θ शोधा.
- 6लघुकोन θ साठी cot θ = 3/4 असेल तर sin θ शोधा.
- 7लघुकोन θ साठी tan θ = 21/20 असेल तर sec θ + tan θ ची किंमत शोधा.
- 8लघुकोन θ साठी sin θ = 21/29 असेल तर sec θ − tan θ ची किंमत शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 125/7
- 2cosec² A
- 317/15
- 412/13
- 55/13
- 64/5
- 75/2
- 82/5
राशी सोप्या करणे
मोठा फोन नंबर गटांत लिहिला की सोपा लक्षात राहतो. सर्वसमिका लांब त्रिकोणमितीय राशींचे गट करून त्या लहान करतात.
सोपी करायला सगळे sin व cos मध्ये बदला, किंवा १ − sin²A सारखा नमुना ओळखून सर्वसमिकेने बदला. शेवटी सामाईक अवयव काटा. सर्वसमिका सिद्ध करायला एक बाजू दुसऱ्याइतकी होईपर्यंत सोडवा.
आकृतीत : (१ + tan²A) cos²A = sec²A × cos²A = १.
नियम 1 : सर्वसमिकेने बदला — १ − sin²A, १ − cos²A, १ + tan²A, १ + cot²A शोधा.
- सोपे : (१ + tan²A) cos²A = sec²A cos²A = १.
- मध्यम : (१ − cos²A) cosec²A = sin²A cosec²A = १.
- परीक्षेसाठी : (१ − sin A)(१ + sin A) = १ − sin²A = cos²A.
नियम 2 : विस्तार करा व सिद्ध करा — कंस सोडवा, sin² व cos² एकत्र करा, मग सर्वसमिका वापरा.
- सोपे : (sin A + cos A)² + (sin A − cos A)² = २ sin²A + २ cos²A = २.
- मध्यम : (१ + tan²A) ÷ (१ + cot²A) = sec²A ÷ cosec²A = sin²A ÷ cos²A = tan²A.
- परीक्षेसाठी : tan A cot A = १, म्हणून tan A cot A + sin²A + cos²A = २.
अडल्यास प्रत्येक गुणोत्तर sin व cos मध्ये लिहा; सर्वसमिका सहसा दिसून येते.
बेरजेच्या चिन्हापलीकडील पदे काटणे; फक्त सामाईक अवयव काटता येतात.
"सगळे sin व cos मध्ये, मग नमुना ओळखा."
सरावासाठी प्रश्न
- 1सोपे करा : sec² A − tan² A
- 2सोपे करा : (1 − cos A)(1 + cos A)
- 3सोपे करा : (1 − cos B)(1 + cos B)
- 4सोपे करा : cosec² B − cot² B
- 5सोपे करा : (cosec x − 1)(cosec x + 1)
- 6सोपे करा : (1 + cot² α) sin² α
- 7सोपे करा : cosec² θ − cot² θ
- 8सोपे करा : sin α sec α cot α
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 11
- 2sin² A
- 3sin² B
- 41
- 5cot² x
- 61
- 71
- 81
एक गुणोत्तर दुसऱ्याच्या रूपात मांडणे
रुपये डॉलरमध्ये बदलायला एक दर लागतो. येथे सर्वसमिका हेच “दर” आहेत जे एक गुणोत्तर दुसऱ्यात बदलतात.
सर्व गुणोत्तरे एकाच, उदा. sin A, च्या रूपात मांडायला आधी cos A = √(१ − sin²A) काढा, मग tan A = sin A ÷ cos A व व्युत्क्रम मांडा. दुसरे गुणोत्तर घेतले तर जुळणारी सर्वसमिका वापरा.
सूत्र : cos A = √(१ − sin²A) ; tan A = sin A/√(१ − sin²A) ; sec A = √(१ + tan²A)
आकृतीत : sin A पासून सुरुवात करा, cos A काढा, मग tan A व बाकी.
नियम 1 : sin A च्या रूपात — cos A = √(१ − sin²A) वापरा व भागा.
- सोपे : cot A = √(१ − sin²A) ÷ sin A.
- मध्यम : sec A = १ ÷ √(१ − sin²A).
- परीक्षेसाठी : sin A = ४/५ ने पडताळा : cos A = ३/५ व tan A = ४/३.
नियम 2 : tan A किंवा cot A च्या रूपात — १ + tan²A = sec²A वापरा, मग व्युत्क्रम घ्या.
- सोपे : sec A = √(१ + tan²A) व cos A = १ ÷ √(१ + tan²A).
- मध्यम : sec A cot A च्या रूपात : √(cot²A + १) ÷ cot A.
- परीक्षेसाठी : cot A = ३/४ ने पडताळा : sec A = (५/४) ÷ (३/४) = ५/३.
वर्गमूळ येते; लघुकोनासाठी नेहमी धन किंमत घ्या.
वर्गमूळ विसरणे, उदा. cos A = √(१ − sin²A) ऐवजी cos A = १ − sin²A.
"वर्ग, एक वजा किंवा मिळवा, वर्गमूळ : सर्वसमिका पुढचे गुणोत्तर देते."
सरावासाठी प्रश्न
- 1लघुकोन θ साठी sec θ = 5/4 असेल तर सर्वसमिका वापरून sin θ शोधा.
- 2लघुकोन θ साठी cos θ = 5/13 असेल तर सर्वसमिका वापरून cosec θ शोधा.
- 3लघुकोन θ साठी cot θ = 8/15 असेल तर सर्वसमिका वापरून cos θ शोधा.
- 4cot α हे cos α च्या रूपात मांडा (α लघुकोन आहे).
- 5cos α हे cot α च्या रूपात मांडा (α लघुकोन आहे).
- 6sin θ हे cos θ च्या रूपात मांडा (θ लघुकोन आहे).
- 7लघुकोन θ साठी cos θ = 8/17 असेल तर sec θ cosec θ ची किंमत शोधा.
- 8लघुकोन θ साठी cos θ = 4/5 असेल तर (1 − sin θ)/(1 + sin θ) ची किंमत शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 13/5
- 213/12
- 38/17
- 4cos α / √(1 − cos² α)
- 5cot α / √(1 + cot² α)
- 6√(1 − cos² θ)
- 7289/120
- 81/4
प्रश्नांत सर्वसमिका वापरणे
गुप्तहेर दोन सुगावे जोडून तिसरा शोधतो. दोन गुणोत्तरांची माहिती सर्वसमिकेने जोडून हरवलेली किंमत मिळते.
सर्वसमिकेने दिलेले गुणोत्तर व हवे असलेले गुणोत्तर जोडा. sec²A − tan²A = १ सारखा वर्गांचा फरक (sec A − tan A)(sec A + tan A) = १ असा अवयवांत मांडला की एका किमतीवरून दुसरी मिळते.
आकृतीत : sec A + tan A = २ तर sec A − tan A = १/२, म्हणून sec A = ५/४ व tan A = ३/४.
नियम 1 : किंमत काढा — आधी हरवलेली गुणोत्तरे काढा, मग किंमत काढा.
- सोपे : sin A = ३/५ तर cos A = ४/५, म्हणून sec A + tan A = ५/४ + ३/४ = २.
- मध्यम : ९ sec²A − ९ tan²A = ९ × १ = ९.
- परीक्षेसाठी : (cosec A − cot A)(cosec A + cot A) = cosec²A − cot²A = १.
नियम 2 : गुणाकाराची युक्ती वापरा — दिलेली बेरीज व अज्ञात फरक यांचा गुणाकार १ असतो.
- सोपे : sec A + tan A = २ वरून sec A − tan A = १/२.
- मध्यम : मिळवून : २ sec A = ५/२, म्हणून sec A = ५/४; वजा करून tan A = ३/४.
- परीक्षेसाठी : पडताळा : (५/४)² − (३/४)² = २५/१६ − ९/१६ = १.
१ सोबत गुणोत्तराचा वर्ग दिसला की आधी तीन सर्वसमिका आठवा.
(sec A + tan A)² ला sec²A + tan²A मानणे; त्यात मधले पद गळते.
"वर्गांचा फरक = एक : बेरीज गुणिले फरक = एक."
सरावासाठी प्रश्न
- 15 − (sec² A − tan² A) ची किंमत शोधा.
- 25 − (cosec² B − cot² B) ची किंमत शोधा.
- 34 (cosec² θ − cot² θ) ची किंमत शोधा.
- 4sec² B − tan² B + 5 ची किंमत शोधा.
- 5tan θ + cot θ = 25/12 असेल तर (tan θ − cot θ)² ची किंमत शोधा.
- 6tan θ + cot θ = 61/30 असेल तर (tan θ − cot θ)² ची किंमत शोधा.
- 7cosec θ − cot θ = 3/5 असेल तर cosec θ + cot θ शोधा.
- 8sin θ + cos θ = 41/29 असेल (θ लघुकोन) तर sin θ cos θ शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 14
- 24
- 34
- 46
- 549/144
- 6121/900
- 75/3
- 8420/841