sin²A + cos²A = 1
समकोण कोने की दो छोटी भुजाओं पर वर्गाकार टाइलें मिलकर लंबी भुजा की टाइलों के बराबर होती हैं। लंबी भुजा की टाइलों से भाग देने पर यह सर्वसमिका मिलती है।
सर्वसमिका कोण के हर मान के लिए सत्य समीकरण है। a² + b² = c² को c² से भाग देने पर sin²A + cos²A = 1। अतः sin²A = 1 − cos²A और cos²A = 1 − sin²A।
सूत्र : sin²A + cos²A = 1
आकृति में : a² + b² = c² को c² से भाग दें : (a/c)² + (b/c)² = 1।
sin²A + cos²A = 1
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : सर्वसमिका जाँचें — ज्ञात मान रखकर वर्ग जोड़ें।
- आसान : sin A = 3/5, cos A = 4/5 : 9/25 + 16/25 = 1।
- मध्यम : 60° पर : (√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1।
- परीक्षा-प्रकार : 0° पर : 0² + 1² = 1।
नियम 2 : एक से दूसरा निकालें — ज्ञात अनुपात का वर्ग करें, 1 में से घटाएँ, धनात्मक वर्गमूल लें।
- आसान : sin A = 5/13 : cos²A = 1 − 25/169 = 144/169, अतः cos A = 12/13।
- मध्यम : cos A = 3/5 : sin²A = 1 − 9/25 = 16/25, अतः sin A = 4/5।
- परीक्षा-प्रकार : न्यूनकोण के लिए केवल धनात्मक वर्गमूल लें।
यह सर्वसमिका हर कोण के लिए सत्य है, इसलिए कुछ मान जाँचने से अधिक सशक्त है।
sin²A को sin A² लिखना; इसका अर्थ (sin A)² है, अनुपात का वर्ग।
"sin-वर्ग जोड़ cos-वर्ग = एक, हमेशा।"
अभ्यास के प्रश्न
- 19 − sin² 70° − cos² 70° का मान ज्ञात कीजिए।
- 23 − sin² θ − cos² θ का मान ज्ञात कीजिए।
- 3यदि न्यूनकोण θ के लिए cos θ = 8/17 हो तो sin θ ज्ञात कीजिए।
- 4यदि न्यूनकोण θ के लिए cos θ = 5/13 हो तो sin θ ज्ञात कीजिए।
- 5यदि 1 − cos² θ = 64/289 हो तो cos² θ का मान ज्ञात कीजिए।
- 6यदि cos² θ = 225/289 हो तो sin² θ ज्ञात कीजिए।
- 7यदि न्यूनकोण θ के लिए cos θ = 8/17 हो तो 1 − 2 sin² θ का मान ज्ञात कीजिए।
- 8यदि न्यूनकोण θ के लिए sin θ = 3/5 हो तो 1 − 2 sin² θ का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 18
- 22
- 315/17
- 412/13
- 5225/289
- 664/289
- 7−161/289
- 87/25
1 + tan²A = sec²A और 1 + cot²A = cosec²A
वही पायथागोरस वाक्य अलग भुजा से भाग देने पर अलग, उतने ही उपयोगी रूप मिलते हैं।
sin²A + cos²A = 1 को cos²A से भाग दें : 1 + tan²A = sec²A। sin²A से भाग दें : 1 + cot²A = cosec²A। जहाँ अनुपात परिभाषित हैं वहाँ ये सत्य हैं।
सूत्र : 1 + tan²A = sec²A ; 1 + cot²A = cosec²A
आकृति में : याद रखने योग्य तीन सर्वसमिकाएँ।
नियम 1 : 1 + tan²A = sec²A लगाएँ — tan का वर्ग करें, 1 जोड़ें, sec के लिए वर्गमूल लें।
- आसान : tan A = 3/4 : sec²A = 1 + 9/16 = 25/16, अतः sec A = 5/4।
- मध्यम : 45° पर : 1 + 1 = 2 = (√2)²।
- परीक्षा-प्रकार : sec²A − tan²A = 1 वही सर्वसमिका पुनर्व्यवस्थित है।
नियम 2 : 1 + cot²A = cosec²A लगाएँ — cot का वर्ग करें, 1 जोड़ें, cosec के लिए वर्गमूल लें।
- आसान : cot A = 4/3 : cosec²A = 1 + 16/9 = 25/9, अतः cosec A = 5/3।
- मध्यम : 30° पर : 1 + 3 = 4 = 2²।
- परीक्षा-प्रकार : cosec²A − cot²A = 1 पुनर्व्यवस्थित रूप है।
सही जोड़ियाँ : tan के साथ sec, cot के साथ cosec।
tan को cosec से जोड़ना या 1 + tan²A का 1 भूल जाना।
"1 जोड़ tan-वर्ग = sec-वर्ग; 1 जोड़ cot-वर्ग = cosec-वर्ग।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1यदि न्यूनकोण θ के लिए cot θ = 24/7 हो तो cosec θ ज्ञात कीजिए।
- 2सर्वसमिका 1 + cot² A = ___
- 3यदि न्यूनकोण θ के लिए tan θ = 8/15 हो तो sec θ ज्ञात कीजिए।
- 4यदि न्यूनकोण θ के लिए tan θ = 5/12 हो तो cos θ ज्ञात कीजिए।
- 5यदि न्यूनकोण θ के लिए cosec θ = 13/5 हो तो sin θ ज्ञात कीजिए।
- 6यदि न्यूनकोण θ के लिए cot θ = 3/4 हो तो sin θ ज्ञात कीजिए।
- 7यदि न्यूनकोण θ के लिए tan θ = 21/20 हो तो sec θ + tan θ का मान ज्ञात कीजिए।
- 8यदि न्यूनकोण θ के लिए sin θ = 21/29 हो तो sec θ − tan θ का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 125/7
- 2cosec² A
- 317/15
- 412/13
- 55/13
- 64/5
- 75/2
- 82/5
व्यंजक सरल करना
लंबा फोन नंबर समूहों में लिखने पर याद रखना आसान होता है। सर्वसमिकाएँ लंबे त्रिकोणमितीय व्यंजकों को समूहित करके छोटा कर देती हैं।
सरल करने के लिए सब कुछ sin और cos में बदलें, या 1 − sin²A जैसा पैटर्न पहचानकर सर्वसमिका से बदलें। अंत में उभयनिष्ठ गुणनखंड काटें। सर्वसमिका सिद्ध करने के लिए एक पक्ष को तब तक हल करें जब तक वह दूसरे के बराबर न हो जाए।
आकृति में : (1 + tan²A) cos²A = sec²A × cos²A = 1।
नियम 1 : सर्वसमिका से बदलें — 1 − sin²A, 1 − cos²A, 1 + tan²A, 1 + cot²A खोजें।
- आसान : (1 + tan²A) cos²A = sec²A cos²A = 1।
- मध्यम : (1 − cos²A) cosec²A = sin²A cosec²A = 1।
- परीक्षा-प्रकार : (1 − sin A)(1 + sin A) = 1 − sin²A = cos²A।
नियम 2 : विस्तार करें और सिद्ध करें — कोष्ठक खोलें, sin² और cos² एक साथ करें, फिर सर्वसमिका लगाएँ।
- आसान : (sin A + cos A)² + (sin A − cos A)² = 2 sin²A + 2 cos²A = 2।
- मध्यम : (1 + tan²A) ÷ (1 + cot²A) = sec²A ÷ cosec²A = sin²A ÷ cos²A = tan²A।
- परीक्षा-प्रकार : tan A cot A = 1, अतः tan A cot A + sin²A + cos²A = 2।
अटकने पर हर अनुपात को sin और cos में लिखें; सर्वसमिका प्रायः दिख जाती है।
जोड़ चिह्न के आर-पार पद काटना; केवल उभयनिष्ठ गुणनखंड ही कटते हैं।
"सब कुछ sin और cos में, फिर पैटर्न पहचानें।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1सरल कीजिए : sec² A − tan² A
- 2सरल कीजिए : (1 − cos A)(1 + cos A)
- 3सरल कीजिए : (1 − cos B)(1 + cos B)
- 4सरल कीजिए : cosec² B − cot² B
- 5सरल कीजिए : (cosec x − 1)(cosec x + 1)
- 6सरल कीजिए : (1 + cot² α) sin² α
- 7सरल कीजिए : cosec² θ − cot² θ
- 8सरल कीजिए : sin α sec α cot α
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11
- 2sin² A
- 3sin² B
- 41
- 5cot² x
- 61
- 71
- 81
एक अनुपात को दूसरे के रूप में लिखना
रुपये को डॉलर में बदलने के लिए एक दर चाहिए। यहाँ सर्वसमिकाएँ वही “दर” हैं जो एक अनुपात को दूसरे में बदलती हैं।
सभी अनुपातों को एक, जैसे sin A, के रूप में लिखने के लिए पहले cos A = √(1 − sin²A) निकालें, फिर tan A = sin A ÷ cos A और व्युत्क्रम बनाएँ। दूसरा अनुपात लें तो मेल खाती सर्वसमिका लगाएँ।
सूत्र : cos A = √(1 − sin²A) ; tan A = sin A/√(1 − sin²A) ; sec A = √(1 + tan²A)
आकृति में : sin A से शुरू करें, cos A निकालें, फिर tan A और बाकी।
नियम 1 : sin A के रूप में — cos A = √(1 − sin²A) लें और भाग दें।
- आसान : cot A = √(1 − sin²A) ÷ sin A।
- मध्यम : sec A = 1 ÷ √(1 − sin²A)।
- परीक्षा-प्रकार : sin A = 4/5 से जाँच : cos A = 3/5 और tan A = 4/3।
नियम 2 : tan A या cot A के रूप में — 1 + tan²A = sec²A लें, फिर व्युत्क्रम लें।
- आसान : sec A = √(1 + tan²A) और cos A = 1 ÷ √(1 + tan²A)।
- मध्यम : sec A, cot A के रूप में : √(cot²A + 1) ÷ cot A।
- परीक्षा-प्रकार : cot A = 3/4 से जाँच : sec A = (5/4) ÷ (3/4) = 5/3।
वर्गमूल आता है; न्यूनकोण के लिए हमेशा धनात्मक मान लें।
वर्गमूल छोड़ देना, जैसे cos A = √(1 − sin²A) की जगह cos A = 1 − sin²A।
"वर्ग, एक घटाएँ या जोड़ें, वर्गमूल : सर्वसमिका अगला अनुपात देती है।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1यदि न्यूनकोण θ के लिए sec θ = 5/4 हो तो सर्वसमिकाओं से sin θ ज्ञात कीजिए।
- 2यदि न्यूनकोण θ के लिए cos θ = 5/13 हो तो सर्वसमिकाओं से cosec θ ज्ञात कीजिए।
- 3यदि न्यूनकोण θ के लिए cot θ = 8/15 हो तो सर्वसमिकाओं से cos θ ज्ञात कीजिए।
- 4cot α को cos α के पदों में व्यक्त कीजिए (α न्यूनकोण है)।
- 5cos α को cot α के पदों में व्यक्त कीजिए (α न्यूनकोण है)।
- 6sin θ को cos θ के पदों में व्यक्त कीजिए (θ न्यूनकोण है)।
- 7यदि न्यूनकोण θ के लिए cos θ = 8/17 हो तो sec θ cosec θ का मान ज्ञात कीजिए।
- 8यदि न्यूनकोण θ के लिए cos θ = 4/5 हो तो (1 − sin θ)/(1 + sin θ) का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 13/5
- 213/12
- 38/17
- 4cos α / √(1 − cos² α)
- 5cot α / √(1 + cot² α)
- 6√(1 − cos² θ)
- 7289/120
- 81/4
प्रश्नों में सर्वसमिकाओं का उपयोग
जासूस दो सुरागों को जोड़कर तीसरा खोजता है। दो अनुपातों की जानकारी को सर्वसमिका से जोड़कर लुप्त मान मिलता है।
सर्वसमिका से दिया गया अनुपात और माँगा गया अनुपात जोड़ें। sec²A − tan²A = 1 जैसा वर्गों का अंतर (sec A − tan A)(sec A + tan A) = 1 के रूप में गुणनखंडित होता है, जिससे एक मान से दूसरा मिलता है।
आकृति में : यदि sec A + tan A = 2 तो sec A − tan A = 1/2, अतः sec A = 5/4 और tan A = 3/4।
नियम 1 : मान निकालें — पहले लुप्त अनुपात निकालें, फिर मान।
- आसान : यदि sin A = 3/5 तो cos A = 4/5, अतः sec A + tan A = 5/4 + 3/4 = 2।
- मध्यम : 9 sec²A − 9 tan²A = 9 × 1 = 9।
- परीक्षा-प्रकार : (cosec A − cot A)(cosec A + cot A) = cosec²A − cot²A = 1।
नियम 2 : गुणनफल की युक्ति लगाएँ — दिया गया योग और अज्ञात अंतर का गुणनफल 1 होता है।
- आसान : sec A + tan A = 2 से sec A − tan A = 1/2।
- मध्यम : जोड़ने पर : 2 sec A = 5/2, अतः sec A = 5/4; घटाने पर tan A = 3/4।
- परीक्षा-प्रकार : जाँच : (5/4)² − (3/4)² = 25/16 − 9/16 = 1।
1 के साथ किसी अनुपात का वर्ग दिखे तो पहले तीनों सर्वसमिकाएँ याद करें।
(sec A + tan A)² को sec²A + tan²A मानना; उसमें बीच का पद छूट जाता है।
"वर्गों का अंतर = एक : योग गुणा अंतर = एक।"
अभ्यास के प्रश्न
- 15 − (sec² A − tan² A) का मान ज्ञात कीजिए।
- 25 − (cosec² B − cot² B) का मान ज्ञात कीजिए।
- 34 (cosec² θ − cot² θ) का मान ज्ञात कीजिए।
- 4sec² B − tan² B + 5 का मान ज्ञात कीजिए।
- 5यदि tan θ + cot θ = 25/12 हो तो (tan θ − cot θ)² का मान ज्ञात कीजिए।
- 6यदि tan θ + cot θ = 61/30 हो तो (tan θ − cot θ)² का मान ज्ञात कीजिए।
- 7यदि cosec θ − cot θ = 3/5 हो तो cosec θ + cot θ ज्ञात कीजिए।
- 8यदि sin θ + cos θ = 41/29 हो (θ न्यूनकोण) तो sin θ cos θ ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 14
- 24
- 34
- 46
- 549/144
- 6121/900
- 75/3
- 8420/841