उन्नयन कोण और अवनमन कोण : अर्थ व मूल बातें
पतंग को देखते समय सिर सीधे स्तर से ऊपर झुकाते हैं, बालकनी से नीचे देखते समय नीचे। वही झुकाव कोण है।
दृष्टि-रेखा प्रेक्षक की आँख से वस्तु तक की रेखा है। ऊपर देखते समय क्षैतिज रेखा और दृष्टि-रेखा के बीच का कोण उन्नयन कोण; नीचे देखते समय वही कोण अवनमन कोण है। दोनों क्षैतिज से नापे जाते हैं।
आकृति में : भूमि से उन्नयन कोण θ; शिखर से अवनमन कोण भी θ।
उन्नयन कोण और अवनमन कोण : अर्थ व मूल बातें
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : कोण का नाम बताएँ — पूछें : प्रेक्षक क्षैतिज से ऊपर देखता है या नीचे?
- आसान : मीनार के शिखर को ऊपर देखना : उन्नयन कोण।
- मध्यम : चट्टान से नाव को नीचे देखना : अवनमन कोण।
- परीक्षा-प्रकार : दोनों कोण न्यूनकोण हैं और क्षैतिज रेखा से नापे जाते हैं।
नियम 2 : उन्नयन कोण = अवनमन कोण — दोनों क्षैतिज रेखाएँ समांतर हैं, इसलिए एकांतर कोण बराबर।
- आसान : शिखर से अवनमन कोण 40° का अर्थ है आधार से उन्नयन कोण 40°।
- मध्यम : पहले क्षैतिज रेखा खींचें, फिर कोण दिखाएँ।
- परीक्षा-प्रकार : प्रेक्षक की आँख भूमि से 1.5 m ऊँची हो तो मिली ऊँचाई में 1.5 m जोड़ें।
उन्नयन और अवनमन कोण हमेशा क्षैतिज रेखा से लिए जाते हैं, ऊर्ध्वाधर से कभी नहीं।
अवनमन कोण आकृति में नीचे की ओर दिखाना; वह प्रेक्षक के पास, वहाँ की क्षैतिज रेखा के नीचे होता है।
"सीधे स्तर से ऊपर = उन्नयन; नीचे = अवनमन।"
अभ्यास के प्रश्न
- 124 m ऊँचे खंभा के शीर्ष से भूमि पर खड़ी कार का अवनमन कोण 45° है। कार से खंभा के शीर्ष का उन्नयन कोण कितना है?
- 276 m ऊँचे ध्वजस्तंभ के शीर्ष से भूमि पर खड़ी कार का अवनमन कोण 15° है। कार से ध्वजस्तंभ के शीर्ष का उन्नयन कोण कितना है?
- 374 m ऊँचे प्रकाश-स्तंभ के शीर्ष से भूमि पर खड़ी कार का अवनमन कोण 35° है। कार से प्रकाश-स्तंभ के शीर्ष का उन्नयन कोण कितना है?
- 470 m ऊँचे मीनार के शीर्ष से भूमि पर खड़ी कार का अवनमन कोण 40° है। कार से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण कितना है?
- 5चिमनी के शीर्ष से भूमि के एक बिंदु का अवनमन कोण 55° है। दृष्टि-रेखा चिमनी से कितना कोण बनाती है?
- 6भूमि के एक बिंदु से प्रकाश-स्तंभ के शीर्ष का उन्नयन कोण 50° है। दृष्टि-रेखा प्रकाश-स्तंभ से कितना कोण बनाती है?
- 7मीनार के शीर्ष से भूमि के एक बिंदु का अवनमन कोण 45° है। दृष्टि-रेखा मीनार से कितना कोण बनाती है?
- 8भूमि के एक बिंदु से इमारत के शीर्ष का उन्नयन कोण 45° है। दृष्टि-रेखा इमारत से कितना कोण बनाती है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 145
- 215
- 335
- 440
- 535
- 640
- 745
- 845
ऊँचाई ज्ञात करना
सर्वेक्षक बिना चढ़े मीनार की ऊँचाई नापते हैं : ज्ञात दूरी पर खड़े होकर वे केवल एक कोण पढ़ते हैं।
मीनार, भूमि और दृष्टि-रेखा समकोण त्रिभुज बनाते हैं। दूरी d और उन्नयन कोण θ ज्ञात हों तो ऊँचाई tan θ = h ÷ d से, यानी h = d tan θ।
सूत्र : h = d tan θ
आकृति में : 30 m दूरी पर उन्नयन कोण 60° : h = 30 tan 60° = 30√3 ≈ 51.9 m।
ऊँचाई ज्ञात करना
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : tan θ लगाएँ — दूरी को कोण के tan से गुणा करें।
- आसान : d = 30 m, θ = 60° : h = 30√3 ≈ 51.9 m।
- मध्यम : d = 20 m, θ = 45° : h = 20 × 1 = 20 m।
- परीक्षा-प्रकार : d = 12 m, θ = 30° : h = 12 ÷ √3 = 4√3 ≈ 6.93 m।
नियम 2 : आँख की ऊँचाई जोड़ें — त्रिभुज आँख से शुरू होता है, इसलिए भूमि तक का भाग अलग जोड़ना पड़ता है।
- आसान : आँख 1.5 m ऊँची, इमारत 20 m दूर, उन्नयन कोण 30° : 20 ÷ √3 ≈ 11.55 m।
- मध्यम : इमारत की ऊँचाई = 11.55 + 1.5 ≈ 13.05 m।
- परीक्षा-प्रकार : 1.5 m न जोड़ें तो ऊँचाई कम आती है।
कोई अनुपात लिखने से पहले समकोण त्रिभुज बनाएँ और d, h, θ दिखाएँ।
यहाँ sin या cos लगाना; ऊँचाई और भूमि की दूरी दोनों लंब भुजाएँ हैं, इसलिए tan कड़ी है।
"ऊँचाई = दूरी × कोण का tan।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1भूमि के एक बिंदु से, जो प्रकाश-स्तंभ के आधार से 23√3 m दूर है, प्रकाश-स्तंभ के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। प्रकाश-स्तंभ की ऊँचाई (m में) ज्ञात कीजिए।
- 2भूमि के एक बिंदु से, जो ध्वजस्तंभ के आधार से 17√3 m दूर है, ध्वजस्तंभ के शीर्ष का उन्नयन कोण 45° है। ध्वजस्तंभ की ऊँचाई (m में) ज्ञात कीजिए।
- 3भूमि के एक बिंदु से, जो प्रकाश-स्तंभ के आधार से 16 m दूर है, प्रकाश-स्तंभ के शीर्ष का उन्नयन कोण 45° है। प्रकाश-स्तंभ की ऊँचाई (m में) ज्ञात कीजिए।
- 4भूमि के एक बिंदु से, जो इमारत के आधार से 12√3 m दूर है, इमारत के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है। इमारत की ऊँचाई (m में) ज्ञात कीजिए।
- 5एक मीनार एक इमारत के ऊपर खड़ी है। इमारत के आधार से 57 m दूर भूमि के एक बिंदु से इमारत के शीर्ष और मीनार के शीर्ष के उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 45° हैं। मीनार की ऊँचाई (m में) ज्ञात कीजिए।
- 6एक मीनार एक इमारत के ऊपर खड़ी है। इमारत के आधार से 13 m दूर भूमि के एक बिंदु से इमारत के शीर्ष और मीनार के शीर्ष के उन्नयन कोण क्रमशः 45° और 60° हैं। मीनार की ऊँचाई (m में) ज्ञात कीजिए।
- 7जिस प्रेक्षक की आँखें भूमि से 2 m ऊपर हैं वह प्रकाश-स्तंभ से 47 m दूर खड़ा है और उसे प्रकाश-स्तंभ का शीर्ष 60° उन्नयन कोण पर दिखता है। प्रकाश-स्तंभ की ऊँचाई (m में) ज्ञात कीजिए।
- 8जिस प्रेक्षक की आँखें भूमि से 2 m ऊपर हैं वह पेड़ से 21 m दूर खड़ा है और उसे पेड़ का शीर्ष 30° उन्नयन कोण पर दिखता है। पेड़ की ऊँचाई (m में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 123
- 217√3
- 316
- 436
- 557 − 19√3
- 613√3 − 13
- 72 + 47√3
- 82 + 7√3
दूरी, छाया या सीढ़ी की लंबाई ज्ञात करना
सूर्य चढ़ने पर खंभे की छाया छोटी होती है। सूर्य का कोण खंभे की ऊँचाई और छाया की लंबाई को जोड़ता है।
ऊँचाई h ज्ञात हो तो भूमि की दूरी d = h ÷ tan θ। तिरछी सीढ़ी या रस्सी की लंबाई l हो तो sin θ = h ÷ l या cos θ = d ÷ l, यानी l = h ÷ sin θ।
सूत्र : d = h ÷ tan θ ; l = h ÷ sin θ
आकृति में : खंभा 15 m, सूर्य 30° पर : छाया = 15 ÷ tan 30° = 15√3 ≈ 25.98 m।
दूरी, छाया या सीढ़ी की लंबाई ज्ञात करना
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : दूरी या छाया — ऊँचाई को tan θ से भाग दें।
- आसान : खंभा 10 m, सूर्य 45° पर : छाया = 10 ÷ 1 = 10 m।
- मध्यम : खंभा 15 m, सूर्य 30° पर : छाया = 15√3 ≈ 25.98 m।
- परीक्षा-प्रकार : मीनार 50√3 m, उन्नयन कोण 60° : दूरी = 50√3 ÷ √3 = 50 m।
नियम 2 : सीढ़ी या रस्सी की लंबाई — तिरछी लंबाई कर्ण है, इसलिए sin या cos लगाएँ।
- आसान : 60° पर 12 m तक पहुँचने वाली सीढ़ी : l = 12 ÷ (√3/2) = 8√3 ≈ 13.86 m।
- मध्यम : उस सीढ़ी का आधार : l cos 60° = 8√3 × 1/2 = 4√3 ≈ 6.93 m दीवार से।
- परीक्षा-प्रकार : जाँच : 12² + (4√3)² = 144 + 48 = 192 = (8√3)²।
छाया, दूरी और आधार क्षैतिज हैं; सीढ़ी, रस्सी या दृष्टि-रेखा तिरछी।
सीढ़ी की लंबाई के लिए tan लगाना; सीढ़ी कर्ण है, इसलिए sin या cos चाहिए।
"तिरछी लंबाई के लिए sin या cos; क्षैतिज दूरी के लिए tan।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक चिमनी 4√3 m ऊँचा है। भूमि के एक बिंदु से उसके शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। वह बिंदु चिमनी के आधार से कितनी दूर है (m में)?
- 2एक इमारत 16√3 m ऊँचा है। भूमि के एक बिंदु से उसके शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। वह बिंदु इमारत के आधार से कितनी दूर है (m में)?
- 3एक चिमनी 16√3 m ऊँचा है। भूमि के एक बिंदु से उसके शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है। वह बिंदु चिमनी के आधार से कितनी दूर है (m में)?
- 4एक इमारत 29√3 m ऊँचा है। भूमि के एक बिंदु से उसके शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। वह बिंदु इमारत के आधार से कितनी दूर है (m में)?
- 5जब सूर्य का उन्नयन कोण 60° होता है तब समतल भूमि पर ध्वजस्तंभ की छाया 18√3 m लंबी पड़ती है। ध्वजस्तंभ की ऊँचाई (m में) ज्ञात कीजिए।
- 6एक ध्वजस्तंभ 27 m ऊँचा है। सूर्य का उन्नयन कोण 60° होने पर समतल भूमि पर उसकी छाया की लंबाई (m में) ज्ञात कीजिए।
- 7एक चिमनी 28 m ऊँचा है। सूर्य का उन्नयन कोण 30° होने पर समतल भूमि पर उसकी छाया की लंबाई (m में) ज्ञात कीजिए।
- 8एक मीनार 19√3 m ऊँचा है। सूर्य का उन्नयन कोण 60° होने पर समतल भूमि पर उसकी छाया की लंबाई (m में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 112
- 248
- 316
- 487
- 554
- 69√3
- 728√3
- 819
अवनमन कोण
प्रकाश-स्तंभ पर खड़ा रक्षक स्तर रेखा के नीचे नाव देखता है; नाव जितनी दूर, नीचे का झुकाव उतना कम।
अवनमन कोण वाले प्रश्न में प्रेक्षक से क्षैतिज रेखा खींचें, उसके नीचे कोण दिखाएँ और समान एकांतर कोणों से उसे भूमि वाले त्रिभुज में ले जाएँ। ऊर्ध्वाधर ऊँचाई उस कोण के सामने की भुजा है।
आकृति में : 60 m इमारत से मीनार के आधार का 60° और शिखर का 30° अवनमन कोण। मीनार = 60 − 20 = 40 m।
अवनमन कोण
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : एक वस्तु — शिखर पर अवनमन कोण θ = वस्तु पर उन्नयन कोण θ।
- आसान : 50 m मीनार से कार का अवनमन कोण 30° : दूरी = 50 ÷ tan 30° = 50√3 ≈ 86.6 m।
- मध्यम : 75 m प्रकाश-स्तंभ से जहाज का अवनमन कोण 45° : दूरी = 75 m।
- परीक्षा-प्रकार : 45° पर ऊँचाई और दूरी बराबर होती हैं।
नियम 2 : एक स्थान से दो कोण — हर बिंदु तक की गहराई निकालकर घटाएँ।
- आसान : इमारत 60 m : मीनार का आधार 60° अवनमन पर, अतः दूरी = 60 ÷ √3 = 20√3 m।
- मध्यम : 30° पर शिखर तक की गहराई : 20√3 × (1/√3) = 20 m, अतः मीनार 60 − 20 = 40 m।
- परीक्षा-प्रकार : जाँच : बड़ा अवनमन कोण निकट और निचले बिंदु से जुड़ा है।
अधिक अवनमन कोण का अर्थ प्रेक्षक की इमारत के आधार के निकट का बिंदु।
अवनमन कोण को त्रिभुज के गलत कोने पर लगाना; पहले एकांतर कोणों से उसे भूमि पर लाएँ।
"ऊपर का अवनमन = नीचे का उन्नयन।"
अभ्यास के प्रश्न
- 138 m ऊँचे मीनार के शीर्ष से भूमि पर खड़ी कार का अवनमन कोण 45° है। कार मीनार के आधार से कितनी दूर है (m में)?
- 2ध्वजस्तंभ के शीर्ष से उसके आधार से 42 m दूर खड़ी कार का अवनमन कोण 30° है। ध्वजस्तंभ की ऊँचाई (m में) ज्ञात कीजिए।
- 3खंभा के शीर्ष से उसके आधार से 45 m दूर खड़ी कार का अवनमन कोण 30° है। खंभा की ऊँचाई (m में) ज्ञात कीजिए।
- 43√3 m ऊँचे प्रकाश-स्तंभ के शीर्ष से उसकी एक ही ओर (आधार की सीध में) स्थित दो जहाजों के अवनमन कोण 30° और 60° हैं। जहाजों के बीच की दूरी (m में) ज्ञात कीजिए।
- 518√3 m ऊँचे प्रकाश-स्तंभ के शीर्ष से उसके दोनों ओर (आधार की सीध में) स्थित दो जहाजों के अवनमन कोण 45° और 60° हैं। जहाजों के बीच की दूरी (m में) ज्ञात कीजिए।
- 624√3 m ऊँचे प्रकाश-स्तंभ के शीर्ष से उसकी एक ही ओर (आधार की सीध में) स्थित दो जहाजों के अवनमन कोण 30° और 60° हैं। जहाजों के बीच की दूरी (m में) ज्ञात कीजिए।
- 760 m ऊँची इमारत के शीर्ष से एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° और उसके आधार का अवनमन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई (m में) ज्ञात कीजिए।
- 824 m ऊँची इमारत के शीर्ष से एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° और उसके आधार का अवनमन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई (m में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 138
- 214√3
- 315√3
- 46
- 518 + 18√3
- 648
- 760 + 20√3
- 848
दो अवलोकन और दो वस्तुएँ
मीनार की ओर चलने पर उसका शिखर आकाश में और ऊपर दिखता है। ऐसे दो कोण ऊँचाई और चली दूरी दोनों दे देते हैं।
मीनार की ऊँचाई h मानें। हर स्थिति से दूरी d = h ÷ tan θ। दोनों स्थितियाँ एक ही ओर हों तो दूरियाँ घटती हैं; विपरीत ओर हों तो जुड़ती हैं। इससे h का एक समीकरण मिलता है।
आकृति में : उन्नयन कोण 30° और 60°, अंतर 20 m : h√3 − h/√3 = 20, अतः h = 10√3 ≈ 17.3 m।
नियम 1 : एक मीनार के दो अवलोकन — दोनों दूरियाँ h के रूप में लिखें और घटाएँ।
- आसान : उन्नयन कोण 30° और 60°, 20 m पास जाने पर : 2h/√3 = 20, अतः h = 10√3 ≈ 17.3 m।
- मध्यम : जाँच : दूरियाँ 30 m और 10 m, और 30 − 10 = 20 m।
- परीक्षा-प्रकार : निकट बिंदु का कोण हमेशा बड़ा।
नियम 2 : दो वस्तुएँ और एक मीनार — विपरीत ओर दूरियाँ जोड़ें; एक ही ओर घटाएँ।
- आसान : मीनार 30 m, विपरीत ओर 30° और 60° : 30√3 + 10√3 = 40√3 ≈ 69.3 m दूरी।
- मध्यम : मीनार 20 m, एक ही ओर 45° और 30° : 20√3 − 20 = 20(√3 − 1) ≈ 14.6 m दूरी।
- परीक्षा-प्रकार : दोनों स्थितियाँ मीनार के आधार से गुजरती एक सीधी रेखा पर बनाएँ।
दो स्थितियाँ यानी दो समीकरण; h और अतिरिक्त दूरी साथ-साथ मिलती हैं।
दोनों स्थितियाँ एक ही ओर होने पर दूरियाँ जोड़ना; उन्हें घटाना चाहिए।
"एक ओर घटाएँ, विपरीत ओर जोड़ें।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1पेड़ के दोनों ओर उसके आधार की सीध में स्थित बिंदुओं A और B से उसका शीर्ष क्रमशः 45° और 45° के उन्नयन कोणों पर दिखता है। यदि AB = 10 m हो तो पेड़ की ऊँचाई (m में) ज्ञात कीजिए।
- 26 m ऊँचा मीनार उसके दोनों ओर आधार की सीध में स्थित बिंदुओं A और B से क्रमशः 45° और 45° के उन्नयन कोणों पर दिखता है। AB (m में) ज्ञात कीजिए।
- 326 m ऊँचा प्रकाश-स्तंभ उसके दोनों ओर आधार की सीध में स्थित बिंदुओं A और B से क्रमशः 45° और 45° के उन्नयन कोणों पर दिखता है। AB (m में) ज्ञात कीजिए।
- 49 m और 9 + 11√3 m ऊँचाई के दो ऊर्ध्वाधर खंभे समतल भूमि पर खड़े हैं। छोटे खंभे के शीर्ष से ऊँचे खंभे के शीर्ष का उन्नयन कोण 45° है। खंभों के बीच की दूरी (m में) ज्ञात कीजिए।
- 5मीनार के दोनों ओर उसके आधार की सीध में स्थित बिंदुओं A और B से उसका शीर्ष क्रमशः 60° और 30° के उन्नयन कोणों पर दिखता है। यदि AB = 8 m हो तो मीनार की ऊँचाई (m में) ज्ञात कीजिए।
- 618 m और 30 m ऊँचाई के दो ऊर्ध्वाधर खंभे समतल भूमि पर खड़े हैं। छोटे खंभे के शीर्ष से ऊँचे खंभे के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। खंभों के बीच की दूरी (m में) ज्ञात कीजिए।
- 7मीनार के दोनों ओर उसके आधार की सीध में स्थित बिंदुओं A और B से उसका शीर्ष क्रमशः 45° और 60° के उन्नयन कोणों पर दिखता है। यदि AB = 24√3 m हो तो मीनार की ऊँचाई (m में) ज्ञात कीजिए।
- 8मीनार की एक ही ओर आधार की सीध में स्थित दो बिंदु आधार से 4 m और 144 m दूर हैं। इन दोनों बिंदुओं से मीनार के शीर्ष के उन्नयन कोण एक-दूसरे के पूरक हैं। मीनार की ऊँचाई (m में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 15
- 212
- 352
- 411√3
- 52√3
- 612√3
- 736√3 − 36
- 824