छेदक रेखा, स्पर्श रेखा और स्पर्श बिंदु
साइकिल का पहिया सड़क को केवल एक जगह छूता है, जबकि तालाब में आड़ी रखी तख़्ती पानी को दो बार काटती है। रेखा और वृत्त भी कुछ निश्चित तरीकों से मिलते हैं।
वृत्त को दो बिंदुओं पर मिलने वाली रेखा छेदक रेखा है। ठीक एक बिंदु पर छूने वाली रेखा स्पर्श रेखा और वह बिंदु स्पर्श बिंदु है। रेखा वृत्त को छोड़कर भी जा सकती है। स्पर्श रेखा वृत्त के भीतर कभी नहीं जाती।
आकृति में : दो उभयनिष्ठ बिंदु : छेदक रेखा। एक : स्पर्श रेखा। कोई नहीं : रेखा वृत्त को छोड़ देती है।
नियम 1 : उभयनिष्ठ बिंदु गिनें — उभयनिष्ठ बिंदुओं की संख्या रेखा का नाम तय करती है।
- आसान : दो उभयनिष्ठ बिंदु : रेखा छेदक रेखा।
- मध्यम : एक उभयनिष्ठ बिंदु : रेखा स्पर्श रेखा।
- परीक्षा-प्रकार : वृत्त पर स्थित बिंदु से केवल एक ही स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।
नियम 2 : केंद्र से दूरी द्वारा जाँच — रेखा की केंद्र से दूरी d की त्रिज्या r से तुलना करें।
- आसान : r = 5 cm, d = 3 cm : d < r, अतः छेदक रेखा।
- मध्यम : r = 5 cm, d = 5 cm : d = r, अतः स्पर्श रेखा।
- परीक्षा-प्रकार : r = 5 cm, d = 7 cm : d > r, अतः रेखा वृत्त को छोड़ देती है।
स्पर्श रेखा वृत्त को एक ही बिंदु पर छूती है; वह आर-पार नहीं जाती।
वृत्त के पास दिखने वाली रेखा को स्पर्श रेखा कहना; उसका ठीक एक उभयनिष्ठ बिंदु हो तभी वह स्पर्श रेखा है।
"दो बिंदु काटते हैं, एक छूता है, कोई नहीं तो छूटता है।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1कुएँ पर लगी चरखी के दोनों ओर की रस्सी चरखी के वृत्त की ___ जैसी होती है।
- 2वृत्त की त्रिज्या 26 cm है और एक रेखा उसके केंद्र से 26 cm दूर है। रेखा और वृत्त के कितने बिंदु उभयनिष्ठ हैं?
- 3वृत्त की स्पर्श रेखा वृत्त को कितने बिंदुओं पर मिलती है?
- 440 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से एक रेखा 46 cm दूर है। वह वृत्त को केवल स्पर्श करे, इसके लिए उसे केंद्र की ओर कितने cm खिसकाना होगा?
- 540 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से एक रेखा 18 cm दूर है। वह वृत्त को केवल स्पर्श करे, इसके लिए उसे केंद्र से दूर कितने cm खिसकाना होगा?
- 634 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से एक रेखा 2 cm दूर है। वह वृत्त को केवल स्पर्श करे, इसके लिए उसे केंद्र से दूर कितने cm खिसकाना होगा?
- 7तीन रेखाएँ l1, l2, l3 22 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से क्रमशः 33 cm, 7 cm और 22 cm दूर हैं। इनमें से कितनी स्पर्श रेखाएँ हैं?
- 8तीन रेखाएँ l1, l2, l3 3 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से क्रमशः 15 cm, 3 cm और 2 cm दूर हैं। इनमें से कितनी स्पर्श रेखाएँ हैं?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 1स्पर्श रेखा
- 21
- 31
- 46
- 522
- 632
- 71
- 81
स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब होती है
डोरी से बँधा घुमाया हुआ पत्थर डोरी छोड़ने पर जिस सीधी रेखा में जा रहा था उसी में, डोरी से समकोण पर उड़ जाता है।
वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से गुजरने वाली त्रिज्या पर लंब होती है : OT ⟂ PT, अतः ∠OTP = 90°। इसके विपरीत, त्रिज्या के बाहरी सिरे पर उसके लंब रेखा स्पर्श रेखा होती है।
सूत्र : OT ⟂ PT ; ∠OTP = 90°
आकृति में : त्रिज्या OT स्पर्श रेखा से T पर समकोण पर मिलती है।
नियम 1 : समकोण का उपयोग — त्रिभुज OTP में T पर समकोण, अतः शेष दो कोणों का योग 90°।
- आसान : ∠TOP = 50° : ∠TPO = 90° − 50° = 40°।
- मध्यम : ∠TPO = 25° : ∠TOP = 90° − 25° = 65°।
- परीक्षा-प्रकार : स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच का कोण हमेशा 90°।
नियम 2 : स्पर्श बिंदु से लंब — स्पर्श रेखा पर स्पर्श बिंदु पर खींचा लंब केंद्र से गुजरता है।
- आसान : केंद्र खोजने के लिए दो स्पर्श बिंदुओं पर लंब खींचें; वे O पर मिलते हैं।
- मध्यम : वृत्त पर सिरे पर त्रिज्या के लंब रेखा स्पर्श रेखा।
- परीक्षा-प्रकार : उस बिंदु पर कोई दूसरी स्पर्श रेखा नहीं होती।
स्पर्श रेखा दिखते ही स्पर्श बिंदु तक त्रिज्या खींचें और 90° दिखाएँ।
स्पर्श बिंदु को केंद्र की जगह किसी अन्य बिंदु से जोड़ना; समकोण केवल त्रिज्या के साथ बनता है।
"स्पर्श रेखा और त्रिज्या समकोण पर मिलती हैं।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1केंद्र O वाले वृत्त के बिंदु V पर खींची गई स्पर्श रेखा O से जाने वाली रेखा को T पर मिलती है। त्रिभुज OVT में ∠OTV = 35° है। ∠VOT (अंशों में) ज्ञात कीजिए।
- 2केंद्र O वाले वृत्त के बिंदु K पर KS स्पर्श रेखा है। यदि ∠KOS = 50° हो तो ∠OSK (अंशों में) ज्ञात कीजिए।
- 3केंद्र O वाले वृत्त के बिंदु D पर खींची गई स्पर्श रेखा O से जाने वाली रेखा को S पर मिलती है। त्रिभुज ODS में ∠OSD = 60° है। ∠DOS (अंशों में) ज्ञात कीजिए।
- 4केंद्र O वाले वृत्त के बिंदु N पर खींची गई स्पर्श रेखा O से जाने वाली रेखा को S पर मिलती है। त्रिभुज ONS में ∠OSN = 30° है। ∠NOS (अंशों में) ज्ञात कीजिए।
- 5केंद्र O वाले वृत्त की जीवा BS है और ∠BOS = 100° है। बिंदु B पर स्पर्श रेखा BE है। ∠EBS (अंशों में) ज्ञात कीजिए।
- 6केंद्र O वाले वृत्त की जीवा ZX है और ∠ZOX = 20° है। बिंदु Z पर स्पर्श रेखा ZA है। ∠AZX (अंशों में) ज्ञात कीजिए।
- 7केंद्र O वाले वृत्त की जीवा BM है और ∠BOM = 50° है। बिंदु B पर स्पर्श रेखा BV है। ∠VBM (अंशों में) ज्ञात कीजिए।
- 8केंद्र O वाले वृत्त को रेखा FD बिंदु F पर स्पर्श करती है। त्रिभुज OFD में ∠FOD : ∠ODF = 2 : 7 है। बड़ा न्यूनकोण (अंशों में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 155
- 240
- 330
- 460
- 550
- 610
- 725
- 870
स्पर्श रेखा की लंबाई (पायथागोरस)
गोल तालाब को सीधी पगडंडी जहाँ छूती है वहाँ से बिजली का खंभा P कितना दूर है, यह जानने के लिए पगडंडी पर फीता नहीं चाहिए।
समकोण त्रिभुज OTP में OP कर्ण है। अतः P से स्पर्श रेखा की लंबाई PT = √(OP² − r²)। OP, r, PT में से दो ज्ञात हों तो तीसरी पायथागोरस से मिलती है।
सूत्र : PT² = OP² − r²
आकृति में : r = 5, OP = 13 : PT = √(169 − 25) = √144 = 12।
स्पर्श रेखा की लंबाई (पायथागोरस)
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : PT निकालें — OP और r का वर्ग करें, घटाएँ, वर्गमूल लें।
- आसान : r = 5 cm, OP = 13 cm : PT = 12 cm।
- मध्यम : r = 6 cm, OP = 10 cm : PT = √(100 − 36) = 8 cm।
- परीक्षा-प्रकार : r = 7 cm, OP = 25 cm : PT = √(625 − 49) = 24 cm।
नियम 2 : OP या r निकालें — उसी संबंध को पुनर्व्यवस्थित करें।
- आसान : PT = 15 cm, r = 8 cm : OP = √(225 + 64) = 17 cm।
- मध्यम : PT = 24 cm, OP = 25 cm : r = √(625 − 576) = 7 cm।
- परीक्षा-प्रकार : PT हमेशा OP से छोटा।
P से स्पर्श रेखा की लंबाई दोनों ओर समान; ऐसी दो रेखाएँ होती हैं।
वर्गों को घटाने की जगह जोड़ना; OP कर्ण है, इसलिए PT² = OP² − r²।
"बड़ा वर्ग घटा त्रिज्या-वर्ग, फिर वर्गमूल।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1केंद्र O वाले वृत्त के बिंदु S पर स्पर्श रेखा SQ की लंबाई 25 cm और त्रिज्या 60 cm है। OQ (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 2केंद्र O वाले वृत्त के बिंदु C पर स्पर्श रेखा CG की लंबाई 25 cm और त्रिज्या 60 cm है। OG (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 3बिंदु V से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई 12 cm है और V की केंद्र से दूरी 13 cm है। वृत्त की त्रिज्या (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 4केंद्र O वाले वृत्त को Y पर स्पर्श रेखा YW स्पर्श करती है। यदि त्रिज्या 3 cm और YW = 4 cm हो तो त्रिभुज OYW का क्षेत्रफल (cm² में) ज्ञात कीजिए।
- 5केंद्र O वाले वृत्त को A पर स्पर्श रेखा AP स्पर्श करती है। यदि त्रिज्या 15 cm और AP = 20 cm हो तो त्रिभुज OAP का क्षेत्रफल (cm² में) ज्ञात कीजिए।
- 6वृत्त की त्रिज्या 5 cm है और बिंदु M केंद्र से 14 cm दूर है। M से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा MK की लंबाई (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 7बिंदु L की 16 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से दूरी, L से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई से 4 cm अधिक है। स्पर्श रेखा की लंबाई (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 8केंद्र O वाले वृत्त की त्रिज्या 18 cm है। बिंदु U पर स्पर्श रेखा UK की लंबाई 24 cm है। त्रिभुज OUK का परिमाप (cm में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 165
- 265
- 35
- 46
- 5150
- 63√19
- 730
- 872
संकेंद्रीय वृत्त और जीवाएँ
डार्ट बोर्ड के छल्ले एक ही केंद्र के होते हैं। भीतरी छल्ले को केवल छूती रेखा बाहरी छल्ले में जीवा बनाती है।
एक ही केंद्र वाले दो वृत्त संकेंद्रीय हैं। बड़े वृत्त (त्रिज्या R) की जीवा AB, जो छोटे वृत्त (त्रिज्या r) को T पर छूती है, T पर समद्विभाजित होती है और AT² = R² − r², अतः AB = 2√(R² − r²)।
सूत्र : AB = 2√(R² − r²)
आकृति में : R = 5, r = 3 : AT = √(25 − 9) = 4, अतः जीवा AB = 8।
नियम 1 : जीवा निकालें — जीवा का आधा भाग समकोण त्रिभुज की दूसरी भुजा है।
- आसान : R = 5 cm, r = 3 cm : जीवा = 2 × 4 = 8 cm।
- मध्यम : R = 13 cm, r = 5 cm : जीवा = 2 × 12 = 24 cm।
- परीक्षा-प्रकार : स्पर्श बिंदु T जीवा का मध्य-बिंदु है।
नियम 2 : त्रिज्या निकालें — जीवा का आधा भाग और दूसरी त्रिज्या लें।
- आसान : जीवा 16 cm, R = 10 cm : आधी 8, अतः r = √(100 − 64) = 6 cm।
- मध्यम : जीवा 24 cm, r = 5 cm : R = √(144 + 25) = 13 cm।
- परीक्षा-प्रकार : हमेशा R > r, क्योंकि जीवा बड़े वृत्त में है।
स्पर्श बिंदु की त्रिज्या जीवा पर लंब होने से उसे समद्विभाजित करती है।
पूरी जीवा पूछे जाने पर आधी जीवा उत्तर देना; 2 से गुणा करें।
"बड़ी त्रिज्या का वर्ग घटा छोटी का, वर्गमूल, फिर दुगुना।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1केंद्र O वाले दो संकेंद्री वृत्तों की त्रिज्याएँ 17 cm और 3 cm हैं। बड़े वृत्त की जीवा VW छोटे वृत्त को L पर स्पर्श करती है। OL (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 2केंद्र O वाले दो संकेंद्री वृत्तों की त्रिज्याएँ 40 cm और 5 cm हैं। बड़े वृत्त की जीवा AB छोटे वृत्त को Y पर स्पर्श करती है। OY (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 3दो संकेंद्री वृत्तों का केंद्र O है। बड़े वृत्त की जीवा YB छोटे वृत्त को F पर स्पर्श करती है। यदि YF = 19 cm हो तो YB (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 458 cm त्रिज्या वाले वृत्त की 84 cm लंबी जीवा एक संकेंद्री छोटे वृत्त को स्पर्श करती है। छोटे वृत्त की त्रिज्या (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 525 cm त्रिज्या वाले वृत्त की 40 cm लंबी जीवा एक संकेंद्री छोटे वृत्त को स्पर्श करती है। छोटे वृत्त की त्रिज्या (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 6दो संकेंद्री वृत्तों की त्रिज्याएँ 17 cm और 8 cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई (cm में) ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है।
- 7दो संकेंद्री वृत्तों में से बड़े वृत्त की 68 cm लंबी जीवा छोटे वृत्त को स्पर्श करती है। दोनों वृत्तों के बीच के वलय का क्षेत्रफल (cm² में, π के रूप में) ज्ञात कीजिए।
- 8केंद्र O वाले दो संकेंद्री वृत्तों की त्रिज्याएँ 10 cm और 6 cm हैं। बड़े वृत्त की जीवा ZC छोटे वृत्त को स्पर्श करती है। त्रिभुज OZC का परिमाप (cm में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 13
- 25
- 338
- 440
- 515
- 630
- 71156π
- 836
समांतर स्पर्श रेखाएँ और स्पर्श रेखाओं की रचनाएँ
दो सीधी दीवारों के बीच लुढ़कती गेंद दोनों को छूती है; दीवारों के बीच की दूरी ठीक गेंद की चौड़ाई के बराबर।
व्यास के दोनों सिरों की स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं, क्योंकि दोनों व्यास पर लंब हैं। उनके बीच की दूरी व्यास 2r है। दो समांतर रेखाओं को छूने वाले वृत्त का केंद्र उनके ठीक बीच में होता है।
आकृति में : व्यास के सिरों P और Q की स्पर्श रेखाएँ समांतर और 2r दूरी पर।
नियम 1 : समांतर स्पर्श रेखाएँ — उनके बीच की दूरी के रूप में व्यास लें।
- आसान : r = 4 cm : समांतर स्पर्श रेखाएँ 8 cm दूरी पर।
- मध्यम : 12 cm दूरी की दो समांतर रेखाएँ : छूने वाले वृत्त की r = 6 cm।
- परीक्षा-प्रकार : उसका केंद्र प्रत्येक से 6 cm वाली रेखा पर।
नियम 2 : वर्ग में वृत्त — वर्ग की चारों भुजाओं को छूने वाले वृत्त का व्यास वर्ग की भुजा के बराबर।
- आसान : 10 cm भुजा का वर्ग : वृत्त की r = 5 cm।
- मध्यम : जाँच : सम्मुख भुजाओं के बीच की दूरी 10 = 2r।
- परीक्षा-प्रकार : स्पर्श रेखा अपने स्पर्श बिंदु वाले व्यास पर लंब होती है।
व्यास के एक सिरे की और दूसरे सिरे की स्पर्श रेखा : हमेशा समांतर।
समांतर स्पर्श रेखाओं के बीच की दूरी के रूप में व्यास की जगह त्रिज्या लेना।
"समांतर स्पर्श रेखाएँ पूरे व्यास जितनी दूर।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1एक वृत्त की दो समांतर स्पर्श रेखाओं के बीच की दूरी 102 cm है। वृत्त की त्रिज्या (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 2एक वृत्त का व्यास 48 cm है। इस व्यास के दोनों सिरों पर स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच की दूरी (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 3एक वृत्त की दो समांतर स्पर्श रेखाओं के बीच की दूरी 26 cm है। वृत्त की त्रिज्या (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 4केंद्र O वाले वृत्त को M पर स्पर्श रेखा YS स्पर्श करती है। वह वृत्त की दो समांतर स्पर्श रेखाओं को Y और S पर मिलती है तथा ∠YOS = 90° है। यदि YM = 36 cm और SM = 144 cm हो तो वृत्त की त्रिज्या (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 5केंद्र O वाले वृत्त की दो समांतर स्पर्श रेखाओं को तीसरी स्पर्श रेखा RT (स्पर्श बिंदु Y) क्रमशः R और T पर मिलती है। यदि ∠ORT = 80° हो तो ∠OTR (अंशों में) ज्ञात कीजिए।
- 6केंद्र O वाले वृत्त की दो समांतर स्पर्श रेखाओं को तीसरी स्पर्श रेखा RV (स्पर्श बिंदु W) क्रमशः R और V पर मिलती है। यदि ∠ORV = 80° हो तो ∠OVR (अंशों में) ज्ञात कीजिए।
- 7केंद्र O वाले वृत्त को Y पर स्पर्श करने वाली स्पर्श रेखा TX दो समांतर स्पर्श रेखाओं को T और X पर मिलती है तथा ∠TOX = 90° है। यदि TY = 36 cm और XY = 81 cm हो तो त्रिभुज TOX का क्षेत्रफल (cm² में) ज्ञात कीजिए।
- 8केंद्र O वाले वृत्त की दो समांतर स्पर्श रेखाओं को तीसरी स्पर्श रेखा S और G पर काटती है तथा ∠SOG = 90° है। यदि OS = 3 cm और OG = 4 cm हो तो त्रिभुज SOG का क्षेत्रफल (cm² में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 151
- 248
- 313
- 472
- 510
- 610
- 73159
- 86