छेदिका, स्पर्शिका व स्पर्शबिंदू
सायकलचे चाक रस्त्याला फक्त एका जागी स्पर्श करते, पण तलावात आडवी घातलेली फळी पाण्याला दोनदा छेदते. रेषा व वर्तुळ तसेच काही ठराविक प्रकारे भेटतात.
वर्तुळाला दोन बिंदूंत भेटणारी रेषा छेदिका. फक्त एका बिंदूत स्पर्श करणारी रेषा स्पर्शिका आणि तो बिंदू स्पर्शबिंदू. रेषा वर्तुळाला चुकवूही शकते. स्पर्शिका वर्तुळाच्या आत कधीही शिरत नाही.
आकृतीत : दोन सामाईक बिंदू : छेदिका. एक : स्पर्शिका. एकही नाही : रेषा वर्तुळाला चुकवते.
नियम 1 : सामाईक बिंदू मोजा — सामाईक बिंदूंची संख्या रेषेचे नाव ठरवते.
- सोपे : दोन सामाईक बिंदू : रेषा छेदिका.
- मध्यम : एक सामाईक बिंदू : रेषा स्पर्शिका.
- परीक्षेसाठी : वर्तुळावरील बिंदूतून फक्त एकच स्पर्शिका काढता येते.
नियम 2 : केंद्रापासूनच्या अंतराने तपासा — रेषेचे केंद्रापासूनचे अंतर d ची त्रिज्या r शी तुलना करा.
- सोपे : r = ५ cm, d = ३ cm : d < r, म्हणून छेदिका.
- मध्यम : r = ५ cm, d = ५ cm : d = r, म्हणून स्पर्शिका.
- परीक्षेसाठी : r = ५ cm, d = ७ cm : d > r, म्हणून रेषा वर्तुळाला चुकवते.
स्पर्शिका वर्तुळाला एकाच बिंदूत स्पर्श करते; ती आरपार जात नाही.
वर्तुळाजवळ दिसणाऱ्या रेषेला स्पर्शिका म्हणणे; तिला नेमका एकच सामाईक बिंदू असेल तरच ती स्पर्शिका.
"दोन बिंदू छेदतात, एक स्पर्श करतो, एकही नाही चुकवतो."
सरावासाठी प्रश्न
- 1विहिरीवरील घिरटीच्या दोन्ही बाजूंची दोरी घिरटीच्या वर्तुळाला ___ सारखी असते.
- 2वर्तुळाची त्रिज्या 26 cm आहे आणि एक रेषा त्याच्या केंद्रापासून 26 cm अंतरावर आहे. रेषा आणि वर्तुळ यांचे किती बिंदू समान आहेत?
- 3वर्तुळाची स्पर्शिका वर्तुळाला किती बिंदूंत भेटते?
- 440 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या केंद्रापासून एक रेषा 46 cm अंतरावर आहे. ती वर्तुळाला फक्त स्पर्श करेल यासाठी तिला केंद्राकडे किती cm सरकवावे लागेल?
- 540 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या केंद्रापासून एक रेषा 18 cm अंतरावर आहे. ती वर्तुळाला फक्त स्पर्श करेल यासाठी तिला केंद्रापासून दूर किती cm सरकवावे लागेल?
- 634 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या केंद्रापासून एक रेषा 2 cm अंतरावर आहे. ती वर्तुळाला फक्त स्पर्श करेल यासाठी तिला केंद्रापासून दूर किती cm सरकवावे लागेल?
- 7तीन रेषा l1, l2, l3 या 22 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या केंद्रापासून अनुक्रमे 33 cm, 7 cm आणि 22 cm अंतरावर आहेत. त्यांपैकी किती स्पर्शिका आहेत?
- 8तीन रेषा l1, l2, l3 या 3 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या केंद्रापासून अनुक्रमे 15 cm, 3 cm आणि 2 cm अंतरावर आहेत. त्यांपैकी किती स्पर्शिका आहेत?
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 1स्पर्शिका
- 21
- 31
- 46
- 522
- 632
- 71
- 81
स्पर्शिका त्रिज्येला लंब असते
दोरीला बांधून फिरवलेला दगड दोरी सोडल्यावर ज्या सरळ रेषेत जात होता त्या रेषेत, दोरीशी काटकोनात उडतो.
वर्तुळावरील बिंदूतील स्पर्शिका त्या स्पर्शबिंदूतून जाणाऱ्या त्रिज्येला लंब असते : OT ⟂ PT, म्हणून ∠OTP = ९०°. उलट, त्रिज्येच्या बाहेरच्या टोकाला तिच्याशी लंब असलेली रेषा स्पर्शिका असते.
सूत्र : OT ⟂ PT ; ∠OTP = ९०°
आकृतीत : त्रिज्या OT स्पर्शिकेला T मध्ये काटकोनात भेटते.
नियम 1 : काटकोन वापरा — त्रिकोण OTP मध्ये T ला काटकोन, म्हणून उरलेले दोन कोन मिळून ९०°.
- सोपे : ∠TOP = ५०° : ∠TPO = ९०° − ५०° = ४०°.
- मध्यम : ∠TPO = २५° : ∠TOP = ९०° − २५° = ६५°.
- परीक्षेसाठी : स्पर्शिका व त्रिज्या यांमधील कोन नेहमी ९०°.
नियम 2 : स्पर्शबिंदूतून लंब — स्पर्शिकेला स्पर्शबिंदूत काढलेला लंब केंद्रातून जातो.
- सोपे : केंद्र शोधायला दोन स्पर्शबिंदूंत लंब काढा; ते O मध्ये भेटतात.
- मध्यम : वर्तुळावरील टोकाला त्रिज्येला लंब रेषा स्पर्शिका.
- परीक्षेसाठी : त्या बिंदूत दुसरी स्पर्शिका नसते.
स्पर्शिका दिसताच स्पर्शबिंदूपर्यंत त्रिज्या काढा व ९० अंश दाखवा.
स्पर्शबिंदू केंद्राऐवजी दुसऱ्या बिंदूशी जोडणे; काटकोन फक्त त्रिज्येशी.
"स्पर्शिका व त्रिज्या काटकोनात भेटतात."
सरावासाठी प्रश्न
- 1केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला V बिंदूत काढलेली स्पर्शिका O मधून जाणाऱ्या रेषेला T मध्ये भेटते. त्रिकोण OVT मध्ये ∠OTV = 35° आहे. ∠VOT (अंशांत) शोधा.
- 2केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला K बिंदूत KS ही स्पर्शिका आहे. ∠KOS = 50° असेल तर ∠OSK (अंशांत) शोधा.
- 3केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला D बिंदूत काढलेली स्पर्शिका O मधून जाणाऱ्या रेषेला S मध्ये भेटते. त्रिकोण ODS मध्ये ∠OSD = 60° आहे. ∠DOS (अंशांत) शोधा.
- 4केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला N बिंदूत काढलेली स्पर्शिका O मधून जाणाऱ्या रेषेला S मध्ये भेटते. त्रिकोण ONS मध्ये ∠OSN = 30° आहे. ∠NOS (अंशांत) शोधा.
- 5केंद्र O असलेल्या वर्तुळाची BS ही जीवा असून ∠BOS = 100° आहे. B बिंदूतील स्पर्शिका BE आहे. ∠EBS (अंशांत) शोधा.
- 6केंद्र O असलेल्या वर्तुळाची ZX ही जीवा असून ∠ZOX = 20° आहे. Z बिंदूतील स्पर्शिका ZA आहे. ∠AZX (अंशांत) शोधा.
- 7केंद्र O असलेल्या वर्तुळाची BM ही जीवा असून ∠BOM = 50° आहे. B बिंदूतील स्पर्शिका BV आहे. ∠VBM (अंशांत) शोधा.
- 8केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला FD ही रेषा F बिंदूत स्पर्श करते. त्रिकोण OFD मध्ये ∠FOD : ∠ODF = 2 : 7 आहे. मोठा लघुकोन (अंशांत) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 155
- 240
- 330
- 460
- 550
- 610
- 725
- 870
स्पर्शिकेची लांबी (पायथागोरस)
गोल तळ्याला सरळ पायवाट जिथे स्पर्श करते तेथून दिव्याचा खांब P किती दूर ते मोजायला पायवाटेवर टेप लागत नाही.
काटकोन त्रिकोण OTP मध्ये OP कर्ण. म्हणून P पासूनची स्पर्शिकेची लांबी PT = √(OP² − r²). OP, r, PT यांपैकी दोन माहीत असतील तर तिसरी पायथागोरसने मिळते.
सूत्र : PT² = OP² − r²
आकृतीत : r = ५, OP = १३ : PT = √(१६९ − २५) = √१४४ = १२.
स्पर्शिकेची लांबी (पायथागोरस)
ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.
ॲपमध्ये उघडानियम 1 : PT काढा — OP व r चे वर्ग करा, वजा करा, वर्गमूळ घ्या.
- सोपे : r = ५ cm, OP = १३ cm : PT = १२ cm.
- मध्यम : r = ६ cm, OP = १० cm : PT = √(१०० − ३६) = ८ cm.
- परीक्षेसाठी : r = ७ cm, OP = २५ cm : PT = √(६२५ − ४९) = २४ cm.
नियम 2 : OP किंवा r काढा — तेच समीकरण उलटसुलट मांडा.
- सोपे : PT = १५ cm, r = ८ cm : OP = √(२२५ + ६४) = १७ cm.
- मध्यम : PT = २४ cm, OP = २५ cm : r = √(६२५ − ५७६) = ७ cm.
- परीक्षेसाठी : PT नेहमी OP पेक्षा लहान.
P पासून स्पर्शिकेची लांबी दोन्ही बाजूंना सारखी; अशा दोन स्पर्शिका असतात.
वर्ग वजा करण्याऐवजी मिळवणे; OP कर्ण असल्याने PT² = OP² − r².
"मोठा वर्ग वजा त्रिज्या-वर्ग, मग वर्गमूळ."
सरावासाठी प्रश्न
- 1केंद्र O असलेल्या वर्तुळाच्या S बिंदूतील स्पर्शिका SQ ची लांबी 25 cm आणि त्रिज्या 60 cm आहे. OQ (cm मध्ये) शोधा.
- 2केंद्र O असलेल्या वर्तुळाच्या C बिंदूतील स्पर्शिका CG ची लांबी 25 cm आणि त्रिज्या 60 cm आहे. OG (cm मध्ये) शोधा.
- 3V बिंदूपासून वर्तुळाला काढलेल्या स्पर्शिकेची लांबी 12 cm असून V चे केंद्रापासूनचे अंतर 13 cm आहे. वर्तुळाची त्रिज्या (cm मध्ये) शोधा.
- 4केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला Y बिंदूत YW ही स्पर्शिका स्पर्श करते. त्रिज्या 3 cm आणि YW = 4 cm असेल तर त्रिकोण OYW चे क्षेत्रफळ (cm² मध्ये) शोधा.
- 5केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला A बिंदूत AP ही स्पर्शिका स्पर्श करते. त्रिज्या 15 cm आणि AP = 20 cm असेल तर त्रिकोण OAP चे क्षेत्रफळ (cm² मध्ये) शोधा.
- 6वर्तुळाची त्रिज्या 5 cm आहे आणि M बिंदू केंद्रापासून 14 cm अंतरावर आहे. M पासून वर्तुळाला काढलेल्या स्पर्शिकेची MK लांबी (cm मध्ये) शोधा.
- 7L बिंदूचे 16 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या केंद्रापासूनचे अंतर L पासून काढलेल्या स्पर्शिकेच्या लांबीपेक्षा 4 cmने जास्त आहे. स्पर्शिकेची लांबी (cm मध्ये) शोधा.
- 8केंद्र O असलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या 18 cm आहे. U बिंदूतील स्पर्शिका UK ची लांबी 24 cm आहे. त्रिकोण OUK ची परिमिती (cm मध्ये) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 165
- 265
- 35
- 46
- 5150
- 63√19
- 730
- 872
एककेंद्री वर्तुळे व जीवा
डार्ट बोर्डवरील वलये एकाच केंद्राची असतात. आतल्या वलयाला नुसती स्पर्श करणारी रेषा बाहेरच्या वलयात जीवा तयार करते.
एकच केंद्र असलेली दोन वर्तुळे एककेंद्री. मोठ्या वर्तुळाची (त्रिज्या R) जीवा AB, जी लहान वर्तुळाला (त्रिज्या r) T मध्ये स्पर्श करते, ती T मध्ये दुभागली जाते आणि AT² = R² − r², म्हणून AB = २√(R² − r²).
सूत्र : AB = २√(R² − r²)
आकृतीत : R = ५, r = ३ : AT = √(२५ − ९) = ४, म्हणून जीवा AB = ८.
नियम 1 : जीवा काढा — जीवेचा अर्धा भाग हा काटकोन त्रिकोणाची दुसरी बाजू.
- सोपे : R = ५ cm, r = ३ cm : जीवा = २ × ४ = ८ cm.
- मध्यम : R = १३ cm, r = ५ cm : जीवा = २ × १२ = २४ cm.
- परीक्षेसाठी : स्पर्शबिंदू T हा जीवेचा मध्यबिंदू.
नियम 2 : त्रिज्या काढा — जीवेचा अर्धा भाग व दुसरी त्रिज्या वापरा.
- सोपे : जीवा १६ cm, R = १० cm : अर्धी ८, म्हणून r = √(१०० − ६४) = ६ cm.
- मध्यम : जीवा २४ cm, r = ५ cm : R = √(१४४ + २५) = १३ cm.
- परीक्षेसाठी : नेहमी R > r, कारण जीवा मोठ्या वर्तुळात.
स्पर्शबिंदूकडील त्रिज्या जीवेला लंब असल्याने ती जीवा दुभागते.
पूर्ण जीवा विचारली असताना अर्धी जीवा उत्तर म्हणून देणे; २ ने गुणा.
"मोठ्या त्रिज्येचा वर्ग वजा लहानीचा, वर्गमूळ, मग दुप्पट."
सरावासाठी प्रश्न
- 1केंद्र O असलेल्या दोन संकेंद्री वर्तुळांच्या त्रिज्या 17 cm आणि 3 cm आहेत. मोठ्या वर्तुळाची जीवा VW लहान वर्तुळाला L बिंदूत स्पर्श करते. OL (cm मध्ये) शोधा.
- 2केंद्र O असलेल्या दोन संकेंद्री वर्तुळांच्या त्रिज्या 40 cm आणि 5 cm आहेत. मोठ्या वर्तुळाची जीवा AB लहान वर्तुळाला Y बिंदूत स्पर्श करते. OY (cm मध्ये) शोधा.
- 3दोन संकेंद्री वर्तुळांचे केंद्र O आहे. मोठ्या वर्तुळाची जीवा YB लहान वर्तुळाला F बिंदूत स्पर्श करते. YF = 19 cm असेल तर YB (cm मध्ये) शोधा.
- 458 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाची 84 cm लांबीची जीवा एका संकेंद्री लहान वर्तुळाला स्पर्श करते. लहान वर्तुळाची त्रिज्या (cm मध्ये) शोधा.
- 525 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाची 40 cm लांबीची जीवा एका संकेंद्री लहान वर्तुळाला स्पर्श करते. लहान वर्तुळाची त्रिज्या (cm मध्ये) शोधा.
- 6दोन संकेंद्री वर्तुळांच्या त्रिज्या 17 cm आणि 8 cm आहेत. मोठ्या वर्तुळाची, लहान वर्तुळाला स्पर्श करणाऱ्या जीवेची लांबी (cm मध्ये) शोधा.
- 7दोन संकेंद्री वर्तुळांपैकी मोठ्या वर्तुळाची 68 cm लांबीची जीवा लहान वर्तुळाला स्पर्श करते. दोन वर्तुळांमधील कंकणाचे क्षेत्रफळ (cm² मध्ये, π च्या स्वरूपात) शोधा.
- 8केंद्र O असलेल्या दोन संकेंद्री वर्तुळांच्या त्रिज्या 10 cm आणि 6 cm आहेत. मोठ्या वर्तुळाची जीवा ZC लहान वर्तुळाला स्पर्श करते. त्रिकोण OZC ची परिमिती (cm मध्ये) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 13
- 25
- 338
- 440
- 515
- 630
- 71156π
- 836
समांतर स्पर्शिका व स्पर्शिकांच्या रचना
दोन सरळ भिंतींमध्ये फिरणारा चेंडू दोन्ही भिंतींना स्पर्श करतो; भिंतींमधील अंतर नेमके चेंडूच्या रुंदीइतके.
व्यासाच्या दोन टोकांतील स्पर्शिका समांतर असतात, कारण दोन्ही व्यासाला लंब. त्यांमधील अंतर व्यास २r. दोन समांतर रेषांना स्पर्श करणाऱ्या वर्तुळाचे केंद्र त्यांच्या बरोबर मध्ये.
आकृतीत : व्यासाच्या टोकांतील P व Q वरील स्पर्शिका समांतर व २r अंतरावर.
नियम 1 : समांतर स्पर्शिका — त्यांमधील अंतर म्हणून व्यास वापरा.
- सोपे : r = ४ cm : समांतर स्पर्शिका ८ cm अंतरावर.
- मध्यम : १२ cm अंतरावरील दोन समांतर रेषा : स्पर्श करणाऱ्या वर्तुळाची r = ६ cm.
- परीक्षेसाठी : त्याचे केंद्र प्रत्येकीपासून ६ cm वरील रेषेवर.
नियम 2 : चौरसातील वर्तुळ — चौरसाच्या चारही बाजूंना स्पर्श करणाऱ्या वर्तुळाचा व्यास चौरसाच्या बाजूइतका.
- सोपे : १० cm बाजूचा चौरस : वर्तुळाची r = ५ cm.
- मध्यम : पडताळा : समोरच्या बाजूंमधील अंतर १० = २r.
- परीक्षेसाठी : स्पर्शिका तिच्या स्पर्शबिंदूकडील व्यासाला लंब असते.
व्यासाच्या एका टोकाची व दुसऱ्या टोकाची स्पर्शिका : नेहमी समांतर.
समांतर स्पर्शिकांमधील अंतर म्हणून व्यासाऐवजी त्रिज्या घेणे.
"समांतर स्पर्शिका पूर्ण व्यासाइतक्या दूर."
सरावासाठी प्रश्न
- 1एका वर्तुळाच्या दोन समांतर स्पर्शिकांमधील अंतर 102 cm आहे. वर्तुळाची त्रिज्या (cm मध्ये) शोधा.
- 2एका वर्तुळाचा व्यास 48 cm आहे. या व्यासाच्या दोन्ही टोकांना स्पर्शिका काढल्या आहेत. त्या दोन स्पर्शिकांमधील अंतर (cm मध्ये) शोधा.
- 3एका वर्तुळाच्या दोन समांतर स्पर्शिकांमधील अंतर 26 cm आहे. वर्तुळाची त्रिज्या (cm मध्ये) शोधा.
- 4केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला M बिंदूत स्पर्शिका YS स्पर्श करते. ती वर्तुळाच्या दोन समांतर स्पर्शिकांना Y आणि S मध्ये भेटते आणि ∠YOS = 90° आहे. YM = 36 cm आणि SM = 144 cm असेल तर वर्तुळाची त्रिज्या (cm मध्ये) शोधा.
- 5केंद्र O असलेल्या वर्तुळाच्या दोन समांतर स्पर्शिकांना तिसरी स्पर्शिका RT (स्पर्शबिंदू Y) अनुक्रमे R आणि T मध्ये भेटते. ∠ORT = 80° असेल तर ∠OTR (अंशांत) शोधा.
- 6केंद्र O असलेल्या वर्तुळाच्या दोन समांतर स्पर्शिकांना तिसरी स्पर्शिका RV (स्पर्शबिंदू W) अनुक्रमे R आणि V मध्ये भेटते. ∠ORV = 80° असेल तर ∠OVR (अंशांत) शोधा.
- 7केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला Y बिंदूत स्पर्श करणारी स्पर्शिका TX दोन समांतर स्पर्शिकांना T आणि X मध्ये भेटते आणि ∠TOX = 90° आहे. TY = 36 cm आणि XY = 81 cm असेल तर त्रिकोण TOX चे क्षेत्रफळ (cm² मध्ये) शोधा.
- 8केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला एका तिसऱ्या स्पर्शिकेने दोन समांतर स्पर्शिका S आणि G मध्ये छेदल्या आहेत आणि ∠SOG = 90° आहे. OS = 3 cm आणि OG = 4 cm असेल तर त्रिकोण SOG चे क्षेत्रफळ (cm² मध्ये) शोधा.
उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)
- 151
- 248
- 313
- 472
- 510
- 610
- 73159
- 86