वर्तुळे 10.3 : बिंदूपासून वर्तुळाला स्पर्शिकांची संख्या | CBSE · इयत्ता 10 · गणित

एका बिंदूतून स्पर्शिकांची संख्या

रोजच्या जीवनातून

गोल खोलीच्या आत उभे राहून भिंतीला फक्त घासणारी रेषा काढता येत नाही, पण बाहेरून दोन घासणाऱ्या रेषांत पाहता येते.

सोपी व्याख्या

वर्तुळाच्या आतील बिंदूतून स्पर्शिका काढता येत नाही. वर्तुळावरील बिंदूतून नेमकी एक स्पर्शिका काढता येते. बाहेरच्या बिंदूतून (बाह्य बिंदू) नेमक्या दोन स्पर्शिका काढता येतात.

आकृतीत : आत : ० स्पर्शिका. वर्तुळावर : १. बाहेर : २.

नियम 1 : OP ची r शी तुलना करा — P चे केंद्रापासूनचे अंतर संख्या ठरवते.

सोपे : r = ५ cm, OP = ३ cm : P आत, म्हणून ० स्पर्शिका.
मध्यम : r = ५ cm, OP = ५ cm : P वर्तुळावर, म्हणून १ स्पर्शिका.
परीक्षेसाठी : r = ५ cm, OP = ९ cm : P बाहेर, म्हणून २ स्पर्शिका.

नियम 2 : आतून का नाही? — आतील बिंदूतून जाणारी प्रत्येक रेषा वर्तुळाला दोनदा छेदते.

सोपे : म्हणून आतील बिंदूतील प्रत्येक रेषा छेदिका.
मध्यम : OP = १३ cm, r = ५ cm : दोन स्पर्शिका, प्रत्येकी १२ cm.
परीक्षेसाठी : दोन्ही स्पर्शिका OP रेषेच्या दोन बाजूंना.

लक्षात ठेवा

फक्त बाहेरचा बिंदू दोन स्पर्शिका देतो, व त्या OP भोवती आरशातील प्रतिमेसारख्या.

सामान्य चूक

वर्तुळावरील बिंदूला दोन स्पर्शिका म्हणणे; त्याला नेमकी एक.

आठवणीची युक्ती

"आत शून्य, वर एक, बाहेर दोन."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1C हा बिंदू 22 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या केंद्रापासून 22 cm अंतरावर आहे. C पासून वर्तुळाला किती स्पर्शिका काढता येतात?
2C हा बिंदू 8 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या केंद्रापासून 8 cm अंतरावर आहे. C पासून वर्तुळाला किती स्पर्शिका काढता येतात?
3W हा बिंदू 36 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या केंद्रापासून 36 cm अंतरावर आहे. W पासून वर्तुळाला किती स्पर्शिका काढता येतात?

मध्यम

4तीन बिंदू 19 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या केंद्रापासून अनुक्रमे 21 cm, 25 cm आणि 24 cm अंतरावर आहेत. या तीन बिंदूंपासून (प्रत्येक बिंदू वेगळा मोजून) वर्तुळाला काढता येणाऱ्या स्पर्शिकांची एकूण संख्या किती?
5एका वर्तुळाचा व्यास 54 cm आहे. केंद्रापासून 4 cm अंतरावरील M बिंदूपासून किती स्पर्शिका काढता येतात?
6तीन बिंदू 6 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या केंद्रापासून अनुक्रमे 6 cm, 2 cm आणि 6 cm अंतरावर आहेत. या तीन बिंदूंपासून (प्रत्येक बिंदू वेगळा मोजून) वर्तुळाला काढता येणाऱ्या स्पर्शिकांची एकूण संख्या किती?

आव्हानात्मक

7चार बिंदू 12 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या केंद्रापासून अनुक्रमे 12 cm, 4 cm, 6 cm आणि 5 cm अंतरावर आहेत. यांपैकी किती बिंदूंपासून अगदी दोन स्पर्शिका काढता येतात?
8चार बिंदू 25 cm त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या केंद्रापासून अनुक्रमे 3 cm, 19 cm, 36 cm आणि 38 cm अंतरावर आहेत. यांपैकी किती बिंदूंपासून स्पर्शिका काढणे अशक्य आहे?

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

स्पर्शिकांच्या समान लांबी

रोजच्या जीवनातून

तंबूच्या खुंटीपासून गोल खांबाला फक्त स्पर्श करत ताणलेल्या दोन दोऱ्या सारख्याच लांबीच्या असतात.

सोपी व्याख्या

बाह्य बिंदूपासून काढलेल्या दोन स्पर्शिकांची लांबी समान : PA = PB. काटकोन त्रिकोण OAP व OBP मध्ये OA = OB (त्रिज्या), कर्ण OP सामाईक व प्रत्येकात एक काटकोन, म्हणून ते एकरूप.

सूत्र : PA = PB = √(OP² − r²)

आकृतीत : OP = १३, r = ५ : दोन्ही स्पर्शिका √(१६९ − २५) = १२ लांब.

Live आकृती

स्पर्शिकांच्या समान लांबी

ॲपमध्ये ही आकृती हाताने हलवून बघता येते.

ॲपमध्ये उघडा

नियम 1 : PA = PB वापरा — एका स्पर्शिकेसाठी जे मिळते ते दुसरीला लागू.

सोपे : PA = ७ cm म्हणजे PB = ७ cm.
मध्यम : OP = १७ cm, r = ८ cm : PA = PB = १५ cm.
परीक्षेसाठी : त्रिकोण PAB समद्विभुज, PA = PB.

नियम 2 : स्पर्शिका समान का — दोन काटकोन त्रिकोण RHS ने जुळवा : काटकोन, कर्ण, एक बाजू.

सोपे : OA = OB (त्रिज्या) व OP सामाईक.
मध्यम : म्हणून त्रिकोण OAP ≅ त्रिकोण OBP, म्हणून PA = PB.
परीक्षेसाठी : रेषा OP कोन APB व कोन AOB दुभागते.

लक्षात ठेवा

स्पर्शिकांच्या समान लांबी फक्त एकाच बाह्य बिंदूपासून काढलेल्या स्पर्शिकांसाठी.

सामान्य चूक

दोन वेगळ्या बिंदूंपासूनच्या स्पर्शिका समान मानणे.

आठवणीची युक्ती

"एका बिंदूतून दोन स्पर्शिका, एकच लांबी."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1M बिंदूपासून वर्तुळाला MQ आणि MX या दोन स्पर्शिका काढल्या असून MQ + MX = 52 cm आहे. MQ (cm मध्ये) शोधा.
2A या बाह्य बिंदूपासून वर्तुळाला AV आणि AF या दोन स्पर्शिका काढल्या आहेत. AV = 29 cm असेल तर AF (cm मध्ये) शोधा.
3G या बाह्य बिंदूपासून वर्तुळाला GU आणि GD या दोन स्पर्शिका काढल्या आहेत. GD = 33 cm असेल तर GU (cm मध्ये) शोधा.

मध्यम

4L या बाह्य बिंदूपासून वर्तुळाला LV आणि LE या दोन स्पर्शिका काढल्या आहेत. LV = 56 cm असेल तर LE (cm मध्ये) शोधा.
5बाह्य बिंदू X पासून वर्तुळाला XQ = (2x + 9) cm आणि XU = (5x − 9) cm अशा दोन स्पर्शिका काढल्या आहेत; प्रत्येक स्पर्शिकेची लांबी (cm मध्ये) शोधा.
6बाह्य बिंदू U पासून वर्तुळाला UQ = (x + 3) cm आणि UX = (6x − 12) cm अशा दोन स्पर्शिका काढल्या आहेत; x शोधा.

आव्हानात्मक

7बाह्य बिंदू E पासून वर्तुळाला EK = (3x + 5) cm आणि EB = (2x + 18) cm अशा दोन स्पर्शिका काढल्या आहेत; प्रत्येक स्पर्शिकेची लांबी (cm मध्ये) शोधा.
8D पासून वर्तुळाला DM आणि DE या स्पर्शिका काढल्या असून ∠MDE = 90° आणि DM = 11 cm आहे. जीवा ME ची लांबी (cm मध्ये) शोधा.

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

126
229
333
456
521
63
744
811√2

दोन स्पर्शिकांमधील कोन

रोजच्या जीवनातून

दोन स्पर्शिका व दोन त्रिज्या मिळून पतंगासारखा चौकोन होतो; त्याचे दोन कोन काटकोन, म्हणून उरलेले दोन कोन मिळून अर्ध-फेरा.

सोपी व्याख्या

चौकोन OAPB मध्ये A व B ला प्रत्येकी ९०°, म्हणून ∠APB + ∠AOB = १८०°. रेषा OP दोन्ही कोन दुभागते, म्हणून ∠APO = ½ ∠APB व ∠AOP = ९०° − ∠APO.

सूत्र : ∠APB + ∠AOB = १८०°

आकृतीत : ∠APB = ८०° वरून ∠AOB = १००°.

नियम 1 : १८०° चा संबंध वापरा — माहीत कोन १८०° मधून वजा करा.

सोपे : ∠AOB = १२०° : ∠APB = १८०° − १२०° = ६०°.
मध्यम : ∠APB = ८०° : ∠AOB = १००°.
परीक्षेसाठी : हे दोन कोन पूरक (बेरीज १८०°) असतात.

नियम 2 : दुभाजक OP वापरा — P वरील कोनाचा अर्धा भाग काटकोन त्रिकोण OAP मध्ये.

सोपे : ∠APB = ७०° : ∠APO = ३५°, म्हणून ∠AOP = ५५°.
मध्यम : पडताळा : ∠AOB = ११०° व ७०° + ११०° = १८०°.
परीक्षेसाठी : ∠APB = ६० तर PA = PB म्हणून त्रिकोण PAB समभुज; PA = ८ cm म्हणजे AB = ८ cm.

लक्षात ठेवा

केंद्रावरील कोन व बाहेरच्या बिंदूवरील कोन यांची बेरीज नेहमी १८०°.

सामान्य चूक

केंद्रावरील कोनासाठी १८०° ऐवजी ९०° मधून वजा करणे.

आठवणीची युक्ती

"बाहेरचा कोन अधिक केंद्रीय कोन = १८०."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1M पासून केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला MU आणि MD या स्पर्शिका काढल्या असून ∠UMD = 150° आहे. ∠OMU (अंशांत) शोधा.
2H पासून केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला HR आणि HU या स्पर्शिका काढल्या आहेत. ∠RHU = 65° असेल तर ∠ROU (अंशांत) शोधा.
3B पासून केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला BZ आणि BC या स्पर्शिका काढल्या आहेत. ∠ZBC = 160° असेल तर ∠ZOC (अंशांत) शोधा.

मध्यम

4S पासून केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला ST आणि SA या स्पर्शिका काढल्या असून ∠TOA = 130° आहे. ∠STA (अंशांत) शोधा.
5P पासून वर्तुळाला PG आणि PK या स्पर्शिका काढल्या असून ∠GPK = 90° आहे. ∠PGK (अंशांत) शोधा.
6T पासून केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला TA आणि TX या स्पर्शिका काढल्या असून ∠AOX = 140° आहे. ∠TAX (अंशांत) शोधा.

आव्हानात्मक

7Q पासून केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला QG आणि QR या अशा स्पर्शिका काढल्या आहेत की ∠GQR : ∠GOR = 1 : 2. ∠GQR (अंशांत) शोधा.
8V पासून केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला VS आणि VE या स्पर्शिका काढल्या आहेत. ∠SOE = (4x + 19)° आणि ∠SVE = (x + 56)° असेल तर ∠SVE (अंशांत) शोधा.

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

175
2115
320
465
545
670
760
877

वर्तुळाभोवतीचे चौकोन व त्रिकोण

रोजच्या जीवनातून

चार बाजूंच्या चौकटीत बसवलेला गोल टेबल प्रत्येक बाजूला एकदा स्पर्श करतो. तेव्हा चौकटीच्या बाजूंच्या लांबी एका सुंदर नियमाने जुळतात.

सोपी व्याख्या

चौकोन ABCD च्या चारही बाजू वर्तुळाला स्पर्श करत असतील तर समोरच्या बाजूंच्या बेरजा समान : AB + CD = AD + BC. कारण प्रत्येक शिरोबिंदूपासूनच्या दोन स्पर्शिका समान. अंतर्वर्तुळ असलेल्या त्रिकोणातही प्रत्येक शिरोबिंदूपासूनच्या स्पर्शिकांची लांबी समान.

सूत्र : AB + CD = AD + BC

आकृतीत : १०, १२, ८ बाजूंचा त्रिकोण : A, B, C पासून स्पर्शिका ३, ७, ५.

नियम 1 : चौकोनाच्या समोरच्या बाजू — समोरच्या बाजूंच्या प्रत्येक जोडीची बेरीज करा.

सोपे : AB = ७, CD = ९, AD = ८ : BC = ७ + ९ − ८ = ८.
मध्यम : पडताळा : ७ + ९ = १६ व ८ + ८ = १६.
परीक्षेसाठी : वर्तुळाभोवतीचा समांतरभुज चौकोन समभुज चौकोन : AB = CD, AD = BC, म्हणून AB = BC.

नियम 2 : अंतर्वर्तुळ असलेला त्रिकोण — प्रत्येक शिरोबिंदूला स्वतःची स्पर्शिकेची लांबी द्या व बाजू जुळवा.

सोपे : AB = १०, BC = १२, CA = ८ : AF = AE = ३, BF = BD = ७, CD = CE = ५.
मध्यम : पडताळा : ३ + ७ = १०, ७ + ५ = १२, ५ + ३ = ८.
परीक्षेसाठी : प्रत्येक बाजू दोन स्पर्शिका-लांबींची बेरीज.

लक्षात ठेवा

प्रत्येक शिरोबिंदूवरील स्पर्शिकेची लांबी एका अक्षराने नाव द्या, मग प्रत्येक बाजू बेरीज म्हणून लिहा.

सामान्य चूक

लगतच्या बाजूंची जोडी घेणे; समोरच्या बाजू AB + CD = AD + BC.

आठवणीची युक्ती

"समोरच्या बाजूंची बेरीज सारखी."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1ABCD हा चौकोन वर्तुळाभोवती परिगत आहे. AB = 8 cm, BC = 20 cm, DA = 3 cm असेल तर CD (cm मध्ये) शोधा.
2ABCD हा चौकोन वर्तुळाभोवती परिगत आहे. AB = 7 cm, BC = 22 cm, DA = 15 cm असेल तर CD (cm मध्ये) शोधा.
3ABCD हा चौकोन वर्तुळाभोवती परिगत असून AB + CD = 35 cm आहे. ABCD ची परिमिती (cm मध्ये) शोधा.

मध्यम

4ABC हा त्रिकोण एका वर्तुळाभोवती परिगत असून वर्तुळ AB, BC आणि CA ला अनुक्रमे F, D आणि E मध्ये स्पर्श करते. AF = 17 cm, BD = 18 cm आणि CE = 17 cm असेल तर CA (cm मध्ये) शोधा.
5PQRS हा समांतरभुज चौकोन एका वर्तुळाभोवती परिगत असून PQ = 38 cm आहे; QR (cm मध्ये) शोधा.
6ABC हा त्रिकोण एका वर्तुळाभोवती परिगत असून वर्तुळ AB, BC आणि CA ला अनुक्रमे F, D आणि E मध्ये स्पर्श करते. AF = 6 cm, BD = 14 cm आणि CE = 7 cm असेल तर त्रिकोण ABC ची परिमिती (cm मध्ये) शोधा.

आव्हानात्मक

7ABC या त्रिकोणात वर्तुळ अंतर्लिखित केले आहे; AB = 12 cm, BC = 18 cm आणि CA = 20 cm. C पासून वर्तुळाला काढलेल्या स्पर्शिकेची लांबी (cm मध्ये) शोधा.
8ABCD हा चौकोन वर्तुळाभोवती परिगत असून AB = (x + 5) cm, BC = (x + 10) cm, CD = (2x + 15) cm आणि DA = (x + 13) cm आहे. ABCD ची परिमिती (cm मध्ये) शोधा.

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

समान स्पर्शिकांचे उपयोग

रोजच्या जीवनातून

दोन चाकांवरून जाणारा पट्टा किंवा वर्तुळाला मिठी मारणारी आकृती : एका स्पर्शिकेऐवजी तिची समान जोडी घेऊन सोडवता येतात.

सोपी व्याख्या

आकृतीवर समान स्पर्शिकांच्या लांबी दाखवा, मग काटकोन त्रिकोण OAP व कोनांचे संबंध वापरा. तिसरी स्पर्शिका XY वर्तुळाला C मध्ये स्पर्श करत असेल तर XA = XC व YB = YC, म्हणून त्रिकोण PXY ची परिमिती PA + PB = २PA.

आकृतीत : C मधील स्पर्शिका XY : PA = १२ असताना त्रिकोण PXY ची परिमिती PA + PB = २४.

नियम 1 : तिसरी स्पर्शिका — XC ऐवजी XA व YC ऐवजी YB घ्या.

सोपे : XA = XC व YB = YC.
मध्यम : PXY ची परिमिती = PX + XC + CY + YP = PA + PB.
परीक्षेसाठी : PA = १२ cm तर परिमिती २४ cm.

नियम 2 : पतंग व चौरस — A व B वरील काटकोन व समान त्रिज्या वापरा.

सोपे : ∠APB = ९०°, r = ६ cm : OAPB चौरस, म्हणून PA = ६ cm.
मध्यम : मग OP = ६√२ ≈ ८.४९ cm, चौरसाचा कर्ण.
परीक्षेसाठी : OP = १३, r = ५ : OAPB चे क्षेत्रफळ = २ × ½ × ५ × १२ = ६० चौरस एकक.

लक्षात ठेवा

प्रत्येक उत्तर दोन प्रकारे काढून तपासा, उदा. OP व r वरून PA.

सामान्य चूक

XA = XC विसरणे; तिसऱ्या स्पर्शिकेचे दोन भाग X व Y कडील स्पर्शिकांशी जुळतात.

आठवणीची युक्ती

"स्पर्शिका तिच्या जुळ्याने बदला, मग मिळवा."

सरावासाठी प्रश्न

सोपे

1A पासून 24 cm त्रिज्येच्या, केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला AQ आणि AH या स्पर्शिका काढल्या आहेत. OA = 51 cm असेल तर AQ (cm मध्ये) शोधा.
2P पासून 16 cm त्रिज्येच्या, केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला PW आणि PU या स्पर्शिका काढल्या असून PW = 30 cm आहे. चौकोन OWPU चे क्षेत्रफळ (cm² मध्ये) शोधा.
3F पासून 48 cm त्रिज्येच्या, केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला FV आणि FU या स्पर्शिका काढल्या असून FV = 20 cm आहे. चौकोन OVFU चे क्षेत्रफळ (cm² मध्ये) शोधा.

मध्यम

4B येथे काटकोन असलेल्या ABC या त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजूंना एक वर्तुळ स्पर्श करते; AB = 40 cm आणि BC = 42 cm. वर्तुळाची त्रिज्या (cm मध्ये) शोधा.
5E पासून वर्तुळाला EH आणि ER या स्पर्शिका काढल्या असून EH = 38 cm आहे. तिसरी स्पर्शिका लघुकंस HR वरील F बिंदूत वर्तुळाला स्पर्श करते आणि EH ला S मध्ये, ER ला M मध्ये भेटते. त्रिकोण ESM ची परिमिती (cm मध्ये) शोधा.
6T पासून वर्तुळाला TL आणि TE या स्पर्शिका काढल्या असून TL = 9 cm आहे. तिसरी स्पर्शिका लघुकंस LE वरील V बिंदूत वर्तुळाला स्पर्श करते आणि TL ला U मध्ये, TE ला W मध्ये भेटते. त्रिकोण TUW ची परिमिती (cm मध्ये) शोधा.

आव्हानात्मक

7केंद्र O आणि 14 cm त्रिज्या असलेल्या वर्तुळाला काढलेल्या YT आणि YW या स्पर्शिकांमधील कोन 60° आहे. YT (cm मध्ये) शोधा.
8W पासून 15 cm त्रिज्येच्या, केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला WD आणि WG या स्पर्शिका काढल्या असून WD = 20 cm आहे. जीवा DG ची लांबी (cm मध्ये) शोधा.

उत्तरे पाहा (आधी स्वतः सोडवा)

145
2480
3960
412
576
618
714√3
824