एक बिंदु से स्पर्श रेखाओं की संख्या
गोल कमरे के भीतर खड़े होकर दीवार को केवल छूती रेखा नहीं खींच सकते, पर बाहर से दो छूती रेखाओं में देख सकते हैं।
वृत्त के भीतर के बिंदु से कोई स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती। वृत्त पर स्थित बिंदु से ठीक एक स्पर्श रेखा खींची जा सकती है। बाहर के बिंदु (बाह्य बिंदु) से ठीक दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
आकृति में : भीतर : 0 स्पर्श रेखा। वृत्त पर : 1। बाहर : 2।
नियम 1 : OP की r से तुलना करें — P की केंद्र से दूरी संख्या तय करती है।
- आसान : r = 5 cm, OP = 3 cm : P भीतर, अतः 0 स्पर्श रेखा।
- मध्यम : r = 5 cm, OP = 5 cm : P वृत्त पर, अतः 1 स्पर्श रेखा।
- परीक्षा-प्रकार : r = 5 cm, OP = 9 cm : P बाहर, अतः 2 स्पर्श रेखाएँ।
नियम 2 : भीतर से क्यों नहीं? — भीतरी बिंदु से जाने वाली हर रेखा वृत्त को दो बार काटती है।
- आसान : इसलिए भीतरी बिंदु की हर रेखा छेदक रेखा है।
- मध्यम : OP = 13 cm, r = 5 cm : दो स्पर्श रेखाएँ, प्रत्येक 12 cm।
- परीक्षा-प्रकार : दोनों स्पर्श रेखाएँ OP रेखा के दोनों ओर।
केवल बाहर का बिंदु दो स्पर्श रेखाएँ देता है, और वे OP के सापेक्ष दर्पण-प्रतिबिंब होती हैं।
वृत्त पर स्थित बिंदु की दो स्पर्श रेखाएँ कहना; उसकी ठीक एक होती है।
"भीतर शून्य, पर एक, बाहर दो।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1बिंदु C 22 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 22 cm दूर है। C से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
- 2बिंदु C 8 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 8 cm दूर है। C से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
- 3बिंदु W 36 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 36 cm दूर है। W से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
- 4तीन बिंदु 19 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से क्रमशः 21 cm, 25 cm और 24 cm दूर हैं। इन तीनों बिंदुओं से (प्रत्येक बिंदु अलग गिनकर) वृत्त पर खींची जा सकने वाली स्पर्श रेखाओं की कुल संख्या कितनी है?
- 5एक वृत्त का व्यास 54 cm है। केंद्र से 4 cm दूर स्थित बिंदु M से कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
- 6तीन बिंदु 6 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से क्रमशः 6 cm, 2 cm और 6 cm दूर हैं। इन तीनों बिंदुओं से (प्रत्येक बिंदु अलग गिनकर) वृत्त पर खींची जा सकने वाली स्पर्श रेखाओं की कुल संख्या कितनी है?
- 7चार बिंदु 12 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से क्रमशः 12 cm, 4 cm, 6 cm और 5 cm दूर हैं। इनमें से कितने बिंदुओं से ठीक दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
- 8चार बिंदु 25 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से क्रमशः 3 cm, 19 cm, 36 cm और 38 cm दूर हैं। इनमें से कितने बिंदुओं से स्पर्श रेखा खींचना असंभव है?
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 11
- 21
- 31
- 46
- 50
- 62
- 70
- 82
स्पर्श रेखाओं की समान लंबाई
तंबू की खूँटी से गोल खंभे को केवल छूती हुई तनी दो रस्सियाँ बराबर लंबाई की होती हैं।
बाह्य बिंदु से खींची दो स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है : PA = PB। समकोण त्रिभुज OAP और OBP में OA = OB (त्रिज्याएँ), कर्ण OP उभयनिष्ठ और प्रत्येक में एक समकोण है, अतः वे सर्वांगसम हैं।
सूत्र : PA = PB = √(OP² − r²)
आकृति में : OP = 13, r = 5 : दोनों स्पर्श रेखाएँ √(169 − 25) = 12 लंबी।
स्पर्श रेखाओं की समान लंबाई
ऐप में इस आकृति को हाथ से हिलाकर देख सकते हैं।
ऐप में खोलेंनियम 1 : PA = PB लगाएँ — एक स्पर्श रेखा के लिए जो मिले वह दूसरी पर लागू।
- आसान : PA = 7 cm तो PB = 7 cm।
- मध्यम : OP = 17 cm, r = 8 cm : PA = PB = 15 cm।
- परीक्षा-प्रकार : त्रिभुज PAB समद्विबाहु, PA = PB।
नियम 2 : स्पर्श रेखाएँ समान क्यों — दो समकोण त्रिभुज RHS से मिलाएँ : समकोण, कर्ण, एक भुजा।
- आसान : OA = OB (त्रिज्याएँ) और OP उभयनिष्ठ।
- मध्यम : अतः त्रिभुज OAP ≅ त्रिभुज OBP, इसलिए PA = PB।
- परीक्षा-प्रकार : रेखा OP कोण APB और कोण AOB को समद्विभाजित करती है।
स्पर्श रेखाओं की समान लंबाई केवल एक ही बाह्य बिंदु से खींची रेखाओं के लिए।
दो अलग बिंदुओं से खींची स्पर्श रेखाओं को समान मान लेना।
"एक बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ, एक ही लंबाई।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1बिंदु M से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ MQ और MX खींची गई हैं तथा MQ + MX = 52 cm है। MQ (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 2बाह्य बिंदु A से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ AV और AF खींची गई हैं। यदि AV = 29 cm हो तो AF (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 3बाह्य बिंदु G से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ GU और GD खींची गई हैं। यदि GD = 33 cm हो तो GU (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 4बाह्य बिंदु L से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ LV और LE खींची गई हैं। यदि LV = 56 cm हो तो LE (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 5बाह्य बिंदु X से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ XQ = (2x + 9) cm और XU = (5x − 9) cm खींची गई हैं; प्रत्येक स्पर्श रेखा की लंबाई (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 6बाह्य बिंदु U से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ UQ = (x + 3) cm और UX = (6x − 12) cm खींची गई हैं; x ज्ञात कीजिए।
- 7बाह्य बिंदु E से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ EK = (3x + 5) cm और EB = (2x + 18) cm खींची गई हैं; प्रत्येक स्पर्श रेखा की लंबाई (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 8D से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ DM और DE खींची गई हैं, ∠MDE = 90° और DM = 11 cm है। जीवा ME की लंबाई (cm में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 126
- 229
- 333
- 456
- 521
- 63
- 744
- 811√2
दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण
दो स्पर्श रेखाएँ और दो त्रिज्याएँ मिलकर पतंग जैसा चतुर्भुज बनाती हैं; उसके दो कोण समकोण हैं, इसलिए शेष दो कोण मिलकर अर्ध-चक्कर बनाते हैं।
चतुर्भुज OAPB में A और B पर प्रत्येक 90°, अतः ∠APB + ∠AOB = 180°। रेखा OP दोनों कोणों को समद्विभाजित करती है, इसलिए ∠APO = ½ ∠APB और ∠AOP = 90° − ∠APO।
सूत्र : ∠APB + ∠AOB = 180°
आकृति में : ∠APB = 80° से ∠AOB = 100°।
नियम 1 : 180° का संबंध लगाएँ — ज्ञात कोण को 180° में से घटाएँ।
- आसान : ∠AOB = 120° : ∠APB = 180° − 120° = 60°।
- मध्यम : ∠APB = 80° : ∠AOB = 100°।
- परीक्षा-प्रकार : ये दोनों कोण संपूरक (योग 180°) हैं।
नियम 2 : समद्विभाजक OP लगाएँ — P पर कोण का आधा भाग समकोण त्रिभुज OAP में।
- आसान : ∠APB = 70° : ∠APO = 35°, अतः ∠AOP = 55°।
- मध्यम : जाँच : ∠AOB = 110° और 70° + 110° = 180°।
- परीक्षा-प्रकार : यदि ∠APB = 60° तो PA = PB होने से त्रिभुज PAB समबाहु; PA = 8 cm तो AB = 8 cm।
केंद्र का कोण और बाहरी बिंदु का कोण हमेशा 180° बनाते हैं।
केंद्र के कोण के लिए 180° की जगह 90° में से घटाना।
"बाहरी कोण जोड़ केंद्रीय कोण = 180।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1M से केंद्र O वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ MU और MD खींची गई हैं तथा ∠UMD = 150° है। ∠OMU (अंशों में) ज्ञात कीजिए।
- 2H से केंद्र O वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ HR और HU खींची गई हैं। यदि ∠RHU = 65° हो तो ∠ROU (अंशों में) ज्ञात कीजिए।
- 3B से केंद्र O वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ BZ और BC खींची गई हैं। यदि ∠ZBC = 160° हो तो ∠ZOC (अंशों में) ज्ञात कीजिए।
- 4S से केंद्र O वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ ST और SA खींची गई हैं तथा ∠TOA = 130° है। ∠STA (अंशों में) ज्ञात कीजिए।
- 5P से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ PG और PK खींची गई हैं तथा ∠GPK = 90° है। ∠PGK (अंशों में) ज्ञात कीजिए।
- 6T से केंद्र O वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ TA और TX खींची गई हैं तथा ∠AOX = 140° है। ∠TAX (अंशों में) ज्ञात कीजिए।
- 7Q से केंद्र O वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ QG और QR इस प्रकार खींची गई हैं कि ∠GQR : ∠GOR = 1 : 2। ∠GQR (अंशों में) ज्ञात कीजिए।
- 8V से केंद्र O वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ VS और VE खींची गई हैं। यदि ∠SOE = (4x + 19)° और ∠SVE = (x + 56)° हो तो ∠SVE (अंशों में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 175
- 2115
- 320
- 465
- 545
- 670
- 760
- 877
वृत्त के चारों ओर चतुर्भुज और त्रिभुज
चार भुजाओं वाली चौखट में लगी गोल मेज़ हर भुजा को एक बार छूती है। तब चौखट की भुजाओं की लंबाइयाँ एक सुंदर नियम से जुड़ती हैं।
यदि चतुर्भुज ABCD की चारों भुजाएँ वृत्त को छूती हों तो सम्मुख भुजाओं के योग बराबर होते हैं : AB + CD = AD + BC। इसका कारण हर शीर्ष से दो स्पर्श रेखाएँ समान हैं। अंतःवृत्त वाले त्रिभुज में भी हर शीर्ष से स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है।
सूत्र : AB + CD = AD + BC
आकृति में : 10, 12, 8 भुजाओं का त्रिभुज : A, B, C से स्पर्श रेखाएँ 3, 7, 5।
नियम 1 : चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ — सम्मुख भुजाओं की हर जोड़ी जोड़ें।
- आसान : AB = 7, CD = 9, AD = 8 : BC = 7 + 9 − 8 = 8।
- मध्यम : जाँच : 7 + 9 = 16 और 8 + 8 = 16।
- परीक्षा-प्रकार : वृत्त के चारों ओर समांतर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है : AB = CD, AD = BC, अतः AB = BC।
नियम 2 : अंतःवृत्त वाला त्रिभुज — हर शीर्ष को अपनी स्पर्श रेखा की लंबाई दें और भुजाएँ मिलाएँ।
- आसान : AB = 10, BC = 12, CA = 8 : AF = AE = 3, BF = BD = 7, CD = CE = 5।
- मध्यम : जाँच : 3 + 7 = 10, 7 + 5 = 12, 5 + 3 = 8।
- परीक्षा-प्रकार : हर भुजा दो स्पर्श रेखा-लंबाइयों का योग।
हर शीर्ष की स्पर्श रेखा की लंबाई को एक अक्षर नाम दें, फिर हर भुजा को योग के रूप में लिखें।
सटी भुजाओं की जोड़ी लेना; सम्मुख भुजाएँ AB + CD = AD + BC।
"सम्मुख भुजाओं का योग समान।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1चतुर्भुज ABCD एक वृत्त को परिगत करता है। यदि AB = 8 cm, BC = 20 cm, DA = 3 cm हो तो CD (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 2चतुर्भुज ABCD एक वृत्त को परिगत करता है। यदि AB = 7 cm, BC = 22 cm, DA = 15 cm हो तो CD (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 3चतुर्भुज ABCD एक वृत्त को परिगत करता है और AB + CD = 35 cm है। ABCD का परिमाप (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 4त्रिभुज ABC एक वृत्त को परिगत करता है जो AB, BC और CA को क्रमशः F, D और E पर स्पर्श करता है। यदि AF = 17 cm, BD = 18 cm और CE = 17 cm हो तो CA (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 5समांतर चतुर्भुज PQRS एक वृत्त को परिगत करता है और PQ = 38 cm है; QR (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 6त्रिभुज ABC एक वृत्त को परिगत करता है जो AB, BC और CA को क्रमशः F, D और E पर स्पर्श करता है। यदि AF = 6 cm, BD = 14 cm और CE = 7 cm हो तो त्रिभुज ABC का परिमाप (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 7त्रिभुज ABC में एक वृत्त अंतर्लिखित है; AB = 12 cm, BC = 18 cm और CA = 20 cm। C से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 8चतुर्भुज ABCD एक वृत्त को परिगत करता है और AB = (x + 5) cm, BC = (x + 10) cm, CD = (2x + 15) cm तथा DA = (x + 13) cm है। ABCD का परिमाप (cm में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 115
- 230
- 370
- 434
- 538
- 654
- 713
- 858
समान स्पर्श रेखाओं के उपयोग
दो पहियों पर चलने वाला पट्टा या वृत्त को घेरती आकृति : एक स्पर्श रेखा की जगह उसकी बराबर जोड़ी रखकर हल होती हैं।
आकृति पर समान स्पर्श रेखा लंबाइयाँ दिखाएँ, फिर समकोण त्रिभुज OAP और कोण-संबंध लगाएँ। तीसरी स्पर्श रेखा XY वृत्त को C पर छूए तो XA = XC और YB = YC, अतः त्रिभुज PXY का परिमाप PA + PB = 2PA।
आकृति में : C पर स्पर्श रेखा XY : PA = 12 हो तो त्रिभुज PXY का परिमाप PA + PB = 24।
नियम 1 : तीसरी स्पर्श रेखा — XC की जगह XA और YC की जगह YB रखें।
- आसान : XA = XC और YB = YC।
- मध्यम : PXY का परिमाप = PX + XC + CY + YP = PA + PB।
- परीक्षा-प्रकार : PA = 12 cm तो परिमाप 24 cm।
नियम 2 : पतंग और वर्ग — A और B के समकोण तथा समान त्रिज्याएँ लें।
- आसान : ∠APB = 90°, r = 6 cm : OAPB वर्ग, अतः PA = 6 cm।
- मध्यम : तब OP = 6√2 ≈ 8.49 cm, वर्ग का विकर्ण।
- परीक्षा-प्रकार : OP = 13, r = 5 : OAPB का क्षेत्रफल = 2 × ½ × 5 × 12 = 60 वर्ग इकाई।
हर उत्तर को दो तरह से निकालकर जाँचें, जैसे OP और r से PA।
XA = XC भूल जाना; तीसरी स्पर्श रेखा के दो भाग X और Y की स्पर्श रेखाओं से मेल खाते हैं।
"स्पर्श रेखा को उसके जुड़वाँ से बदलें, फिर जोड़ें।"
अभ्यास के प्रश्न
- 1A से 24 cm त्रिज्या वाले, केंद्र O वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ AQ और AH खींची गई हैं। यदि OA = 51 cm हो तो AQ (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 2P से 16 cm त्रिज्या वाले, केंद्र O वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ PW और PU खींची गई हैं तथा PW = 30 cm है। चतुर्भुज OWPU का क्षेत्रफल (cm² में) ज्ञात कीजिए।
- 3F से 48 cm त्रिज्या वाले, केंद्र O वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ FV और FU खींची गई हैं तथा FV = 20 cm है। चतुर्भुज OVFU का क्षेत्रफल (cm² में) ज्ञात कीजिए।
- 4B पर समकोण वाले त्रिभुज ABC की तीनों भुजाओं को एक वृत्त स्पर्श करता है; AB = 40 cm और BC = 42 cm। वृत्त की त्रिज्या (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 5E से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ EH और ER खींची गई हैं तथा EH = 38 cm है। तीसरी स्पर्श रेखा लघु चाप HR पर स्थित F पर वृत्त को स्पर्श करती है और EH को S पर तथा ER को M पर मिलती है। त्रिभुज ESM का परिमाप (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 6T से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ TL और TE खींची गई हैं तथा TL = 9 cm है। तीसरी स्पर्श रेखा लघु चाप LE पर स्थित V पर वृत्त को स्पर्श करती है और TL को U पर तथा TE को W पर मिलती है। त्रिभुज TUW का परिमाप (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 7केंद्र O और 14 cm त्रिज्या वाले वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं YT और YW के बीच का कोण 60° है। YT (cm में) ज्ञात कीजिए।
- 8W से 15 cm त्रिज्या वाले, केंद्र O वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ WD और WG खींची गई हैं तथा WD = 20 cm है। जीवा DG की लंबाई (cm में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर देखें (पहले खुद हल करें)
- 145
- 2480
- 3960
- 412
- 576
- 618
- 714√3
- 824